21 Ejercicios de estacionariedad, ergodicidad

Ezequiel I. Espinosa R.
3 Dec 202032:16

Summary

TLDREl script del video ofrece una explicación detallada de conceptos avanzados en señales estacionarias y procesamiento de señales, como la autocorrelación y la densidad espectral de potencia. Se abordan ejercicios que desafían a los espectadores a entender si ciertas secuencias pueden corresponder a la autocorrelación de una señal estacionaria y a calcular la densidad espectral de potencia para señales aleatorias. El contenido es técnico y requiere conocimientos en matemáticas para su comprensión, con énfasis en el cálculo de medias, autocorrelaciones y transformadas de Fourier.

Takeaways

  • 📚 Se discuten ejercicios sobre conceptos avanzados de señales como el auto-correlación y la densidad espectral de potencia.
  • 🔍 Se analiza si ciertas secuencias discretas pueden corresponder a la auto-correlación de una señal discreta estacionaria.
  • ⏲️ Se revisan las características necesarias para que una función cumpla con la auto-correlación, incluyendo simetría, valor máximo en el origen y transformada de Fourier no negativa.
  • 📉 Se muestra que la secuencia de un pulso rectangular no cumple con la condición de la transformada de Fourier siempre positiva.
  • 📈 Se calcula la densidad espectral de potencia para una señal aleatoria, involucrando cálculos de esperanza matemática y transformadas de Fourier.
  • 🔢 Se determina si una señal es estacionaria en la media y en la auto-correlación, a través del análisis de sus propiedades temporales.
  • 🌀 Se utiliza la identidad trigonométrica del coseno de una suma para simplificar cálculos de auto-correlación.
  • 📊 Se contrasta la auto-correlación temporal de una realización con la auto-correlación del conjunto para evaluar estacionariedad.
  • 🔧 Se muestra que la auto-correlación de la señal dada no es periódica, lo que indica que la señal no es estacionaria en el sentido estrecho.
  • 📐 Se aplica el teorema de Wiener-Khinchin para relacionar la densidad espectral de potencia con la auto-correlación de la señal.

Q & A

  • ¿Qué conceptos se mencionan en el video que pueden resultar complicados?

    -Los conceptos mencionados incluyen la estacionalidad, la autocorrelación y otras funciones relacionadas.

  • ¿Cuáles son las tres características que debe cumplir una función de autocorrelación?

    -Las características son: 1) La autocorrelación en τ es igual a la autocorrelación en -τ, 2) El valor absoluto de la autocorrelación en τ es menor o igual a la autocorrelación en el origen (τ=0), y 3) La transformada de Fourier de la autocorrelación debe ser real y positiva.

  • ¿Por qué la secuencia A no corresponde a una función de autocorrelación de una señal discreta estacionaria?

    -Porque su transformada de Fourier toma tanto valores positivos como negativos, lo que no cumple con la condición de ser siempre positiva.

  • ¿Cómo se define la estacionalidad respecto a la media en el contexto del video?

    -Una señal es estacionaria respecto a la media si la media es constante para todo valor de t.

  • ¿Qué se concluye sobre la media de la señal x(t) en el video?

    -Se concluye que la media del conjunto es nula, es decir, la esperanza matemática de la señal es igual a cero, lo que la hace estacionaria en la media.

  • ¿Cómo se puede determinar si una señal es estacionaria en la autocorrelación?

    -Una señal es estacionaria en la autocorrelación si la autocorrelación no depende de los instantes concretos de tiempo en los que se evalúa, sino de la diferencia entre esos tiempos.

  • ¿Qué se necesita verificar para determinar la ergodicidad en la media?

    -Se debe verificar si la media temporal de cualquier realización coincide con la media del conjunto.

  • ¿Qué procedimiento se sigue para calcular la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria?

    -Se sigue el teorema de Wiener-Khinchin, que establece que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación.

  • ¿Cuál es la conclusión final respecto a la ergodicidad de la señal x(t) en la autocorrelación?

    -La señal no es ergódica en la autocorrelación porque la autocorrelación de la realización no coincide con la autocorrelación del conjunto.

  • ¿Qué se concluye sobre la estacionalidad y la densidad espectral de potencia en señales aleatorias?

    -Se concluye que las señales aleatorias requieren cálculos más laboriosos para determinar la densidad espectral de potencia debido a su naturaleza aleatoria.

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