21 Ejercicios de estacionariedad, ergodicidad
Summary
TLDREl script del video ofrece una explicación detallada de conceptos avanzados en señales estacionarias y procesamiento de señales, como la autocorrelación y la densidad espectral de potencia. Se abordan ejercicios que desafían a los espectadores a entender si ciertas secuencias pueden corresponder a la autocorrelación de una señal estacionaria y a calcular la densidad espectral de potencia para señales aleatorias. El contenido es técnico y requiere conocimientos en matemáticas para su comprensión, con énfasis en el cálculo de medias, autocorrelaciones y transformadas de Fourier.
Takeaways
- 📚 Se discuten ejercicios sobre conceptos avanzados de señales como el auto-correlación y la densidad espectral de potencia.
- 🔍 Se analiza si ciertas secuencias discretas pueden corresponder a la auto-correlación de una señal discreta estacionaria.
- ⏲️ Se revisan las características necesarias para que una función cumpla con la auto-correlación, incluyendo simetría, valor máximo en el origen y transformada de Fourier no negativa.
- 📉 Se muestra que la secuencia de un pulso rectangular no cumple con la condición de la transformada de Fourier siempre positiva.
- 📈 Se calcula la densidad espectral de potencia para una señal aleatoria, involucrando cálculos de esperanza matemática y transformadas de Fourier.
- 🔢 Se determina si una señal es estacionaria en la media y en la auto-correlación, a través del análisis de sus propiedades temporales.
- 🌀 Se utiliza la identidad trigonométrica del coseno de una suma para simplificar cálculos de auto-correlación.
- 📊 Se contrasta la auto-correlación temporal de una realización con la auto-correlación del conjunto para evaluar estacionariedad.
- 🔧 Se muestra que la auto-correlación de la señal dada no es periódica, lo que indica que la señal no es estacionaria en el sentido estrecho.
- 📐 Se aplica el teorema de Wiener-Khinchin para relacionar la densidad espectral de potencia con la auto-correlación de la señal.
Q & A
¿Qué conceptos se mencionan en el video que pueden resultar complicados?
-Los conceptos mencionados incluyen la estacionalidad, la autocorrelación y otras funciones relacionadas.
¿Cuáles son las tres características que debe cumplir una función de autocorrelación?
-Las características son: 1) La autocorrelación en τ es igual a la autocorrelación en -τ, 2) El valor absoluto de la autocorrelación en τ es menor o igual a la autocorrelación en el origen (τ=0), y 3) La transformada de Fourier de la autocorrelación debe ser real y positiva.
¿Por qué la secuencia A no corresponde a una función de autocorrelación de una señal discreta estacionaria?
-Porque su transformada de Fourier toma tanto valores positivos como negativos, lo que no cumple con la condición de ser siempre positiva.
¿Cómo se define la estacionalidad respecto a la media en el contexto del video?
-Una señal es estacionaria respecto a la media si la media es constante para todo valor de t.
¿Qué se concluye sobre la media de la señal x(t) en el video?
-Se concluye que la media del conjunto es nula, es decir, la esperanza matemática de la señal es igual a cero, lo que la hace estacionaria en la media.
¿Cómo se puede determinar si una señal es estacionaria en la autocorrelación?
-Una señal es estacionaria en la autocorrelación si la autocorrelación no depende de los instantes concretos de tiempo en los que se evalúa, sino de la diferencia entre esos tiempos.
¿Qué se necesita verificar para determinar la ergodicidad en la media?
-Se debe verificar si la media temporal de cualquier realización coincide con la media del conjunto.
¿Qué procedimiento se sigue para calcular la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria?
-Se sigue el teorema de Wiener-Khinchin, que establece que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación.
¿Cuál es la conclusión final respecto a la ergodicidad de la señal x(t) en la autocorrelación?
-La señal no es ergódica en la autocorrelación porque la autocorrelación de la realización no coincide con la autocorrelación del conjunto.
¿Qué se concluye sobre la estacionalidad y la densidad espectral de potencia en señales aleatorias?
-Se concluye que las señales aleatorias requieren cálculos más laboriosos para determinar la densidad espectral de potencia debido a su naturaleza aleatoria.
Outlines
📚 Ejercicios de conceptos estacionarios y autocorrelación
El primer párrafo introduce una serie de ejercicios sobre conceptos estacionarios y autocorrelación. Se menciona que estos conceptos pueden ser complicados, pero son fundamentales para entender las funciones y fórmulas. Se presenta un ejercicio que requiere determinar si ciertas secuencias discretas pueden corresponder a la autocorrelación de una señal estacionaria. Se analizan dos secuencias: una de 'pulsos unitarios' y otra de 'impulsos unitarios' con valores variables. Se explica que la autocorrelación debe cumplir con tres características: simetría, valor máximo en el origen y que su transformada de Fourier sea real y positiva. Se concluye que la secuencia de 'pulsos unitarios' no cumple con la tercera característica, mientras que la de 'impulsos unitarios' sí lo hace.
🔍 Análisis de estacionalidad en la media y autocorrelación
El segundo párrafo se enfoca en el análisis de si una señal aleatoria es estacionaria en términos de su media y autocorrelación. Se describe una señal aleatoria 'x' que consiste en un coseno modulado por variables aleatorias 'a' y 'si', ambas con distribuciones uniformes en intervalos específicos. Se calcula la media de la señal, encontrando que es nula y, por lo tanto, constante, lo que indica que la señal es estacionaria en la media. Seguidamente, se aborda el cálculo de la autocorrelación, demostrando que la señal cumple con las condiciones necesarias para ser estacionaria en la autocorrelación, dado que esta no depende de los instantes específicos sino de la diferencia entre ellos.
📈 Cálculo de la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria
El tercer párrafo explica cómo calcular la densidad espectral de potencia para una señal aleatoria que es la modulación de un oscilador con amplitude, frecuencia central, desviación de frecuencia y fase aleatorias. Se menciona que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelación y se procede a calcular la autocorrelación de la señal. Se utiliza la teoría de la transformada de Fourier para simplificar el cálculo, obteniendo una expresión que incluye impulsos unitarios en puntos específicos de la frecuencia. Se concluye con la densidad espectral de potencia como la suma de las contribuciones de estos impulsos, lo que permite entender la distribución de la potencia de la señal en el dominio de la frecuencia.
🔧 Ejemplos laboriosos en procesamiento de señales
El cuarto párrafo resume los conceptos previamente discutidos y enfatiza la complejidad de los cálculos necesarios para trabajar con señales aleatorias en comparación con señales deterministas. Se sugiere que, a pesar de la dificultad, estos ejemplos son importantes para comprender cómo se relacionan los conceptos teóricos con aplicaciones prácticas, como la medición de la potencia de señales en intervalos de frecuencia específicos.
Mindmap
Keywords
💡Auto-correlación
💡Señal estacionaria
💡Transformada de Fourier
💡Densidad espectral de potencia
💡Variables aleatorias
💡Espectralidad
💡Integrales
💡Identidades trigonométricas
💡Funciones de densidad de probabilidad
💡Teorema de Wiener-Khinchin
Highlights
El video presenta ejercicios sobre conceptos avanzados como la auto-correlación y la densidad espectral de potencia para señales estacionarias.
Se discuten las características que debe cumplir una función de auto-correlación para una señal discreta estacionaria.
Se analiza si ciertas secuencias pueden corresponder a la auto-correlación de una señal discreta estacionaria y se explica por qué.
Se resuelve un ejemplo donde se debe determinar si una secuencia es una auto-correlación válida utilizando las propiedades de las funciones de impulso y seno cardinal.
Se calcula la media y la auto-correlación de una señal aleatoria que incluye una amplitud y una fase con distribuciones uniformes.
Se demuestra que la señal aleatoria mencionada es estacionaria en la media y se calcula su valor.
Se verifica si la señal es estacionaria en la auto-correlación a través de la esperanza matemática y se llega a una conclusión.
Se calcula la densidad espectral de potencia de una señal aleatoria estacionaria utilizando la transformada de Fourier de la auto-correlación.
Se resuelve un problema de densidad espectral de potencia para una señal modelada con un oscilador con parámetros aleatorios.
Se utiliza la teoría de la densidad espectral de potencia para calcular la transformada de Fourier de la auto-correlación de una señal.
Se muestra cómo la esperanza matemática y la transformada de Fourier pueden intercambiarse en el cálculo de la densidad espectral de potencia.
Se resalta la importancia de las identidades trigonométricas en el cálculo de la auto-correlación y la densidad espectral de potencia.
Se discuten los desafíos de calcular la densidad espectral de potencia para señales aleatorias en comparación con señales deterministas.
Se concluye que el cálculo de la densidad espectral de potencia es esencial para entender la distribución de la potencia en la frecuencia de una señal.
Se enfatiza la importancia de comprender los conceptos teóricos detrás de la densidad espectral de potencia para su aplicación práctica en el análisis de señales.
Se sugiere que los espectadores revisen el video en detalle para una mejor comprensión de los conceptos avanzados tratados.
Transcripts
buenos buen día compañeros en este vídeo
vamos a ver unos ejercicios algo
laboriosos sobre los conceptos que ya
hemos estado viendo como son el bolso
sida de estacionalidad auto correlación
y demás que a fin de cuentas todos estos
conceptos pueden verse un poco engorroso
con lo que nada más se ven funciones y
fórmulas de expresiones así que vamos a
tratar de dar números a estas a todos
esos conceptos de todas esas funciones
que hemos visto son una serie de tres
ejercicios que vamos a ir viendo ahorita
porque entonces el primero me dice
indicar si las secuencias discretas de
la siguiente figura pueden o no
corresponder a la auto correlación de
una señal discreta estacionaria en caso
negativo indicar por qué cuáles son
estas
secuencias son estas dos que tengo aquí
la secuencia a y la secuencia vez la
secuencia a es una secuencia de cursos
todos con la misma amplitud
me representa un pulso perdón un pulso
rectangular con pulsos unitarios nada
más de cierto valor aquí tengo una serie
de impulsos con diferente valor que
pueden ver es una ciudad triangular pero
de impulsos unitarios ok bueno entonces
vamos a resolverlo una función de auto
correlación debe cumplir con las
siguientes tres características que ya
hemos visto en el vídeo pasado que la
auto correlación en tau es igual al auto
correlación en menos tal que el valor
alto absoluta de la correlación entrado
es menor o igual a la correlación que se
tiene en el cero en este punto cero y
que la transformada de fourier de la
correlación debe ser real y positiva
es decir se debe de cumplir aquí está en
forma matemática en palabras se debe
cumplir que sea para que su valor máximo
sea positivo y lo alcance en el origen e
hizo transformada de fourier no sea
negativa a decir estas tres condiciones
son estas tres expresadas en palabras
bueno vamos ambas secuencias son pares y
toman el valor máximo positivo en el
origen porque son par es una forma
rápida de visualizar que sean pases
repito yo puse a un espejo aquí y tengo
una imagen de lo que tengo aquí en este
lado y así como vemos son pares esta
imagen es aquí pongo el cero veo que
esto se refleja entonces esto es una
función para lo mismo que esta ambas son
pares y dicen tiene su máximo valor
positivo máximo valor
más su valor máximo perdón en el origen
y está como vemos aquí tiene el máximo
en el origen si tiene un máximo de
origen y tiene también aquí este máximo
en el origen ok entonces ya me ha
cumplido dos de las condiciones
pero la secuencia es un pulso
rectangular y su transformada de fourier
es del tipo xenón cardinals ndx / x esa
transformada de fourier puede sacar el
resultado como esto que toma tanto
valores positivos o negativos que salen
a falta aquí lugar pero ya te conocen
toda esta función y saben que toma
tantos valores positivos como valores
negativos la transformada de fourier de
esta hay que sacar la transformada de
fourier de ahora de esta secuencia para
cumplir ver si cumple con el postulado 3
entonces la transformada debe de las que
pueden saber
de esta secuencia
es una función del tipo igual seno
cardinal elevado al cuadrado seno de
equis entre sexta con transformar esa
este esa función y siempre es positiva
esta función siempre es positiva por lo
tanto en la secuencia a no corresponde
porque no corresponde porque no cumplió
con esta si es par pero no es pues
siempre positiva cumplió con estas pero
ya no cumplió con este último registro
la secuencia ésta que tengo aquí si
corresponde porque está si cumple con
las tres
características que debe cumplir la
función de auto correlación con esto
queda el primer ejercicio el más
facilito vamos a hacer a ver los otros
no están difíciles están laboriosos que
es muy diferente no son imposibles
resolver sólo muy laboriosos
vamos a calcular la media y la auto
correlación de la señal aleatoria tengo
una señal aleatoria x de función de a
una amplitud coseno de omega 7 más first
majestic donde a si son variables
aleatorias independientes entre sí ambas
con distribuciones uniformes en los
intervalos 0 de 0 a 1 y de 0 a 2
respectivamente las variables aleatorias
son este a la amplitud y este valor sí
indicar si la señal x dt es estacionaria
en la media estacional en la auto
correlación es periódica en la media y
algo dica en la auto correlación vamos a
ir viendo uno a uno cada uno de estos
buenos entonces
la solución es estacionaria respecto a
la media si la media es constante para
todo valor de t es decir saco la media
del conjunto en algún instante y esa
debe ser siempre constante sin importar
el valor de t para todo valor de t ok
teniendo en cuenta que a si son
independientes la media de conjunto es
como vimos en otros vídeos para sacar la
media es simplemente la esperanza
matemática hacia la equis dt que en este
caso x dt es igual a coseno mel ha sido
tema así y que puedo separar a fin de
cuentas aquí es como repito son
independientes puedo calcular las por su
pago primero cálculo la de am y lo
calculó la de coseno omega 0 decir la
estoy sacando de manera diferentes
multiplicando multiplicar entonces a
partir de la definición de la esperanza
matemática de una función glx que es
igual a la integral del menos infinito
infinito de la función multiplicada por
su función de densidad de probabilidad
me va a dar la esperanza matemática ok
entonces cuál es la función de densidad
de prueba ya la gtx ya la tengo en la
que tengo aquí arriba bueno es esta que
en este caso sería x de cuál es la
función de la densidad de probabilidad
el problema me lo está diciendo que el
problema me dice que la función de
distribución de probabilidades de ambas
variables es uniforme en intervalos de 0
a 1 y deseados para a es de 0 a 1 es
totalmente uniforme que aplicó tiene
debe tener 1 porque para que se cumpla
que el área bajo esta curva siempre sea
igual a 1 bueno aquí debía ser un tazón
cuadrado 1 x 1 me va a dar un área de 1
en lo que respecta a la otra me dice el
problema que es uniforme de 0 a 2 tips
deseados pies uniforme que amplitud debe
tener para que esto sea 1 esto debe ser
1 entre dos que ya tengo las funciones
de densidad de probabilidad tanto para
la variable a como para la variable si
ok entonces ya puedo hacer el cálculo de
la esperanza matemática
entonces la esperanza matemática lea es
simplemente la integral de 0 a 1 por esa
variable a multiplicada por esto este 1
es la función de densidad de
probabilidad de la variable a de 0 a 1
son los límites de 0 a 1
multiplicados por esa función porque ya
lo multiplicó de mantenimiento porque
vale 0 en esos valores ok hago la
integral y me resulta a cuadrado entre 2
de 1 de 0 a 1 y esto es igual a un medio
ok hago lo mismo se acude la esperanza
de la deco se no me nace dote más si es
la integral de menos infinito infinito
de coseno de omega 0 de temas sí
multiplicada por la función de densidad
de probabilidad en función del
diferencial decir de perdón y entonces
me queda de esta manera de 0 a 2 pi
coseno de omega 0 t de 1 entre los pies
está la función necesidad de
probabilidad recuerde es uniforme desde
cero hasta dos pi vale uno en pib
ok como lo habíamos visto y entonces el
intervalo ya no es de integración de
menos infinito y pintó simplemente es de
0 a 2 pi y me queda esta web está
integral
para hacerla bueno ya lo hemos hecho
muchas veces ya se ha hecho muchas veces
el cálculo va a dar 0 ok bueno entonces
la esperanza matemática de la señal x dt
es igual a la esperanza matemática de a
coseno de omega bueno eso que tengo nada
más tu tweet que es igual al primero la
esperanza de a multiplicada por la
esperanza del coche no lo mega se note
más si este valor medio un medio este
valió me 20 entonces esta esperanza es
igual a cero
entonces la media del conjunto es nula
de cero es decir la esperanza matemática
de la señal es igual a cero al ser la
media del conjunto constante porque es
constante porque en todo momento me va a
dar cero aunque no sea aunque sea cero
porque me pueden rebatir no son
observamos una constante de cero deba
ser siempre por lo tanto siempre va a
ser constante la señal se puede
considerar estacionaria en la media
porque ya resolvimos una primera parte
con respecto a la auto correlación de
conjuntos se puede escribir lo que sigue
ok la auto correlación de conjunto de la
foto correlación de bastante tiempo t 1
y aquí perdón este vídeo haber sido de 2
que es igual a la esperanza matemática
de la señal en el tiempo de 1 y luego
multiplicar por asia limitante tiempo de
2 ok entonces x desde al parecer es a
coseno de omegas el tema así que lo que
tengo aquí bueno en instante t1 y t2
sustituye un estante de tiempo es ahora
me va a dar a cuadrada con omega 7 1 por
coseno de omega 02 más y bueno las has
quedado multiplicadas y medio al 4 puedo
explicar lo mismo calcular primera
expresa matemática de la a al cuadrado y
luego de esta otra parte que tengo aquí
del coste no de omega se dote uno más si
por el coche no al omega
0,02 más y usando identidades
trigonométricas voy a llegar a lo que
sigue de identidades que comenté que yo
sé que el coche no de x cual conoce
nadie es igual a un medio al coseno de x
más yemas el coche no deje menos sexual
en este caso mi x va a ser este valor
ville va a ser todo este valor como
tengo aquí tal que coseno de omega 7 1
más si por el coche no de omega 0 t 2
más si me va a dar esto hay que ponerle
pausa ya lo viendo bien va a llegar a
este valor a un medio del coseno de
omega 7 1 más de 2
2 si más cosas
1 - 0 voy a tener esto entonces ya
sustituyó esta parte que tengo aquí
entonces nuevamente la correlación de
los tiempos técnicos la esperanza es
igual la esperanza matemática de a1 y a2
ha elevado al cuadrado perdón
multiplicado por este nuevo valor que ya
que yo aquí que estoy sustituyendo
simplemente aquí lo que está nada más
hecho puede sustituciones y tribuno
metros ok saquemos entonces la esperanza
matemática de este término y luego de
este término
la esperanza matemática del primer
término de a cuadrada es de 0 a 1 porque
su función de densidad probabilidad si
me lo dice que vale 1 d en este
intervalo de a cuadrada hago la
integrales a kubica entre 3 de 0 a 1 y
me da un tercio ok ahora esto puedo
hacerlo de esta manera hasta que tengo
aquí puedo dividir la puedes sacar
primero esta y luego está ok
también entonces line para el primer
término es la esperanza matemática de un
medio consumo de omega 0 t unos más de 2
más 2 fi es igual a un medio de 0 a 2 pi
por este valor por su función de
densidad de probabilidad diferencial de
fin
y esto me va a dárselo igual es una
integral que aunque se ve un poco
aparatosa realmente no lo es tanto y nos
va a dar igual a cero ok entonces puedo
hacer otro término vean que aquí la
variable de integración han sido a y han
sido fi pero este último término bueno
hicimos la la identidad biométrica este
último término no tiene ni ninguna a
ninguna fit entonces este término es una
constante y la esperanza matemática de
una constante es igual a esa misma
constante si no me creen hagan la
integral y van a ver que les va a dar
ese valor x este esto esto sale como
constante todo esto sale como constante
y nada más queda integral de diferencial
de fi deseó 2000 x unos 50 si no me
creen háganlo extremas y me creen porque
al fin de cuentas es un este un concepto
básico de probabilidad y estadística que
la esperanza matemática de una constante
es igual a esa misma constante entonces
si esto es consta es una constante
porque no está involucrado y la variable
fi ni la bueno sí ni la variable am
entonces es la constante me queda de
esta manera entonces lava así la
correlación de la señal en los instantes
tiempos de 1 y 2 queda igual a la
esperanza matemática de a multiplicada
por todo esto que habíamos visto un
medio de cocer no me habla más esto que
habíamos tenido aquí esto es igual
a la esperanza matemática
multiplicada primero sacamos la de este
valor y luego la de este y entonces
acordamos que la dea es igual a un
tercio esto me dio 0 y esto es igual a
un medio de coseno de uno menos de dos
por lo tanto la correlación
toma ya esta expresión simplemente de t1
t2 a donde simplemente podemos ver como
tal recuerden que estaba la diferencia
de t 1 - de todos menos de 1 entonces es
igual a un sexto de coseno de t 1 menos
de 2 ó un sexto de coseno delegación
town donde todo es igual ante 1 menos de
2 es decir la auto correlación no
depende de los instantes concretos de
uno y de dos en los que se evalúa el
promedio sino de la diferencia que hay
entre los tiempos que hay entre uno de
esos si de la resta de estos de estos
tiempos por lo cual la señal es
estacionaria en la auto correlación cage
que se les quede bien grabado de esta
razón de por qué es auto correr la señal
es estacionaria en la autocuración bueno
al ser estacionaria en la media y en la
auto correlación se puede concluir que
la señal x de esta señal existe en el
problema
es estacionaria en sentido amplio ok aún
no hemos acabado con el problema ya
acabamos con buen asfalto bueno
respecto a la argot y cidad en la media
hay que verificar si se cumple que la
media temporal de cualquier realización
coincide con la media del conjunto ok la
media temporal de una realidad
realización x 7 viene dada por esta
expresión el promedio de la señal x
ivete es igual al límite cuando te tiene
infinito durante desde menos de medio
sector de medios de esa señal x de tres
diferenciales de cuentas si hago que
hace hay ahí y si se iguala si vamos a
sacar esta mediana el promedio es de xy
dt es igual a un tercero de menos
infinito infinito de ahí cociendo de
omega 7 más y de ahí es igual a
diferencia de p
esto es igual a cero porque ya nos hemos
hecho ya muchas veces está integral
dejémoslo así va a dar 0 si no me que
hagan ustedes ya lo han hecho mínimo
desde vocacional y media superior está
integral entonces es igual a cero
coincide con el valor que habíamos
sacado anteriormente bueno la señal x dt
es periódica en la media recuerden
también
entonces bueno para determinar la
posible heroicidad en la auto
correlación hay que comprobar si la auto
correlación temporal de cualquier
realización coincide con la auto
correlación del conjunto para la auto
correlación temporal de una realización
x 7 viene dada por esta expresión que
habíamos visto en este vídeo sentidos si
de xy de tener cabo es igual al promedio
de xy dt múltiple x x 7 - tau y viene
dada por el límite de menos está
infinitamente del límite cuando usted
tiene infinitamente
menos t medios remedios de x 7 x 7 bueno
entonces vamos a proceder a hacer
sustituciones si yo hago que hace igual
ahí y si sea igual así igual que en el
problema anterior entonces tengo xy dt
es igual a y coseno de omega 0 dt más
sigue y ahora si hago que xy
dt - te va a ser igual y coseno de omega
0 t - - tau más si es la misma buena
señal con equis y joaquín nada más que
el software para una señal periódica
sabemos que podemos hacer lo siguiente
nada más hacerla
la integral en un solo período conocemos
una señal periódica entonces - t a
infinito de infinito multiplicó a y por
coseno de omega 0 el tema si por ahí
cocinado mega 0 dt menos town más si
dave diferencial de que vamos a hacer
toda esa integral es trágica
aunque estoy repitiendo la ue no nada
más multiplique aquí multiplicó ahí por
y medalla ahí cuadrada voy a utilizar
identidades trigonométricas nuevamente a
partir de que estoy multiplicando aquí
dos cosenos yo sé que el coste no de x
más por el co seno de iu es igual un
medio coseno de x más y por el coseno de
x menos 10 algo que en este caso me
argumento x es igual omega 0 + xii y
llegué es igual a un mega 0 éste de
menos a más y y entonces pueden verlo
todo esto me va a llevar a esta última y
póngale pausa para que lo verifiquen más
apropiadamente me va a llevar a esto a
un medio x el coseno de 2 omega 0 t más
2 sí y menos omega 0 beta o más el coche
no de omega 0 de trabajo que todo esto
me va a llevar a esto que tengo aquí
entonces nada más voy a hacer la
sustitución o que hago aquí
nuevamente esta misma señal hacer este
medio es el medio que no salió él está
acá arriba desde acá multiplicó por
coseno
con cena nada más te resulte todos sus
tienen integral ver los términos están
siendo los mismos
vamos a resolver la integral hay 2 t
desde este medio se trate
de dos fibras todo esto vamos a ir a por
partes luego extras así por partes
entonces esto compañeros le va a dar
cero esto de aquí no me va a dar 0 me va
a dar ahí de entre 22 de teco senado
megas el octavo para ti
x tienen menos de medios tratar este
tema se resuelva los límites me va a dar
a los tecos senado mega se dote de
medios más de medios es igual ya como
resultado hay dos de coseno de omega 0
el tema estado
x de que esto es igual a 2a y cosenos
omega 0 dt ok que acontece me fue
el estado con auto correlación es
diferente de la autorrealización la auto
correlación de la realización xy es
diferente del auto correlación de la
distancia diferente la de conjunto pero
son diferentes recuerden que habíamos
sacados anteriormente un sexto de cocina
de omega 7 y aquí es a 0 d y cuadrada
cosas se parecen pero no son iguales por
lo tanto
la señal no es ser body acá en la auto
correlación bueno espero que con esto
sobre estos conceptos
ya se vieron estos cuatro ya sea quedó
resuelto
indicamos todo esto sea un vayan lo
regresen el vídeo y vayan lo viendo poco
a poco
vamos a ver el último ejemplo igual es
algo laborioso matemáticamente no solo
laborioso no difícil ok vamos a calcular
la densidad espectral de potencia de la
señal aleatoria cuál es la silla de
tener nuevamente xd a coseno 2000 fcc
más si es x y así recuerdo que se
pronunciaba este del símbolo más si psi
que modela la señal de un oscilador la
amplitud y la frecuencia central del
oscilador fcc son constantes ahora a es
constante mientras que la desviación de
frecuencia
x y xi que se pronuncia así y la fase si
sí perdón son variables aleatorias
independientes entre sí la variable si
es uniforme en el intervalo de 0 a 2
pips y lavar la función de la densidad
de probabilidad de sí es igual a ésta
que tengo yo aquí no me está dando de
manera clara me está dando una función
además buena solución la densidad
espectral de potencia de una aleatoria
estacionaria es la transformada de
fourier de la auto correlación teorema
de winding winner kiessling entonces la
densidad espectral de potencia para
obtener necesito sacar su transformada
de fourier de la función de auto
correlación que viene dada por esta
expresión de aquí entonces lo primero
que necesito que hacer es
calcular la auto correlación rx de tau
que es la auto correlación en la
esperanza matemática lo hicimos en el
ejemplo anterior también de la señal x
dt más está multiplicada por x
bosque entonces mi señal xd tema está o
me va a quedar así a cociendo de los pfc
si tema estado más sí y x de t
simplemente me quedan como queda
establecido el problema entonces la
correlación es igual de todo es igual la
esperanza matemática de este primer
término a coseno del nuevo césped efe ce
psh y 'the town' está multiplicada por
acosen o dos filtros en todo esto que
tengo que nuevamente vamos a hacer a
partir de esta identidad trigonométricas
coseno de x por su seno de iu que
conozco que es esto voy a hacer coseno
de 2 pfc más te mato machismo por el
consejo de los pfc más si te x más no es
si hago todo esto que simplemente
multiplicando este por este coche los
dos cocinas me va a dar un medio del
coche no de dos pies fcc más y 22 pasta
o dos si más coseno de dos pib fce
máxima
todo es otro visto te va a dar los
sustituyó entonces la auto correlación
es simplemente la esperanza mate mano a
4 de cada hora recuerden a es constante
pues está saliendo y no es eso calcular
la esperanza a cuadrada entre 2 es igual
a la esperanza matemática de este
término más las esperanzas matemáticas
totalmente son los que saca ese ratito
no están solos que hace ratito en esta
otra página de aquí ok las variables
aleatorias son si x y xi psi ok vamos a
resolver los términos primero este este
de aquí luego resolvemos estructural
resolviendo el primer término si yo sé
que el coseno de x más y es igual a esto
que tengo aquí coseno de x porque oye
menos más de x porque nadie entonces
esto que tengo yo aquí coseno de esto me
va a dar todo esto que tengo yo
vamos a sacar entonces la esperanza
matemática de estos dos valores que
tengo aquí
esta parte
corresponde a esta esta otra parte va a
corresponder a esta otra parte bueno
entonces la esperanza matemática de esta
señal es igual a coseno por esto
multiplicado por el coste no está que
tengo aquí es de esta primera parte
los hechos ponen pausa y la regresan y
esto es esto que tengo aquí es este otro
término de ok
vean que entonces voy a tener cuatro
integrales la esperanza matemática de
este primer término de esta parte aquí
es igual a menos infinito infinito
número esta integral
luego la esperanza matemática del coseno
que sí es una integral muy fea muy fea y
como está ahí bueno integral de ccoo
seno de 2 fib de 0
coseno yo sé que su función de
distribución de probabilidad es ésta
porque así me lo dice el problema y
gracias a dios esto me da 0 y vean que
si esto luego multiplicó por esto sea
medio cero ya la jce bueno y ahora tengo
esta la esperanza matemática de esto es
esto que tengo aquí abajito nada por
esta nota integral bastante afeitan de
igual pero afortunadamente la esperanza
matemática de esto
es igual de 0 2 x 0 los pines las
funciones densidad de probabilidad es
igual a 0 es decir el primer término
recuerden que hicimos dos términos esta
que tengo aquí
y este que tengo aquí entonces esta
primera parte que es esto que tengo aquí
me va a dar 0 a qué bueno qué gran
alivio no entonces cómo tener la
correlación la correlación simplemente a
0 perdón a guardada entre 2 la esperanza
matemática de este término nada más me
queda este término sin embargo esto es
la expresión más simplificada que puedo
obtener porque porque no voy a conozco
no conozco cuál es
este valor
este valor simplemente me queda como una
función no lo conozco entonces esta
expresión es la más simplificada que se
puede obtener sin embargo no quise que
no pueda resolver el problema se puede
obtener la densidad espectral de
potencia de x dt mediante el siguiente
procedimiento como vamos a hacer bueno
yo sé que la densidad espectral de
potencia es igual a la transformada de
fourier de la función de la procuración
que es estar aquí arriba ok entonces
esta con la transformada de fourier de a
cuadrada entre 2 de la que de la
esperanza matemática de coseno de 2 p ss
más si cortado
hago un cambio d
no de variables sino de forma que voy a
hacer las integrales cambio la primero
para transformar la orden de operaciones
primer agua transformada de fourier y
luego hago ya con la esperanza porque
puedo hacer eso
recordemos entonces la transformada de
fourier viene dada por esta integral que
tengo aquí la esperanza matemática viene
dada por esta integral que tengo aquí ok
el orden de las transformada de fourier
y el promedio estadístico pueden
intercambiarse debido a que se trata de
integrar escritos que afectan a
variables no correlacionadas entre sí
gracias a esto puede hacer este truco de
cambiar las integrales ok nada más
entonces
cambio las integrales voy a hacer
primero la transformada de fourier del
cose no existe que tengo aquí del coche
no de los pfc más si x está entonces yo
3 que la transformada de fourier de un
coseno ya se vio en sus cursos de
transformada de fourier de matemáticas
es igual a esto perdóname aquí me falta
multiplicarlo por un medio para
transformar el de un coseno de dos pies
efe se dotaba es igual a un medio por un
impulso unitario efe ubicado en menos f
0 y otro ubicado ene efe 0
si me paso al medio pero bueno aquí está
x un medio entonces la densidad
espectral va a quedar así de esta manera
a cuadrada entre 4 porque recuerden que
vengo arrastrando un 2 desde ese ratito
multiplicado por los me sale 4 la
esperanza matemática de estos dos
impulsos unitarios y entonces ahora sí
puedo calcularlo con resolviendo la
integral esperanza matemática de este y
de éste en la integral que vemos aquí y
es la integral que vamos aquí esto les
repito nuevamente es mi función de
densidad de probabilidad de mi variable
de todavía que en este caso sí y de este
caso que también es sí ok bueno llegar
muy feas a estas integradas quizás
podrían algunos desperación realmente
fácilmente resolver resueltas como
aplicando la propiedad de muestra de un
impulso unitario la propiedad de un
impulso unitario me dice que si yo
multiplico una función bueno
matemáticamente está expresada de esta
manera pero si yo multiplico la función
por un impulso unitario voy a obtener
el valor de que tenía esa función en el
instante de tiempo en que el impulso de
unitario apareció ok entonces vean lo
que tengo aquí las integrales tengo
impulsos unitarios multiplicados por
funciones densidad de probabilidad esos
impulsos genitales están ubicados en
este valor en estos puntos entonces
puedo tener la función necesidad
espectral lo que lleva estas integrales
es la función de densidad espectral
ubicadas en estos puntos que tengo aquí
ok con estos valores que tengo ubicados
en estos puntos por lo tanto entonces mi
punto son de densidad espectral general
de esta manera simplemente ya hice las
integrales a cuadrado entre 4 de mi
función necesidad espectral en el
instante efe - fcc bueno aquí no sé
instantes para la frecuencia hacer
t4f si
habría estado bien hacer un par de
dibujos pero bueno ya no me dio tiempo
se me olvidó hacer los chicos pero
espero que como ustedes ya sabemos sobre
funciones pues pueden visualizar estas
dos que simplemente son funciones
recorridas por efe bueno espero que con
este paro tres ejemplos algo laboriosos
haya quedado un poquito más claro a qué
se refiere todos los conceptos de
densidad densidad pero de felicidad de
estacionalidad y demás y que pueden
llevarse a algo que realmente nos
importa que es la densidad espectral de
una señal en cómo estarán en frecuencia
poder calcular la potencia de una señal
de frecuencia para ciertos intervalos o
ciertos valores que es lo que nos llevó
o concluyó ya no no es tan fácil como
las determinísticos debido a que su
naturaleza aleatoria requiere que se
hagan cálculos un poco más laboriosos
ahora es todo nos vemos en el siguiente
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