12 Teoría de Muestreo

Summary

El video ofrece una explicación detallada de la teoría del muestreo, que es fundamental para la conversión de señales analógicas a digitales. Se discute la representación de señales mediante valores tomados en intervalos regulares y cómo la función muestreada puede ser vista como una serie de impulsos unitarios. El teorema de muestreo, que establece las condiciones para determinar una señal a partir de sus muestras, es un punto clave. Se describen las transformadas de Fourier y su papel en el análisis de señales de banda limitada. El video también cubre la reconstrucción de señales a partir de sus muestras y los desafíos asociados, como el aliasing y la necesidad de un muestreo adecuado para evitar distorsión.

Takeaways

• 📚 La teoría de muestreo es fundamental para la conversión de señales analógicas a digitales y se basa en conceptos matemáticos.
• 📈 Se puede representar una señal muestreada como una sumatoria de impulsos unitarios, donde cada impulso tiene la amplitud de la señal en el instante de muestreo.
• 🔍 El Teorema de Muestreo establece que si una señal no contiene frecuencias superiores a la mitad de la tasa de muestreo (fm), entonces se puede determinar completamente a partir de sus valores de muestreo.
• 🌟 La transformada de Fourier de una señal de banda limitada es nula fuera de un rango de frecuencias determinado.
• 🔢 El muestreo de una señal implica tomar valores de la señal en intervalos regulares, lo cual se puede representar matemáticamente mediante una función periódica de impulsos unitarios.
• 🔄 La transformada de Fourier de una señal muestreada muestra réplicas del espectro original a intervalos regulares, lo cual es crucial para la reconstrucción de la señal.
• 📶 El Teorema de Convolution relaciona la transformada de Fourier de dos funciones en el tiempo con la de su convolución.
• 🛠️ Para reconstruir una señal analógica a partir de una señal muestreada, se necesita un filtro pasa-bajo ideal que permita solo la banda de frecuencias original.
• ⏲️ El intervalo de muestreo, conocido como el intervalo de Nyquist, debe ser menor a la mitad de la frecuencia de muestreo para evitar la sobreposición de réplicas espectrales.
• 🔉 El muestreo real no alcanza el potencial total del Teorema de Muestreo debido a limitaciones prácticas como el uso de filtros no ideales y la presencia de aliasing.
• 🔼 El aumento de la tasa de muestreo mejora la calidad de la señal, reduciendo el efecto de aliasing y permitiendo una separación más clara de las réplicas espectrales.

Q & A

¿Qué es la teoría de muestreo?

La teoría de muestreo es la base matemática que permite la conversión de señales analógicas a digitales, sin involucrar circuitos, es pura teoría matemática.

¿Cómo se representa una señal muestreada?

Una señal muestreada puede representarse como una sumatoria de impulsos unitarios, donde cada impulso tiene la amplitud de la función en el instante de muestreo.

¿Qué dice el teorema de muestreo de Whittaker-Shannon?

El teorema de muestreo de Whittaker-Shannon establece que si una función de tiempo no contiene componentes de frecuencias superiores a fm, entonces se puede determinar completamente a través de sus valores de muestreo en intervalos menores a 1/2fm segundos.

¿Qué es la transformada de Fourier y cómo se relaciona con el muestreo?

La transformada de Fourier es una herramienta matemática que convierte una función del tiempo en su representación en el dominio de la frecuencia. En el contexto del muestreo, se utiliza para analizar y manipular las señales en el dominio de la frecuencia.

¿Qué es una señal de banda limitada?

Una señal de banda limitada es aquella cuya transformada de Fourier es nula fuera de un rango de frecuencias limitado, lo que significa que solo tiene un espectro dentro de un intervalo específico de frecuencias.

¿Cómo se define la función muestreada fs(t) en términos de impulsos unitarios?

La función muestreada fs(t) se define como el producto de la función de banda limitada ft(t) y un patrón de impulsos unitarios, lo que resulta en una función periódica de impulsos unitarios que toma los valores de ft(t) en los instantes de muestreo.

¿Qué es el teorema de convolución y cómo se aplica en el muestreo?

El teorema de convolución establece que la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones en el tiempo es igual a la multiplicación de sus transformadas de Fourier individuales. En el muestreo, se utiliza para encontrar la transformada de Fourier de la función muestreada.

¿Cómo se relaciona el muestreo con las funciones cardinales de seno?

Las funciones cardinales de seno se utilizan para reconstruir la señal original a partir de sus muestras. La señal muestreada se puede expandir en una serie de funciones de Fourier, donde los coeficientes son las funciones cardinales de seno multiplicadas por los valores de muestreo.

¿Qué es el efecto de aliasing y cómo se produce?

El efecto de aliasing es una distorsión que ocurre cuando las componentes espectrales de una señal muestreada se solapan y no se puede distinguir entre las frecuencias originales y las replicadas. Se produce porque las señales en el mundo físico no son estrictamente de banda limitada y cuando se muestran, sus espectros se trasladan y se solapan.

¿Cómo se mitiga el efecto de aliasing en la práctica?

El efecto de aliasing se mitiga aumentando la tasa de muestreo, lo que reduce la probabilidad de solapamiento espectral y mejora la calidad de la señal reconstruida. También se pueden utilizar filtros anti-aliasing para eliminar las frecuencias no deseadas antes de la reconstrucción.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la Teoría del Muestreo

El primer párrafo introduce la teoría del muestreo, que proporciona las bases matemáticas para la conversión de señales analógicas a digitales. Se menciona que no se tratarán circuitos, sino la teoría matemática subyacente. Se describe el muestreo de una señal a través de valores tomados en intervalos equidistantes, utilizando impulsos unitarios para representar la señal muestreada. El Teorema de Muestreo establece que si una señal no contiene frecuencias superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo (fm), entonces puede ser determinada completamente a partir de sus valores de muestreo en intervalos menores a 1/2fm.

05:01

🔍 Teorema de Convolución y Análisis de Frecuencias

Este párrafo explora el Teorema de Convolución, que es fundamental para entender cómo las señales se relacionan en el dominio de la frecuencia. Se discute cómo la transformada de Fourier de dos funciones en el tiempo, cuando se multiplican, resulta en la suma de sus transformadas de Fourier individuales. Se enfatiza que para aplicar el Teorema de Muestreo, una función debe ser de banda limitada, lo que significa que su espectro es nulo fuera de ciertos límites de frecuencia. También se describe cómo la señal muestreada se ve afectada por la multiplicación con una función de impulsos unitarios periódica.

10:01

📈 Representación de Impulsos Unitarios y Muestreo en el Dominio de la Frecuencia

El tercer párrafo se enfoca en la representación de los impulsos unitarios tanto en el tiempo como en la frecuencia. Se ilustra cómo la transformada de Fourier de un train de impulsos unitarios resulta en otro train, pero con características diferentes. Se discute la definición de la función de muestreo periódica y cómo se relaciona con los impulsos unitarios en el tiempo y la frecuencia. Se menciona la importancia de las condiciones de Nyquist para evitar la superposición de espectros de señales muestreadas y la necesidad de cumplir con estos requisitos para una representación precisa.

15:02

🔧 Reconstrucción de Señales y Expansión en Series de Fourier

Aquí se explica cómo se pueden reconstruir señales a partir de sus muestras, utilizando la transformada de Fourier y la inversa. Se describe el proceso de expandir una señal muestreada en una serie de funciones de Fourier, lo cual es posible debido a su periodicidad. Se menciona el uso de la integral y la función de seno cardinal para calcular la señal original a partir de sus muestras. Se discute cómo la señal muestreada puede ser vista como una serie de impulsos con amplitudes específicas y cómo esto puede ser utilizado para reconstruir la señal en el tiempo.

20:03

🛠️ Muestreo en la Práctica y Efectos de Aliasing

El último párrafo aborda el muestreo en la práctica, incluyendo los desafíos y limitaciones. Se menciona que no es posible alcanzar el potencial total del Teorema de Muestreo debido a los filtros reales y su tendencia a dejar pasar componentes de frecuencia no deseadas. Se discute el efecto de aliasing, que ocurre cuando las señales de banda limitada no son perfectamente cortadas y se solapan, lo que resulta en distorsión. Se sugiere que aumentar la tasa de muestreo puede mitigar este efecto y se hace una comparación con la calidad de los archivos de audio, donde un mayor número de muestras por segundo resulta en una mejor calidad.

Keywords

💡Teoría del Muestreo

La Teoría del Muestreo es el núcleo matemático que permite la conversión de señales analógicas a digitales. En el video, esta teoría se utiliza para explicar cómo se pueden representar señales a través de muestras tomadas en intervalos regulares, y es fundamental para entender cómo se almacenan y procesan las señales digitales.

💡Señal Analógica

Una señal analógica es una señal continua en el tiempo que puede tener valores variables en un rango infinito. En el contexto del video, las señales analógicas son las que se convierten en señales digitales mediante el proceso de muestreo.

💡Señal Digital

Una señal digital es una representación discreta de una señal analógica, donde los valores de la señal se toman en puntos específicos y se codifican en forma de números binarios. El video trata sobre cómo se generan estas señales a partir de las analógicas mediante el muestreo.

💡Muestreo

El muestreo es el proceso de tomar mediciones de una señal analógica a intervalos regulares para su posterior conversión a una señal digital. En el video, se describe cómo se realiza este proceso y sus implicaciones matemáticas.

💡Impulsos Unitarios

Los impulsos unitarios son funciones matemáticas que se utilizan en el análisis de señales para representar eventos puntuales en el tiempo. En el video, se menciona cómo una señal muestreada puede ser representada como una suma de impulsos unitarios, donde cada impulso tiene una amplitud igual al valor de la señal en el instante de muestreo.

💡Frecuencia de Muestreo

La frecuencia de muestreo (fm) es la tasa a la que se toman las muestras de una señal. Según el teorema de muestreo, se debe muestrear a una frecuencia al menos el doble de la frecuencia más alta presente en la señal para evitar la aliasing. En el video, se discute cómo se determina esta frecuencia para garantizar la recuperación precisa de la señal analógica.

💡Aliasing

El aliasing es un fenómeno que ocurre cuando la frecuencia de muestreo es insuficiente y las réplicas espectrales se solapan, lo que lleva a una distorsión en la señal reconstruida. El video explica cómo evitar el aliasing a través de la selección adecuada de la frecuencia de muestreo.

💡Teorema de Convolution

El teorema de convolución es una herramienta matemática que se utiliza para calcular la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones. En el video, se menciona este teorema para explicar cómo se relacionan las funciones en el tiempo con sus correspondientes transformadas en el dominio de la frecuencia.

💡Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier es una técnica matemática que convierte una función del tiempo en su representación espectral. Es crucial en la teoría del muestreo para entender cómo se relaciona la señal en el tiempo con su espectro frecuencial, como se discute en el video.

💡Señal de Banda Limitada

Una señal de banda limitada es aquella que no contiene componentes de frecuencias superiores a un umbral determinado. En el video, se establece que para ser muestreada correctamente, una señal debe ser de banda limitada, lo que significa que su espectro frecuencial está confinado a un rango limitado.

💡Reconstruir la Señal

La reconstrucción de la señal es el proceso de volver a obtener la señal analógica a partir de una señal digital muestreada. El video describe cómo, mediante el uso de filtros y técnicas de señal, se puede recuperar la señal original a partir de sus muestras.

Highlights

La teoría de muestreo proporciona las bases matemáticas para la conversión de señales analógicas a digitales.

Se puede representar una señal a través de valores muestrales tomados en intervalos espaciados.

La función muestreada puede ser vista como una sumatoria de impulsos unitarios.

El Teorema de Muestreo establece que si una función no contiene frecuencias superiores a fm, puede ser determinada completamente a través de muestras tomadas a intervalos menores a 1/2fm.

El Teorema de Convolución es fundamental para entender la relación entre las transformadas de Fourier de dos funciones en el tiempo.

Una señal de banda limitada tiene una transformada de Fourier que es nula para intervalos de frecuencias superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo.

La función muestreada es una representación periódica de impulsos unitarios que captura los valores de la función en momentos de muestreo.

Los impulsos unitarios en el tiempo y su transformada de Fourier en el dominio de la frecuencia son fundamentales para entender el muestreo.

La transformada de Fourier de la función muestreada muestra réplicas del espectro de la señal original a intervalos regulares.

El muestreo debe cumplir con el intervalo de Nightwish para evitar que las réplicas se solapen y se pierda información.

La señal muestreada puede ser expresada en series de Fourier para recuperar la señal original.

La función seno cardinal es clave para entender la forma en que se reconstruye la señal a partir de las muestras.

El muestreo real en electrónica implica tomar pequeñas muestras de la señal durante un corto intervalo de tiempo.

Los filtros ideales no existen en la práctica; los filtros reales tienen una pequeña pendiente que puede causar aliasing.

El aliasing es un efecto donde las frecuencias de las réplicas se mezclan y distorsionan la señal original.

El sobremuestreo mejora la calidad de la señal al aumentar la tasa de muestreo y separar las réplicas espectrales.

Las señales en el mundo físico real nunca son estrictamente de banda limitada y su muestreo puede causar traslape espectral.

Transcripts

en este vídeo vamos a ver lo que es el

la teoría de muestreo

esta teoría me da las bases matemáticas

para principalmente lo que es la

conversión de señales analógicas y

digitales no vamos a ver circuitos nada

de eso es la pura teoría matemática en

la que está fundamentada la conversión

de señales o el muestreo de señales ok

vamos a empezar con esta teoría de

muestreo como les decía en muchas

aplicaciones es útil representar una

señal en términos de valores muestran

tomados en intervalos espaciados

aproximar apropiadamente ya habíamos

hablado algo de esto un poquito de que

una señal podríamos tomarla a través de

valores muestra mediante impulsos

unitarios bueno esa función muestreada

sampling de s la puedo representar

simplemente como una sumatoria de

impulsos unitarios

en el té en un día cada una en un

instante en el que cada impulso

literario va a tener la amplitud de esa

función en el instante en que es decir

esa silla muestra la puedo representar

de esta manera un 30 y por sanitarios

cuya amplitud es la

es el valor que tiene esa función es en

ese instante que fue muestreo para cada

valor de en 1234 infinitos ganas de ver

es infinita infinito estrictamente

hablando el intervalo donde t es el

intervalo demuestro que me dice el

teorema de muestreo me dice que si una

función de tiempo

efe no contiene componentes de

frecuencias superiores a fm ciclos por

segundo entonces

efe dt se puede determinar por completo

mediante sus valores de paros por

intervalos uniformes menores a 1 / 2 fm

segundos eso tiene un nombre que lo

vamos a ver

ok me repito esto es pura teoría

matemática del teorema de convolución el

teorema de convolución vamos a tener que

dos funciones la transformada de fourier

de dos funciones en el tiempo

multiplicadas va a ser esto que yo tengo

aquí o también puede ser expresado de

esta manera es el teorema de convolución

donde efe uno de omega en la

transformada de fourier de la función

uno en el tiempo y f2 de omega la

transformada de fourier df dosis de en

el tiempo decir simplemente sus

respectivas transformadas de cada uno de

ellos efe dt no tiene componentes

frecuenciales superiores a fm ciclos por

segundo entonces efe dt es una función

de banda limitada lo cual significa que

la transformada de fourier que es decir

la función de omega que la transformada

de fourier de esa función de t es igual

a cero para intervalos que observa lo

absoluto de omega mayores a m es igual w

m2 pf es decir

que la señal que se llama de banda

limitada únicamente tiene un espectro

cuando ya el exactos transformada de

fourier que pasa el dominio del tiempo

al dominio de la frecuencia esta señal

únicamente vale en este pequeño

intervalo de menos o mega m a omega m

para cualquier otro valor que no esté

dentro de este intervalo esa función

vale cero para que esto ocurra esta

señal tiene que ser como le repito

demanda limitada solamente existir ante

un pequeño intervalo de tiempo ok

una señal de banda limitada hizo un

aspecto en frecuencia o sea tu

transformada a definir

si se considera a fs de una función

muestreada definida por el producto de

la función

efe dt y el impulso unitario del tapete

este que es una función periódica de

impulsos unitarios entonces esa función

muestra es igual a efe bueno fue en el

instante a la función por el impulso

unitario el impulso unitario en el valor

de teva a tomar el valor que tenga esa

función durante ese instante de tiempo y

eso le impulsó un éter vamos a verla

antes de seguir con esto que son cómo

representar los impulsos unitarios en

tiempo y frecuencia bueno los tiempos

los pulsos unitarios este aquí tengo un

tren de impulsos frontales no nada más

eso no son varios pulsos unitarios en el

instante de tiempo si yo le sacó su

transformada de fourier a un tren de

impulsos unitarios me da otro tren de

impulsos unitarios pero visto de esta

manera una amplitud omega 0 y una

secuencia de recursos unitarios

separados omega 0 los pies de donde

quede la separación es muy diferente si

ustedes recuerdas transformada de

fourier la transformada de un solo

impulso unitario

a la de un tren de impulsos unitarios

tengo recursos sanitarios en el dominio

del tiempo y su respectivo transformada

en el dominio de la frecuencia a partir

de entonces de la definición del creen

periódico de impulsos unitarios es un

tren de impulsos unitarios estado de

esta manera matemáticamente el tren de

impulsos y la sumatoria desde -1 bueno

desde y menos infinito infinito del

creando impulsos en ciertos instantes de

tiempo

nt puede ser 1234 así sucesivamente a

esto significa esto es matemáticamente

esta función

entonces a partir de estos conceptos

se tiene que la función muestra la fs dt

es igual a ft multiplicada por el tren

de impulsos que exceden es haciendo aquí

que por un tren de impulsos ya no nada

más por uno reacomodando simplemente la

sumatoria la ponemos aquí afuera y

tomando en cuenta que f tiene nada más

va existir entonces para ciertos valores

esta función muestra lo que me dice aquí

es que va a tener nuevamente les repito

los valores que tenga esa función en

este instante de tiempo

la ecuación 1 muestra que la función efe

de esta ecuación 1 es una sex sucesión

de impulsos localizados a intervalos

regulares de t segundos y cuyos valores

son iguales a efe dt en los instantes de

muestreo es decir por ejemplo tengo esta

señal que es la que voy a mis impulsos

esta señal que voy a mostrar

a lo largo la multiplicación la

convulsión de entre estas dos señales y

lo que voy a obtener es una función como

ésta que tengo aquí donde cada impulso

en este caso tenían las amplitudes por

decirlo de una vez y vamos de uno pero

una vez que se convulsiona con estas a

multiplicar con este cada impulso va a

tener el valor durante el instante de

tiempo en el que forme este así este es

90 desde antes tanto de tiempo durante

éste tiene este valor durante este tiene

este valor durante este continuo de este

valor y voy a tener entonces que los

impulso unitarios van a tener esta forma

van a estar de alguna manera con esta

envolvente de la función muestra que

ellos tengo ahí y nada más son una

secuencia de impulsos con esta amplitud

que recuerdo cada impulso unitario va a

tomar el valor de la amplitud que tenga

la función durante el instante de tiempo

en el que fue maestría y me vaya a

quedar

de esta manera ok entonces de la

transformada de fourier del creal de

impulsos unitarios que viene dada por

ésta o sea también puedo sacar

transforma

el saco a transformar y diera un impulso

me da de este valor entonces para el

tren de impulsos unitarios que hagamos

queda esto que tenía aquí de acuerdo con

el teorema de convolución en la

frecuencia que tengo lo siguiente la

transformada de fourier de la función

muestra la que es ésta que tengo yo aquí

efe de s

es igual a fs de omega simplemente la

estoy pasando de este dominio en el

tiempo aquí está en el dominio del

tiempo a un dominio de la frecuencia

mediante una transformada de fourier

pues entonces simplemente la conversión

de la fed de la transformada de esta

función en el dominio de la frecuencia

multiplicada por los trenes de impulso

que tengo yo aquí y eso está bueno

matemáticamente es esto

sustituyendo omega 0 como 27 se tiene

los siguientes crs se puede reescribir

de esta manera no mediante el tren de

impulsos de esta forma que yo tengo aquí

simplemente se reacomoda y se rebautiza

en estos 103 un reacomodo de los

términos y me va a quedar esta expresión

que tengo aquí la sumatoria la pasa para

acá ok

esta expresión que voy a llamar 2

se sabe de los cursos de

este de fourier que la conducción de una

función de ft por un pulso es igual a la

función ft que ft convulsionada por un

pulso de un instante de esa función

multiplicó en nuestra función desplazada

igual por consiguiente el resultado en 2

este resultado

puede ser expresado de esta manera como

lo vemos aquí la ecuación 3 ésta muestra

que la transformada de fourier de fcc se

repite cada omega 0 segundos

estás en el dominio del tiempo esta es

en el dominio de la frecuencia es decir

tengo el mismo espectro que tiene esta

señal pero repetido en de veces y

espaciado la cantidad bueno de la que

omega espaciado centrado omega 0

enérgicas omega 6 y omega 0 luego todos

omega son múltiplos de omega seo

funciona en el dominio del tiempo

funciona en el dominio de la frecuencia

ok de la señal muestra entonces

efe omega se repetirá periódicamente sin

solaparse en tanto que omega 0 sea igual

a 2 omega me2030 2 sea mayor o igual a 2

por 2 p

efe m es decir el periodo tiene que

cumplir con esto que tenemos aquí

mientras se tomen muestras de ft a

intervalos regulares menores de 1 / 2 fm

segundos el espectro de fourier de fs

será una réplica periódica de efe de

omega y contendrá toda la información

acerca de ft que va a ocurrir si por

ejemplo estos espacios se hacen más

pequeños o más grandes más bien aquí si

si yo hago el muestreo más grande esto

se va a achicar y se van a solapar una

con otra se van a juntar estas dos

señales y es lo que no quiero para q

para que eso no pase debo cumplir con

este requisito el intervalo máximo de

muestreo se denomina a veces intervalo

de nightwish debo de cumplir con mi

intervalo de nightwish cuales es este

que tengo yo aquí para que para que

estos aspectos no se me salen porque

recuerden estamos hablando de ondas y se

solapan me producen efectos de éste

de fenómenos de interferencia consultiva

destructiva entre ellas tras fin de

cuentas son ondas y ya no voy a poder

recuperar la onda original es por eso

que debo de cumplir con este requisito

el requisito de nike es lo que tengo

aquí bueno siendo reducido de esta

manera tengo mi función de banda

limitada como ésta ésta me presenta un

espectro de furia de lesa cola

transformada de fourier y me saca y

tengo esto que tengo aquí es el espectro

en función de la frecuencia esta función

yo la

este

la convulsión o con una serie de

impulsos voy a tener esto que tengo aquí

impulsos que tienen amplitud d

el punto en donde fue maestría 2 y fue

mostrado aquí entonces tomaste amplitud

sin forma estoy aquí toma este y así la

amplitud de cada impulso y la

transformada de fourier de estos

impulsos es esto que yo tengo aquí son

las réplicas este mismo aspecto

replicado 1 2 3 4 así n cantidad de

veces ok

pues es el resumen de lo que haríamos

hasta ahorita consideramos una señal de

banda limitada ft muestreada a una

mínima rata requerida que es de 12 fm

por ciento entonces tengo esto una

función ft de banda limitada su función

muestreada es decir ya convulsionado con

una serie de impulsos que me da esto la

función f dt muestra da simplemente son

los impulsos con estambul 20 se paga

usted como t es igual a 1 entre 12 fm

entonces omega 0 es igual a 2 pídete es

igual al juego podemos ver como 4 fm es

igual a 2 omega m y si la función

muestreada viene dada por esta expresión

que simplemente era nuestra sumatoria de

impulsos cuya amplitud

va a ser la de la señal entonces es una

función función periódica de omega es

una función periódica cuyo periodo es

omega omega 0 y se puede expandir en una

serie de fui a lo que voy a hacer

ahorita a continuación es esta señal

expandirla en una serie de fui a por qué

porque es una función periódica se me

están repitiendo los impulsos con un

cierto periodo t y entonces no solamente

las funciones en tiempo pueden

expresarse en series de fourier también

como vamos a hacer las funciones en el

dominio do menor entonces el dominio de

omega

una serie de furia viene dada de esta

manera ya no es la misma que la del

tiempo nada más que falta en función de

omega y entonces necesito encontrar el

valor ce de la función exponencial

completa ok para encontrar ese valor

tenemos esta fórmula adecuada estas

condiciones en donde esto en función de

omega y 9 o de x

entonces aplicamos está integrada me voy

a tener esta mega que tengo que bueno

perdón esta cn que me va a dar aquí que

a fin de cuentas este fn la sustituyó en

mi función que tengo esta es la función

que recuerden que es la que tenía acá la

voy a sustituirse de n entonces bueno

primero sustituye ya deje de hablar de

dos pero este lo puse en función del

periodo t y tengo aquí sustituyó el

valor de n y me da esta función que yo

tengo aquí ok es esta función expresada

en series de fourier ok

bueno vamos a hacerlo más puesto que la

función muestra da es igual a efe

para este intervalo es decir

para este intervalo para nada más de

humedad a humedad m

se cumple esto

la función muestral es igual a este

valor para este intervalo con este es

puro intervalo puedo yo recuperar

diseñar original nada más con esta sin

necesidad de las réplicas con solo este

valor ok entonces para recuperar este

solo tengo que pasar al dominio del

tiempo como luego en el dominio del

tiempo transforma la inversa fui que

viene dada por esta expresión que

tenemos aquí nada más sacó cálculo la

integral de uno entre dos pide menos

omega me df para este intervalo de menos

omega aumento que sería el mismo de la

señal se obtiene entonces todo hasta que

veamos aquí la integral porque al fin de

cuentas efe de omega como la sacamos

anteriormente me estás diciendo aquí

está aquí es la misma resta

esta y estas son iguales entonces

nos da todo este monstruo de ecuación

entonces podemos reacomodar los términos

me queda la fuerza la función de esta

manera resuelvo la integral ésta me da

una función que se me sean seno cardinal

ustedes llaman algunos nombres que le

ponen sea un argumento un país que

responde nuestros libros bueno como sea

esta función y menos aquí tengo menos

cnt pero puedo cambiar la antt porque

menos dts de menos en el cn se reemplazó

a n porque todos los valores positivos

negativos ya están involucrados en la

sumatoria de su material de negativo

desde menos infinito hasta infinito ya

viene ahí todos los signos entonces esta

función

puesto que te es igual a 72 entre húmeda

pero mega m la de muestreo la expresión

6 esta expresión 6 se pueden expresar

también de esta manera ft es igual a la

sumatoria de la función seno argumento

será un argumento seno cardinal

multiplicada por cuya amplitud va a ser

fnp entre megan es la expresión 6 indica

que cada muestra de la función está

multiplicada por una función muestreador

a la sampling es igual a ésta que tengo

aquí y todas las formas donde resultante

se pueden a partir de todas las formas

donde arrastran se puede obtener ft

si yo graficada esta función

voy a tener esto que tengo aquí es decir

una sumatoria de funciones es lo

cardinales con valores con sus máximos

ubicados en t1 t2 t3 t4 y que hace en su

conjunto todas ellas me van a ayudar a

reconstruir la señal original con

electrónica probaría con

y entonces con los capacitores que vayan

siguiendo la curva y así es como se

reconstruiría una señal a partir de el

espectro de una señal muestran ahora

ahora bien

sabemos

deberían saber lo que es un impulso

genera un impulso en la realidad es muy

muy difícil si no es que imposible

como entonces se muestra muestreo

natural el músculo real demostró que

hacemos con nuestra electrónica pues

simplemente es que a esta señal durante

un pequeño instante de tiempo pues va a

estar conectado primero mediante un

switch tomó una pequeña muestra racial

luego voy a tirar una pequeña me voy a

decir y este switch va ser comer bauer

dependido la frecuencia programada el

periodo la muestra ahora mi señal

electrónicamente hay muchas formas de

hacerlo una forma de ésta sería mediante

un puente de dios con que tengo aquí en

donde yo controlo en qué momento se

prende los diodos a través de un sistema

bueno de un reloj 555

entonces tengo mi señal muestra muestre

que tengo aquí a la entrada la cual

cruza por este circuito con el

interruptor durante ciertos cinco este

tiempo abrí cierro y voy a tener esto

que tengo aquí mi señal ya mostrar ya no

tengo impulsos tengo pequeños pulsos

cuadrados estrictamente hablando tampoco

que me puede generar impulsos cuatros lo

que sabemos es que se me generan con una

cierta pendiente así

pero bueno hablemos de que tiene

impulsos que son cuadrados como estos

tengo esta señal muestra la mediante

pequeños rectángulos ok entonces lo que

ocurre nuevamente lo mismo esta señal la

que entra

en mi circuito muestreador a la entrada

del circuito mostrador tiene su

transformada de fourier

para de esta manera usar su aspecto de

esta señal en el dominio la frecuencia

es esta

tengo mis impulsos mostradores realmente

se encarecieron lo cierro mi circuito

cuya transformada de fourier es está en

el dominio del tiempo en el dominio de

la frecuencia es una serie de impulsos

unitarios cuya amplitud va siguiendo la

funda

la función seno argumento selo cardinal

de esta manera entonces la función

muestreada es decir está con esta me va

a dar resultado está puros impulsos con

esta amplitud cuando no son impulsos son

rectángulos con esta amplitud y el

espectro de fuerte de esta señal es éste

aquí yo tengo aquí son las mismas son

réplicas de esta que está aquí por

cuestiones de espacio pues no lo puede

hacer escala pero son las mismas que

tengo aquí que se nuevamente se me

repiten pero en sus amplitudes ya no son

las mismas van cambiando van siguiendo

el mismo patrón que tiene esta que yo

tengo aquí

ese es el muestreo digamos el natural el

real que se podría ser pero aún así se

puede reconstruir pues volver a tomar

nada más este intervalo de frecuencias i

reconstruir mediante circuitos que van

electrónica mi señal nuevamente de

analógica visitada ok

pero va a ocurrir los siguientes efectos

al jazz

en la práctica no se puede alcanzar el

potencial total del teorema de muestreo

y la expresión esta que tengo aquí sirve

solamente como un tope superior del

desempeño real porque primeramente por

el totales y al cabo de decir que yo

podría reconstruir la señal a partir

simplemente de tomar nada más este

espectro de una frecuencia como lo hago

porque a fin de cuentas tengo todas las

demás réplicas a través de un filtro

pasaba casi nada más quiero que pase

esta acción la respuesta ideal sería

esta que tengo yo aquí

pero ya vimos que los filtros ideales no

existen los filtros reales tienen una

pequeña pendiente como ésta quizás un

poquito más pronunciada y así iban a

tomar entonces pequeñas componentes

porque muestras pequeñas este intervalos

que corresponden a otro respecto que ya

no corresponde a este y entonces

componentes de frecuencia de las

réplicas espectrales se pueden

transmitir a través del filtro estos y

recuerden son ondas lucha ya no me va a

permitir reconstruir de manera

totalmente fiel estas frecuencias

espurias no las quiero explicar así se

llaman frecuencias escorias se pueden

mitigar incrementando la tasa de

muestreo en los sistemas prácticos de

software muestra qué quiere decir esto

el muestreo entre más corto sea este

intervalo t entre más juntos sean yo

tengo que estos se me separan aquí se me

van separando entre más grande sea la

separación que hay entre este por

ejemplo que tuviera aquí una de la otra

estos se me van juntando son

inversamente proporcionales 14 lo ideal

siempre es tener un sobremuestreo un

ejemplo muy claro en un archivo de audio

ustedes conviertan los de un cedé y

muestre este no es la misma calidad a

128 bits 400 tantos mil por segundo la

muestra busca cantidad de muestras el

más grande entre más graves y tiene una

mejor calidad es esto lo que ocurre

sistemas de sobre muestreo

ok otra cosa que va a ocurrir una señal

limitada en el tiempo nunca es

especialmente estrictamente de banda

limitada hasta ahorita dijimos que las

señales como éstas se dan demanda

limitada únicamente existiendo un

intervalo de menos omega a omega nada

más pero no es así una señal como está

en el mundo físico real no pues creo que

no existe en el mundo físico real tiende

a un valor que si se aproxima a cero

pero no es cero no hay un corte tal cual

y entonces lo que ocurre es que cuando

dicha señal es mostrada existirá un

traslape de las componentes espectrales

en lugar de tener

algo como esto en donde termina así voy

a tener algo como esto que se me está

solapando trasladando una tras otra y si

yo quiero hacer el corte de aquí hasta

acá nada más pues voy a tener de todo en

esta zona se me está trasladando entre

mi señal de imprime esta réplica y la

otra réplica que tengo yo aquí y al

reconstruir la señal las componentes de

frecuencias originales localizadas por

encima de la mitad de la frecuencia de

muestreo aparecerán por debajo de este

punto y serán transmitidas por el filtro

para sabah así con el cerramiento este

efecto se conoce como alias y el

resultado es la distorsión de la señal

es decir va a ocurrir esto bueno