Déterminer le signe d'une fonction du 2nd degré donnée sous sa forme factorisée - Première

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur explique comment étudier le signe d'une fonction polynomial du second degré sous sa forme factorisée. On comprend que le signe change aux racines du polynôme, qui sont les points où la fonction s'annule. En développant la fonction, on observe qu'elle est bien du second degré, avec un terme en x². Les racines sont trouvées en résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, ce qui donne x = 4 et x = -6. La forme factorisée permet de visualiser où la fonction change de signe. Le coefficient ಠdétermine l'orientation de la parabole : positif pour une cuvette, négatif pour une colline. Ici, le coefficient est négatif, indiquant une parabole orientée vers le bas. Ainsi, la fonction est négative pour x < -6, positive pour -6 < x < 4, et à nouveau négative pour x > 4. Un tableau de signe résume ces informations, montrant les valeurs prises par la fonction en fonction de l'intervalle de x.

Takeaways

• 📚 La vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée.
• 🔍 Lorsqu'une fonction est sous forme factorisée, il est facile de trouver ses racines, qui sont les points où la fonction s'annule.
• 📈 Les racines sont importants car elles indiquent où la fonction change de signe, ce qui est crucial pour l'étude du signe de la fonction.
• ✅ La fonction donnée est composée de facteurs, ce qui confirme qu'il s'agit d'une fonction du second degré.
• 🤔 La forme factorisée permet de déterminer les points où la fonction change de signe sans avoir besoin de développer l'expression.
• 🧮 En résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, on trouve les deux racines de la fonction.
• 📉 La fonction est nulle en x = -4 et x = 6, ce qui signifie que la courbe de la fonction intersectera l'axe des abscisses en ces points.
• 📈 Le coefficient du terme en x² détermine l'orientation de la parabole, qui est vers le haut si le coefficient est positif et vers le bas si négatif.
• 📊 La parabole représentant la fonction f a ses branches qui tournent vers le bas car le coefficient du terme en x² est négatif.
• 🔢 Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction vaut des valeurs positives.
• 📋 Le tableau de signe résume les valeurs prises par la fonction en fonction de x, montrant où elle est positive ou négative.

Q & A

Quelle forme de polynôme permet de facilement retrouver les racines et le signe de la fonction ?

La forme factorisée permet de facilement retrouver les racines du polynôme et le signe de la fonction, car on peut directement observer les facteurs et les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule.

Comment déterminer si une fonction polynôme du second degré est une parabole qui a ses branches tournant vers le haut ou vers le bas ?

Le coefficient du terme en x² détermine la direction des branches de la parabole. Si ce coefficient est positif, les branches tournent vers le haut, et si c'est négatif, elles tournent vers le bas.

Quels sont les points où la fonction s'annule dans le script donné ?

La fonction s'annule aux points x = -6 et x = 4, car ces valeurs sont les racines du polynôme.

Comment la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré nous aide-t-elle à comprendre le changement de signe de la fonction ?

La forme factorisée nous montre les points où la fonction peut s'annuler, ce qui correspond aux changements de signe. En développant la fonction, on obtiendrait un terme du second degré (x²), ce qui nous indique que la fonction est du second degré et nous permet de déterminer les changements de signe.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x < -6 ?

Pour x < -6, la branche de la parabole est en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) entre -6 et 4 ?

Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs positives.

Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x > 4 ?

Pour x > 4, la branche de la parabole est à nouveau en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.

Comment le coefficient a du polynôme affecte-t-il la forme de la parabole représentative de la fonction ?

Le coefficient a détermine si la parabole est en forme de cuvette (si a est positif) ou de colline (si a est négatif), ce qui affecte la direction dans laquelle les branches de la parabole tournent.

Quels sont les deux termes qui permettent de déterminer les racines du polynôme dans le script ?

Les deux termes sont (x - 4) et (x + 6), et en les égalant à zéro, on détermine les racines du polynôme comme étant x = 4 et x = -6.

Comment le tableau de signe peut-il être utilisé pour résumer les valeurs prises par la fonction f en fonction de x ?

Le tableau de signe indique les intervalles de x pour lesquels la fonction prend des valeurs positives ou négatives, en se basant sur les points où la fonction s'annule et la forme de la parabole.

Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme du second degré ?

La forme générale d'une fonction polynôme du second degré est ax² + bx + c, où a, b, et c sont des constantes et a ≠ 0.

Comment le signe de la fonction f(x) change-t-il en fonction des valeurs de x ?

Le signe de la fonction f(x) change aux points où la fonction s'annule (x = -6 et x = 4) et est déterminé par la forme de la parabole (cuvette ou colline) et la position des branches par rapport à l'axe des abscisses.

Outlines

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📚 Étude des signes d'une fonction polynomial du second degré

Dans le premier paragraphe, l'auteur explique comment étudier le signe d'une fonction polynomial du second degré sous sa forme factorisée. Il souligne l'importance de cette forme car elle permet d'identifier facilement les racines du polynôme, qui sont les points où la fonction s'annule et où elle change de signe. L'auteur utilise l'exemple de la fonction f(x) = (x - 4)(x + 6) pour montrer comment déterminer les racines et comment cela influence le signe de la fonction. Il indique que les deux racines sont x = -6 et x = 4, et que la forme de la parabole dépend du signe du coefficient du terme en x², qui est négatif dans cet exemple, signifiant que la parabole a ses branches qui tournent vers le bas. En utilisant ces informations, on peut déduire que la fonction est négative pour x < -6, positive pour -6 < x < 4, et à nouveau négative pour x > 4.

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📈 Signe de la fonction et tableau de signes

Le deuxième paragraphe traite de la manière de visualiser et de comprendre le signe de la fonction en utilisant un tableau de signes. L'auteur montre comment remplir ce tableau en se basant sur les valeurs de x où la fonction s'annule et le comportement de la parabole. Il explique que la fonction est nulle pour x = -6 et x = 4, et utilise ces points pour déterminer le signe de la fonction pour différentes intervalles de x. Le tableau de signes est un outil efficace pour résumer les valeurs prises par la fonction en fonction de x, montrant clairement que la fonction est négative avant -6, positive entre -6 et 4, et à nouveau négative après 4.

Keywords

💡Signe d'une fonction

Le signe d'une fonction fait référence à la nature positive ou négative des valeurs que prend la fonction pour différentes valeurs d'entrée. Dans la vidéo, l'auteur étudie le signe de la fonction polynomiale du second degré pour comprendre où elle est positive ou négative, ce qui est crucial pour analyser son comportement global.

💡Fonction polynomiale du second degré

Une fonction polynomiale du second degré est une fonction qui peut être représentée par un polynôme de degré deux. Elle est souvent associée à la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et x est la variable indépendante. Dans le script, la fonction est analysée pour déterminer ses racines et son signe.

💡Forme factorisée

La forme factorisée d'une fonction polynomiale est l'écriture de la fonction sous la forme de produits de ses facteurs. Cela permet d'identifier les racines de la fonction et est une étape clé pour étudier son signe. Dans le script, la fonction est déjà sous forme factorisée, ce qui facilite l'identification de ses racines.

💡Racines du polynôme

Les racines d'un polynôme sont les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule, c'est-à-dire prend la valeur zéro. Elles sont déterminées en résolvant l'équation du polynôme égal à zéro. Dans le contexte de la vidéo, les racines sont cruciales pour comprendre les changements de signe de la fonction.

💡Changement de signe

Le changement de signe d'une fonction est l'endroit où elle passe de prendre des valeurs positives à des valeurs négatives, ou inversement. Dans le script, l'auteur étudie les points où la fonction change de signe pour déterminer ses valeurs positives et négatives sur différents intervalles.

💡Coefficient a

Dans une fonction polynomiale du second degré, le coefficient a est le terme qui multiplie le x². Son signe détermine la forme de la parabole représentative de la fonction : si a est positif, la parabole a ses branches qui pointent vers le haut, et si a est négatif, les branches pointent vers le bas. Dans le script, le coefficient a est négatif, ce qui signifie que la parabole a une forme de colline.

💡Parabole

Une parabole est la courbe représentative d'une fonction polynomiale du second degré. Elle peut être orientée vers le haut ou vers le bas selon le signe du coefficient a. Dans le script, l'auteur utilise la forme de la parabole pour déterminer le signe de la fonction pour différentes valeurs de x.

💡Tableau de signes

Un tableau de signes est un outil utilisé pour résumer les valeurs prises par une fonction sur différents intervalles en fonction de sa variable indépendante. Dans le script, le tableau de signes est utilisé pour résumer les valeurs et les signes de la fonction f(x) pour différents domaines de x, en se basant sur les racines et la forme de la parabole.

💡Axe des abscisses

L'axe des abscisses est l'axe horizontal de la plupart des graphiques en mathématiques, où il représente habituellement la variable indépendante, souvent notée x. Dans le contexte de la vidéo, l'axe des abscisses est important pour identifier les points où la fonction s'annule et où la parabole intersecte l'axe.

💡Valeurs de f(x)

Les valeurs de f(x) représentent les résultats obtenus en évaluant la fonction pour différentes valeurs de x. Dans le script, l'auteur détermine les valeurs de f(x) positives et négatives en fonction des racines et de la forme de la parabole, ce qui permet de comprendre le comportement de la fonction.

💡Intervalles de x

Les intervalles de x sont les plages de valeurs que prend la variable indépendante dans une étude fonctionnelle. Dans le script, l'auteur examine les intervalles de x en relation avec les racines et le changement de signe pour déterminer où la fonction est positive ou négative.

Highlights

Apprendre à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée.

La forme factorisée permet de récupérer facilement les racines du polynôme.

Les racines d'un polynôme sont les points où la fonction s'annule.

L'étude du signe de la fonction est importante pour déterminer où elle change de signe.

La fonction du second degré est composée de facteurs, ce qui indique qu'elle est de second degré.

Les racines sont déterminées en résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0.

Les deux racines sont -4 et 6, qui sont les points où la fonction change de signe.

La courbe représentative de la fonction passe par l'axe des abscisses aux points où la fonction est nulle.

Le coefficient du terme en x² détermine l'orientation de la parabole (montante ou descendante).

Si le coefficient du terme en x² est négatif, la parabole a ses branches qui tournent vers le bas.

La fonction est négative pour les valeurs de x inférieures à -6 et pour les valeurs supérieures à 4.

La fonction est positive pour les valeurs de x comprises entre -6 et 4.

Le tableau de signe résume les valeurs prises par la fonction en fonction de x.

La fonction s'annule pour x = -6 et x = 4.

La branche de la parabole est en dessous de l'axe des abscisses avant -6 et après 4, indiquant des valeurs négatives.

La branche de la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses entre -6 et 4, indiquant des valeurs positives.

Le tableau de signe est un outil efficace pour résumer et répondre à des questions sur la fonction.

La séquence des signes change suivant la position par rapport aux racines et l'orientation de la parabole.

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir

apprendre à étudier le signe d'une

fonction polynôme du second degré sous

sa forme factoriser alors ici on a

effectivement une fonction polynôme du

second degré qui est bien sous sa forme

factoriser on voit que elle est composée

de facteurs et il s'agit bien d'une

fonction du second degré puisque si on

était amené à développer cette

expression eh bien on aurait un moment

donné x x x qui nous renverrait donc du

xe au carré x au carré est donc bien du

second degré alors pourquoi ces

pratiques à ce niveau d'avoir la forme

factoriser de notre fonction tout

simplement parce que quand elle est

quant à lui sous forme factoriser on

peut très facilement récupérer les

racines de notre polynôme et là c'est

intéressant parce que les racines du

polynôme c'est là où la fonction

s'annulent

et si elle ça nul ça veut dire qu'elle

est très certainement amené à changer de

signes or on rappelle qu'on veut en

étudier le signe donc si on sait la wave

change de signe ça sera facile après de

déterminer là où elle est positive et là

où elle est négative où elle change de

signe

et bien la réponse est ici la gx -4 ce

qui veut dire que pour que f de x ça nul

il faudrait que l'un des deux facteurs

soient nuls

donc il faudrait que x - 4 soit égal à

zéro par exemple mais pas seulement ou

que x + 6 soit égal à zéro eh oui - 2

n'ont pas moins de ses -2 ça peut pas

être égal à zéro donc finalement les

deux racines on les détermine comment

tout simplement en résolvant x - cat

égal à zéro et x + 6 égal à zéro ça

c'est très facile ça nous donne

xg cats éric ségal -6 donc grâce à

l'expression factoriser de notes

polynôme on a déjà déterminé

là où notre polynôme notre fonction va

changer de signes 7 en quatre et en

moins 6 regardons un peu gras

comment ce que cela signifie la fonction

f

c'est un nul en x égale cat iq ségala -

si cela veut donc dire que la courbe

représentatives de la fonction f va

passer par l'axé des abscisses là où f

ça nulle en x égale cats éric ségal

moins 6 j'ai marqué ces deux points sur

l'axé des abscisses puisque c'est là où

notre fonction va changer de signe

maintenant elle va changer de signes il

ya deux possibilités si elle change de

signal peut être d'abord positive

ensuite négative ou d'abord négative

ensuite positive et bien pour le savoir

il va falloir regarder le coefficient à

2 notre trinôme je vais expliquer ce que

cela signifie on sait déjà qu'une

fonction polynôme du second degré est

représenté par ce qui s'appelle une

parabole ça à cette forme

ou alors cette forme mais la question

c'est ok c'est la même forme mais elle

est tournée dans quel sens elle va être

tourné dans le sens d'une cuvette où

dans le sens d'une colline et bien c'est

là que j'ai dit que c'est le coefficient

à qui va nous permettre de répondre à

cette question car on a une propriété

qui nous dit que si le coefficient à est

positif et bien la parabole est tourné

de façon à avoir ses branches qui sont

tournés vers le haut

al'inverse 6 ha est négatif et bien on

aura quelque chose en forme de colline

avec une parabole qui a ses branches

tourner vers le bas et ça c'est très

important parce que une fois qu'on a

deux points comme ses marques et ici sur

notre repère et bien par ces deux points

la parabole elle peut remonter comme ça

ou redescendre comme ça bien ça c'est le

coefficient à qui nous le dit ici le

coefficient à il est négatif c'est clair

du coup ait en négatif

on a une parabole avec les branches

tourner vers le bas on peut donc

représenter notre parabole dans ce

repaire notre coefficient à égal moins

de est négatif donc la parabole qui

représente la fonction f possède des

branches tourner vers le bas c'est ce

qu'on a représenté ici à partir de là il

devient très facile d'établir le signe

de la fonction f en fonction de x car ce

signe comme annoncé va changer si on

regarde tout à gauche donc pour des

valeurs plus petites que -6 quelconque

est ce qu'on constate on constate que la

branche de la parabole est en dessous de

l'axé des abscisses ce qui veut dire que

la fonction va nous renvoyer des valeurs

négatives ce qui veut dire que avant -6

et bien la fonction est négative alors

que entre -6 et 4 la parabole est au

dessus de l'axé des abscisses elle va

donc nous renvoyer des valeurs de f

positive et enfin après quatre on se

retrouve à nouveau avec une branche en

dessous de l'axé abscisse la fonction

est donc négatif ce qu'on va faire c'est

qu'on va représenter

ceci dans un tableau de sin cela

permettra de répondre très facilement

très simplement à la question qui est

posée

alors voilà notre tableau thing est prêt

à être complétée les valeurs de x et

bien avons deux moins l'infini à +

l'infini puisque la fonction est défini

sur r quelles sont les valeurs de fgx

correspondante plus précisément quel est

le signe de f qui correspond et bien on

sait qu il se passe des choses en quatre

et en moins si cette annonce est ici

donc il faut faire figurer les valeurs

moins 6 et 4 dans le tableau de signes

qu'est-ce qui se passe eh bien il se

passe que la fonction s'annulent f 2 x

est égal à zéro lorsque x égal moins 6 l

de x est égal à zéro lorsque x égale 4

avant - 6 on avait dit que la branche se

trouve en dessous de l'axé bien des

abscisses donc f 2 x est négatif entre

-6 et 4 on a des valeurs de f2 x

positive et après 4 notre fonction est à

nouveau négative voilà le tableau de

scie qui résume les valeurs prise par f

en fonction de x et cette séquence est

terminée