Déterminer le SIGNE d'une FONCTION à l'aide de ses VARIATIONS - Première

Summary

Cette vidéo présente une technique pour étudier le signe d'une fonction en se basant sur ses variations. Exemple avec la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5, dont la dérivée est toujours positive, indiquant une croissance stricte. La vérification de 1 comme racine montre f(1) = 0. Le tableau de variation révèle que f est négative pour x < 1 et positive pour x > 1, illustrant comment les variations peuvent déterminer le signe d'une fonction.

Takeaways

• 📚 Cette vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction en utilisant ses variations.
• 🔍 La technique présentée n'est pas infallible mais mérite d'être essayée pour comprendre le comportement d'une fonction.
• 📈 La fonction donnée en exemple est f(x) = x^3 + 4x - 5, dont on cherche à déterminer si elle est croissante sur R.
• 📝 La dérivée de la fonction f(x) est calculée pour analyser son signe et déterminer si la fonction est croissante : f'(x) = 3x^2 + 4.
• 🌟 La dérivée est strictement positive, indiquant que la fonction est strictement croissante sur tout R.
• 🔢 Pour vérifier si 1 est une racine de la fonction, on calcule f(1) et constate que f(1) = 0, confirmant que 1 est bien une racine.
• 📉 Le tableau de variation est utilisé pour déduire le signe de la fonction f(x) à partir de ses variations.
• 📌 En remplaçant x = 1 dans le tableau, on observe que la fonction passe par zéro, ce qui est un point de changement de signe potentiel.
• 📊 Avant x = 1, la fonction étant croissante et passant par zéro, elle doit être négative pour x < 1.
• 📈 Après x = 1, la fonction étant croissante et partant de zéro, elle doit être positive pour x > 1.
• 🔚 En utilisant le tableau de variation, on conclut que f est négative sur (-∞, 1) et positive sur (1, +∞).

Q & A

Quelle est la fonction étudiée dans la vidéo?

La fonction étudiée dans la vidéo est f(x) = x^3 + 4x - 5.

Comment démontrez-vous que la fonction est toujours croissante sur R?

On démontre que la fonction est toujours croissante en dérivant la fonction et en étudiant le signe de la dérivée, qui s'avère être strictement positive pour tout x dans R.

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5?

La dérivée de la fonction est f'(x) = 3x^2 + 4, qui est toujours positive car 3x^2 est toujours positif ou nul et on ajoute 4.

Comment vérifier que 1 est une racine de la fonction f?

Pour vérifier que 1 est une racine, on calcule f(1) et on constate que f(1) = 1^3 + 4*1 - 5 = 0, ce qui indique que 1 est bien une racine de la fonction.

Quel est le but du tableau de variation dans la vidéo?

Le but du tableau de variation est de déterminer le signe de la fonction f(x) en utilisant les informations sur ses variations et sa croissance.

Pourquoi le tableau de variation est-il important pour déterminer le signe de la fonction?

Le tableau de variation est important car il permet de visualiser les changements de signe de la fonction et de déduire son comportement (positif ou négatif) sur différents intervalles.

Quel est le signe de la fonction f(x) pour x < 1?

Pour x < 1, la fonction f(x) est négative car elle est croissante et passe par zéro en x = 1, donc avant cela elle doit être en dessous de zéro.

Quel est le signe de la fonction f(x) pour x > 1?

Pour x > 1, la fonction f(x) est positive car elle est croissante et a déjà atteint la valeur zéro en x = 1, donc après cela elle prend des valeurs strictement positives.

Comment la vidéo relie la racine de la fonction à son signe?

La vidéo relie la racine de la fonction à son signe en utilisant le fait que f(1) = 0 pour déduire que la fonction change de signe en x = 1 et en analysant son comportement avant et après ce point.

Quelle conclusion tire-t-on à partir du tableau de variation pour le signe de la fonction f(x)?

On conclut que f(x) est négative sur l'intervalle (-∞, 1) et positive sur l'intervalle (1, +∞) en utilisant le tableau de variation et les propriétés de la fonction étudiée.

Outlines

00:00

📚 Étude de la fonction et signe avec des variations

Cette partie du script introduit la technique d'étude du signe d'une fonction basée sur ses variations. L'exemple donné est la fonction f(x) = x³ + 4x - 5, dont la dérivée est calculée pour déterminer si elle est croissante sur R. La dérivée, 3x² + 4, est toujours positive, indiquant ainsi que la fonction est strictement croissante. La preuve que 1 est une racine de la fonction est également abordée, en évaluant f(1) qui s'avère être égal à zéro.

Keywords

💡Signe d'une fonction

Le signe d'une fonction fait référence à la nature positive ou négative de la fonction sur un intervalle donné. Dans le script, cela est déterminé à l'aide de la variation de la fonction. L'exemple donné est la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5, dont le signe est étudié à travers ses variations pour déterminer si elle est positive, négative ou change de signe à une certaine valeur.

💡Variations de la fonction

Les variations de la fonction sont l'examen des changements dans la valeur de la fonction, comme l'augmentation ou la diminution. Dans le script, l'analyse des variations est utilisée pour déterminer le signe de la fonction f(x) et pour établir son comportement croissant ou décroissant.

💡Dériver

Le dériver est un processus mathématique qui permet de trouver la dérivée d'une fonction, qui représente la tendance de la fonction à changer. Dans le script, la dérivée de f(x) = 3x^2 + 4 est calculée pour étudier le signe et la croissance de la fonction.

💡Croissance de la fonction

La croissance de la fonction indique si la fonction augmente ou diminue. Dans le script, il est démontré que la fonction f(x) est strictement croissante sur R, car sa dérivée est strictement positive.

💡Racine de la fonction

Une racine de la fonction est un point où la fonction s'annule, c'est-à-dire où f(x) = 0. Dans le script, il est vérifié que 1 est une racine de la fonction f(x) en évaluant f(1) et en trouvant que sa valeur est nulle.

💡Tableau de variation

Le tableau de variation est un outil utilisé pour résumer les changements de signe et les variations d'une fonction. Dans le script, le tableau de variation est utilisé pour déduire le signe de la fonction f(x) en se basant sur ses variations et sa croissance.

💡Signe positif

Un signe positif indique que la valeur de la fonction est supérieure à zéro. Dans le script, il est conclu que pour x > 1, la fonction f(x) est positive, en se basant sur son comportement croissant et la valeur de la racine.

💡Signe négatif

Un signe négatif signifie que la valeur de la fonction est inférieure à zéro. Dans le script, il est déduit que pour x < 1, la fonction f(x) est négative, car elle est croissante et passe par zéro à x = 1.

💡Intervalle

Un intervalle est une plage de valeurs sur l'axe des x (ou des y) sur laquelle une propriété mathématique est étudiée. Dans le script, les intervalles sont utilisés pour décrire où la fonction est positive ou négative en fonction de sa croissance et de ses racines.

💡Étude de la fonction

L'étude de la fonction implique l'analyse de ses propriétés telles que son signe, ses variations, sa croissance, et ses racines. Dans le script, l'étude de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5 est menée à travers la dérivation et l'analyse de ses variations pour déterminer ses propriétés.

Highlights

Introduction à l'étude du signe d'une fonction à travers ses variations.

Explication de la méthode pour déterminer si une fonction est positive, négative ou change de signe.

Présentation de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5 comme exemple.

Démonstration que la fonction est toujours croissante sur R.

Étude de la dérivée de la fonction pour déterminer son signe.

Analyse de la dérivée 3x^2 + 4 et sa positivité constante.

Conclusion sur la croissance stricte de la fonction f(x).

Vérification que 1 est une racine de la fonction f(x).

Calcul de f(1) pour confirmer que la valeur est nulle.

Introduction du tableau de variation pour étudier le signe de la fonction.

Utilisation du tableau de variation pour déduire le signe de f(x) en différents intervalles.

Interprétation des variations de la fonction pour déterminer ses valeurs positives ou négatives.

Détermination que f(x) est négative pour x < 1 et positive pour x > 1.

Explication visuelle de la croissance de la fonction et son passage à zéro.

Conclusion finale sur le signe de la fonction f(x) en utilisant le tableau de variation.

Résumé de la séquence et application du tableau de variation pour résoudre des questions sur le signe d'une fonction.

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir

apprendre à étudier le signe d'une

fonction à l'aide des variations d'une

fonction alors c'est une technique qui

ne marche pas toujours mais qui vaut le

coup d'être essayé on va voir comment à

partir des variations de la fonction on

va pouvoir conclure qu'une fonction est

positive négative ou change de signe en

tel valeur donc on y va on part de la

fonction FX = X au cube plus 4 x -5 et

donc dans la première question vous

voudrez déjà démontrer que cette

fonction est toujours croissante sur R

donc évidemment on va commencer par

dériver cette fonction étudier le signe

de la dérivée allons-y X au cube + 4 X -

5 on dérive c'est extrêmement simple la

dérivée dix au cube c'est

3x² + la dérivée de 4x C4 et -5 se

dérivent en 0 on obtient donc comme

dérivé 3 x au carré + 4 et là

immédiatement on voit que cette

expression est toujours positive

pourquoi parce que un carré toujours

positif je multiplie par 3 ça reste

positif je rajoute 4 c'est même

strictement positifs de cette façon là

voilà je ne crois pas que c'est

nécessaire de rédiger plus ici on voit

clairement comme je viens de l'expliquer

que notre expression trois X au carré

plus 4 est strictement positive on peut

donc en conclure que notre fonction f

est strictement croissante

alors dans la deuxième question nous

demande de vérifier que 1 est une racine

de F c'est également une question qui

est assez simple on rappelle que pour

vérifier qu'un nombre est racine d'une

fonction il suffit de vérifier que son

image est nul X1 et racine de F si F de

X1 = 0 alors pour vérifier que 1 est

racine on va tout simplement calculer

F21 et constater qu'on trouve bien zéro

allons-y F21

donc F est ici ça me fait un au cube

plus 4 fois 1

- 5

donc ça fait du 1 + 4 5 - 5 0 bon bah ça

marche

1 et donc √f et dans la dernière

question on demande de dresser le

tableau de variation et c'est grâce à ce

tableau de variation qu'on va pouvoir

répondre à la question qu'on s'était

posée l'objectif donc de cette séquence

c'est dans des dure le signe de F alors

pour l'instant on a l'impression qu'on

travaille un peu dans l'inconnu mais tu

vas comprendre pourquoi le tableau de

variation est donc les variations de la

fonction vont nous permettre de conclure

sur le signe de F préparons déjà ce

tableau voilà donc notre fonction est

définie sur R de -∞

on a vu que la dérivée est strictement

positive et on en a déduit que notre

fonction est strictement croissante

voilà le tableau de variation est

complété et à partir de là il faudrait

en déduire le signe de la fonction f bon

comme ça mystère parce que là on a très

peu d'indications on sait pas ici d'où

ça part on sait pas où ça va on sait pas

à la limite si elle change de signe ou

pas sauf que en remontant dans les

questions précédentes pas très loin il y

a quand même une petite indication on

nous a demandé de prouver que 1 était

racine de la fonction f c'est à dire que

F21 est égal à 0 on le rappelle c'est

écrit ici F21 est égal à zéro si on

place ici notre 1 dans le tableau de

variation on aurait ici un 1 cela

signifierait que là ici on passerait par

zéro

et si on observe maintenant les

variations de la fonction f et bien on

va pouvoir en déduire le signe de F ici

on est en 0 mais avant avant on a une

fonction qui est croissante donc on a

une fonction qui est en train de

rejoindre la valeur 0 donc forcément si

on est en train de rejoindre la valeur 0

on est en dessous de 0 donc dans cette

zone là on est avec des valeurs

négatives de la fonction f ce qui

signifie que pour X plus petit que 1 là

on a un FX qui est négatif à l'inverse

quand on regarde ce qui se passe après 1

donc là je suis en 0 et ma fonction est

croissante donc si je suis en 0 et que

ma fonction est croissante je vais

obtenir des valeurs de F de plus en plus

grande donc de plus en plus grande que 0

et donc positive ce qui veut dire est là

c'est encore également très visuel là je

suis en 0 et là je continue d'augmenter

pour avoir des valeurs qui sont plus

grandes que 0 c'est-à-dire positive et

donc pour X qui est plus grand que 1 ma

fonction f sera positive

alors il y a pas à raconter sa vie on

dit tout simplement qu'on utilise le

tableau de variation

et on conclut F est négative sur

l'intervalle moins l'infini 1 avant 1 f

est positive sur l'intervalle 1 +

l'infini c'est à dire après 1 cette

séquence est terminée