LE COURS : Fonctions du second degré - Première

Summary

Cette vidéo offre un aperçu des fonctions du second degré, expliquant d'abord leur définition et reconnaissance. Elle présente ensuite la forme canonique, une manière structurée d'écrire un polynôme du second degré, et comment passer de la forme développée à cette forme. Ensuite, le script détaille les variations et la représentation graphique de ces fonctions, soulignant que toutes sont des paraboles. L'importance de la forme canonique est mise en évidence pour déterminer les extrémums et la position de la courbe. Le mnémotechnique 'sourire' pour les paraboles à branches montantes (minima) et 'bouche triste' pour celles à branches descendantes (maxima) est introduite pour aider à retenir la direction des branches en fonction du signe de la coefficient a.

Takeaways

• 😀 Définition d'une fonction du second degré et ses diverses appellations (polynôme du second degré, trinôme).
• 😀 Une fonction du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels, avec a non nul.
• 😀 Les fonctions du second degré peuvent être identifiées par la présence d'un terme en x².
• 😀 Exemples de fonctions du second degré : f(x) = 3x², g(x) = 0.5x², h(x) = -x².
• 😀 La forme factorisée d'une fonction du second degré est également mentionnée et expliquée.
• 😀 Les formes développée et factorisée d'une fonction du second degré sont présentées, ainsi que la forme canonique.
• 😀 La forme canonique d'une fonction du second degré est de la forme a(x - α)² + β, où α et β sont des réels.
• 😀 Importance de la forme canonique pour déterminer les variations et la représentation graphique de la fonction.
• 😀 Les fonctions du second degré sont représentées graphiquement par des paraboles, dont l'orientation dépend du signe de a.
• 😀 Relation entre les coefficients a, b, c et les paramètres α, β pour déterminer le sommet de la parabole et son axe de symétrie.

Q & A

Qu'est-ce qu'une fonction du second degré et comment la reconnaître?

Une fonction du second degré est un polynôme de la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0. Elle est reconnue par la présence d'un terme en x au carré.

Pourquoi les fonctions du second degré sont-elles aussi appelées des trinômes?

Elles sont appelées trinômes car elles contiennent trois monômes : ax^2, bx et c, formant ainsi une expression à trois termes.

Quelle est la forme canonique d'un polynôme du second degré?

La forme canonique est a(x - α)^2 + β, où α et β sont des réels qui jouent un rôle particulier dans la représentation graphique et les variations de la fonction.

Comment passer d'une forme développée à la forme canonique d'un polynôme du second degré?

C'est un exercice difficile qui consiste à réarranger et à factoriser l'expression de la forme développée pour obtenir la forme canonique, en utilisant les coefficients a, b et c.

Quels sont les avantages de la forme canonique pour les fonctions du second degré?

La forme canonique facilite la compréhension des variations de la fonction et permet une représentation graphique plus intuitive, en montrant directement le minimum ou le maximum de la fonction.

Quelle est la forme factorisée d'une fonction du second degré et comment est-elle reconnue?

La forme factorisée est une expression qui révèle les racines de la fonction, comme dans l'exemple de la transcription où (x - 5)^2 - 40 est factorisée et montre que les racines sont x = 5.

Comment la forme canonique d'une fonction du second degré nous aide-t-elle à comprendre la parabole représentée par cette fonction?

La forme canonique nous indique si la parabole a un minimum ou un maximum, ainsi que la position de ce point extrême et sa valeur, en utilisant les termes α et β.

Quelle est la différence entre une parabole à branches montantes et une parabole à branches descendantes?

Une parabole à branches montantes représente une fonction qui atteint un minimum, tandis qu'une parabole à branches descendantes atteint un maximum.

Comment les valeurs de a, b et c dans la forme développée d'une fonction du second degré influencent-elles la forme de la parabole?

La valeur de a détermine si la parabole a un minimum ou un maximum, la valeur de b et c influencent la position et la profondeur du point extrême sur l'axe des ordonnées.

Quel est le sommet de la parabole représentée par une fonction du second degré et comment le trouver?

Le sommet est le point extrême de la parabole, qui est un minimum ou un maximum. Il se trouve en x = α, et sa valeur est β. On peut le trouver en utilisant la formule x = -b/(2a).

Quelle est l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole et comment est-elle déterminée par les coefficients de la fonction?

L'équation de l'axe de symétrie est x = α, qui est déterminée par le coefficient a et le terme en bx de la forme développée de la fonction.

Comment les variations d'une fonction du second degré peuvent-elles être mémorisées en utilisant des analogies?

On peut utiliser des analogies comme le sourire pour les paraboles à branches montantes (minimum) et une bouche triste pour celles à branches descendantes (maximum), en se rappelant que le signe de a influence la forme de la parabole.

Outlines

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📚 Définition et reconnaissance des fonctions du second degré

Le premier paragraphe introduit le sujet de la vidéo, qui est la révision des fonctions du second degré. Il explique que l'objectif est de rappeler les éléments clés de ce chapitre, en commençant par la définition d'une fonction du second degré, en passant par la forme canonique et en se terminant par les variations et les représentations graphiques. Les fonctions du second degré sont décrites comme des polynômes de degré 2, souvent appelés trinômes, et sont généralement écrites sous la forme ax² + bx + c. L'importance de la valeur de a est soulignée, car si a ≠ 0, la fonction est bien du second degré. Des exemples sont donnés pour illustrer les différentes formes que peuvent prendre ces fonctions, y compris la forme factorisée et la forme développée.

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📐 La forme canonique et les variations des fonctions du second degré

Le deuxième paragraphe se concentre sur la forme canonique des polynômes du second degré, qui est une manière spécifique d'écrire un polynôme pour en présenter les caractéristiques. La forme canonique est présentée avec les paramètres alpha et bêta, qui jouent un rôle important dans la compréhension des variations de la fonction. L'alpha représente le point où la fonction atteint son minimum ou maximum, tandis que le beta représente la valeur de ce minimum ou maximum. La vidéo explique comment passer d'une forme développée à la forme canonique et vice versa, bien que le passage de la forme développée à la forme canonique soit décrit comme étant la partie difficile. L'importance de la forme canonique est également soulignée, car elle permet de déterminer si la parabole a un minimum ou un maximum et de connaître sa position.

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📈 Représentation graphique et variations des fonctions du second degré

Le troisième paragraphe traite de la représentation graphique des fonctions du second degré, qui sont toutes représentées par une parabole. Il explique que la forme de la parabole (branches tournants vers le haut ou vers le bas) indique si la fonction a un minimum ou un maximum. La position de la parabole et la valeur du minimum ou maximum sont déterminées par les valeurs de alpha et beta. Le paragraphe fournit également des astuces mnémotechniques pour se rappeler la direction des branches de la parabole en fonction de la valeur de a, en utilisant des analogies visuelles telles que le sourire pour un minimum (a positif) et une bouche triste pour un maximum (a négatif). La vidéo conclut en soulignant l'importance de pratiquer avec des exercices pour bien comprendre et appliquer ces concepts.

Keywords

💡Fonction du second degré

Une fonction du second degré est une relation mathématique qui peut s'écrire sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. C'est le sujet principal de la vidéo, qui vise à expliquer les aspects les plus importants de ce type de fonction. Dans le script, cette notion est introduite dès le début et sert de base à l'ensemble des explications qui suivent.

💡Forme canonique

La forme canonique est une manière spécifique d'écrire un polynôme du second degré, qui est ax² + bx + c, sous la forme a(x - α)² + β. Cette forme est utile pour identifier rapidement les propriétés d'une parabole, comme son extremum et son axe de symétrie. Le script mentionne la forme canonique comme un point clé pour comprendre et représenter graphiquement les fonctions du second degré.

💡Parabole

Une parabole est la courbe représentée graphiquement par une fonction du second degré. Elle peut avoir des branches qui sont tournés vers le haut (pour un minimum) ou vers le bas (pour un maximum). Dans le script, la parabole est utilisée pour illustrer la représentation graphique des fonctions du second degré et pour expliquer les variations de ces fonctions.

💡Coefficient

Les coefficients dans le contexte des fonctions du second degré se réfèrent aux valeurs a, b et c dans l'équation ax² + bx + c. Le signe et la valeur de ces coefficients déterminent les caractéristiques de la parabole, comme son orientation et son extremum. Le script explique comment ces coefficients influencent la forme et les propriétés de la parabole.

💡Extrême

Un extrême d'une fonction fait référence au point où elle atteint une valeur minimale ou maximale. Dans le script, l'extrême est lié à la forme canonique de la fonction et est utilisé pour déterminer si la parabole a un minimum ou un maximum, ainsi que l'endroit où cela se produit.

💡Axe de symétrie

L'axe de symétrie d'une parabole est la ligne垂直 à l'horizontale qui la divise en deux parties égales. Dans le script, l'axe de symétrie est mentionné comme étant déterminé par la valeur de α, qui est le point où la fonction atteint son extrême.

💡Trinôme

Un trinôme est une expression mathématique qui comprend trois termes. Dans le contexte des fonctions du second degré, un trinôme peut être une fonction sous la forme ax² + bx + c. Le script utilise le terme 'trinôme' pour décrire une fonction du second degré et expliquer comment elle peut être identifiée.

💡Forme développée

La forme développée d'un polynôme est l'écriture standard où chaque terme est explicitement affiché, comme dans ax² + bx + c. Le script mentionne cette forme en contraste avec la forme canonique et explique comment passer d'une forme à l'autre.

💡Factorisation

La factorisation est un processus mathématique qui consiste à réécrire une expression sous une forme qui révèle ses facteurs. Dans le script, la factorisation est mentionnée comme une forme alternative d'écrire une fonction du second degré, qui peut révéler plus facilement son extrême.

💡Exercices

Le script encourage les téléspectateurs à pratiquer avec des exercices pour approfondir leur compréhension des fonctions du second degré. Les exercices sont présentés comme un élément essentiel pour préparer des contrôles ou des examens sur ce sujet.

Highlights

Définition d'une fonction du second degré et son importance dans l'enseignement.

La forme canonique et ses avantages pour représenter les fonctions du second degré.

La reconnaissance des fonctions du second degré à travers différents exemples.

L'explication des termes ax², bx et c dans la fonction du second degré.

Importance de a ≠ 0 pour éviter la réduction à une fonction du premier degré.

Les différentes appellations d'une fonction du second degré : polynôme, trinôme, etc.

La différence entre les fonctions factorisées et non factorisées du second degré.

Les variations graphiques des fonctions du second degré : paraboles avec branches montantes ou descendantes.

La relation entre le signe de a et la forme de la parabole (minimum ou maximum).

Comment passer d'une forme développée à la forme canonique d'une fonction du second degré.

L'importance de la représentation graphique pour comprendre les variations des fonctions du second degré.

La méthode pour trouver l'extrême (minimum ou maximum) d'une fonction du second degré.

La formule pour calculer alpha et beta dans la forme canonique d'une fonction.

La signification de alpha et beta dans la position et la forme de la parabole.

Le mnémotechnique pour se rappeler la direction des branches de la parabole en fonction du signe de a.

La description de la parabole comme une représentation graphique de la trajectoire d'un objet lancé.

L'importance de pratiquer avec des exercices pour bien comprendre les fonctions du second degré.

La conclusion de la vidéo avec une invitation à faire des exercices pour approfondir la compréhension.

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour

dans cette vidéo je te propose de revoir

tout le cours sur les fonctions du

second degré l'objet de cette séquence

est de te rappeler et de t'expliquer les

éléments les plus importants de ce

chapitre plus précisément on commencera

par définir une fonction du second degré

ensuite on verra ce qui s'appelle la

forme canonique et on finira par les

variations et les représentations

graphiques des fonctions du second degré

pour préparer un contrôle ou même un

examen ceci ne suffira évidemment pas il

te faudra encore entraîné en faisant de

nombreux exercices pour le court c'est

parti commençons déjà par définir une

fonction du second degré qu'est ce que

c'est comment on les reconnaît alors ce

qu'il faut savoir c'est quelle porte

plusieurs petits noms on peut exemple

également les appeler fonction polynôme

2° deux fonctions polynôme du second

degré on peut également les appeler

fonction trinôme on va tout de suite

comprendre pourquoi et on peut même les

appelait tout court trinôme ce qu'il ya

de plus simple quand je parle d'un

trinôme et bien ça veut dire que j'ai

introduit une fonction du second degré

alors de façon générale une fonction du

second degré s'écrit sous la forme l 2 x

égal à ixxo carré plus bx plus c'est

trinôme tri 3,3 monôme un monôme c'est

quoi c'est quelque chose qui est du type

ax au carré c'en est un mais bx c'en est

un également

et c'est ce en est un également donc en

fait j'ai ces trois termes ax au carré

bx et c sont trois monôme du coup 3 mono

ça fait un trinôme c'est pour ça qu'on

l'appelle également trinôme alors second

degré pourquoi second degré et bien tout

simplement parce qu'on a un terme de

degré 2 c'est le ax au carré c'est pour

ça que ce à il doit être non nul je peux

être je peux mettre n'importe quel réel

pourra je peux donner n'importe quel

réel mais pas à 0 sinon ça deviendra une

fonction du premier degré on va le voir

tout de suite avec les exemples qu'on va

traiter b et c peuvent prendre n'importe

quelle valeur réelle même si gros alors

justement voici quelques exemples

les trois premiers f

g et h sont tous les trois des trinômes

des fonctions du second degré on le

reconnaît puisqu'on a un terme en x au

carré 3x au carré pour f1 demi de xo

carré pour g et moins de x aux caresses

et justes écrit en deuxième position

pour h

donc ça ce sont des fonctions du second

deux cas également est une fonction du

second degré mais sous sa forme

factoriser tout simplement parce que si

je développer cette expression y aurait

un moment où je ferais x x 2 x ce qui me

donnerait 2x au carré ce qui ferait

apparaître un monôme du second degré

donc on a bien en présence d'une

fonction du second degré m

alors m non n c'est une fonction du

premier degré il n'y a pas de terme avec

du xe au carré gée 5x -3 c'est une

fonction affine on connaît bien et n

alors n j'ai effectivement un terme du

second degré 3 x au carré mais j'ai

aussi un terme du troisième degré et

même d'ailleurs un terme du quatrième

degré 5 x puissance 4 ce qui signifie

que ceux ci ça s'appelle une fonction

polynôme 2 degrés 4 alors parlons

maintenant de ce qui s'appelle la forme

canonique d'un polynôme du second degré

qu'est ce que c'est et bien c'est tout

simplement une façon d'écrire un

polynôme du second degré une façon bien

défini pour présenter et cette forme là

on va le voir peut avoir quelques

avantages

jusque là on connaît seulement on a vu

seulement deux formes

on a vu la forme développée à ixxo carré

plus bx puces et c'est le cas de f g et

h qui sont encore affiché et on a vu une

forme dite factoriser on en a parlé

c'est le cas justement de la fonction

cas qui est donc exprimée sous sa forme

factoriser n' ya une autre façon

d'exprimer une fonction polinum du

second degré c'est la forme canonique

qui est présenté ici qui fait un peu

peur parce que il ya là beaucoup de

paramètres et d'ailleurs ce n'est pas

toujours simple de l'exprimer sous sa

forme canonique c'est un exercice qui

est relativement difficile

mais c'est une forme qui est très

apprécié quand on l'a alors on nous dit

que un polynôme et sous sa forme

canonique

lorsqu'il est écrit fdx égal à facteur 2

x - alpha au carré plus bêta alors alpha

et bêta sont de nombreux réel qui on va

le voir jouent un rôle très particulier

dans la suite je vais pas expliqué dans

cette vidéo comment on passe de la forme

développée à la forme canonique dit dans

l'autre sens c'est pas l'objet de la

vidéo tu trouveras plein d'exemples dans

la playlist qui est présenté en lien ici

là je vais juste présenter les formes

il faut savoir les distinguer et les

reconnaître alors voilà quand même un

petit exemple d'une fonction f

d'abord donné sous sa forme développée

fdx égale à 2 x au carré - 28 +10

on reconnaît bien là une forme du type

ax au carré plus bx plus c'est avec la à

qui est égale à deux baies qui est égale

1 - vente et ses quêtes égale à 10 alors

cette fonction-là peut s'écrire sous la

forme canonique alors je vais la donner

c'est gratuit c'est celle ci fdx égale à

deux facteurs de x - 5 au carré - 40

on reconnaît bien quelque chose qui est

sous la forme un facteur 2 x - à au

carré plus bêta alors il ya déjà quelque

chose qui est intéressant c'est le à le

à c'est le même ici c'est à dire que le

à que j'aurai en facteur de mon monôme

en x car et je le retrouve ici en

facteur du car et c'est normal quelque

part parce que la gx au carré x 2 ça va

me donner 2 x au carré donc on retrouve

bien note 2 x au carré voilà alors du

coup si on s'en réfère à la formule ça

voudrait dire que dans ce cas-là alpha

serait égal à 5 et bêta serait égal à

moins que la rente

alors pour alpha et bêta n'y a pas de

relation directe avec ab aussi on va

voir après que alpha ya quand même moyen

de l'obtenir à l'aide des coefficients a

b ou c pour bêta alors là non en réalité

la partie

qui consiste à passer de la fonction

sous sa forme développée à la fonction

sous sa forme canonique

c'est là la partie difficile dans

l'autre sens c'est assez facile il

suffit juste ici de développer x - 5 au

carré ensuite de réduire on retombe sur

f2 x alors on va poursuivre maintenant

avec les variations d'une fonction

polynôme du second degré et on va garder

on va se mettre de côté cette fonction

pour exemple parce qu'on va continuer à

travailler avait on va donc juste

déplacer son expression voilà j'ai juste

mis les couleurs un peu ailleurs puisque

on va utiliser alpha et bêta donc alpha

vos 5 et bêta vaut moins 40 ares

attention bêta vaut moins 40 parce que

la formule nous dit plus bêta elle est

encore ici plus bêta

ce qui voudrait dire ici qu'il faudrait

considérer qu'on a plus moins 40

ça signifie donc bien que bêta est égal

à -40

donc on va s'intéresser maintenant à la

représentation graphique d'une fonction

polynôme du second degré et ensuite donc

aux variations enfin tout ça c'est lié à

l'or ce qu'il faut voir c'est que toutes

les fonctions du second dégré degrés

sans exception sont représentés par une

courbe qui porte un nom et qui s'appelle

une parabole

alors on en connaît une déjà de fonction

du second degré c'est la fonction car et

la fonction carey qui a une clique et

représentait donc par une parabole qui a

cette allure la de sommer l'origine mais

une parabole ces couacs à une parabole

c'est par exemple la courbe qu'on trace

lorsqu'on lance un objet

il est toujours vivant je te rassure

c'était pour la bonne cause

alors si une fonction du second degré

est représenté par une parabole hulot a

deux façons de la représenter soit dans

ce sens là avec les branches qui sont

tournés vers le haut

soit dans ce sens là avec les branches

qui sont tournés vers le bas si les

branches sont tournés vers le haut

eh bien ça voudra dire que la fonction

admet un minimum on voit bien là ça

descend on atteint une valeur minimum et

puis après ça remonte à linverse si les

branches sont tournés vers le bas notre

fonction atteindra un maximum

ça monte ça monte ça monte ça atteint

maximum puis ensuite ça redescend et

bien tout est dit dans cette propriété

il ya beaucoup d'informations mais elle

est terriblement importante cette

propriété elle nous dit que si on a une

fonction exprimée sous sa forme

canonique un facteur 2 x - alpha o car

est plus bête hein et bien dans le cas

où a est positif la fonction est fade

mais un minimum on sait où il est

atteint il est atteint en alpha et on

connaît la valeur de ce minimum

il est égal à bêta c'est quand même pas

rien ça alors qu'alain verse cia est

négatif et bien f admet un maximum

maximum pour x égale alpha et ce maximum

est égal à bêta qu'est ce que ça

signifie pour notre fonction ici et bien

là on a un qui est positif à est égal à

2 donc ma fonction f va à mettre un

minimum j'aurai donc les branches qui

vont être tournés vers le haut et je

sais où est atteint son minimum

il est atteint en cinq et je sais

également combien vaut ce minimum ce

minimum au moins 40

mais ça c'est terriblement important

parce que grâce à ça grâce à toutes ces

informations

sa représentation graphique est une

parabole

le minimum est atteint pour x égal 5 il

vaut moins 40

je peux déjà avoir une idée de la courbe

représentative de ma fonction f

ça va donner ceci minimum atteint pour x

égale à 5

et ce minimum au moins 40

donc là ici j'ai la position de mon

minimum forcément ce minimum à pour

coordonner 5 - 40 après qu'est ce que je

sais je sais que c'est un minimum et la

courbe est une parabole

donc est-ce qu'il suffit de faire

partant de ce minimum il me suffit de

construire deux branches qui vont vers

le haut

forcément il faut que ce soit un minimum

et ça donne quelque chose comme ça alors

bien évidemment tout ça c'est très

approximatif mais quand même grâce à la

forme canonique

on arrive déjà à avoir une position de

lacombe et une allure de la courbe le

aïssi va nous dire que les branches sont

tournés vers le haut pour que ça soit un

minimum le alpha et le bêta va nous

donner la position de la courbe avec ses

branches tombées vers le haut alors du

coup un petit truc mnémotechnique pour

retenir

comment sont tournés les branches de la

parabole on a dit que lorsque à est

positif on a un minimum donc forcément

si on a un minimum faut bien que ça

monte donc ça veut dire que les branches

sont tournés vers le haut

donc ça fait comme ça un petit sourire

quand on est positif on sourit donc on

se rappellera que lorsque à est positif

eh bien on doit avoir une courbe en

forme de sourire par contre lorsque à

est négatif lorsqu'on est négatif et

bien c'est pas très positif justement on

n'est pas très heureux on a donc une

bouche un peu triste qui nous rappelle

ici que on a une parabole avec les

branches tourner vers le bas

d'ailleurs si tu connais le jeu angry

birds tu connais forcément c'est ce sont

des petits oiseaux qu'on balance comme

ça et en les balançant ils fabriquent

une parabole une parabole avec les

branches qui sont tournés vers le bas

regarde un peu la tronche des oiseaux

ils sont pas très contents ils sont

négatifs négatif avec un à négatif un

coefficient à négatif et toutes les

paraboles de nos petits oiseaux ont à

chaque fois un coefficient à qui est

négatif alors j'avais dit tout à l'heure

que il y avait il y avait possibilité de

retrouver la valeur de alpha à l'aide

des coefficients ab

c'est alors plus précisément ses allées

des coefficients a et b et donc si notre

fonction fc cris sous la forme à ixxo

carré plus bx plus c est bien on peut

retrouver là où le l'extrême homme est

atteint donc le maximum le minium c'est

à dire notre alpha et ce alpha vos - b

sur deux a donc ça c'est une formule

qu'on peut retenir et qui est très

pratique

du coup si je pars d'un à positif

j'aurai donc un sourire avec la parabole

qui a les branches tourner vers le haut

j'aurai donc une fonction qui sera

d'abord décroissante

avec donc un minimum qui est atteint en

moins b sur 2 ha et sa valeur cf de

moimbé so2 à c'est-à-dire notre bêta et

ensuite notre fonction est croissante

jusqu'à puisse l'infini al'inverse si

j'ai un à négatif j'ai donc les broches

qui sont tournés vers le bas en forme de

bouche triste et bien on retrouve à peu

près le même tableau de variation le

maximum cette fois ci est atteint en

moins b sur deux à evo ix f2 - b sur

deux et bien du coup on pourra retenir

que le point m qui a pour coordonner

moins d sur deux à f2 - b sur deux a

donc alfa-beta un cénotaphe fine aux

bêtas s'appelle le sommet de la parabole

il correspond donc au maximum ou au

minimum et on pourra retenir également

que la parabole possède un axe de

symétrie et cet axe de symétrie et bien

il a tout simplement pour équation x

également un beso gloire c'est à dire

l'abscisse de notre excellent homme

extrêmement voilà et bien cette séquence

est terminée n'oublie pas de faire des

exercices