Déterminer des FONCTIONS du SECOND DEGRÉ avec 2 racines - Première

Yvan Monka

2 Nov 202206:07

Summary

TLDRDans cette vidéo, l'apprentissage est centré sur la détermination d'une fonction polynomiale du second degré à partir de deux racines connues. La présentation graphique en forme de parabole est discutée, ainsi que la façon dont les racines déterminent la forme et les points d'intersection de l'axe des ordonnées. L'application de connaissances pour résoudre des équations et trouver le paramètre manquant est expliquée, menant à l'expression finale de la fonction. L'ajout d'une condition supplémentaire, liée à la valeur de la fonction pour un certain x, permet de déterminer le coefficient manquant et d'aboutir à l'expression précise de la fonction polynomiale.

Takeaways

📚 La vidéo traite de la détermination d'une fonction polynomiale du second degré dont on connaît deux racines et deux points où elle s'annule.
📈 Géométriquement, cela signifie que la parabole représentative de la fonction passera par les points d'abscisse -3 et 5.
🔍 La forme factorisée d'une telle fonction est ( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) ), où ( x_1 ) et ( x_2 ) sont les racines et ( a ) est un nombre réel non nul.
✅ On peut écrire la fonction en utilisant les racines -3 et 5, ce qui donne ( f(x) = a(x + 3)(x - 5) ).
🔄 La forme factorisée est initialement utilisée sans connaître la valeur de ( a ), car il y a une infinité de paraboles pouvant passer par les points donnés.
📉 Lorsqu'une condition supplémentaire est donnée, comme ( f(-1) = 3 ), cela permet de déterminer la valeur unique de ( a ).
🧮 En remplaçant ( x ) par -1 dans la forme factorisée, on obtient une équation pour trouver ( a ) : ( a(-1 + 3)(-1 - 5) = 3 ).
🔢 En résolvant l'équation, on trouve que ( a = -1/4 ).
📝 La fonction déterminée est donc ( f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5) ), qui vérifie les conditions données.
🤔 La vidéo montre comment une condition supplémentaire peut réduire le nombre de solutions possibles d'une équation à un seul cas.
✋ L'importance de la forme factorisée est soulignée comme un outil efficace pour résoudre des problèmes d'analyse de fonctions polynomiales.

Q & A

Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré?
-Une fonction polynôme du second degré est une expression mathématique qui peut être représentée sous la forme ax² + bx + c, où a, b, et c sont des constantes réelles avec a non nul. La représentation graphique de cette fonction est une parabole.
Que signifie le fait qu'une fonction s'annule en certains points?
-Une fonction s'annule en un point lorsque sa valeur est égale à zéro à ce point. Graphiquement, cela correspond aux intersections de la courbe de la fonction avec l'axe des abscisses.
Comment peut-on décrire géométriquement les racines d'une fonction polynôme du second degré?
-Géométriquement, les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les points où la parabole correspondante coupe l'axe des abscisses. Ces points d'abscisse sont les valeurs pour lesquelles la fonction est égale à zéro.
Quelle est la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré connaissant ses racines?
-La forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré, connaissant ses racines x1 et x2, est a(x - x1)(x - x2), où 'a' est une constante réelle non nulle. Cela montre comment le polynôme peut être décomposé en produits de facteurs linéaires basés sur ses racines.
Pourquoi y a-t-il une infinité de fonctions polynôme du second degré qui s'annulent aux mêmes points?
-Il y a une infinité de telles fonctions car le coefficient 'a' dans la forme factorisée a(x - x1)(x - x2) peut prendre n'importe quelle valeur réelle non nulle, ce qui modifie l'amplitude et l'orientation de la parabole sans changer ses racines.
Comment peut-on utiliser la condition F(-1) = 3 pour déterminer la valeur de 'a' dans la fonction polynôme?
-On substitue -1 à la variable x dans la forme factorisée de la fonction, et on égale le résultat à 3. Cela donne une équation en 'a' que l'on peut résoudre pour trouver la valeur spécifique de 'a' qui satisfait cette condition.
Quel est l'effet de connaître F(-1) = 3 sur le nombre de solutions possibles pour 'a'?
-Connaître F(-1) = 3 restreint le nombre de solutions possibles pour 'a' à une seule, car cela fixe une valeur spécifique que doit prendre 'a' pour que la fonction passe par le point de coordonnées (-1, 3) sur le graphique.
Quelle est l'expression finale de la fonction f après détermination de 'a'?
-L'expression finale de la fonction f, après détermination de 'a' comme -1/4, est f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5).
Comment vérifie-t-on que cette expression de f correspond à la condition donnée F(-1) = 3?
-On substitue x = -1 dans l'expression trouvée pour f(x) et vérifie que le résultat est égal à 3. Cela confirme que l'expression est correcte et que la valeur de 'a' est correctement déterminée.
Quelles sont les implications de l'existence de différentes paraboles passant par les mêmes racines?
-Cela illustre que les racines seules ne définissent pas complètement une parabole; la constante 'a' influence également la forme et l'orientation de la parabole. Cela montre la variabilité et la flexibilité des fonctions polynomiales du second degré, même avec des racines fixes.

Outlines

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📚 Détermination d'une fonction polynomiale du second degré

Dans le premier paragraphe, l'objectif est de déterminer une fonction polynomiale du second degré dont on connaît deux racines réelles distinctes. La fonction est représentée par une parabole et s'annule en -3 et 5. Cela signifie que la parabole passera par les points d'abscisse -3 et 5. On utilise la propriété des racines pour écrire la fonction sous sa forme factorisée, qui est \( a(x - x_1)(x - x_2) \), où \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines connues, et \( a \) est un nombre réel non nul. L'exemple donné utilise \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = 5 \), ce qui donne la forme \( a(x + 3)(x - 5) \). L'inconnu \( a \) représente l'infini de solutions possibles pour la forme générale de la parabole.

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🔍 Utilisation d'une condition supplémentaire pour déterminer la fonction

Le deuxième paragraphe traite de la détermination de la fonction polynomiale du second degré en utilisant une condition supplémentaire. On sait que la fonction \( F \) est telle que \( F(-1) = 3 \). Avec cette information, on peut tracer une seule parabole qui satisfait à toutes les conditions données. En remplaçant \( x \) par -1 dans la forme factorisée de la fonction, on obtient \( a(-1 + 3)(-1 - 5) = 3 \). En résolvant cette équation pour \( a \), on trouve que \( a = -\frac{1}{4} \). Ainsi, la fonction \( F(x) \) est déterminée comme \( -\frac{1}{4}(x + 3)(x - 5) \), s'annulant en -3 et 5, et passant par le point \( (-1, 3) \).

Mindmap

Keywords

💡Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction mathématique qui peut être représentée sous la forme ax^2 + bx + c, où a, b, et c sont des constantes et a ≠ 0. Dans la vidéo, cette fonction est utilisée pour décrire une parabole, qui est le graphique de cette fonction. Elle est au cœur du sujet car le but est de déterminer la forme de cette fonction connaissant certaines de ses propriétés.

💡Racines

Les racines d'une fonction, également appelées zéros, sont les valeurs pour lesquelles la fonction prend la valeur zéro. Dans le script, il est mentionné que la fonction s'annule en -3 et en 5, ce qui signifie que ces deux nombres sont les racines de la fonction.

💡Parabole

Une parabole est la forme courbe qui résulte du graphique d'une fonction polynôme du second degré. Dans la vidéo, la fonction en question est représentée par une parabole, et les racines déterminent les points où cette parabole coupe l'axe des ordonnées.

💡Forme factorisée

La forme factorisée d'une fonction polynôme est l'écriture de la fonction sous la forme de produits de facteurs, qui sont les facteurs premiers de la fonction. Dans le script, la fonction est exprimée sous forme factorisée en utilisant les racines -3 et 5, c'est-à-dire (X - (-3))(X - 5).

💡Paramètre a

Le paramètre a est un coefficient non nul qui apparaît dans la forme générale d'une fonction polynôme du second degré. Il détermine l'ouverture de la parabole. Dans le contexte de la vidéo, a est utilisé pour représenter l'inconnu qui doit être déterminé pour préciser la forme de la fonction.

💡S'annuler

S'annuler pour une fonction signifie qu'elle prend la valeur zéro pour certaines valeurs d'entrée. Dans le script, il est dit que la fonction s'annule en -3 et en 5, ce qui est essentiel pour tracer la parabole et déterminer ses racines.

💡Point d'abscisse

Le point d'abscisse fait référence à la coordonnée x d'un point sur un axe des abscisses. Dans le script, les points d'abscisses -3 et 5 sont mentionnés comme des points où la fonction s'annule, ce qui les rend importants pour le tracé de la parabole.

💡Équation

Une équation est une expression mathématique où deux expressions sont égales. Dans le script, l'équation est utilisée pour trouver la valeur du paramètre a en utilisant la condition supplémentaire que f(-1) = 3.

💡Graphique

Le graphique fait référence à la représentation visuelle de données ou d'une fonction. Dans le contexte de la vidéo, le graphique est la parabole qui représente la fonction polynôme du second degré.

💡Déterminer

Déterminer dans ce contexte signifie de trouver ou de calculer la forme exacte de la fonction en utilisant les informations données. La vidéo guide le spectateur pour déterminer la forme de la fonction en utilisant les racines et l'équation.

💡Fonction f

La fonction f est la fonction polynôme du second degré dont on cherche à déterminer la forme. Elle est utilisée tout au long du script pour illustrer les différentes étapes de la méthode pour la déterminer.

Highlights

La fonction est un polynôme du second degré représenté par une parabole

La fonction s'annule en -3 et 5, ce qui est une information importante

La courbe représentative passe par les points d'abscisse -3 et 5

On peut exprimer la fonction sous sa forme factorisée avec les deux racines connues

Il existe une infinité de paraboles pouvant passer par les points -3 et 5

On garde un paramètre a dans la solution pour représenter cette infinité de solutions

La forme factorisée de la fonction est f(x) = a(x - (-3))(x - 5)

On simplifie la forme factorisée en f(x) = a(x + 3)(x - 5)

Une condition supplémentaire est donnée: f(-1) = 3

Cette condition détermine qu'il n'y a qu'une seule parabole possible

On utilise f(-1) = 3 pour déterminer la valeur de a

En remplaçant x par -1, on obtient l'équation 1*a - 3*a - 5 = 3

En résolvant l'équation, on trouve a = -1/4

La fonction déterminée est f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5)

Cette fonction s'annule en -3 et 5 et vérifie f(-1) = 3

C'est une fonction polynôme du second degré

La méthode utilisée permet de déterminer la forme d'une fonction connaissant ses racines et un point supplémentaire

La vidéo explique clairement les étapes pour déterminer la forme factorisée et la forme générale de la fonction