Déterminer la forme canonique d'une expression du second degré (1) - Première

Summary

Dans cette vidéo, on apprend à écrire une expression du second degré sous sa forme canonique. L'exercice est essentiel car il aide à résoudre des problèmes courants comme l'étude des fonctions du second degré. L'enseignant explique en détail comment déterminer les valeurs de a, alpha et bêta en utilisant des techniques simples, sans se fier aux formules souvent oubliées. En factorisant et en utilisant les identités remarquables, l'expression peut être réécrite sous forme canonique. Cette méthode est expliquée étape par étape avec des astuces pratiques pour mieux comprendre et retenir la technique.

Takeaways

• 📚 L'expression du second degré doit souvent être écrite sous sa forme canonique, ce qui est crucial pour l'étude des fonctions du second degré.
• 🔢 La forme canonique d'un trinôme est : a(x - alpha)^2 + bêta.
• 🔍 Il existe des formules pour trouver directement alpha et bêta, mais la méthode technique est plus durable car on l'oublie moins facilement.
• 🧮 La première étape consiste à identifier 'a', qui est toujours le coefficient du terme x^2 dans l'expression de départ.
• ✂️ Il est recommandé de factoriser uniquement le début de l'expression, c'est-à-dire les termes avec x, pour éviter d'introduire des fractions.
• 🤓 Utiliser l'identité remarquable (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 pour transformer l'expression.
• 📐 Le terme manquant b^2 doit être introduit pour compléter l'identité remarquable, puis supprimé pour maintenir l'égalité.
• 🔄 En factorisant la partie obtenue, on peut arriver à l'expression sous forme (x - 3)^2 - 9, en gardant le facteur 2 à l'extérieur.
• 📊 La dernière étape consiste à distribuer le facteur 2 et simplifier les termes constants pour obtenir la forme canonique finale.
• 🏆 La forme canonique obtenue est 2(x - 3)^2 + 4, avec alpha = 3 et bêta = 4.

Q & A

Qu'est-ce qu'une expression du second degré et pourquoi est-il important de la mettre sous forme canonique ?

Une expression du second degré est un trinôme de la forme ax² + bx + c. Il est important de la mettre sous forme canonique pour faciliter l'étude des fonctions du second degré, notamment pour déterminer les extrêmes et d'autres applications.

Quelle est la forme canonique d'une expression du second degré ?

La forme canonique d'une expression du second degré est : a(x - α)² + β, où a, α, et β sont des constantes à déterminer.

Comment trouve-t-on la valeur de 'a' dans une expression du second degré ?

La valeur de 'a' correspond au coefficient du terme en x² dans l'expression initiale. Par exemple, si l'expression est 2x² - 12x + 22, alors 'a' vaut 2.

Pourquoi ne parle-t-on pas des formules directes pour α et β dans cette méthode ?

Les formules pour α et β sont évitées car elles sont facilement oubliées. En revanche, la méthode expliquée permet une meilleure compréhension et mémorisation des étapes nécessaires pour arriver à la forme canonique.

Pourquoi est-il conseillé de ne pas factoriser toute l'expression dès le départ ?

Il est préférable de ne factoriser que la partie contenant x² pour éviter l'apparition inutile de fractions, ce qui simplifie les calculs.

Quelle est la première étape pour passer une expression sous forme canonique ?

La première étape est de factoriser par 'a' (le coefficient de x²) uniquement dans les termes contenant x² et x. Par exemple, dans 2x² - 12x, on factorise par 2, ce qui donne 2(x² - 6x).

Comment utilise-t-on l'identité remarquable dans cette méthode ?

L'identité remarquable utilisée est (a - b)² = a² - 2ab + b². Elle permet de transformer l'expression en un carré parfait, nécessaire pour obtenir la forme canonique.

Comment fait-on apparaître le terme manquant pour utiliser l'identité remarquable ?

On identifie le terme manquant en décomposant le coefficient du terme en x. Par exemple, dans -6x, on le réécrit comme -2 * 3 * x, ce qui révèle que le terme manquant est 3², soit 9, qu'on ajoute et soustrait pour maintenir l'égalité.

Pourquoi ajoute-t-on et soustrait-on le terme manquant dans le calcul ?

On ajoute et soustrait le terme manquant pour compléter l'identité remarquable sans changer la valeur de l'expression, garantissant que l'égalité est toujours respectée.

Quelle est la dernière étape pour obtenir la forme canonique ?

La dernière étape consiste à distribuer le facteur a dans l'expression et à simplifier les constantes. Par exemple, 2(x - 3)² - 18 + 22 devient 2(x - 3)² + 4, ce qui est la forme canonique finale.

Outlines

00:00

📘 Introduction à l'écriture d'expressions du second degré

Cette partie du script introduit l'importance de la rédaction d'expressions du second degré sous leur forme canonique, qui est un exercice essentiel pour comprendre les fonctions du second degré et pour déterminer leurs extrêmes. Le script explique que le trinôme 2x² - 12x + 22 doit être transformé en forme canonique, ce qui implique l'identification des coefficients a, alpha et bêta. L'auteur insiste sur la connaissance des méthodes plutôt que la mémorisation des formules, soulignant que la technique est plus retenue et peut être démontrée. La première étape consiste à identifier et à factoriser par a, qui est le coefficient de x², et le script illustre cela avec l'exemple donné.

05:04

🔍 Transformation en forme canonique et identification de alpha et beta

Le script poursuit avec la transformation de l'expression 2x² - 12x + 22 en forme canonique. Il explique comment identifier alpha et beta en utilisant l'identité remarquable a² - 2ab + b², en ajoutant et en soustrayant le terme manquant pour équilibrer l'égalité. L'auteur montre comment factoriser l'expression en commençant par le terme a, puis en forçant l'apparition de la deuxième identité remarquable pour atteindre la forme canonique. Enfin, le script illustre comment développer l'expression pour éliminer les termes superflus et obtenir la forme canonique finale avec les coefficients alpha et beta corrects.

Keywords

💡Expression du second degré

Une expression du second degré est un polynôme qui peut être mis sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Dans la vidéo, l'objectif est d'apprendre à écrire une telle expression sous sa forme canonique, ce qui est crucial pour l'étude des fonctions du second degré et la recherche des extrêmes.

💡Forme canonique

La forme canonique d'une expression du second degré est ax² - 2abx + b², qui est une forme factorisée basée sur l'identité remarquable (a - b)². Dans le script, la forme canonique est utilisée pour montrer comment transformer une expression en une forme qui facilite la compréhension de ses propriétés.

💡Trinôme

Un trinôme est un polynôme de degré deux avec trois termes, comme ax² + bx + c. Le script mentionne que l'expression 2x² - 12x + 22 est un trinôme et que le but est de le mettre sous sa forme canonique.

💡Alpha (α)

Dans le contexte de la vidéo, alpha (α) représente la valeur qui, une fois retranchée au carré, permet d'obtenir la forme canonique d'une expression du second degré. Le script explique comment déterminer alpha à partir de la forme initiale de l'expression.

💡Beta (β)

Beta (β) est utilisé pour désigner le terme constant dans la forme canonique de l'expression du second degré. Le script montre comment trouver beta en utilisant l'identité remarquable et en équilibrant l'équation pour conserver l'égalité.

💡Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules mathématiques préétablies qui sont utilisées pour simplifier ou factoriser des expressions. Le script mentionne l'utilisation de la deuxième identité remarquable, (a - b)² = a² - 2ab + b², pour transformer une expression en sa forme canonique.

💡Factorisation

La factorisation est le processus de décomposition d'une expression en un produit de facteurs plus simples. Dans le script, la factorisation est utilisée pour simplifier l'expression 2x² - 12x en utilisant le facteur commun '2'.

💡Développement

Le développement est l'opération inverse de la factorisation, où l'on évalue le produit de facteurs pour obtenir une expression complète. Le script utilise le développement pour distribuer le facteur 2 dans l'expression (2x - 3)².

💡Équation

Une équation est une expression qui établit une égalité entre deux expressions mathématiques. Le script utilise des équations pour montrer la transformation d'une expression en sa forme canonique tout en préservant l'égalité.

💡Extrême

Un extrême d'une fonction est un point où elle atteint sa valeur maximale ou minimale. Le script mentionne que la forme canonique est importante pour l'étude des fonctions du second degré et la détermination de leurs extrêmes.

Highlights

Apprendre à écrire une expression du second degré sous sa forme canonique

Importance de la méthode pour l'étude des fonctions du second degré

Exemple d'une expression à mettre sous forme canonique: 2x² - 12x + 22

La forme canonique est a(x - alpha)² + beta

Détermination de a qui est le coefficient de x²

Factorisation par a pour passer à la forme canonique

Conseil sur la factorisation partielle pour éviter les fractions

Utilisation de l'identité remarquable pour la factorisation

Transformation de l'expression en utilisant a² - 2Ab + b²

Ajout du terme manquant pour équilibrer l'expression

Résolution du problème de l'égalité en ajoutant et en soustrayant le même terme

Factorisation complète de l'expression pour obtenir la forme canonique

Détermination de alpha et beta à partir de la factorisation

Explication de l'astuce pour faire apparaître la deuxième identité remarquable

Développement de l'expression pour éliminer le terme -9

Réduction finale pour obtenir la forme canonique définitive

La technique peut sembler lourde au début mais devient facile avec la pratique

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir

apprendre à écrire une expression du

second degré sous sa forme canonique

déjà ce qu'il faut savoir c'est que cet

exercice est important c'est une méthode

qu'il faut connaître parce qu'on a

régulièrement besoin d'écrire un trinôme

donc une expression du second degré sous

sa forme canonique par exemple dans

l'étude des fonctions du second degré

pour en déterminer un extreme mais il y

a plein d'autres applications alors déjà

quelle est l'expression qu'on veut

mettre sous sa forme canonique 2x au

carré moins 12 x + 22 on reconnaît

effectivement un trinôme et la forme

canonique c'est ceci a facteur de X -

alpha au carré + beta ce qui signifie

que pour passer de là à là la question

est déterminons a alpha et bêta alors a

on va voir que c'est assez facile ça va

très vite là où c'est un plus embêtant

c'est pour Alpha et beta petite

parenthèse il faut savoir qu'il existe

des formules qui donnent directement

alpha et bêta mais moi je vais pas en

parler ici tout simplement parce que les

formules ont un gros inconvénient c'est

qu'on les oublie vite alors que les

méthodes la technique une fois qu'on l'a

compris prise on n'oublie pas donc ici

pour cet exercice j'ai envie de dire il

vaut mieux quand même connaître la

technique et de toute façon dans ton

cours on peut être amené à te demander

de démontrer comment on y arrive et donc

les formules ici ne serviront pas en

tous les cas bon revenons à notre à

alpha et bêta on va déjà commencer par

déterminer a puisque j'ai dit que

c'était le plus facile alors

effectivement c'est le plus facile parce

que si on regarde la forme canonique on

a a facteur de X - alpha au carré ce qui

veut dire que dans X - alpha au carré je

vais avoir du x² ce qui veut dire que je

vais avoir un moment ou l'autre si je

développais ce truc là à fois X au carré

a et donc le facteur le nombre qui est

en facteur de X au carré donc il suffit

de regarder l'expression de départ et

chercher le monôme en X au carré et bien

ces deux X au carré on a trouvé a le a

est égal à 2 et c'est toujours comme ça

le a c'est toujours le nombre qui est en

facteur du X au carré mais en plus ce

qui va se passer c'est que on voit bien

que ce a il est en facteur donc ça veut

dire que moi aussi je vais avoir besoin

de factoriser par a donc ici de

factoriser par 2 c'est la première étape

du passage à la forme canonique c'est de

factoriser par le nombre a alors des

fois il y a pas de a donc ça fait gagner

un peu de temps ça fait gagner une étape

donc cette étape là on la ferait pas ici

il y a un a à vous deux on va factoriser

par 2 mais attention petit conseil il

est mieux de ne pas tout factoriser

après c'est comme tu veux ça marche

aussi mais ça peut faire apparaître des

fractions de façon inutile donc moi je

te conseillerais de simplement

factoriser le début de l'expression

c'est à dire la partie de l'expression

où il y a du X autre

2 x au carré - 12x c'est ce qu'on va

commencer par faire alors 2 x au carré -

12x + 22 on a dit qu'on factorisé par A

c'est-à-dire qu'on factorisé par deux et

seulement le début de l'expression 2x² -

12 x alors dans 2x², je prends le

facteur 2 il me reste X au carré moins

dans 12x je prends le facteur de il me

reste 6x vérifions deux fois X au carré

2x² - 2 x 6 x 12 x le plus 22 on n'a pas

touché donc on recopie

bon on a déjà un tout petit peu avancé

on a notre facteur a ceci ressemble à la

forme canonique mais attention c'est pas

fini loin de là déjà ce qu'il faut

savoir c'est que ça c'est pas bêta ça va

changer on va le voir et ça c'est pas

alpha non plus et là on le voit mon

expression n'est pas au carré donc pour

l'instant ce n'est pas la forme

canonique pour y arriver il faut se

souvenir de quelque chose quand je vois

x - alpha au carré ça me fait penser à

une des trois identités remarquables

plus précisément la deuxième qui le dit

qui nous dit que à - B au carré égal à

Carré - 2Ab + b². donc c'est ceci qu'on

va utiliser pour arriver à modifier cet

écriture le problème c'est que quand on

regarde sur le membre de droite à Carré

- 2Ab + b². j'ai la 3 termes or moi ici

je n'ai que deux termes il m'en manque

un pour pouvoir factoriser c'est pas

grave on va tricher un tout un petit peu

et on va faire apparaître le terme qui

nous manque la question est quel est le

terme qui nous manque et pour cela il

faudrait déjà anticiper un peu sur la

factorisation qu'on souhaite faire à

partir du début X au carré - 6

alors déjà ce qu'il faut remarquer c'est

que en fait ici j'ai le début de

l'expression à factorisé j'ai la partie

a² - 2Ab donc ce qui signifie que ça

c'est notre a², je vais mettre le a en

rouge donc le A correspond à notre x

alors on est bien d'accord c'est pas le

même a que tout à l'heure c'est pour ça

que j'ai mis ici des majuscules grands

tag grand B donc x² - 2 x a x B alors

qu'est-ce qui se passe ici il faudrait

écrire 6 x comme deux fois quelque chose

bah 6 x comme deux fois quelque chose

c'est forcément deux fois trois X

deux fois trois x c'est bien 6 x le X je

vais le mettre en rouge puisque c'est le

même et le 3 je vais le mettre en vert

tu vas comprendre pourquoi et bien parce

qu'en écrivant 6x deux fois trois x ça

nous permet de trahir le B qui est caché

le fameux b² qui nous manque il faudrait

le faire apparaître et bien ça nous

permet de le trahir il est là parce que

si je regarde maintenant ceci en tant

qu'identité remarquable ça fait grand A

carré moins 2 fois a fois B et note B il

est donc égal à 3 et c'est celui-ci qui

nous manque il nous manque le B carré

c'est à dire que il nous manque derrière

plus

3 au carré

si j'ai ça

si j'ai tout ceci et bien j'ai

parfaitement l'identité remarquable la

deuxième identité remarquable a² - 2Ab +

b². mais je n'ai pas ce plus 3 au carré

c'est ça le problème alors je peux pas

le rajouter parce que sinon c'est faux

on est bien d'accord et bien c'est pas

grave je le rajoute parce que je le veux

mais je l'enlève derrière parce que

sinon ce n'est pas égal et de cette

façon là alors je recopie tout jusqu'au

bout maintenant et de cette façon là je

garde bien l'égalité parce que regarde +

3 au carré moins 3 au carré ça s'élimine

ça fait 0 et finalement si j'élimine ça

et bien cette ligne était exactement

égale à cette ligne sauf que en faisant

ce petit tour de passe-passe je fais

apparaître ici ma deuxième identité

remarquable que j'ai besoin pour

factoriser c'est ça l'astuce alors

allons-y maintenant qu'on a ceci

factorisant

et bien ça me donne si à vaut X et BO3

ceci fait x - 3 au carré alors ça c'est

juste ceci c'est juste cette partie là

on peut mettre une accolade d'ailleurs

donc derrière il me reste moins 3 au

carré alors je veux pas laisser trop

carré je vais mettre maintenant - 9

j'ai encore ce coupe de parenthèse j'ai

le facteur 2 bien sûr qui est devant et

je n'oublie pas le plus 22 voilà alors

là on a déjà vraiment bien avancé parce

que on est presque au niveau de notre

forme canonique il me reste une dernière

étape c'est ce problème de -9 ce -3 au

carré qu'on a rajouté maintenant il

m'embête mais bon il y avait pas le

choix j'étais obligé de le rajouter bah

pour s'en débarrasser ce qu'on va faire

c'est qu'on va ici développer on va

développer cette expression avec le

facteur 2 on va donc distribuer ici le

facteur 2 à l'intérieur a x - 3 au carré

puis

A9 ça nous donne quoi et bien

ça nous donne deux fois x - 3

- 2 x 9

+ 22 derrière

alors deux fois 9 ça ça fait 18 tout le

reste je le recopie - 18 + 22 on va pas

garder - 18 + 22 ça fait plus 4 tout le

reste je le recopie et là qu'est-ce

qu'on constate c'est gagné on a notre

forme canonique a qui vaut 2 x - alpha

avec Alpha qui vaut 3 + beta avec beta

qui vaut 4 et la technique est toujours

la même elle est un peu lourde c'est

vrai mais si tu en fais trois quatre tu

vas voir que tout doucement ça va te

sembler facile au départ on commence par

factoriser le début de l'expression par

notre petit a ici qui est en facteur de

X au carré ensuite il va falloir forcer

les choses pour faire apparaître

l'identité remarquable la deuxième

identité remarquable qu'on a besoin

comme on force les choses il faut

équilibrer derrière pour garder

l'égalité sinon c'est pas juste quand on

a notre identité remarquable bien on

l'applique voilà et puis ensuite et bien

on fait une petite un petit

développement

simplement pour sortir le moins neuf et

garder la forme canonique comme on l'a

comme on la souhaite par réduction par

calcul à la fin et bien on obtient notre

forme canonique cette séquence est

terminée