90. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (Con una raíz igual a cero) EJERCICIO RESUELTO

MateFacil

30 Jan 201705:17

Summary

TLDREn este vídeo, se explica cómo resolver la ecuación diferencial de segundo orden y lineal 'y'' - 5y' = 0'. Se propone una solución exponencial y se obtiene la ecuación característica 'r^2 - 5r = 0'. Al factorizar, se encuentran los valores de 'r' (0 y 5), y se derivan dos soluciones: y1 = 1 y y2 = e^(5x). La solución general es una combinación lineal de ambas, y = c1*y1 + c2*y2. Además, se menciona que en futuras ecuaciones, las soluciones pueden ser reales repetidas o complejas.

Takeaways

📘 La ecuación diferencial presentada es de segundo orden, lineal, homogénea y con coeficientes constantes.
💡 Para resolver este tipo de ecuaciones, se propone una solución de forma exponencial: y = e^rx.
🛠️ Se obtiene la ecuación característica al sustituir la solución en la ecuación diferencial y factorizar la exponencial.
🧮 La ecuación característica se forma al sustituir las derivadas por términos en r: r² para la segunda derivada, r para la primera, y el coeficiente para y.
✂️ Se puede factorizar una r común de la ecuación característica, resultando en: r(r - 5) = 0.
✅ Las soluciones de la ecuación característica son r = 0 y r = 5, generando dos soluciones para la ecuación diferencial.
🧑‍🏫 La primera solución es y1 = 1, obtenida al sustituir r = 0 en la solución exponencial.
🚀 La segunda solución es y2 = e^(5x), obtenida al sustituir r = 5 en la solución exponencial.
📐 La solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de ambas soluciones: y = c1 + c2 * e^(5x).
🔮 En futuros vídeos, se abordarán casos donde la ecuación característica tiene soluciones repetidas o complejas.

Q & A

¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y de coeficientes constantes, que es homogénea.
¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial mencionada?
-Se propone una solución de forma exponencial, de la forma \( y = e^{rx} \).
¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?
-La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene a partir de la sustitución de la solución propuesta en la ecuación diferencial original.
¿Cómo se derivan las soluciones de la ecuación característica?
-Se derivan las soluciones de la ecuación característica al factorizar y resolver las ecuaciones resultantes de primer grado que surgen al igualar a cero el producto de los factores.
¿Cuáles son las soluciones obtenidas para la ecuación característica en el ejemplo?
-Las soluciones obtenidas para la ecuación característica son \( r = 0 \) y \( r = 5 \).
¿Qué solución se obtiene al sustituir \( r = 0 \) en la ecuación diferencial?
-Al sustituir \( r = 0 \), se obtiene la solución \( y_1 = 1 \).
¿Cuál es la segunda solución y cómo se obtiene?
-La segunda solución es \( y_2 = e^{5x} \) y se obtiene al sustituir \( r = 5 \) en la ecuación diferencial.
¿Cómo se expresa la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se expresa como una combinación lineal de las soluciones particulares, es decir, \( y = c_1 \cdot y_1 + c_2 \cdot y_2 \).
¿Qué ocurre si la ecuación característica tiene soluciones complejas?
-Si la ecuación característica tiene soluciones complejas, se deben aplicar métodos adicionales para resolver la ecuación diferencial, como se explicará en un vídeo futuro.
¿Cómo se pueden verificar que las soluciones propuestas son correctas?
-Se pueden verificar las soluciones derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial original para confirmar que satisfacen la ecuación.

Outlines

00:00

📚 Introducción y resolución de la ecuación diferencial

En este párrafo se da la bienvenida al vídeo y se presenta el problema a resolver, una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes y homogénea. Se menciona la metodología general para resolver este tipo de ecuaciones, proponiendo una solución exponencial en función de una variable. Además, se introduce la ecuación característica como parte clave para obtener la solución y se describen los pasos para derivarla, aunque sin entrar en detalles debido a que se ha explicado en vídeos previos. Finalmente, se explica cómo reconocer la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial sin necesidad de derivar cada vez las soluciones intermedias.

05:01

📝 Resolución de la ecuación característica

Este párrafo se centra en la resolución de la ecuación característica obtenida. Se muestra cómo factorizar la ecuación para obtener dos valores de 'r' (0 y 5), los cuales proporcionan dos soluciones linealmente independientes para la ecuación diferencial. La primera solución surge al sustituir r=0 en la ecuación exponencial, resultando en una constante, y la segunda solución al sustituir r=5, generando una función exponencial de base elevada a 5x. Finalmente, se expresa la solución general como una combinación lineal de ambas soluciones, con dos constantes arbitrarias, c1 y c2.

⚙️ Casos especiales y conclusiones

En este párrafo se aclara que la resolución presentada aplica únicamente a ecuaciones donde la ecuación característica tiene dos soluciones reales distintas. Se menciona que en otros casos, como cuando hay una solución real doble o soluciones complejas, el proceso cambia. Se da un ejemplo de una ecuación que resultaría en soluciones complejas y se invita a los espectadores a ver el próximo vídeo donde se explicará cómo resolver esos casos más complicados. Se cierra el vídeo pidiendo apoyo a los espectadores, invitándolos a suscribirse, compartir y dejar comentarios o sugerencias.

Mindmap

Keywords

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con sus derivadas. En el video, el orador resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, que es lineal y de coeficientes constantes, para encontrar las soluciones de la ecuación propuesta.

💡Coeficientes constantes

En una ecuación diferencial, los coeficientes constantes significan que los valores numéricos que multiplican las derivadas no cambian. En el video, el orador menciona que la ecuación diferencial que resuelve tiene coeficientes constantes, lo que facilita la aplicación de ciertos métodos de solución.

💡Solución exponencial

La solución exponencial es una forma propuesta para resolver ecuaciones diferenciales lineales, en la que se asume que la solución tiene la forma e^(rx). En el video, el orador utiliza esta propuesta para simplificar la ecuación diferencial y obtener la ecuación característica.

💡Ecuación característica

La ecuación característica es una ecuación algebraica que se deriva de una ecuación diferencial y permite encontrar los valores de r que determinan las soluciones. El orador muestra cómo obtenerla a partir de la ecuación diferencial y resuelve la ecuación característica para hallar las soluciones.

💡Factorización

La factorización es el proceso de escribir una expresión algebraica como el producto de sus factores. En el video, el orador factoriza la ecuación característica para simplificar el proceso de encontrar las soluciones, dividiendo la ecuación en dos factores.

💡Soluciones linealmente independientes

Dos soluciones son linealmente independientes si ninguna puede expresarse como un múltiplo de la otra. En el video, el orador encuentra dos soluciones independientes para la ecuación diferencial, necesarias para formar la solución general.

💡Solución general

La solución general de una ecuación diferencial es la combinación lineal de todas las soluciones linealmente independientes. En el video, el orador combina las soluciones obtenidas (r = 0 y r = 5) en una forma general, utilizando constantes arbitrarias para expresar todas las posibles soluciones.

💡Soluciones complejas

En algunas ecuaciones diferenciales, las soluciones de la ecuación característica pueden ser números complejos. El orador menciona que en otro video se abordará cómo resolver ecuaciones cuyas soluciones son complejas, y cómo esto afecta la forma de la solución final.

💡Derivada

La derivada mide cómo cambia una función en relación con una variable. En el video, el orador utiliza la primera y segunda derivada de la función para formar la ecuación diferencial y luego muestra cómo comprobar si las soluciones obtenidas son correctas a través de sus derivadas.

💡Ecuación de segundo orden

Una ecuación de segundo orden implica una segunda derivada de la función. En el video, el orador resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, lo que requiere encontrar dos soluciones independientes para obtener la solución general.

Highlights

Introducción al vídeo sobre cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden.

Propuesta de una solución exponencial para la ecuación diferencial.

Obtención de la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.

Explicación de cómo factorizar una exponencial y cancelar en la ecuación característica.

Descripción de la ecuación característica como una ecuación algebraica de segundo grado.

Factorización de la ecuación característica para resolverla.

Resolución de la ecuación r - 5 = 0 para encontrar los valores de r.

Obtención de dos soluciones para la ecuación diferencial: r = 0 y r = 5.

Análisis de la solución cuando r = 0 y su correspondiente función y(x).

Verificación de que y(x) = 1 es una solución de la ecuación diferencial.

Análisis de la solución cuando r = 5 y su correspondiente función y(x).

Expresión de la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones encontradas.

Introducción a la posibilidad de que la ecuación característica tenga una única solución real repetida o soluciones complejas.

Promoción del próximo vídeo para explicar cómo resolver ecuaciones con soluciones complejas.

Invitación a los espectadores a like, suscribirse y compartir el vídeo.

Oportunidad para los espectadores de dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.