Introducción a las intersecciones con los ejes

Summary

El guion del vídeo explica cómo graficar la recta que representa la ecuación lineal y = ½x - 3. Se sugiere crear una tabla con valores de x para calcular y, y luego conectar los puntos resultantes en el plano cartesiano. Se explora cómo encontrar las intersecciones con los ejes X y Y, denominadas respectivamente abscisa y ordenada al origen. Además, se presenta un segundo ejemplo con la ecuación 5x + 6y = 30, demostrando el proceso de encontrar las intersecciones y cómo dibujar la recta correspondiente.

Takeaways

• 🔢 La ecuación lineal y = ½x - 3 representa una recta en el plano cartesiano.
• 📏 Para graficar una recta, se pueden elegir múltiples de 2 para x para simplificar los cálculos de y.
• 📍 Al igual que en la ecuación y = ½x - 3, los puntos (0, -3), (2, -2) y (4, -1) son suficientes para trazar la recta.
• ✏️ Para encontrar la intersección con el eje x (abscisa al origen), se evalúa la ecuación con y = 0.
• 📈 La intersección con el eje x se denomina 'abscisa al origen' y se representa con coordenadas como (6,0).
• 📉 Para encontrar la intersección con el eje y (ordenada al origen), se evalúa la ecuación con x = 0, obteniendo (0, -3).
• 🔍 La ordenada al origen se encuentra en el eje de las ordenadas, también conocido como eje y.
• 📋 Al resolver la ecuación 5x + 6y = 30, se obtienen las intersecciones con los ejes: (0, 5) para el eje y y (6, 0) para el eje x.
• 🖊️ Para dibujar una recta, se necesitan al menos dos puntos, como se demuestra con la ecuación 5x + 6y = 30.
• 📏 Al igual que en la primera ecuación, se puede verificar la ubicación de los puntos en la recta directamente a partir de la ecuación lineal.

Q & A

¿Qué es una ecuación lineal y cómo se representa en el plano cartesiano?

Una ecuación lineal es una relación algebraica que define una recta en el plano cartesiano. Se representa mediante una ecuación de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el ordenado al origen.

Si la ecuación lineal es y = ½x - 3, ¿cuál es el valor de y cuando x es 0?

Cuando x es 0, el valor de y es -3, ya que ½ por 0 es 0 y 0 - 3 da -3.

Para la ecuación y = ½x - 3, ¿qué múltiplos de 2 se usaron para calcular los valores de y?

Se usaron múltiplos de 2 como 0, 2 y 4 para calcular los valores de y, obteniendo los puntos (0, -3), (2, -2) y (4, -1) respectivamente.

¿Cuál es la intersección de la recta y = ½x - 3 con el eje x?

La intersección con el eje x se encuentra en el punto (6,0), también conocido como la abscisa al origen.

Para la ecuación 5x + 6y = 30, ¿cuál es la ordenada al origen y su valor de y?

La ordenada al origen para la ecuación 5x + 6y = 30 es el punto (0,5), donde cuando x es 0, y es 5.

Si queremos encontrar la abscisa al origen para la ecuación 5x + 6y = 30, ¿qué valor de x debemos usar?

Para encontrar la abscisa al origen, debemos usar un valor de x que cuando multiplicado por 5 nos dé 30, lo cual es x = 6.

¿Cómo se pueden verificar los puntos de intersección con los ejes en la ecuación lineal?

Los puntos de intersección se verifican sustituyendo los valores de x o y a 0 en la ecuación lineal y calculando el otro valor.

¿Cuál es la importancia de conocer la ordenada y la abscisa al origen en una ecuación lineal?

Conocer la ordenada y la abscisa al origen es importante porque estos puntos son los puntos de intersección de la recta con los ejes y son útiles para graficar la recta en el plano cartesiano.

¿Cómo se determina la pendiente de una recta dada por una ecuación lineal?

La pendiente de una recta se determina por el coeficiente que multiplica a x en la ecuación lineal y, en la forma y = mx + b, m representa la pendiente.

Si tenemos la ecuación lineal y = 2x + 1, ¿qué sería la intersección con el eje y?

La intersección con el eje y, que es el ordenado al origen, se encuentra cuando x es 0. Para la ecuación y = 2x + 1, al sustituir x por 0, obtenemos y = 1, por lo que la intersección es el punto (0,1).

Outlines

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📈 Representación gráfica de una ecuación lineal

En este párrafo se explica cómo dibujar la gráfica de la ecuación lineal y = ½x - 3 en el plano. Se comienza por generar una tabla de valores para x y y, destacando que al calcular el valor de y cuando x es 0, el resultado es -3. Se sugiere usar múltiplos de 2 para facilitar los cálculos, obteniendo los puntos (0, -3), (2, -2) y (4, -1), suficientes para trazar la recta. Finalmente, se procede a graficar estos puntos en el plano y se traza la recta que representa la ecuación.

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🔗 Intersecciones de la recta con los ejes

Este párrafo detalla cómo identificar las intersecciones de la recta con los ejes coordenados. La intersección con el eje x, llamada abscisa al origen, se encuentra en el punto (6, 0). La intersección con el eje y, conocida como ordenada al origen, ocurre en el punto (0, -3). Ambos puntos son verificados en la ecuación, confirmando que cuando x es 0, y es -3, y cuando y es 0, x es 6.

🧮 Resolviendo una nueva ecuación lineal

En este párrafo se introduce una nueva ecuación lineal, 5x + 6y = 30. Se invita al lector a intentar encontrar las intersecciones de la recta con los ejes por su cuenta. Luego, se comienza construyendo una tabla de valores para x y y. Se encuentra que cuando x es 0, y es 5, lo que da la ordenada al origen en el punto (0, 5). Cuando y es 0, x es 6, obteniendo la abscisa al origen en el punto (6, 0).

📏 Graficando la segunda ecuación

El párrafo finaliza explicando cómo graficar los puntos obtenidos de la ecuación 5x + 6y = 30, uniendo los puntos (0, 5) y (6, 0) para dibujar la recta. Se confirma que el primer punto es la ordenada al origen y el segundo es la abscisa al origen, mostrando cómo estos puntos ayudan a graficar la ecuación.

Keywords

💡Ecuación lineal

Una ecuación lineal es una relación matemática que describe una línea en el plano cartesiano. Se caracteriza por tener una inclinación constante y un término independiente. En el guion, se utiliza para representar la recta y se ejemplifica con y = ½x - 3, donde la inclinación es ½ y el término independiente es -3.

💡Plano cartesiano

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional donde los puntos son definidos por un par de números, conocidos como coordenadas x e y. Es fundamental para graficar ecuaciones lineales, como se demuestra en el guion al dibujar la recta que representa la ecuación y = ½x - 3.

💡Coordenadas x e y

Las coordenadas x e y son los valores que definen la posición de un punto en el plano cartesiano. En el guion, se utilizan para calcular los puntos que satisfacen la ecuación lineal y para dibujar la recta correspondiente en el plano cartesiano.

💡Recta

Una recta es la gráfica de una ecuación lineal en el plano cartesiano. Se caracteriza por tener una inclinación y un punto que define su posición. En el guion, se describe cómo dibujar una recta a partir de la ecuación lineal y se ejemplifica con la ecuación y = ½x - 3.

💡Inclinación

La inclinación de una recta es la pendiente que mide la cantidad de cambio en y por cada unidad de cambio en x. Se representa con la letra 'm' en la ecuación y = mx + b. En el guion, la inclinación de la recta es ½, lo que indica que la recta sube ½ unidad vertical por cada unidad horizontal.

💡Término independiente

El término independiente en una ecuación lineal es la cantidad que se añade a la variable multiplicada por la inclinación para obtener el valor de y. Se representa con la letra 'b' en la ecuación y = mx + b. En el guion, el término independiente es -3, lo que significa que la recta corta el eje y en -3.

💡Intersección con los ejes

La intersección de una recta con los ejes x e y se conoce como la abscisa y la ordenada al origen, respectivamente. Estas intersecciones son puntos clave en la gráfica de una recta. En el guion, se calculan las intersecciones para la ecuación y = ½x - 3, encontrando que la abscisa al origen es (6,0) y la ordenada al origen es (0,-3).

💡Abscisa al origen

La abscisa al origen es el punto donde una recta interseca el eje x. Se calcula estableciendo y = 0 en la ecuación lineal y resolviendo para x. En el guion, se encuentra que la abscisa al origen para la ecuación y = ½x - 3 es (6,0).

💡Ordenada al origen

La ordenada al origen es el punto donde una recta interseca el eje y. Se calcula estableciendo x = 0 en la ecuación lineal y resolviendo para y. En el guion, se encuentra que la ordenada al origen para la ecuación y = ½x - 3 es (0,-3).

💡Tabla de valores

Una tabla de valores es una herramienta utilizada para encontrar los puntos que satisfacen una ecuación matemática. Se llena con pares de valores x e y que, cuando se grafican, definen la recta. En el guion, se usa una tabla de valores para calcular los puntos que se utilizan para dibujar la recta de la ecuación y = ½x - 3.

Highlights

La ecuación lineal y = ½x - 3 representa una recta en el plano cartesiano.

Para graficar la recta, se pueden elegir múltiplos de 2 para x para facilitar los cálculos.

Al igualar x a 0, se obtiene el punto (0, -3) en la recta.

Al igualar x a 2, se obtiene el punto (2, -2) en la recta.

Al igualar x a 4, se obtiene el punto (4, -1) en la recta.

Dos puntos son suficientes para dibujar una recta en el plano cartesiano.

La intersección de la recta con el eje x se conoce como abscisa al origen.

La intersección de la recta con el eje y se conoce como ordenada al origen.

La ecuación 5x + 6y = 30 se usa para encontrar la ordenada y la abscisa al origen.

Al igualar x a 0 en la ecuación 5x + 6y = 30, se obtiene la ordenada al origen (0, 5).

Al igualar y a 0 en la ecuación 5x + 6y = 30, se obtiene la abscisa al origen (6, 0).

Para graficar la recta 5x + 6y = 30, se utilizan los puntos (0, 5) y (6, 0).

La gráfica de la ecuación 5x + 6y = 30 muestra una recta que pasa por los puntos (0, 5) y (6, 0).

La ordenada al origen se encuentra al igualar x a 0 en la ecuación lineal.

La abscisa al origen se encuentra al igualar y a 0 en la ecuación lineal.

La ecuación lineal se puede verificar con los puntos de intersección con los ejes.

Transcripts

Digamos que tenemos la ecuación lineal y = ½x - 3.  Si quisiéramos dibujar la recta que representa el  

conjunto de puntos donde los valores de sus  coordenadas x y y satisfacen esta ecuación,  

podríamos empezar dibujando en el plano  algunos de esos puntos y unirlos con una recta,  

porque esta ecuación está representada en el  plano con una recta. Hagamos una tabla para  

los valores de x y y, y lo que vamos a hacer  es dar algunos valores de x para obtener los  

valores de y. ¿Qué pasa si decimos que el valor  de x es 0? Entonces tendremos que ½ por 0 es 0,  

y nos queda -3, entonces y sería -3. Ahora  bien, aquí tenemos ½, así que multipliquemos  

por cosas que sean múltiplos de 2 para que sea  más fácil calcular el valor de y. Por ejemplo,  

¿qué pasa si x es 2? Si x es 2, 2 • ½ es 1 y 1 - 3  es -2. Muy bien, ahora veamos qué pasa si x es 4:  

4 / 2 es 2 - 3 es -1, y de hecho ya con esos  puntos es suficiente para dibujar una recta. En  

realidad, para dibujar una recta sólo necesitamos  dos puntos. Muy bien, entonces vamos a graficar  

estos puntos en el plano coordenado que tenemos  aquí. El primero de ellos es 0 - 3, entonces  

corresponde a este punto que tenemos aquí; el  siguiente es 2 - 2, que corresponde a este otro  

punto que tenemos aquí, y también tenemos 4 - 1,  que es este otro punto. Ahora, nosotros podríamos  

intentar dibujar la recta simplemente uniendo  esos puntos, y más o menos se vería algo así,  

más o menos de esta forma, muy bien y ahí tenemos  la gráfica o la recta que representa esta ecuación  

lineal. Entonces vamos a escribirlo: esta es  la gráfica de la ecuación y = ½x - 3. Ahora  

que ya tenemos esta gráfica, cuando vemos  una gráfica de este estilo es interesante  

ver dónde interseca los ejes, entonces primero  tratemos de ver la intersección con el eje x,  

que es el eje horizontal. Podemos observar que  esa intersección se encuentra en este punto,  

esta es la intersección con el eje x, y a este  punto en particular se le conoce como abscisa  

al origen, esta es la abscisa al origen, y, por  supuesto, la coordenada es 6,0. Entonces, siempre  

que veamos una recta que interseca al eje x el  punto donde el interseca se conoce como abscisa  

al origen. En este caso la coordenada es 6,0, y  por supuesto que la coordenada y es 0, justamente  

porque estamos sobre el eje x o el eje de las  abscisas, como también se le conoce al eje x,  

y por eso es que este punto lleva ese nombre. Muy  bien, ahora podríamos preguntarnos ¿en qué punto  

interseca esta recta al eje y? Y podemos observar  que este es el punto donde interseca al eje,  

y de hecho aquí está en la tabla. Cuando x es 0  nos encontramos sobre el eje y, el eje vertical,  

en el punto -3 sobre el eje y, y entonces a  este punto se le conoce como ordenada al origen,  

porque al eje y también se le conoce como el eje  de las ordenadas, y este punto es 0, -3. Muy bien,  

ahí tenemos tanto la abscisa como la ordenada  al origen. Ahora bien, este punto también lo  

podríamos verificar en nuestra ecuación. Veamos:  cuando x vale 0, entonces tenemos que y vale -3,  

el otro punto sería cuando y vale 0, entonces  cuando y vale 0 tenemos que ½x - 3 es 0, es decir,  

necesitamos un valor de x que al dividirlo entre  2 y restarle 3 nos dé 0, por lo que si x vale 6  

al dividirlo entre 2 es 3 y al restarle 3 nos da  0. Entonces estos dos puntos los podemos verificar  

directamente en nuestra ecuación lineal. Muy  bien, ahora que ya sabes cómo se encuentran  

las ordenadas y la abscisa al origen, vamos a  hacer otro ejemplo. Digamos que tenemos ahora  

la ecuación lineal 5x + 6y = 30. Como siempre  te invito a que hagas una pausa y trates de  

hallar por tu cuenta la ordenada y la abscisa al  origen de la gráfica que describe esta ecuación,  

que de hecho es una recta. Vamos a hacerlo juntos,  vamos a comenzar haciendo nuestra tabla. Bien,  

pongamos una tabla donde tengamos los valores de  x y los valores de y. Ahora, si nosotros queremos  

encontrar la ordenada al origen necesitamos  que el valor de x sea 0, entonces si x vale 0  

este término es 0. Y ahora nos preguntamos ¿qué  valor de y al multiplicarlo por 6 nos da 30?,  

y el valor de y que al multiplicarlo por 6 nos da  30 es 5, entonces y vale 5. Y si ahora queremos  

encontrar la abscisa al origen, eso es cuando  y vale 0, entonces este término es igual a 0,  

y nos preguntamos ¿qué valor de x al multiplicarlo  por 5 nos da 30? Entonces vemos que si y vale 0,  

entonces x tendrá que ser 6, porque 6 • 5  es 30. Ya podemos graficar estos puntos:  

tenemos el 0,5 que se encuentra aquí, y tenemos el  6,0, que coincide con este otro punto de la recta,  

y nosotros queremos dibujar la recta que pasa por  estos dos puntos, podríamos hacer algo así y luego  

así para dibujar el otro lado, más o menos. Y ahí  tenemos la gráfica de la recta que satisface esta  

ecuación, y simplemente necesitábamos dos puntos:  el primero de ellos es la ordenada al origen,  

cuyas coordenadas son 0,5, este de aquí  es el punto de la ordenada al origen,  

y podemos observar que también este punto, el  6,0, coincide con la abscisa al origen. Muy bien,  

ahí tenemos otro ejemplo más de cómo  encontrar las intersecciones con los ejes.