Second Shifting Theorem | Type 2 Problems | t Shift | Heaviside Theorem | Laplace transform | Maths

Summary

Dans cette vidéo, l'instructeur explique en détail comment résoudre des problèmes numériques de type 2 en utilisant le théorème du décalage secondaire, avec un accent particulier sur la transformation inverse de Laplace. L'exemple pratique guide les étudiants à travers les étapes nécessaires pour appliquer correctement la formule du décalage, en identifiant les valeurs et en simplifiant l'équation. Ce processus permet de résoudre efficacement les fonctions décalées, en montrant l'application du théorème à travers des transformations inverse de Laplace pour obtenir la solution finale.

Takeaways

• 😀 Le théorème du décalage secondaire permet de calculer la transformation de Laplace inverse à partir d'une fonction transformée.
• 😀 La formule du théorème du décalage secondaire est : L⁻¹{e^(-as) F(s)} = u(t-a) f(t-a), où u(t-a) est la fonction échelon.
• 😀 Le but de cette vidéo est de résoudre des problèmes numériques en utilisant ce théorème pour trouver la transformation de Laplace inverse.
• 😀 Pour chaque problème, on compare la fonction donnée avec les formes standard des transformations de Laplace.
• 😀 Dans un exemple, on trouve l'inverse de 1 / (s² + 4), en comparant avec la forme standard pour cos(at), ici a=2, ce qui donne cos(2t).
• 😀 L'inverse de la transformation de Laplace 1 / (s² + 4) est cos(2t), ce qui montre l'application du théorème pour un cas simple.
• 😀 Lorsqu'une expression contient un facteur e^(-as), cela indique un décalage, ce qui nécessite d'appliquer le théorème du décalage secondaire.
• 😀 Dans un autre exemple, l'objectif est de trouver l'inverse de Laplace d'une fonction du type (s² + 5²) dans le dénominateur, ce qui nécessite de comparer avec des formes standard.
• 😀 La réponse est obtenue en utilisant l'inverse de Laplace d'une fonction trigonométrique, comme cos(πt) lorsque a=5.
• 😀 Le processus implique l'application de formules standard et l'ajustement des équations selon les spécifications du problème donné.
• 😀 Le résultat final de chaque problème est écrit avec le terme u(t-a) pour indiquer le décalage, ce qui est essentiel pour obtenir la réponse correcte.

Q & A

Qu'est-ce que le théorème du décalage secondaire dans la transformée de Laplace?

Le théorème du décalage secondaire est utilisé pour trouver la transformée de Laplace inverse d'une fonction en introduisant un décalage dans la variable du temps. Cela permet de simplifier certains calculs pour des fonctions qui ont une composante décalée dans le temps.

Quelle est la formule du théorème du décalage secondaire de type 2?

La formule du théorème du décalage secondaire de type 2 est la suivante : si l'on doit trouver la transformée de Laplace inverse d'une fonction, cela se fait en utilisant la relation : L^{-1}[e^{at} * f(t)] = f(t - a) * u(t - a), où u(t - a) est la fonction échelon unitaire.

Comment résoudre un problème de transformée de Laplace inverse en utilisant ce théorème?

Pour résoudre un problème, on compare d'abord l'expression donnée à celle de la transformée de Laplace de base, puis on applique la formule du théorème du décalage secondaire pour déterminer la fonction temporelle correspondante.

Dans l'exemple donné, quelle est la valeur de 'a' dans l'équation de la transformée de Laplace?

Dans l'exemple, la valeur de 'a' est égale à 2, comme on peut le voir dans l'expression e^{2t}, où 'a' correspond au terme exponentiel dans la fonction.

Quelle est l'importance de l'échelon unitaire (u(t-a)) dans l'application du théorème du décalage?

L'échelon unitaire (u(t-a)) est utilisé pour définir le moment où la fonction devient non nulle, c'est-à-dire à partir du temps 'a'. Cela permet de prendre en compte le décalage temporel dans la transformée de Laplace.

Dans l'exemple, pourquoi faut-il comparer l'expression donnée à la transformée de Laplace standard?

Comparer l'expression donnée à la transformée de Laplace standard permet de déterminer la fonction temporelle correspondante et de choisir la formule appropriée pour appliquer le théorème du décalage secondaire.

Que représente la fonction cos(2t) dans l'exemple de calcul de la transformée de Laplace?

La fonction cos(2t) dans l'exemple représente la forme finale de la fonction temporelle obtenue après avoir appliqué la transformée de Laplace inverse à l'expression donnée.

Que signifie l'utilisation de l'inverse de la transformée de Laplace, L^{-1}?

L'inverse de la transformée de Laplace, notée L^{-1}, est utilisée pour retrouver la fonction temporelle originale à partir de sa transformée de Laplace, ce qui est essentiel pour résoudre les équations différentielles et d'autres problèmes en analyse.

Pourquoi la fonction cos(2t) est-elle utilisée comme réponse à l'inverse de la transformée de Laplace dans l'exemple?

La fonction cos(2t) est utilisée comme réponse car, après avoir appliqué le théorème du décalage secondaire, la transformée inverse de l'expression donnée dans l'exemple donne une fonction de type cos(2t).

Quelles sont les étapes générales pour appliquer le théorème du décalage secondaire de type 2 à un problème donné?

Les étapes générales incluent : (1) Identifier la forme de la fonction dans l'expression donnée, (2) Appliquer la formule du décalage secondaire pour trouver la fonction temporelle correspondante, (3) Utiliser les propriétés de la transformée de Laplace inverse pour résoudre le problème.