Comment calculer une intégrale en effectuant un changement de variables?

Bibmath.net

10 Jun 202213:59

Summary

TLDRCette vidéo éducative explique en détail comment réaliser un changement de variables dans une intégrale. Elle débute par le théorème de changement de variables, suivi par trois exemples concrets pour illustrer la procédure. Le premier exemple aborde l'intégration de \(2\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})\) entre 1 et 4, en utilisant la fonction \(\sqrt{x}\). Le deuxième exemple montre comment intégrer \(e^t\) entre 0 et 1 en posant \(x = e^t\). Le troisième exemple traite de l'intégrale de \(\sqrt{1 - t^2}\) entre -1 et 1, avec \(x = \sin(t)\). La vidéo met l'accent sur la compréhension du changement de variables et sur la recherche d'une approche géométrique pour interpréter les résultats intégraux.

Takeaways

📚 Le script d'une vidéo sur le changement de variables dans une intégrale est analysé.
📐 Le théorème du changement de variables est expliqué, permettant de simplifier des intégrales complexes.
🔍 L'objectif est de remplacer une fonction complexe par une plus simple dont la primitive est facile à calculer.
📈 Trois exemples sont donnés pour illustrer l'application du théorème du changement de variables.
🧩 Le premier exemple traite de l'intégration de \( \sqrt{1 - x^2} \) sur un intervalle, en utilisant le changement de variables \( \theta = \arcsin(x) \).
📉 Le deuxième exemple montre comment intégrer \( e^t \) en utilisant \( x = e^t \) et simplifie l'expression en une fraction rationnelle.
📊 Le troisième exemple calcule l'intégrale de \( \sqrt{1 - t^2} \) avec \( x = \sin(t) \), ce qui conduit à une intégrale de puissance de \( \cos(x) \).
🎯 L'importance de la notation physique est soulignée pour exprimer l'élément différentiel en fonction des variables nouvelles et anciennes.
📝 L'exemple de l'intégrale de \( \sqrt{1 - x^2} \) est expliqué en détail, montrant les étapes pour simplifier et calculer la primitive.
📚 Il est mentionné que les intégrales de forme \( \int \frac{1}{x} dx \) et \( \int \frac{1}{x^2 + 1} dx \) ont des primitives élémentaires.
🤔 L'interprétation géométrique de l'intégrale de \( \sqrt{1 - x^2} \) est invitée à être explorée par les spectateurs dans les commentaires.
🔚 La vidéo se conclut en espérant que les spectateurs ont appris à effectuer un changement de variables dans une intégrale.

Q & A

Quel est le sujet principal de cette vidéo ?
-La vidéo traite du changement de variables dans une intégrale, en se basant sur le théorème du changement de variables.
Quel est le théorème utilisé pour effectuer un changement de variables dans une intégrale ?
-Le théorème utilisé est le théorème du changement de variables, qui permet de transformer une intégrale complexe en une intégrale plus simple.
Quel est le but général du changement de variables dans une intégrale ?
-Le but est de remplacer une fonction complexe dont la primitive n'est pas évidente par une fonction plus simple dont on peut calculer la primitive.
Combien d'exemples sont donnés dans la vidéo pour illustrer l'application du théorème du changement de variables ?
-Trois exemples sont donnés pour montrer comment appliquer le théorème du changement de variables.
Dans le premier exemple, quelle fonction est choisie pour le changement de variables ?
-Dans le premier exemple, la fonction choisie pour le changement de variables est \( \sqrt{t} \), avec \( t = x^2 \).
Comment les bornes de l'intégrale sont-elles modifiées après le changement de variables dans le premier exemple ?
-Dans le premier exemple, les bornes de l'intégrale sont modifiées en passant de l'intervalle [1, 4] pour \( t \) à l'intervalle [1, 2] pour \( x \) après le changement de variables.
Quel est le deuxième exemple abordé dans la vidéo pour le changement de variables ?
-Le deuxième exemple traite de l'intégrale de \( 2t \) sur un \( e^t \) sur l'intervalle [0, 1], en posant \( x = e^t \).
Quelle est la différence entre le calcul de l'élément différentiel \( dt \) et \( dx \) dans le deuxième exemple ?
-Dans le deuxième exemple, l'élément différentiel \( dt \) est transformé en \( dx \) en utilisant la relation \( dt = \frac{dx}{e^x} \) après le changement de variables.
Quel est le troisième exemple de changement de variables présenté dans la vidéo ?
-Le troisième exemple concerne l'intégrale de \( \sqrt{1 - t^2} \) sur l'intervalle [-1, 1], en posant \( x = \sin(t) \).
Comment la géométrie est-elle liée à l'intégrale de la forme \( \int \sqrt{1 - t^2} \, dt \) ?
-La géométrie est liée à cette intégrale car elle représente la longueur d'un arc de cercle, et la vidéo invite les spectateurs à réfléchir à cette interprétation géométrique.
Quel est le résultat final de l'intégrale du troisième exemple après le changement de variables ?
-Le résultat final de l'intégrale du troisième exemple est \( \frac{\pi}{2} \) après avoir effectué le changement de variables et calculé la primitive.
Comment la notation 'physicienne' est-elle utilisée dans la vidéo pour faciliter le calcul intégral ?
-La notation 'physicienne' est utilisée pour exprimer l'élément différentiel \( dt \) en fonction de l'ancienne variable en utilisant l'élément différentiel \( dx \) de la nouvelle variable, ce qui facilite le calcul intégral.

Outlines

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📚 Introduction au changement de variables en intégrale

La première partie du script introduit le concept de changement de variables dans les intégrales, en se basant sur le théorème du changement de variables. Il est expliqué qu'il s'agit d'une technique permettant de simplifier le calcul d'intégrales complexes en les transformant en des formes plus accessibles. Le script présente les conditions nécessaires pour l'application de cette méthode, à savoir que la fonction 'f' doit être continue et dérivable sur un intervalle donné, et que la fonction de changement de variables doit être de classe C1. L'objectif est de remplacer une fonction complexe dont la primitive n'est pas évidente par une fonction plus simple dont on peut calculer la primitive.

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📘 Exemple 1 : Intégrale avec racine de thé

Dans le premier exemple, le script détaille le calcul d'une intégrale complexe où la fonction à intégrer présente une racine de thé dans le numérateur et le dénominateur. Le changement de variables proposé est de définir 'u' comme étant égal à la racine de thé, ce qui permet de simplifier considérablement l'expression. Après avoir défini la nouvelle variable et sa dérivée, le script montre comment appliquer le théorème du changement de variables pour réécrire l'intégrale d'origine en une nouvelle intégrale plus simple, qui est ensuite résolue en utilisant des méthodes standard de calcul de primitives.

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📙 Exemple 2 : Intégrale avec exponentielle

Le deuxième exemple aborde le calcul d'une intégrale impliquant une fonction exponentielle. Le changement de variables choisi est de définir 'x' comme étant égal à l'exponentielle de 't', ce qui permet de remplacer 'dt' par 'dx/ex'. Le script explique comment dériver cette nouvelle variable par rapport à 't' et comment exprimer 'dt' en fonction de 'dx'. Suite à cela, il est montré comment les bornes de l'intégrale d'origine évoluent avec le changement de variables et comment résoudre l'intégrale transformée en utilisant des techniques de calcul de primitives pour des fractions rationnelles.

📒 Exemple 3 : Intégrale avec sinus et cosinus

Le troisième exemple traite d'une intégrale contenant des fonctions sinus et cosinus, où le changement de variables est réalisé dans le sens inverse par rapport aux deux exemples précédents, en exprimant l'ancienne variable 't' en fonction de la nouvelle variable 'x'. Le script montre comment calculer la dérivée de la nouvelle variable par rapport à l'ancienne et comment exprimer 'dt' en fonction de 'dx'. Il est également expliqué comment les bornes de l'intégrale sont affectées par le changement de variables. Finalement, le script résout l'intégrale transformée en utilisant des techniques de trigonométrie et de calcul de primitives pour des fonctions de puissance de sinus.

Mindmap

Keywords

💡Changement de variables

Le changement de variables est une technique utilisée dans l'intégration pour simplifier une intégrale complexe en une autre plus facile à calculer. Dans le script, il est utilisé pour transformer des intégrales en des formes plus maniables, comme le montre l'exemple de l'intégrale de 2sqrt(t) qui est transformée en une intégrale de fonction de x après le changement de variables x = sqrt(t).

💡Théorème du changement de variables

Ce théorème est la base pour effectuer un changement de variables dans une intégrale. Il permet de réécrire une intégrale en une nouvelle intégrale équivalente où la variable d'intégration est modifiée. Dans le script, le théorème est énoncé et utilisé pour calculer plusieurs intégrales, montrant comment il permet de simplifier les calculs intégraux.

💡Fonction continue

Une fonction continue est une fonction qui peut être représentée par une ligne sans sauts ou points d'accroissement brusque. Dans le contexte de l'intégration, les fonctions continues sont importantes car elles sont intégrables sur un intervalle donné. Le script mentionne que f est une fonction continue sur son intervalle, ce qui est une condition nécessaire pour l'application du théorème du changement de variables.

💡Intégrale

L'intégrale est une opération mathématique qui permet de calculer la surface sous un graphique de fonction ou la volume d'un solide de révolution. Dans le script, l'intégrale est le concept central autour duquel tournent les explications et les calculs, notamment l'intégrale de f(sqrt(t)) entre a et b.

💡Fonction de classe C1

Une fonction de classe C1 est une fonction qui est à la fois continue et dont la dérivée est également continue. Ce type de fonction est souvent requis pour les théorèmes d'intégration telle que le théorème du changement de variables. Le script indique que f est de classe C1, ce qui est crucial pour l'application du théorème.

💡Primitive

Une primitive d'une fonction est une fonction dont la dérivée est la fonction originale. Dans le script, le but de l'intégration est de trouver une primitive de la fonction intégrée, ce qui est illustré par le calcul de primitives pour résoudre les intégrales.

💡Exponentielle

L'exponentielle est une fonction mathématique de base, souvent notée e^x, où e est la base naturelle du logarithme. Dans le script, le changement de variables x = e^t est utilisé pour simplifier l'intégrale de 2t par rapport à t entre 0 et 1.

💡Racine de thé

La racine de thé est une expression utilisée pour désigner la racine carrée d'une variable, souvent utilisée dans les intégrales pour simplifier les expressions. Dans le script, le terme est utilisé pour décrire le changement de variables phi(t) = sqrt(t) lors de l'intégration de 2sqrt(t).

💡Physicien

Dans le script, le terme 'physicien' est utilisé pour décrire une méthode de notation qui permet d'exprimer l'élément différentiel d(phi) en fonction de l'ancienne variable t et du nouvel élément différentiel dx. Cette notation est utile pour les physiciens et les ingénieurs pour lier les variables d'ancienne et nouvelle forme.

💡Sinus

Le sinus est une fonction trigonométrique qui apparaît dans de nombreuses formes d'intégrales. Dans le script, le changement de variables x = sin(t) est utilisé pour simplifier l'intégrale de sqrt(1 - t^2) entre -1 et 1, illustrant comment les fonctions trigonométriques peuvent être utilisées pour des intégrales complexes.

Highlights

Introduction au changement de variables dans une intégrale en utilisant le théorème du changement de variables.

Condition de continuité de la fonction f et de sa dérivée pour l'application du théorème.

Transformation de l'intégrale en une forme plus simple en remplaçant une fonction complexe par une plus simple dont on connaît la primitive.

Premier exemple : Calcul d'une intégrale avec racine de t en utilisant le changement de variables.

Explication de la motivation derrière le choix de la fonction de substitution et de la simplification du numérateur et du dénominateur.

Démonstration de la simplification de l'intégrale en éliminant le radical et en appliquant le théorème.

Calcul de primitives pour résoudre l'intégrale transformée.

Remarque sur la pratique courante de l'écriture de la fonction intégrée sous forme f(x) après changement de variables.

Utilisation de la notation à la physicienne pour exprimer l'élément différentiel en fonction des variables nouvelles et anciennes.

Second exemple : Calcul d'une intégrale avec exponentielle en changeant de variables.

Détermination de la dérivée de la nouvelle variable et expression de l'élément différentiel en fonction de la variable de départ.

Transformation de l'intégrale et adaptation des bornes d'intégration après le changement de variables.

Recherche d'une primitive pour résoudre l'intégrale rationnelle obtenue.

Troisième exemple : Calcul d'une intégrale avec une fonction sinusoïdale en changeant de variables.

Explication de la réciprocité du changement de variables et de l'expression de l'ancienne variable en fonction de la nouvelle.

Détermination de la dérivée de la variable de substitution et expression de l'élément différentiel.

Transformation de l'intégrale et simplification de la racine carrée en utilisant les propriétés trigonométriques.

Calcul de la primitive de la fonction composée de puissances de sinus et cosinus.

Interprétation géométrique de l'intégrale finale et invitation à la réflexion pour les spectateurs.