Escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida | Khan Academy en Español

Summary

Este video explica cómo una suma de Riemann puede convertirse en una integral definida. Se describe el proceso de calcular el límite cuando n tiende al infinito y cómo se relaciona con el área bajo una curva, usando rectángulos. A través de un ejemplo con la función logaritmo natural, se determina el límite superior y se muestra cómo la suma de Riemann se aproxima a la integral cuando se aumenta el número de divisiones. El objetivo es entender este método para obtener una mejor aproximación del área exacta bajo una curva entre dos puntos.

Takeaways

• 📈 El objetivo del video es reescribir una suma de Riemann como una integral definida.
• 🔢 La integral definida se relaciona con la suma de Riemann mediante el límite cuando n tiende a infinito.
• 📏 La base de los rectángulos en la suma de Riemann es Δx, y la altura es el valor de la función evaluada en algún punto de Δx.
• 📐 Para una suma de Riemann por la derecha, la altura del rectángulo se toma del lado derecho de cada base.
• 🧮 Se identificó que la función parece ser el logaritmo natural, es decir, f(x) = ln(x).
• ➗ El valor de Δx se define como 5/n, basándose en los términos de la suma proporcionada.
• 📝 El límite inferior de integración es 2, y se deduce que el límite superior de integración es 7.
• 📊 La integral definida representa el área bajo la curva de f(x) = ln(x) entre los límites 2 y 7.
• 🧱 Cada rectángulo en la suma de Riemann tiene una base de 5/n, y la altura se calcula usando el logaritmo natural.
• 🔄 La suma de Riemann se aproxima a la integral definida cuando n tiende a infinito, mejorando la precisión del área.

Q & A

¿Qué es una suma de Riemann?

Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva, sumando las áreas de varios rectángulos bajo dicha curva. A medida que aumenta el número de rectángulos, la aproximación se vuelve más precisa.

¿Cómo se relaciona la suma de Riemann con una integral definida?

La suma de Riemann es una aproximación de una integral definida. Cuando tomamos el límite de la suma de Riemann conforme el número de rectángulos tiende a infinito, obtenemos el valor exacto de la integral definida.

¿Qué representa delta x en una suma de Riemann?

Delta x representa la base de cada rectángulo en la suma de Riemann. Es la distancia entre los puntos de partición y se calcula como la diferencia entre los límites de integración dividida por el número de rectángulos (n).

¿Cómo se determina la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?

En una suma de Riemann por la derecha, la altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en el extremo derecho de la base del rectángulo, es decir, en el valor de x correspondiente al extremo derecho de cada intervalo.

¿Qué función se está evaluando en el ejemplo del video?

En el ejemplo del video, se está evaluando la función logaritmo natural (ln(x)). Esta es la función que se utiliza para calcular la altura de los rectángulos en la suma de Riemann.

¿Cómo se reescribe una suma de Riemann como una integral definida?

Para reescribir una suma de Riemann como una integral definida, se identifica la función, los límites de integración y se expresa la suma como el límite de la suma de áreas de rectángulos conforme n tiende a infinito. En este caso, la integral es desde 2 hasta 7 de ln(x) dx.

¿Cuál es el límite superior de la integral en el ejemplo del video?

El límite superior de la integral en el ejemplo del video es 7. Este se determina al resolver la ecuación que surge al relacionar delta x con los límites de integración.

¿Qué representa el área bajo la curva en una integral definida?

El área bajo la curva en una integral definida representa el valor acumulado de la función entre dos puntos (los límites de integración). En términos geométricos, es el área entre la curva de la función y el eje x en ese intervalo.

¿Cómo se aproxima el área bajo la curva usando sumas de Riemann?

El área bajo la curva se aproxima sumando el área de los rectángulos formados bajo la curva. A medida que n (el número de rectángulos) aumenta, la aproximación se vuelve más precisa, y el área total converge al valor de la integral definida.

¿Qué sucede cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann?

Cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann, el tamaño de los rectángulos se reduce y la suma de sus áreas se aproxima más a la verdadera área bajo la curva, convergiendo al valor exacto de la integral definida.