Reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann | Khan Academy en Español

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16 Aug 201704:08

Summary

TLDREn este video se muestra cómo reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann. El ejemplo utilizado es la integral del coseno entre pi y 2pi, destacando que partes de la integral se cancelan mutuamente. Se explica cómo descomponer el área bajo la curva en rectángulos, calcular su base y altura, y establecer una suma de Riemann por la derecha. El propósito es mostrar cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos, mientras el número de divisiones tiende a infinito, logrando una mejor estimación.

Takeaways

🧮 Se practica la reescritura de integrales definidas como el límite de una suma de Riemann.
📉 El ejemplo utiliza la integral definida de coseno de x, de pi a 2 pi.
🎨 Se menciona cómo luce la gráfica del coseno en ese intervalo, con valores específicos en pi y 2 pi.
➗ Se descompone el intervalo en n rectángulos para crear la suma de Riemann.
📏 La base de cada rectángulo es la diferencia entre los límites de integración, pi y 2 pi, dividida entre n.
📐 La altura de los rectángulos se define usando el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo.
🔁 Se utiliza una suma de Riemann por la derecha, calculando alturas en función del valor de la función coseno.
📊 La integral definida representa el área entre la curva y el eje x en ese intervalo.
⚖️ Se menciona que partes de la integral son negativas y otras positivas, lo que lleva a la cancelación y un valor final de 0.
📝 El propósito es expresar la integral como una suma de Riemann tomando el límite cuando n tiende a infinito.

Q & A

¿Qué es una suma de Riemann?
-Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva al dividir el intervalo de la integral en subintervalos pequeños y sumar las áreas de los rectángulos formados.
¿Cómo se relaciona una suma de Riemann con una integral definida?
-Una integral definida se puede expresar como el límite de una suma de Riemann cuando el número de subintervalos tiende a infinito, lo que hace que la aproximación del área bajo la curva sea más precisa.
¿Qué representa la gráfica del coseno entre π y 2π?
-La gráfica del coseno entre π y 2π va desde -1 en π hasta 1 en 2π, lo que forma una curva que pasa por valores negativos y positivos.
¿Por qué la integral definida entre π y 2π del coseno de x es igual a 0?
-La integral definida es igual a 0 porque las áreas bajo la curva entre π y 2π se cancelan mutuamente: la parte negativa compensa la parte positiva.
¿Cómo se calcula la base de los rectángulos en una suma de Riemann?
-La base de cada rectángulo se calcula tomando la diferencia entre los límites de integración (2π - π) y dividiendo esa diferencia por n, es decir, π/n.
¿Cómo se determina la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-La altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en el extremo derecho de cada subintervalo. Por ejemplo, la altura en el primer subintervalo es f(π + π/n).
¿Cuál es la forma general para la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-La forma general de la altura de los rectángulos es f(π + k(π/n)), donde k es el número del subintervalo, y n es el número total de intervalos.
¿Qué sucede con el área de los rectángulos cuando n tiende a infinito?
-Cuando n tiende a infinito, el área de los rectángulos se aproxima cada vez más al área exacta bajo la curva, y la suma de Riemann converge a la integral definida.
¿Cómo se expresa una integral como el límite de una suma de Riemann?
-Una integral se expresa como el límite de una suma de Riemann tomando la suma de las áreas de los rectángulos y haciendo que el número de rectángulos, n, tiende a infinito.
¿Qué importancia tiene el concepto de la suma de Riemann en el cálculo?
-La suma de Riemann es fundamental en el cálculo porque ofrece una manera intuitiva de entender las integrales definidas como el área bajo una curva, aproximándolas a través de sumas de áreas de rectángulos.

Outlines

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📐 Practica de Reescritura de Integrales

El videomuestra cómo reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann. Se explica que la integral definida de cos(x) de π a 2π se puede descomponer en rectángulos para representar el área bajo la curva. Se detalla el proceso de tomar el límite cuando n tiende a infinito, y cómo cada rectángulo se define por su altura (valor de la función en el punto de su extremo derecho) y su base (el intervalo dividido entre n). Además, se menciona que la integral da como resultado un área nula debido a que las áreas positivas y negativas se cancelan mutuamente.

Mindmap

Keywords

💡Integral definida

Una integral definida es un concepto fundamental en cálculo que representa el área bajo una curva en un intervalo específico. En el video, se utiliza el ejemplo de la integral que va desde π hasta 2π del coseno de x, para mostrar cómo calcular esta área, que en este caso es igual a 0, debido a la cancelación de áreas positivas y negativas.

💡Suma de Riemann

La suma de Riemann es un método utilizado para aproximar el valor de una integral mediante la división del área bajo la curva en rectángulos. En el video, se explica cómo reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann, descomponiendo el intervalo en n rectángulos, donde la altura de cada uno está dada por el valor de la función en un punto específico.

💡Límite cuando n tiende a infinito

El límite cuando n tiende a infinito se refiere a la tendencia de una secuencia o serie a un valor específico a medida que el número de términos aumenta indefinidamente. En el video, este concepto se aplica al número de rectángulos en la suma de Riemann; a medida que n crece, la aproximación de la integral se vuelve más precisa.

💡Coseno de x

El coseno de x es una función trigonométrica que mide la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el video, se menciona la gráfica de coseno de x entre π y 2π, donde se observa que el coseno de π es -1 y el coseno de 2π es 1, lo que influye en el cálculo del área bajo la curva.

💡Rectángulos

Los rectángulos son las formas geométricas utilizadas en la suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva. En el video, se dibujan n rectángulos cuya base es constante y cuya altura se determina por el valor de la función coseno en el extremo derecho de cada subintervalo.

💡Base de los rectángulos

La base de los rectángulos es el ancho de cada uno de los rectángulos utilizados en la suma de Riemann. En el video, se explica que la base se calcula dividiendo la diferencia entre los límites de integración (2π - π) entre el número de rectángulos n, lo que da como resultado π/n.

💡Altura de los rectángulos

La altura de los rectángulos en la suma de Riemann está determinada por el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo. En el video, se da el ejemplo de cómo la altura de un rectángulo en el intervalo se calcula como el coseno del punto correspondiente.

💡Intervalos iguales

Los intervalos iguales son divisiones uniformes del intervalo de integración en la suma de Riemann. En el video, el intervalo entre π y 2π se divide en n intervalos iguales, lo que permite calcular la base de los rectángulos como π/n y avanzar con la aproximación de la integral.

💡Área bajo la curva

El área bajo la curva es el valor que se obtiene al calcular una integral definida. En el video, se menciona que el área bajo la curva del coseno entre π y 2π incluye una parte positiva y una negativa, que se cancelan entre sí, resultando en un valor total de 0.

💡Función continua

Una función continua es aquella que no tiene saltos o discontinuidades en su dominio. En el video, la función coseno se presenta como una función continua, lo que facilita su integración y el uso de la suma de Riemann para aproximar el área bajo su curva.

Highlights

Reescritura de una integral definida como el límite de una suma de Riemann.

La integral definida de coseno de x desde pi hasta 2 pi es igual a 0 debido a que las áreas positiva y negativa se cancelan.

La integral definida representa el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado.

Descomposición del intervalo de integración en n rectángulos para obtener la suma de Riemann.

La base de cada rectángulo se obtiene dividiendo el intervalo de integración entre n.

La altura de cada rectángulo está definida por el valor de la función en el extremo derecho del rectángulo.

El intervalo de integración va de pi a 2 pi, y la diferencia entre los límites de integración se divide entre n.

La suma de Riemann por la derecha usa el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo.

La altura del primer rectángulo se obtiene evaluando la función en pi más pi entre n.

La altura del segundo rectángulo se obtiene evaluando la función en pi más dos veces pi entre n.

La forma general para la altura en la suma de Riemann por la derecha es evaluar en pi más (i por pi entre n).

La base de cada rectángulo es constante y es pi entre n.

Cada rectángulo tiene una base y una altura definidas, lo que permite aproximar el área bajo la curva.

Al tomar el límite cuando n tiende a infinito, la suma de Riemann se aproxima a la integral exacta.

El proceso de reescribir una integral como el límite de una suma de Riemann permite comprender mejor la definición de la integral.