INTEGRALES - Clase Completa desde cero

Summary

Este script de video ofrece una introducción a los conceptos fundamentales de las integrales en matemáticas, destacando su importancia y la maravillosa relación que comparten con el álgebra y la geometría. Se explica la suma de Riemann y la integral definida, y se profundiza en el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta las áreas bajo curvas con las funciones derivadas. El video utiliza el ejemplo de la distancia recorrida por un vehículo a una velocidad constante para ilustrar cómo la integral puede representar áreas y distancias en física. Además, se discuten las diferencias entre integrales definidas e indefinidas y se motiva al espectador a entender y aplicar estos conceptos a través de la lógica y los cálculos rigurosos. El script concluye con una perspectiva constructivista sobre el aprendizaje de las matemáticas, enfatizando la importancia de la comprensión y el ejercicio para transformar lo difícil en lo fácil.

Takeaways

• 📚 La integral es una parte fundamental del cálculo que se relaciona con el área bajo la curva de una función y tiene aplicaciones en física y matemáticas.
• 🌟 La suma de Riemann es una aproximación del área bajo la curva que se utiliza para definir la integral definida.
• 📈 El Teorema Fundamental del Cálculo es uno de los teoremas más importantes en matemáticas, estableciendo una relación entre las derivadas y las integrales.
• 🔍 La integral definida es una notación que indica una suma aritmética que busca encontrar el área entre dos puntos de la función.
• 📌 La integral indefinida, o antiderivada, es una función tal que su derivada resulta en la función original.
• 🔢 Una función es integrable si es continua en un intervalo cerrado o tiene una cantidad finita de discontinuidades.
• 🛣️ El área bajo la curva de una función representa la distancia recorrida en un intervalo de tiempo, como en el ejemplo de un vehículo con velocidad constante.
• 🔧 El Teorema Fundamental del Cálculo se compone de dos partes: la primera establece la relación entre una función y su integral, y la segunda parte dice que la integral de una función en un intervalo es igual a la diferencia entre sus antiderivadas en los límites de ese intervalo.
• ➗ Las propiedades de las integrales definidas son importantes para entender cómo se comportan las áreas bajo curvas en diferentes condiciones.
• 📐 La integración por partes y la sustitución son técnicas avanzadas utilizadas cuando una integral no puede ser resuelta directamente utilizando la tabla de antiderivadas.
• 📈 La integral indefinida se escribe con un símbolo 'S' y se utiliza para encontrar la función tal que su derivada es la función original.
• 🎓 El aprendizaje de la integración requiere de construcción de conocimientos y práctica, lo que implica entender los fundamentos y luego aplicarlos en ejercicios para consolidar el aprendizaje.

Q & A

¿Qué es una integral en términos matemáticos básicos?

Una integral es una operación matemática que permite calcular el área bajo la curva de una función entre dos puntos. Representa la acumulación de una cantidad, que puede variar, a lo largo de un intervalo.

¿Cómo se relaciona el concepto de integral con la velocidad y la distancia?

En el contexto físico, la integral de una función de velocidad respecto al tiempo nos da la distancia total recorrida. Por ejemplo, si la velocidad es constante y se integra respecto al tiempo, el resultado es el área bajo la curva de velocidad, que equivale a la distancia recorrida.

¿Qué es la suma de Riemann y cuál es su propósito?

La suma de Riemann es una técnica para aproximar el valor de una integral. Consiste en dividir el área bajo la curva en rectángulos pequeños, sumar el área de estos rectángulos, y así estimar el área total bajo la curva a medida que el número de rectángulos aumenta.

¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo?

El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Especifica que la integral definida de una función desde a hasta b, si se deriva, resulta en la función original, estableciendo una conexión profunda entre la integral y la derivada de una función.

¿Qué es una integral definida y cómo se calcula?

Una integral definida se calcula sumando infinitesimalmente pequeñas cantidades de una función a lo largo de un intervalo específico. Esto se representa comúnmente con la notación de una 'S' alargada, y el resultado es el valor numérico del área bajo la curva de la función en ese intervalo.

¿Cómo se puede visualizar geométricamente una integral?

Geométricamente, una integral puede visualizarse como el área bajo la curva de una función en un gráfico. Este área puede representarse como la suma de rectángulos infinitesimalmente delgados que cubren completamente el espacio bajo la curva entre dos puntos.

¿Qué es una antiderivada y cómo se relaciona con las integrales?

Una antiderivada de una función es otra función cuya derivada da la función original. En términos de integrales, la antiderivada facilita el cálculo de integrales definidas utilizando el teorema fundamental del cálculo, donde la integral de una función en un intervalo es la diferencia de su antiderivada evaluada en los extremos del intervalo.

¿Cuáles son algunas aplicaciones prácticas de las integrales en la vida real?

Las integrales tienen numerosas aplicaciones en la vida real, incluyendo física para calcular distancias y áreas bajo curvas de velocidad, economía para modelar la acumulación de intereses, biología en modelos de población, y en ingeniería para el análisis estructural y el diseño de sistemas.

¿Qué significa que una función sea 'integrable'?

Una función es 'integrable' si es posible calcular una integral definida sobre un intervalo especificado. Esto generalmente requiere que la función no tenga discontinuidades infinitas o comportamientos inmanejables en dicho intervalo.

¿Qué metodologías existen para el cálculo de integrales más complejas?

Además de la suma de Riemann, existen otras técnicas como la sustitución y la integración por partes, cada una adecuada para diferentes tipos de funciones y situaciones. También se pueden utilizar métodos numéricos para integrales que no pueden resolverse analíticamente.

Outlines

00:00

😀 Introducción a las Integrales

El primer párrafo introduce el tema de las integrales, destacando su importancia y la maravillosa exploración de conceptos matemáticos que involucran. Se menciona la suma de Riemann y la integral definida, así como la relevancia del teorema fundamental del cálculo. Además, se motiva al espectador a aprender y a cambiar la forma tradicional de enseñar las matemáticas.

05:01

🏎️ La Integral como Área Bajo la Curva

Este párrafo utiliza el ejemplo de una velocidad constante para explicar la integral como el área bajo la curva. Se discute cómo la integral de una función puede representar físicamente la distancia recorrida y se explora la forma en que la integral se relaciona con la velocidad y la distancia en física.

10:06

📏 Sumas de Riemann y Aproximaciones

Se profundiza en la técnica de las sumas de Riemann como una forma de aproximar el área bajo una curva. Se describe cómo se pueden usar rectángulos para estimar áreas y cómo se evalúa la función para encontrar la altura de estos rectángulos. Además, se discute la precisión de las aproximaciones y cómo se relaciona con la cantidad de intervalos considerados.

15:07

🔢 Definición de Integral Definida

Este párrafo define formalmente la integral definida como el límite de una suma cuando el número de subintervalos se hace muy grande. Se discute la existencia del límite y las condiciones bajo las cuales una función es integrable, es decir, continua o tiene una cantidad finita de discontinuidades.

20:14

🤔 Análisis de la Notación Integral

Se realiza un análisis detallado de la notación utilizada en las integrales definidas, destacando su simbolismo y su interpretación. Se menciona la obra de James Stewart y cómo la integral no se divide para encontrar su significado, sino que sirve para indicar la variable de integración.

25:19

🧮 Teorema Fundamental del Cálculo

Se presenta el teorema fundamental del cálculo, destacando su importancia en la conexión entre el cálculo diferencial y el integral. Se explica cómo la integral de una función dada puede ser encontrada a través de su antiderivada y cómo esto se relaciona con el área bajo la curva de la función.

30:22

🔁 Propiedades de las Antiderivadas

Este párrafo explora la noción de antiderivada y sus propiedades. Se discute que cualquier función que sea antiderivada de otra, solo difiere en una constante. Además, se destaca la importancia de la constante al agregarse a la antiderivada general.

35:23

📐 Integral Indefinida y Aplicaciones

Se describe la integral indefinida y cómo se relaciona con las antiderivadas. Se menciona que la integral indefinida es una forma de escribir la antiderivada sin especificar límites. También se discuten las técnicas para calcular áreas bajo curvas, ya sea a través de sumas de Riemann o utilizando el teorema fundamental del cálculo.

40:26

📉 Cálculo de Áreas con Integrales

Este párrafo se enfoca en el cálculo del área bajo la curva de una función específica entre dos puntos. Se utiliza el ejemplo de la función x al cuadrado para demostrar cómo se calcula esta área, destacando la importancia de la evaluación de la primitiva en los límites de integración.

🎓 Conclusión y Recomendaciones

El último párrafo concluye con una reflexión sobre la complejidad del cálculo integral en comparación con el cálculo diferencial. Se motiva al espectador a practicar y a entender profundamente los conceptos, y se recomienda recursos adicionales para el estudio, incluyendo libros y videos de otros profesores.

Keywords

💡Integrales

Integrales son una parte fundamental del cálculo que permite calcular áreas, volumes y otros valores asociados a funciones matemáticas. En el video, se exploran conceptos como la suma de Riemann y la integral definida, que son técnicas para calcular áreas bajo curvas, esenciales para entender la integración.

💡Suma de Riemann

La suma de Riemann es una aproximación del valor de una integral definida. Se utiliza para encontrar el área bajo la curva de una función dada por subdividir el intervalo en pequeños rectángulos y sumar sus áreas. En el video, se menciona como una introducción a la idea de calcular áreas a través de la integración.

💡Integral definida

La integral definida es una notación matemática que representa el área total bajo la curva de una función en un intervalo determinado. Es una de las herramientas fundamentales en el análisis integral y se relaciona directamente con la suma de Riemann, como se discute en el video.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo es una relación clave entre la derivación y la integración. El teorema establece que la integral de una función continua en un intervalo cerrado es igual a la función antiderivada evaluada en los límites de ese intervalo. En el video, se destaca como uno de los pilares de la matemática.

💡Área bajo la curva

El área bajo la curva es un concepto que se refiere a la cantidad de espacio comprendido entre la curva de una función y el eje de sus valores independientes. En el contexto del video, el cálculo de este área es el objetivo principal de la integración.

💡Funciión antiderivada

Una función antiderivada, también conocida como una primitiva, es una función de la cual se puede derivar para obtener la función original. En el video, se explica que encontrar una antiderivada es esencial para la integración, y se relaciona con el Teorema Fundamental del Cálculo.

💡Derivación

La derivación es el proceso de encontrar la derivada de una función, que representa la tasa en que una cantidad cambia con respecto a otra. En el video, la derivación se contrapone a la integración y se relaciona con el cálculo diferencial, que es el estudio de las tasas de cambio.

💡Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una rama del análisis matemático que estudia la variación de funciones y sus tendencias a corto plazo. En el video, se conecta con el cálculo integral a través del Teorema Fundamental del Cálculo, mostrando cómo ambas áreas están interconectadas.

💡Cálculo integral

El cálculo integral es la otra mitad del álgebra differential, que se enfoca en el estudio de áreas y volumes a largo plazo. En el video, se resalta como una herramienta para calcular áreas bajo curvas y se relaciona con la integración definida y la suma de Riemann.

💡Velocidad y distancia

En el video, se utiliza el ejemplo de la velocidad de un vehículo para ilustrar la idea de integración. La velocidad es una función de tiempo, y el área bajo la curva de la velocidad en un intervalo de tiempo representa la distancia recorrida por el vehículo en ese intervalo.

💡Rectángulos y sumas

En el contexto de la suma de Riemann, los rectángulos se utilizan para aproximar áreas bajo curvas. Se divide el intervalo en subintervalos y se calcula el área de cada uno usando rectángulos, cuya altura es la evaluación de la función en un punto del subintervalo. En el video, esta técnica se describe como una aproximación inicial para el cálculo de áreas.

Highlights

Se discuten los conceptos fundamentales sobre integrales y su importancia en la matemática.

Se introduce la suma de Riemann y la integral definida como herramientas para calcular áreas bajo curvas.

El teorema fundamental del cálculo es presentado como una unión entre el cálculo diferencial y el integral.

Se motiva al usuario para ver la relación entre la integral y el área recorrida en física.

Se utiliza un ejemplo de velocidad constante para entender la integración en términos de distancia recorrida.

Se describe el proceso de aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos para la suma de Riemann.

Se define la integral definida y se relaciona con la posibilidad de encontrar el área exacta en el límite cuando el número de intervalos se hace muy grande.

Se menciona la importancia de las discontinuidades finitas en la integrabilidad de una función.

Se establece una analogía entre la notación de integral definida y la multiplicación por un diferencial.

Se presenta el teorema fundamental del cálculo, destacando su importancia en la relación entre áreas y derivadas.

Se define la antiderivada y se relaciona con la función original a través de la derivación.

Se discute la existencia de múltiples antiderivadas y la necesidad de añadir una constante a la función.

Se explica la segunda parte del teorema fundamental del cálculo, que relaciona la integral de una función con su antiderivada evaluada en dos puntos.

Se introduce la integral indefinida como una forma de escribir la antiderivada sin calcular el área exacta.

Se exploran las propiedades de las integrales definidas y se proporcionan técnicas para su cálculo.

Se ofrecen recomendaciones de libros y recursos para profundizar en el estudio de integrales.

Se destaca la importancia de la construcción del conocimiento a través de la comprensión y el ejercicio.

Se anima al usuario a aplicar los conceptos aprendidos para abordar problemas de integración más complejos.

Transcripts

Hoy vas a aprender los conceptos más importantes sobre integrales

yo creo honestamente que hablar de estos temas está buenísimo porque estamos

descubriendo algo maravilloso. Vamos a explicar qué es la suma de Riemann y qué

es la integral definida. ¿Qué es esto que está acá? Primer pregunta, ¿por qué

escribiste esto? Vamos a entender uno de los teoremas más importantes de

matemática, el teorema fundamental del cálculo.

Tremendo esto. ¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo? Y al final vamos a hacer un

ejemplo juntos. ¿Y si usamos esto que aprendimos en vez de hacer toda esa

cuenta espantosa? ¿como hacemos? Quédate del otro lado porque este vídeo vale la

pena verlo. ¿Sabes por qué? Porque estamos cambiando el aula. Estamos mostrando que

se puede enseñar diferente.

Integrales. Esa palabra. Yo te pregunto a vos ¿que es una integral?

seguramente me puedes responder muchas cosas. Me puedes responder: no sé. Esa es

una opción. Otro me puede responder: la integral de una función es la función que

tengo que derivar para que me dé la función original, o sea, la integral de

una función es otra función que es la que tengo que derivar para que

me dé la original. Otros no pueden responder esta (la típica): la integral

es el área bajo la curva. Así nomás. Bueno hay que darle formalidad a todo eso.

Hay que dar una verdadera definición o decir, ¿qué tipo de integral?

¿bajo qué circunstancias? Entonces todas esas cosas las vamos a

ver con la mayor finura posible, con la mayor rigurosidad posible.

Yo creo honestamente que hablar de estos temas está buenísimo porque estamos

descubriendo algo maravilloso, vamos a encontrar una relación entre

todo lo que veníamos viendo sobre cálculo diferencial, que es derivada,

derivada para funciones de varias variables, recta tangente, plano

tangente, optimización, todo ese mundo de cálculo diferencial hoy lo vamos a unir

con otro mundo totalmente diferente. Esto está muy bueno. Esto es muy poderoso.

Creo que lo que vamos a presentar hoy es fundamental, fundamental, y ya te vas a

dar cuenta por qué. Primero te quiero motivar, te quiero motivar ahora, para que

veas que hay algo loco en todo esto. Vos hasta el momento seguramente viste

lo que es una función de una sola variable,

y esa función puede representar una magnitud física la que quieras, si no

salimos de matemática y nos metemos en física, ¿no? Entonces en física por ejemplo

podemos hablar de una función de una sola variable t. Imaginate que

t es la variable independiente y donde v(t) es la función que a mi me interesa.

Imagínate que v(t) es la velocidad de un vehículo que se mueve a velocidad

constante por una ruta plana y recta, para empezar a entender.

Imagínate que el velocímetro no cambia, va siempre igual, va siempre a 100

kilómetros por hora, por ejemplo, para empezar a entender la idea. Entonces la

velocidad a medida que el tiempo cambia, a medida que el tiempo evoluciona, es constante,

no cambia, porque estoy en esa situación en este ejemplo. Esta altura está en el eje

de velocidad y vale 100 kilómetros por hora por ejemplo ¿sí?

Estoy presentando una idea.

Imagínate que a mi me interesa saber qué distancia recorrió ese vehículo en

una hora. Si usara la lógica desde el punto de vista

lógico sin mirar esto, yo digo voy a 100 kilómetros por hora, tiqui

tiqui tiqui, y no cambia el velocímetro, está en 100 kilómetros por hora, o sea

hago 100 kilómetros por cada hora ¿no? eso significa velocidad 100 km/h.

cuanto recorro en una hora, seguramente

me decís y, 100 kilómetros, porque si voy a 100 kilómetros por cada hora en

una hora voy a recorrer 100 kilómetros. Es razonable. Si la velocidad no cambia es

así sí, o sea, en una hora la distancia recorrida es 100 kilómetros. Entonces

cuando vengo acá donde tengo la función velocidad

y yo porque soy loco miro el intervalo que me interesa de 0 a una hora porque

es lo que te presenté, un intervalo de una hora.

¿Sabes qué pasa si cálculo el área este? ¿Cómo hago para calcular el área ese?

¡Pensemos! ¡movamos la cabeza! ¿cómo es ese área? base por altura, ¿sí o no? base por

altura. ¿Cómo es la base? una hora. O sea ese área va a ser una hora, que es la

base, por la altura, la altura es esto, ¿cuánto vale? esta cantidad, lo escribo.

Esto es el área. Mira, las unidades las puedo cancelar,

yo voy a explicar eso porque nos metemos en física sino cómo es que se utilizan las

unidades. Me queda 1 por 100 km. ¿Cuánto es 1 por 100 km? 100 km.

Mirá. El área tiene unidades de distancia, ¡de distancia!

o sea que si yo tengo una función que representa la velocidad y el área bajo

esa curva si la velocidad siempre positiva ese área tiene unidades de

distancia de distancia

y coincide con lo que la lógica me dice significa que el área bajo la curva es

la distancia recorrida por el vehículo en el intervalo que me interesa sí

exacto exacto y eso aunque lo creas funciona si la función es constante o si

la función cambia si la función tiene otra forma también

se respeta los equivale oro y el área bajo la curva desde el punto de vista

físico y en este ejemplo porque si la función cambia es una porquería

si yo matemáticamente pudiera encontrar el área bajo la curva en el intervalo de

tiempo que me interesa ese área coincide con la distancia recorrida por el

vehículo en ese intervalo de tiempo y baile ahora esa es una motivación así

que volvamos a matemática y empecemos a entender esto cómo hacemos para calcular

ese área maus y no somos la cabeza usamos el coco

i coco que tenemos acá arriba de qué forma podemos aproximar si no se reforma

exacta pero aproximar el área bajo la curva desde hasta ve el área este

de alguna forma cómo puedo hacer son de coco que una opción es por ejemplo bueno

ármate un rectángulo que tenga esta base y la altura la que quieras no sé la

función evaluada acá me da esta altura no entonces eso es una aproximación sí

muy mala pero es una aproximación otra aproximación podría ser y bueno no se

partía el intervalo en dos pedazos y suma el área de los dos rectángulos

donde el primer rectángulo tiene esta base y la altura tiene por ejemplo el

tomado a derecha está esta altura entonces el primer rectángulo es ese iba

a tener un área determinada que lo calculó geométricamente como me

enseñaron y el otro rectángulo hito es ese que lo calculó como me enseñaron

otra opciones en vez de dos y bueno a partirlo en en 34 es

importante que entiendan que para poder encontrar la altura de los rectángulos

que vos te interesen basta con evaluar la función porque la

función bola tenis la conocéis entonces la puede evaluar en el x que vos quieras

esa idea de jugar con exo de partida de intervalo general en una cierta cantidad

e ir sumando el área de cada uno de los rectángulos es lo que se llama suma de

rima objetivo meses es complicado estos dos le tienen miedo

a la suma rima no la suma rihanna está buenísima pero hay que cuestionarse hay

que entender porque primero al intervalo general tiene longitud ve - acción o ve

menos a la longitud total si yo lo parto en 4 b menos a / 4 es la longitud de

cada uno de los intervalos y si en vez de 4 es n porque se me ocurre partirlo

en n es lo mismo entonces esto que está acá venta x esta es la base de cada uno

de los rectángulos y nadie me lo discute es razonable casi se acciona bien y la

altura como la poda bueno la altura de hacer la función evaluada en un x

determinado no x sub y que eso ya un x determinado porque le pones x sus y

bueno porque éste me va a servir para meter la sumatoria ahora te voy a

presentar cuestión de que el x y es un valor dentro del intervalo y estimó

o sea yo puedo tener n intervalos y con iu identificó en cual estoy cuando y

vale 1 estoy en el primero y vale 1 acá y vale 2 acá y vale 3 acá y vale 4 para

el primer intervalo el x sub y podría estar acá acá acá el que quieras el que

quieras entonces entendiendo esto entendiendo

esta esta idea yo podría calcular el área del rectángulo y estimo no como

sería el área del rectángulo y estimo y la base todos tienen la misma base por

la altura y cuál es la altura y la función es evaluada en el x sub y me

siguen esto quienes ahora lo vamos a ver lo único que se está dentro del

intervalo con eso alcanza por ahora para encontrar una aproximación esto que está

acá es el área del rectángulo y estimó qué pasa si sumo todos los intervalos lo

que tengo que hacer es la suma desde el primer intervalo hasta n porque sumó n

intervalos me siguen en el rectángulos esto que está acá es una aproximación al

área exacta y la área exacta es el verdadero es el que está bajo la curva

partiendo el intervalo en n intervalos aproximó al área haciendo esta cuenta

yo me decís esta cuenta se espantosa que estás escribiendo también cómo hago para

interpretar esto yo después se me da el tiempo voy a poner un ejemplo bastante

sencillo para que encontremos este área entonces hasta el momento lo único que

sé es que si yo parto al intervalo que me interesa en n intervalos yo puede

encontrar una aproximación al área bajo la curva haciendo esta cuenta

estamos acuerdo que cuanto más grandes m más veces partición el intervalo y más

me voy aproximando al área verdadero lo green hizo

se puede ver eso vimos que si n vale 1 tengo un solo rectángulo es una

porquería es aproximación pero si tomo n igual a 4 va mejorando tiene vale 20 va

mejorando si me vale 100 va mejorando

qué quieres decir damián que el área exacta lo voy a poder encontrar

calculando el límite cuando n se hace muy grande de esta porquería que tengo

acá sí

si geométricamente es eso y es cierto esto que está acá es una forma de

calcular de forma exacta el área este de la función que tengo desde a hasta

vez esa es una forma que uno puede encontrar para deformar rebuscada

encontrar el área exe que tanto me interesa y que tanto te motive que hay

que calcular y podríamos terminar acá y decir esto termino acá ya está todo

terminado no ahora nos vamos a meter con la definición de integral definida no

cualquier cosa vamos a definir qué es una integral definida si vamos con eso

la definición de integral definida es la siguiente dada una función de variables

real en este caso continua en el intervalo cerrado ave se define como

integral definida a esta cuenta que está acá o sea a esto se le llama integral

definida entonces como a castilla acción de una

suma de alguna forma estoy sumando cosas acá se escribe una s alargada

eso es una suma de cosas una es alargada desde a dónde a dónde me interesa se

escribe así desde a hasta ver por qué estoy encontrando el área entre ice y b

de fx de x diferencial de x esa es la definición de integral definida esto que

está acá es una notación y se dice que si este límite existe o sea si puede

encontrar el área haciendo esta cuenta entonces la función es integrable en

este intervalo sí esa es la definición de integral

definida está más guardado después de presentar la definición de integral

definida a pérez un teorema que dice que si pasa esto de que es continua

si la función tiene una cantidad solamente una cantidad finita de saltos

discontinuos finitos con nuestras formas así

si pasa esto o es continua entonces también es integrable entonces también

el límite existe entonces como conclusión eso para poder decir que la

función es integrable en ave en el cerrado ave o bien tiene que ser

continua ave o bien tiene que tener solamente discontinuidades

finitas y una cantidad finita de discontinuidades se entiende ahora

segura no estás haciendo preguntas preguntas primero me explicaste que esta

es la anotación no desde hasta veo que bueno esto es una vez alargada es como

una suma que es esto que está acá primera pregunta que existen porque

escribiste esto porque lo escribiste que es bueno

según james stewart en su libro de cálculo

esto no tiene significado por sí mismo sino que todo esto es un símbolo en sí

mismo no hay que dividirlo para encontrar lo que significaba sus partes

o sea todo esto significa integral definida de efe entre aire esto no

significa nada por sí mismo simplemente sirve para indicar que la variable de

integración que es x sin embargo desde mi punto de vista les puedo decir que

hay una cierta analogía entre este pósito que está acá va multiplicando y

esteven está x que aparece acá ven que tiene una forma parecida estoy como

sumando sumando efe efe y una cosa y una cosa bueno

esto es un delta esto se le llama también diferencial de equis

y un diferencial se puede interpretar con una pequeñísima parte de aire en

este caso la variable del eje de la variable que en su longitud tiende a

cero pero no es cero y es parecido a lo que pasa acá cuando n

se hacen muy grandes el pedacito o sea la base del rectángulo es muy chiquitita

bueno podemos interpretarlo así según los expertos según james stewart por

ejemplo esto no tiene significado en sí mismo sirve solamente para decir que la

variable integración es equis o sea esto es un integral respecto de x si bueno

visto eso integral definida podríamos terminar acá nos podríamos decir más

nada

bueno no podemos decir ya está está luna está porque para calcular un área tengo

que hacer esta cuenta y se termina no no no se termina acá

ahora viene algo genial ahora te voy a presentar 6 quería presentar el teorema

fundamental del cálculo es uno de los teoremas más importantes

de matemáticas

es tremendo y su interés más fundamental del cálculo dice dos cosas básicamente y

esas dos cosas que dice sirven un montón un montón porque esta cuenta que parece

fea es complicada en realidad si la función

es sencilla de más o menos complicadas y las funciones complicadas a ese no se

puede hacer analíticamente acá aparece el teorema fundamental del

cálculo yo creo que hace entrega fundamental del

triángulo de alguna forma lo que hace es decir es bueno veníamos viendo derivadas

de ese mundo donde nosotros aprendemos a derivar funciones de una sola variable

funciones de dos variables encontramos máximos mínimos hacíamos optimización

cosas así encontramos recta tangente plano

tangente si llevas a todo ese mundo es conocido como cálculo diferencial

y ahora yo te presente la integral definida

esto que está acá es cálculo integral porque lo que se hace es integrar

esa cuenta que dice recién es una integral definida entonces sabes que

aunque no lo creas existe una relación entre ese área que calculas y el mundo

de derivadas que veníamos conociendo eso dice el teorema fundamental hay una

relación y lo explica la primera parte del dilema fundamental del círculo dice

que dada la función fx que tiene una curva determinada por ejemplo ésta

si vos te armas una nueva función que el encuentro calculando el área

pista que te quiere decir imagínate me armo

hdx esto cuesta entenderlo presta atención mi arma gdx como la integral

desde a osea el área bajo la curva si la función está por arriba desde a hasta x

acá mando un x de la función original la función

original yo le puedo poner variable integración la que quieras si pues tiene

integral definida y en las integrales definidas no importa qué variable de

integración utilice porque la variable integración es un operador que utilizó

para hacer la cuenta y después todo desaparece porque la integral definida

es un número estamos de acuerdo la integral de final no es una función es

un número entonces como es un número la variable es un operador que me sirve

para hacer cuentas después desaparece entonces no me importa como lo llamó

acá lo ya mete cuanto al eje en a sea g la evaluó en a tengo que hacer la

integral desde a hasta a o sea me quedo sin área me están siguiendo vale 0 sin

avales 0 y a medida que aumenta g en este valor de x por ejemplo que mande

acá es este área acá imagínate que esté ahora vale 3 por ejemplo por poner un

ejemplo entonces que en este valor de x vale 3

imagínate que el área hasta acá vale 8 de acá hasta acá vale 8 entonces he

evaluada en este valor de x vale 8 me están siguiendo y así puedo decir

entonces que en x es el área desde hasta x

por eso x es variable pero estoy solamente el intervalo a veces quiero

que entiendan eso solo desde hasta vez se acaban un vez algunos se confunden y

dicen bueno la equis está acá está acá hasta acá no entiendo me confundí no

pero pensarlo así pensar así como te dije recién que en este valor de

x este valor de x es el área entre a y este valor de x o sea este área acá

de la función original cuanto más grande sea el x más grande es el área en este

caso bueno es que el primer la primera parte

del tema fundamental del cálculo dice que si vos definirse a esta gente a esta

función que estamos pensando ahora sabes cómo es que que es continua en el

cerrado a ver es derivable en el abierto ave

y sabes que dice este tremendo esto es tremendo que esta nueva función g

cuando la deriva o sea que prima sabéis quién es es otra función no una función

es quien es efe

ah

sabiendo que existe así define de esta forma rebuscada así

entonces la derivada de genera f

para donar escalofrío por qué tremendo tremendo

aquí hay una relación entre el área este y la avenida

y hoy

y es tremendo esto tremendo

me quedo sin palabras así que decirles ósea

armar de una g que es para cada equis que elijas el

área entre hay x me da una función de x esa función

si la derivada coincide con la f que está acá adentro

tremendo tremendo acá no aparece la relación

ahora necesito definirte algo el concepto de anti derivada si entre

paréntesis dada una función fx se define como anti derivada a una función que

derivada mera f o sea dada fx esta nueva función se

llama anti derivada de f sí sólo si f prima o sea la derivada coincide con f

está la definición de anti derivadas y entonces el anti derivada de una función

es aquella función o aquella cosa que tengo que derivar para encontrar la

función original me siguen bueno pues yo tengo una pregunta ahora

por ejemplo yo tengo la función x al cuadrado y te digo encontrarme la anti

derivada de esta función está fx

y tengo que pensar una función que derivado de esto seguramente ya lo

habrás visto o si no la viste te lo presento pero la anti derivada de esta

función se puede pensar así como x cubo sobre 3 porque cuando derivó esto me da

esto lo ven porque me queda un tercio por la deriva de x cuba me queda x

cuadrado ahora

la derivada de esta función y la derivada de una suma de vida de

este más la deriva de este de este 0 y la extrema de x cuadrado

o sea cuando derivo esto también me da esto

qué quiere decir que hay varias anti derivadas sí

exacto acá yo debería agregar una constante ya

pues marcelo como quieras para poder incorporar a todas las anti

derivadas entonces la forma más general de indicar una anti derivada es

escribiendo esto escribiendo las cosas que tengo que derivar para encontrar la

función y agregándole una constante por qué y por qué cuando derivó esto

la constante vuela y me queda igual a ésta

y entonces yo ahora te voy a presentar lo siguiente no vamos a meter con la

segunda parte del teorema fundamental pero pensando

si yo tengo por ejemplo ag y yo te digo gnx es anti derivada de f

y te digo esta otra función efe grande efe también es antivirales entonces si

las dos son anti derivadas entonces difieren en una constante que

significa y qué f va a ser igual a la g más una constante

llamadas es inglés por eso que tenemos trío y no hay forma

que no sea así son iguales y no difieren una constante la tengo que escribir

sigamos si ambas son anti derivadas entonces que

prima me da f efe prima me da f

esté así que tengo acá

que prima igual a efe pero sí que prima cf yo vi que se puede

reescribir a sí o no no les presente esto sí entonces en vez

de escribir que escriba esto que está acá y acá lo mismo que estás haciendo

tranquila

demostrando la segunda parte interna más fundamental del cálculo

esto me lo crees que lo mostrará lo podemos hacer si bien siente cosa que

pasa se evaluó que en a que en cuanto al eje

y gente en paz es la integral de aa hasta aa- de la función eso al estero

no me como buena listo vale 0 que pases y calculo que en b

cuanto vale pensando acá gm cuánto es nuestra integral de hasta vez de f

yo no lo escribo integral de hasta b efe lo que acá era x ahora es bien lo

que a caer x ahora este bueno mira qué hacer cuánto vale efe en b - fm

qué estás haciendo también supo escribir esto

fm brava que suyo es una cuenta que hago y esa cuenta que hago cúpula puede

reescribir y la puedo escribir como efe en b y quien es defender y fm esquemas y

quieres que en ver esta porquería lo escribo esto es efe en vez están

siguiendo menos es ventaja quién es efe a efe que da es que en ambas se llenó y

quienes genta es cero sino que a 0 +0 hace ese dinero que acabo de mostrar

mira lo que estoy mostrando mira lo que estoy mostrando esto es que la integral

desde hasta vez de efe es fm - efe a donde fue grande es una anti

derivada de f chiquita

primero lo recibo acá para que sea más prolijos

o sea la integral de hasta bdf o sea esta cosa que vimos soy de la sumatoria

espantosa ahora lo tenéis que hacer solamente

evaluando una anti derivada la que quieras una anti derivada en vez le

restas la misma anti derivada en a acs esa cuenta y esta cuenta coincide con el

área que tanto queremos calcular

y esto vale cobra este vale ahora por qué

a hacerlo con la suma de rimas se puede no siempre pero en general a veces si es

un polinomio es algo sencillo lleva mucho trabajo pero se puede hacer

todo ese laburo se resume en evaluar a una primitiva oa una anti derivada en

dos valores y hacer esta cuenta bueno una anotación para escribir esto

se escribe así que fue grande y evaluada desde a hasta vez

en algunos libros creen esto en otros libros ponen esto en otros libros ponen

esto les digo por si aparecen las diferentes notaciones

bueno esto que está acá es la segunda parte del teorema fundamental del

cálculo que tanto nos gusta y que tanto nos interesa vale oro

entonces interpretando esto e interpretando esto nosotros tenemos

todas las herramientas para poder empezar a integrar

lo puedes hacer con la suma riman lo puedes hacer de esta forma y ahora a

título informativo que te menciono otra cosa otra cosa que se escapa de enterar

definida hasta acá integral definida ahora viene otra cosa que se llama

integral indefinida que simplemente esto dice lo siguiente

dada una función fx si va a encontrar un anti derivada imagínate que le llamo efe

entonces una forma de reescribir la anti derivada es decir que la anti derivada

es igual a una simbología determinada y esa simbología es así fíjate que yo puse

el límite o sea no es muy integral definida y las que venimos viendo no

esto es una anotación donde lo que digo acá es esto que está acá es la anti

derivada de f chiquita

entonces si en algún lugar te pide no necesitas calcular esto por ejemplo

lo que te están pidiendo acá es encontrar la anti derivada de esto que

está acá adentro

por eso cuando resuelves esto le tienes que agregar la constante porque lo que

estás buscando es un anti derivadas se basan en todo lo que te enseñe si

entonces como conclusión que es lo que vimos hasta ahora vimos que el área bajo

la curva si la función está por encima me da un área con signos positivos si la

función pasa por abajo en el intervalo que me interesa el valor de la sumatoria

de rima en que calculamos me dar negativo o sea un área negativo al

margen de eso podemos calcular el área que nos interesa en el intervalo que nos

interesa calculando el límite de la suma de riman

como lo vimos hoy se puede hacer sola te gastar un ejemplo o si no podemos usar

el tema fundamental del cálculo utilizando esto pudimos encontrar esta

relación entre el área que tanto nos interesa y una de las que quieras de las

primitivas o anti derivadas de la función original y women's isadora

pregunta seguramente de preguntas profe puedo agregar a cada constante que hay

me dijeron si agrega las se van a terminar restando no

desaparecerlas bastantes y otra pregunta que seguramente te estás haciendo una

vez que llega acá esta pregunta me late la inter aldeas cabe df es la primitiva

envenena la primitiva la anti derivan de menos la visión

miro esto profes acá

si eso es cierto entonces esto es igual a la primitiva imagínate que las llamo h

en x - la primitiva

usando eso pero acá no aparece solamente la primitiva no aparece esto no habría

que agregar acá no lo que dice el teorema dice que hacer esta cosa hacer

esta cuenta te va a dar una función de x que yo ya me he acá esto es una función

de x tal que cuando la deriva me da f

eso dice el teorema cuando deriva esto te da f es cierto sí porque cuando

deriva esto esto que es constante vuela y te queda la derivada de esto y esta es

la deriva de la primitiva y la deriva de la primitiva me da la función original

es correcto pero es natural que te preguntes esas cosas quizás que las

propiedades que eres propiedades de las integrales definidas acaban estas son

las propiedades para las integrales definidas si no voy a poner a explicar

ya demostrar esto está en la descripción todo lo que quieras saber para

demostrarlo y si quieres también puedes preguntarte qué me das las tablas de

anti derivadas porque no me dijiste que necesito usar la anti derivada caja si

toda la tabla antidrogas está bueno conocerlo acá está esta es la tabla de

andy derivadas sí

profe me recomendás libros para estudiar esto sí por supuesto y la descripción

están todos los libros crees que terminemos con un ejemplo yo

tengo para ser un ejemplo para poder mostrar artista magia y vamos bien vamos

a hacer un ejemplo tengo una función x cuadrados que es la que me interesa si

acá gráfico un pedazo de la función imagínate que me interesa calcular el

área bajo la curva de 60 hasta una yo quiero estar con riman una suma de

arriba porque soy loco y no sea solo otra forma esto que está acá es la suma

de rima el límite cuando no tienen finito de la zona de rima es el área

bajo la curva que se halla que está ahí entonces necesito que encontrarte el px

estoy aquí hacer cuentas le tengo que creer eso no lo tengo que creer yo te lo

demuestro tienes delta equis y ve - a sobre necio no por qué y por qué ver - a

esta longitud sobre n lo parto nm entonces me queda la longitud del

intervalo chiquitito si cuánto vale b1 cuánto vale

0 cuánto vale de entrada x y me queda 1 sobre n

fue ahora tienes fx

la función evaluada en x y la f la tengo quien es x xi y un valor de occisa

dentro del intervalo y estimo como lo puedo encontrar y puedo decir que de

todos los intervalos este es con igual a 1 con igualados con

igual a 3 puedo decir que el xy sea el valor

extremo derecha de cada intervalo me siguen y como puedo encontrar el x y una

forma de decir quién es el xy es decir bueno acá tengo ajo puedo decir que es a

más y por delta x si o no cuando hoy vale 1 y vale 1 estoy en el primero

entonces vale a más 30 x además delta x es este valor de acá pues acá tengo que

evaluar la función para encontrar la altura del re prima rectángulo

cuando y vale 2 estuve en el segundo me queda a más 220 x

+ 2 venta x este valor de acá la función evaluada

en este valor de x me da la altura del segundo rectángulo y así siguiendo

cuánto vale a en mi ejemplo pero entonces el x sub es y por delta x quien

es venta x y delta x es uno sobre m entonces el x y me queda y y no es la

unidad imaginaria y es el índice de la sumatoria su numerito que me dice en qué

intervenido esta venta x es 1 sobre n todo esto me queda aquí sobre el

cuestión en cuestión todo en los comentarios si no entonces quién es la

función en xy es esto no evaluada en x evaluada en x y y quién es x y esto debe

poner x pongo y sobre m por qué y por qué estos x qué bueno hecho esto y ahora

ya estoy autorizado a escribir esto lo escribo tal cual y reemplazo en vez de

poner de alta x tengo acá pongo unos orenes me siguen cuestiones

fn que si tienes fx acá y cuadrado sobre n cuadrado

y cuadrado sobre n cuadrados yo ahora esto lo puedo acomodarnos acá puedo

escribir en el cubo y este vuela esto que está acá es una suma variando y

estoy cambiando el y entonces como estoy cayendo el y solamente lo que dependa de

enero puedo sacar afuera de la sumatoria y que me queda así no

y qué es esto bueno esto que está acá no es 1 al cuadrado más 2 al cuadrado más 3

al cuadrado y así siguiendo en exceso si se puede demostrar que este tipo de suma

hasta n no más n cuadrado no somos infinitos voy desde

uno hasta m se puede mostrar que sumar números de esta forma desde uno hasta n

da igual a n por n 1 por 2 en el que está escribiendo también bueno

se puede mostrar que la suma de esta conversión no lo puedo hacer acá

terminamos en cualquier lado en vez de escribir este globito eso que tengo ahí

escribo el resultado si o no a esta queda así sigo acá tengo ven acá tengo

ven así que acá puedo decir en el cuadrado no acá este de nuevo lo puedo

distribuir todo y me queda así hacerlo en tu casa tranquilo pero te quedas y

distribuyendo todo eso todas las operaciones básicas que puede mostrar

acá nos puede mostrar que esto por más que en sea un número muy grande acá

tengo este número muy grande dividido el mismo el mismo entonces esto se va si

éste se muere con este y que así eso lo puedo hacer entonces como tengo el

límite de una suma puede ser suma de límites si los límites existen tengo que

demostrar que existen existen y bueno el límite cuando no entiendo infinito de

una constante me da una constante el límite cuando uno es infinito de esto me

da cero porque en ese hace muy grande el cociente se hace muy chiquito

sin duda también cuánto de esto y dos sextos cuántos dos sextos un tercio a

mira el área este que tanto me interesa es

cuando vale un tercio y si usamos esto que aprendimos en vez

de hacer toda esa cuenta espantosa como hacemos y bueno dice que el área bajo la

curva desde hasta ve df a vale 0 b vale 1 me siguen cuestiones

efe quien es x cuadrado no cuál es la primitiva de x cuadrados se puede

demostrar que x cubo sobre 3 cuando lo derivó me da x cuadrado efectivamente

tengo que hacer esto la primitiva que es x cuba sobre 3 evaluada desde 0 hasta 1

qué significa hacer esto y evaluar todo esto en 1 - todo esto en cero

entonces todo esto en uno cuánto es y es uno al cubo sobre tres sí o no

cuestionen menos todo esto en cero no me da cero cuánto da esto 1 al cubo cuánto

es uno cuánto es esto un tercio

cuéntame sigo un renglón medio renglón

cuanto más igual

nota la diferencia notas y la misma diferencia entre todo esto

y esto esto vale ahora por estas razones vale

oro esto para motivarte para decirte lo maravilloso que es esto recordad que

integrar no es un proceso tan automático y sencillo como derivar sabias que

solamente existen dos métodos de integración que te quiero decir osea que

si la integral no la puedes resolver mirando la tabla de anti derivadas

tenéis que aplicar uno de estos dos métodos o los dos o bien sustitución o

bien integración por partes también te comento que hay situaciones en las que

el integrando es un cociente de polinomios en esta situación te conviene

reescribir a ese cociente de polinomios utilizando fracciones parciales está

estrategia te va a permitir resolver este tipo de integrales a veces sale

rápidamente y en otras ocasiones hay que aplicar varias veces diferentes métodos

para poder encontrar el resultado de tu integral esto es aplicable tanto para

integrales definidas como para integrales indefinidas

me gustó bueno si quieren más información sobre esto yo no voy a poner

con ejercicios porque no voy a poner con ejercicios y con técnicas de integración

y demás porque si no de vídeos en youtube explicando eso yo colaboro con

esto aportó con esto el resto de los youtubers julio profe y demás son

maravillosos haciendo un montón de cosas puedes aprovechar los vídeos de ellos

para hacer por ejemplo un montón de ejercicios relacionado con esto sí para

poder ejercitarse y entender un poco mejor pero los fundamentos son estos no

te olvides que para aprender algo uno tiene que entender que el conocimiento

es constructivo uno aprende algo determinado y después no se aplica algo

hace ejercicios después aplica otra cosa que hice yo te enseñe esto esto de acá

los cimientos las bases ahora puedes construir arriba de esto ahora sí hasta

que este vídeo espero que algo te haya servido no te olvides que las cosas

vistas como difíciles pasan a ser vistas como fáciles cuando uno entiende de

verdad aire y uno entiende de verdad algo cuando se

pregunta y puede responderse varios y sucesivos porque es sobre eso una buena

próxima yo sé que vos puedes con estos cimientos con estas cosas que te dicen

vos podés ir para adelante y puedes hacer un montón de cosas yo creemos que

después nos vemos la próxima muchas artes