0625 Técnicas de conteo: ordenaciones sin repetición

Luis Rincón

10 Dec 201307:18

Summary

TLDREl guion trata sobre el cálculo de permutaciones sin repetición de objetos en una muestra. Se explica que en la primera extracción hay 'n' posibilidades y disminuyen en 'n-1' para la siguiente, hasta llegar a 'n-k+1' para la última. La fórmula para calcular el número de muestras distintas es n factorial dividido por (n-k) factorial, donde 'k' es el número de extracciones y 'n' el total de objetos. Se ilustra con ejemplos de carreras, donde se calculan las formas de asignar los tres primeros lugares y todas las formas posibles de que los corredores lleguen a la meta.

Takeaways

🎱 Se describe un problema donde se tienen n objetos distinguibles en una urna y se realizan k extracciones sin reemplazo.
🔢 La cantidad de muestras distintas que se pueden obtener se calcula como n factorial dividido por (n - k) factorial.
📐 Se menciona que k debe ser menor o igual a n, lo que indica el número de extracciones es menor o igual al total de objetos.
📝 La fórmula para calcular el número de muestras sin repetición es: n! / (n - k)!
🏅 Se destaca un caso particular cuando k es igual a n, donde se obtienen todas las permutaciones posibles, que se denotan como n!.
👥 Se da un ejemplo práctico con una carrera de cinco corredores y se pregunta por las formas de obtener los tres primeros lugares.
🏁 Se calcula que para los tres primeros lugares, hay 60 formas distintas de clasificación.
🏃‍♂️ Se plantea otra pregunta sobre las formas en que los cinco corredores pueden llegar a la meta, resultando en 120 formas distintas.
🌐 Se explica que las ordenaciones sin repetición toman en cuenta el orden en que se seleccionan los objetos.
🔄 La palabra 'ordenación' hace referencia a que la selección de los objetos se realiza de manera secuencial y ordenada.

Q & A

¿Qué es una urna con bolas distinguibles?
-Una urna con bolas distinguibles es una urna que contiene un número de objetos identificables, como por ejemplo, bolas numeradas o de colores diferentes.
¿Qué sucede cuando se extrae una bola de la urna y no se devuelve?
-Cuando se extrae una bola de la urna y no se devuelve, se está realizando una extracción sin reemplazo, lo que significa que cada bola solo puede ser elegida una vez.
¿Cuál es la fórmula para calcular el número de muestras distintas que se pueden obtener al extraer k veces de una urna con n bolas?
-La fórmula para calcular el número de muestras distintas es el cociente entre n factorial y (n - k) factorial, que se denota como el número de ordenaciones sin repetición de n objetos en muestras de tamaño k.
¿Qué es un factorial?
-Un factorial de un número n, denotado como n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n.
¿Cuál es la diferencia entre ordenaciones y permutaciones?
-Las ordenaciones son una secuencia de selección de objetos donde el orden importa, mientras que las permutaciones son una安排 de objetos donde el orden es importante y no se pueden repetir los elementos.
¿Cuántas formas distintas se pueden obtener al ordenar n objetos sin repetición?
-Se pueden obtener n factorial formas distintas al ordenar n objetos sin repetición.
¿Qué sucede si k es igual a n en el proceso de extracción de la urna?
-Si k es igual a n, se están realizando n extracciones y se seleccionan todas las bolas de la urna, lo que se conoce como una muestra exhaustiva.
¿Cuál es la relación entre el número de corredores en una carrera y el número de formas en que pueden clasificarse?
-Si hay cinco corredores en una carrera y se quieren clasificar los tres primeros lugares, la relación se basa en el número de permutaciones de 5 objetos tomados 3 a la vez, que es 5! / (5 - 3)!.
¿Cómo se calcula el número de formas en que los corredores pueden llegar a la meta si todos son distintos?
-Para calcular el número de formas en que los corredores pueden llegar a la meta de forma distinta, se utiliza la fórmula de permutaciones de n objetos, que es n factorial.
¿Cuál es el resultado de calcular 5 factorial?
-El resultado de calcular 5 factorial (5!) es 5 * 4 * 3 * 2 * 1, que es igual a 120.

Outlines

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🎱 Ordenaciones sin repetición

El primer párrafo aborda el concepto de ordenaciones sin repetición de objetos en una muestra. Se describe un escenario donde se extraen objetos de una urna sin reemplazarlos, y se pregunta cuántas muestras distintas se pueden obtener. Se explica que la cantidad de muestras distintas que se pueden obtener es igual a la combinación de n objetos tomados k a la vez, que se denota como n! / (n - k)!, donde n es el total de objetos y k es el número de extracciones. Además, se menciona que cuando k es igual a n, se habla de una permutación de n objetos, que es el número total de formas en que se pueden ordenar los objetos.

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🏁 Aplicación de ordenaciones sin repetición en una carrera

El segundo párrafo utiliza un ejemplo práctico para ilustrar el concepto de ordenaciones sin repetición. Se plantea una situación en la que hay cinco corredores en una carrera y se pregunta cuántas formas distintas pueden ser los tres primeros lugares. Se calcula que hay 5! / (5 - 3)! formas distintas para los tres primeros lugares. También se plantea la pregunta de cuántas formas distintas pueden terminar la carrera los cinco corredores, y se explica que esto sería una permutación de 5 objetos, es decir, 5!, lo que resulta en 120 formas distintas.

Mindmap

Keywords

💡urna

Una urna es un contenedor que se utiliza en este video para simular la extracción de objetos. Es el escenario inicial donde se encuentran las 'n' bolas distinguibles. La urna representa el conjunto total de elementos disponibles para la selección.

💡bolas distinguibles

Las bolas distinguibles son objetos dentro de la urna que se pueden identificar de forma única, ya sea por ser numeradas o por tener colores diferentes. Este concepto es fundamental para entender que cada extracción es de un elemento único que no se repite en la secuencia de extracciones.

💡extracción al azar

La extracción al azar implica que se toma una sola bola de la urna sin reemplazarla, lo que significa que la probabilidad de extraer cada bola disminuye a medida que se van eligiendo otras. Este proceso es clave para entender cómo se calculan las posibilidades en cada extracción.

💡k extracciones

El término 'k extracciones' se refiere al número de veces que se repite el proceso de extraer una bola de la urna. 'k' es un número entero menor o igual que 'n', y representa la cantidad de veces que se ejecuta el proceso de extracción.

💡posibilidades

Las posibilidades se refieren a los diferentes resultados que pueden ocurrir en cada extracción. Al principio hay 'n' posibilidades, y con cada extracción, la cantidad de posibilidades disminuye en uno, ya que se deja de considerar la bola extraída.

💡factorial

El factorial de un número 'n', denotado como 'n!', es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta 'n'. En el video, se usa para calcular el número total de ordenaciones posibles sin repetición de 'n' objetos en 'k' muestras.

💡ordenaciones sin repetición

Las ordenaciones sin repetición son las distintas formas en que se pueden seleccionar y ordenar 'k' objetos de un conjunto de 'n' objetos sin reemplazarlos. Este concepto es central en el video, ya que se trata de encontrar el número de estas combinaciones posibles.

💡permutaciones

Las permutaciones son un tipo de ordenaciones sin repetición donde el orden de los elementos es importante. En el video, se menciona que cuando 'k' es igual a 'n', se están considerando todas las permutaciones posibles de los objetos.

💡muestras de tamaño k

Las muestras de tamaño 'k' se refieren a los subconjuntos de 'k' objetos tomados de un conjunto mayor de 'n' objetos. El video explica cómo calcular el número de estas muestras posibles sin repetición.

💡correlación

La correlación se refiere a la relación entre eventos o variables. En el contexto del video, se usa para ilustrar cómo las extracciones sucesivas están correlacionadas, ya que la extracción de una bola afecta las posibilidades de las extracciones siguientes.

💡ejemplo práctico

El video utiliza un ejemplo práctico de una carrera con cinco corredores para explicar cómo se aplican las conceptos de ordenaciones sin repetición y permutaciones. Este ejemplo ayuda a visualizar y entender mejor los conceptos teóricos presentados.

Highlights

Se describe un experimento de selección de objetos de una urna sin reemplazo.

Los objetos de la urna son distinguibles, como estar numerados o de colores diferentes.

Se realiza un proceso de extracción de k veces, donde k es menor o igual a n (número total de objetos).

La cantidad de muestras distintas que se pueden obtener es un tema central de la explicación.

Para la primera extracción, hay n posibilidades; para la segunda, n-1, y así sucesivamente.

La fórmula para calcular el número de muestras distintas es n factorial dividido por (n - k) factorial.

Esta cantidad se denomina 'ordenaciones sin repetición de n objetos en muestras de tamaño k'.

Las ordenaciones sin repetición se representan con el símbolo 'P(n, k)'.

La palabra 'ordenación' implica que la muestra se realiza con un orden específico.

Cuando k es igual a n, las ordenaciones son exhaustives y se llaman permutaciones.

Las permutaciones de n objetos se denotan como 'n factorial'.

Se da un ejemplo de ordenaciones en una carrera de cinco corredores.

Se calcula el número de formas en que se pueden registrar los tres primeros lugares de la carrera.

Se explica que el número de formas en que los cinco corredores pueden llegar a la meta es 5 factorial.

Se concluye que el concepto de ordenaciones sin repetición es fundamental en la combinatoria.