Permutación, Variación, Combinación y Principio Multiplicativo
Summary
TLDREl guion del video trata sobre el cálculo de números de cuatro cifras utilizando diferentes conjuntos de dígitos, sin repetición. Se explica cómo calcular la cantidad de números posibles usando el factorial para permutaciones y variaciones. Se ejemplifica con dígitos 6, 7, 8, 9 y luego con 1, 3, 5, 7, 9. Además, se discuten las diferencias entre permutaciones y variaciones, y cómo aplicar el principio multiplicativo para calcular patentes de automóvil con letras y dígitos. El video es una herramienta educativa para entender conceptos matemáticos relacionados con la combinatoria.
Takeaways
- 🔢 Para formar números de cuatro cifras sin repetir dígitos, se utiliza el factorial de los dígitos disponibles. Por ejemplo, con los dígitos 6, 7, 8 y 9, se forman 4! (4 factorial) números distintos.
- 📐 El cálculo de 4! (4 factorial) es 4 × 3 × 2 × 1, lo que da un total de 24 números de cuatro cifras posibles.
- 🔄 Cuando se tienen más dígitos de los necesarios para formar un número, se utilizan fórmulas de variación. Por ejemplo, con 5 dígitos para formar un número de cuatro cifras, se usa la fórmula 5! / (5-4)!, lo que resulta en 120 números posibles.
- 🎓 En el caso de variaciones, se pueden formar números como 1357 y 7195, que aunque tienen los mismos dígitos, se consideran distintos debido a la posición de los dígitos.
- 👥 Para formar comisiones de tres alumnos de un total de 20, se usa la fórmula de combinaciones: 20! / (3! * (20-3)!), lo que da un total de 1140 maneras de formar dichas comisiones.
- 🔄 En combinaciones, no se pueden repetir los elementos, a diferencia de las variaciones donde se pueden formar números con los mismos dígitos pero en diferentes órdenes.
- 🚗 Al confeccionar patentes de automóvil con tres letras y tres dígitos, se aplica el principio multiplicativo: 26 (letras del alfabeto) × 26 × 26 (posiciones para las letras) × 10 (dígitos) × 10 × 10 (posiciones para los dígitos).
- 📘 El cálculo para patentes de automóvil con 26 letras y 10 dígitos resulta en 17576 posibilidades distintas.
- 📊 La multiplicación para patentes de automóvil se realiza de manera secuencial, multiplicando los factores de letras y dígitos respectivamente y sumando los resultados parciales para obtener la cantidad total de patentes posibles.
Q & A
¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 6, 7, 8 y 9 sin repetir ninguno?
-Se pueden formar 24 números de cuatro cifras, ya que es un problema de permutaciones de 4 elementos, y se calcula como 4 factorial (4 * 3 * 2 * 1).
¿Qué es un factorial y cómo se aplica en el caso de los números de cuatro cifras?
-Un factorial, representado como n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde n hasta 1. En el caso de los números de cuatro cifras, se aplica para calcular las permutaciones de los dígitos sin repetición.
Si se tienen cinco dígitos distintos, ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar?
-Con cinco dígitos distintos, se pueden formar 120 números de cuatro cifras, utilizando la fórmula de variaciones (5 factorial dividido por (5 - 4) factorial).
¿Qué diferencia hay entre las permutaciones y las variaciones cuando se trata de formar números de cuatro cifras?
-Las permutaciones consideran el orden de los elementos, mientras que las variaciones no. En el caso de los números de cuatro cifras, las permutaciones se usan cuando se tienen cuatro dígitos y se desean formar números sin repetir dígitos, mientras que las variaciones se usan cuando se tienen más de cuatro dígitos y se desean formar números de cuatro cifras.
¿Cuál es la fórmula para calcular las variaciones cuando se tienen más elementos de los necesarios para formar un número de cuatro cifras?
-La fórmula para calcular las variaciones es n! dividido por (n - k)!, donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos que se están utilizando para formar el número.
Si se quiere formar una comisión de tres alumnos de un curso de 20, ¿cuántas comisiones diferentes se pueden formar?
-Se pueden formar 1140 comisiones diferentes de tres alumnos de un curso de 20, utilizando la fórmula de combinaciones (20 factorial dividido por (20 - 3) factorial y por 3 factorial).
¿Qué es una combinación y cómo se diferencia de una permutación?
-Una combinación es una selección de elementos de un conjunto donde no importa el orden, a diferencia de las permutaciones donde el orden importa. En el caso de las comisiones, si se eligen tres alumnos, se considera una combinación ya que no importa el orden en que se elijan.
Si se tienen 26 letras del alfabeto y 10 dígitos, ¿cuántas patentes de automóvil se pueden confeccionar usando tres letras y tres dígitos?
-Se pueden confeccionar 17,576 patentes de automóvil utilizando tres letras del alfabeto y tres dígitos, aplicando el principio multiplicativo (26 letras * 26 letras * 26 letras * 10 dígitos * 10 dígitos * 10 dígitos).
¿Cómo se calcula el número total de patentes de automóvil que se pueden confeccionar con 26 letras y 10 dígitos?
-Se multiplican las opciones para cada posición de la patente. Como se pueden elegir 26 letras para cada una de las tres posiciones y 10 dígitos para cada una de las tres posiciones restantes, se calcula como 26^3 multiplicado por 10^3.
¿Cuál es la importancia de entender las diferencias entre permutaciones, variaciones y combinaciones en contextos prácticos como el de formar números o seleccionar miembros de un grupo?
-La importancia radica en la capacidad de determinar cuántas opciones son posibles para una tarea específica, ya sea para la creación de números, la selección de miembros de un grupo o la confección de patentes, lo que permite una planificación y organización eficiente.
Outlines
🔢 Cálculo de Permutaciones y Variaciones
El primer párrafo explica cómo calcular el número de números de cuatro cifras que se pueden formar con un conjunto de dígitos específicos. Se utiliza el factorial para calcular las permutaciones cuando no se repiten los dígitos, como en el ejemplo de los dígitos 6, 7, 8 y 9. Se describe el proceso de multiplicar los factoriales de los números hasta 4 para obtener 24 números posibles. Luego, se introduce el concepto de variación cuando se tienen más dígitos de los necesarios para formar un número, como en el caso de los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, donde se forma un número de cuatro cifras. Se explica la fórmula de variación y cómo se calcula el número total de combinaciones posibles.
🎓 Combinaciones y Patentes
El segundo párrafo se centra en las combinaciones, donde se explica la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Se utiliza el ejemplo de formar comisiones de tres alumnos de un total de 20, utilizando la fórmula de combinaciones. Se simplifica el cálculo mediante la propiedad de los factoriales y se obtiene el número de maneras en las que se pueden formar dichas comisiones. Finalmente, se aborda el cálculo de patentes de automóvil que se pueden confeccionar usando tres letras y tres dígitos del alfabeto y los números del 0 al 9, respectivamente, aplicando el principio multiplicativo para llegar al número total de patentes posibles.
Mindmap
Keywords
💡Permutaciones
💡Factorial
💡Variaciones
💡Combinaciones
💡Principio Multiplicativo
💡Repetición de Elementos
💡Números de Cuatro Cifras
💡Alumnos y Comisiones
💡Patentes de Automóvil
💡Letras del Alfabeto
Highlights
Se pueden formar 24 números de cuatro cifras utilizando los dígitos 6, 7, 8 y 9 sin repetición.
El uso del factorial (4!) es esencial para calcular permutaciones de cuatro elementos.
La fórmula para calcular permutaciones es n! (n factorial).
Se explica la diferencia entre permutaciones y variaciones en el contexto de formar números.
Con cinco dígitos (1, 3, 5, 7, 9), se pueden formar 120 números de cuatro cifras.
La fórmula para variaciones cuando n > k es n! / (n - k)!.
Se destaca la importancia de no repetir dígitos en las variaciones para evitar números idénticos.
En un curso de 20 alumnos, se pueden formar 1140 comisiones de tres alumnos.
Las combinaciones se calculan con la fórmula n! / (k! * (n - k)!).
Las comisiones de alumnos no pueden repetir miembros para ser consideradas diferentes.
Se pueden confeccionar 17,576 patentes de automóvil usando 26 letras y 10 dígitos.
El principio multiplicativo se aplica para calcular patentes con letras y dígitos.
Cada posición en la patente puede ser llenada de manera independiente con las opciones disponibles.
El cálculo final para patentes involucra multiplicar 26 opciones por cada letra y 10 opciones por cada dígito.
El proceso demuestra la aplicación práctica de conceptos matemáticos en contextos reales.
Transcripts
Cuántos números de cuatro cifras podemos
escribir con los dígitos 6 7 8 y 9 sin
que ninguno se
repita o sea lo que queremos hacer es
formar números que tengan esta forma por
ejemplo
6789 es un número de cuatro
cifras
6798 ahí tenemos otro entonces La idea
es cierto sin necesidad de estar
haciendo esto uno por uno saber cuántos
números Se forman en su totalidad para
eso Entonces vamos a trabajar con estos
cuatro elementos que nos dieron con los
que vamos a formar los dígitos y para
eso utilizamos entonces eh factorial
Como son cuatro elementos los que vamos
a tener que ir este combinando para
formar este número de cuatro cifras son
cuatro elementos la fórmula es n
factorial Así que si son cu p va ser
igual a 4 factorial est es la fórmula de
de
permutaciones y esto implica 4 * 3 * 2 *
1 4 * 3 12 12 * 2 24 o sea van a salir
24 números de cuatro cifras cuándo sé
que tengo que usar permutación cuando me
dan cuatro elementos y me piden trabajar
con los cuatro aquí tenemos que formar
los dígitos cierto con estos cuatro
números y estamos ocupando
Entonces todos esos números A diferencia
de los que vienen ahora a continuación
en el siguiente dice cuántos números de
cuatro cifras veen que estamos partiendo
igual que el anterior se pueden formar
Pero ahora con los dígitos 1 3 5 7 y 9
Entonces ahora ya no me dieron cuatro
sino que aquí tenemos
cinco Entonces estos elementos que están
acá van a ser los elementos n y Queremos
formar cifras número de cuatro cifras
entonces este va a
ser mi elemento K
eh estos casos Entonces ya no son de
permutación se llaman de
variación y la variación vamos a poner V
o
b corresponde a n factorial div n - K
factorial Esa es la fórmula entonces que
permite determinar los ejercicios que
sean de variación en este caso lo que
estamos haciendo es formar números de
cuatro dígitos como
1357 O 1000
759 siempre da cuatro
cifras utilizando esos
dígitos aquí viene algo importante si yo
elegí
1759 también puedo elegir por ejemplo
7195 ocupando los mismos elementos
anteriores los mismos dígitos ya esto
entonces importante para lo que viene
después ya Cuánto salen en total n
factorial son 5 5 factorial dividido Y
como están en cifras de 4 K vale 4 va a
ser 5 - 4 factorial 5 - 4
factorial 5 factorial es 5 * 4 * 3 * 2 *
1 y 5 - 4 1 y 1 factorial es 1 por lo
tanto ahí ya determinamos el el total 5
* 4 20 20 * 3 60 *
2 20 números entonces podemos formar de
cuatro cifras con cinco dígitos
en el siguiente dice en un curso de 20
alumnos se quiere formar una comisión de
tres alumnos ya el total de alumnos es
20 ese hace mi valor n 20 y hay que
formar comisiones de tres alumn entonces
c ig 3 aquí estamos en el caso de
una
combinación las combinaciones su fórmula
es n Factor
dividido K factorial por n - K
factorial Cuál es la diferencia con el
con el anterior si yo quiero formar una
comisión de tres alumnos podía elegir al
alumno a al alumno b y al alumno c si
quiero elegir otra comisión puedo elegir
al alumno d e f ahí tengo comisiones de
tres
alumnos pero lo que no podría ocurrir Es
que yo diga que esta comisión de alumnos
d e y F es una y que voy a formar otra
comisión con los alumnos e d y
F ya que tomé los mismos los mismos
alumnos y si son los mismos alumnos
entonces no es otra comisión Entonces
esto no puede ocurrir en las
combinaciones Entonces ahora
reemplazamos n factorial n 20 Así que va
a ser 20 factorial dividido K factorial
que son 3 factorial n - K 20 - 3 17
factorial y para desarrollar esto nos
conviene aquí hacer eh un arreglo que
aplicar una propiedad 20 * 19 * 18 * 17
factorial o sea llego hasta el 17 no más
para poder Entonces 3 * 2 * 1
simplificarlo con el 17 factorial que
está en el
denominador y ahí entonces desarrollamos
obviamente conviene simplificar el 3 con
el 18 que cabe 6 ve el do en el 20 10 y
efectuamos la multiplicación 6 * 19 6 *
9 54 5 6 * 1 6 y 5 11 y eso como está
multiplicado por 10 agregamos un c 110
maneras entonces de formar la
comisión Y por último cuatro patentes de
automóvil e no Cuántas patentes de
automóvil Se podrían confeccionar con 26
letras de nuestro alfabeto empleando
tres letras y tres dígitos y aquí voy a
emplear el principio multiplicativo hay
que formar entonces patente que tengan
así lo voy a colocar que
tengan dice acá eh tres
letras y tres
dígitos ya ahí está la patente como aquí
tengo que confec o sea colocar las
letras del alfabeto que nos mencionan
acá que son 26 en este
primer ahí este primer cuadro que
tenemos donde vamos a colocar las letras
Yo puedo colocar cualquiera de las 26
cualquiera de las 26 letras en el
segundo también puedo colocar cualquiera
de las
26 Porque ninguna parte me dice de que
no tenga que que repetirlas y en el
tercero
26 y ahora los dígitos los dígitos
sabemos son los
números
entre 0 y
9 si contamos los los números son en
total 10 son 10 dígitos Así que aquí
puedo colocar cualquiera de los 10
dígitos en el siguiente también puedo
colocar cualquiera de los 10 dígitos y
cualquiera de los 10 dígitos por lo
tanto esto significa 26 * 26 por 26 * 10
* 10 * 10 ya Y entonces tenemos que
efectuarla la multiplicación aquí abito
ahí corr un poco la hoja
entonces 26 * 26 6 * 6
36 6 2 2 y 3 15 2 * 6 12 2 * 2 4 y una 5
Entonces tenemos
6
7
6 ya y ahora tenemos que multiplicarlo
nuevamente por
26 6 * 6
36 se está viendo ahí que correrlo 6 * 6
36 3 6 * 7 42 y 3
45 ya 45 4 6 * 6 36 y 4 40 2 * 6 12 2 *
7 14 1 15 2 * 6 12 1
13 6 7 5 7 1 ya Entonces tenemos
1 7 5 7 6 y agreg
entonces separamos y se ve Entonces que
se pueden confeccionar
17576
patentes
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