Los Universos Paralelos Ocultos Vienen de Hace Muchos Años...
Summary
TLDREl texto describe la evolución de la matemática a través de la historia, particularmente el trabajo de Euclides y su impacto en la comprensión del universo. Se discute la controversia sobre el quinto postulado de Euclides y cómo el descubrimiento de las geometrías no euclidianas, como la hiperbólica y esférica, cambió nuestra percepción del espacio y el tiempo. Finalmente, se conecta la teoría de la relatividad de Einstein con estas geometrías, mostrando cómo la geometría del universo puede ser determinada y lo que esto significa para nuestra comprensión del cosmos.
Takeaways
- 📚 El libro 'Elementos' de Euclides ha sido publicado en más ediciones que cualquier otro libro, excepto la Biblia, y fue el texto de referencia en matemáticas durante más de 2000 años.
- 🤔 A lo largo del tiempo, los matemáticos han tenido dudas sobre una sola frase en el libro de Euclides, la cual parecía un error pero resultó ser fundamental para comprender el universo.
- 🌟 El quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, ha sido el objeto de controversia y ha llevado a la exploración de universos matemáticos nuevos y extraños.
- 👦 János Bolyai, un estudiante de 17 años, y Carl Friedrich Gauss independientemente trabajaron en la resolución del misterio del quinto postulado y desarrollaron la geometría no euclidiana.
- 🔍 La geometría hiperbólica fue descubierta por Bolyai y Gauss, y muestra un universo donde, por un punto fuera de una línea recta, se pueden trazar más de una línea paralela.
- 🌐 La geometría esférica, en la que las líneas rectas son arcos de círculos en una esfera, es otra forma de geometría no euclidiana que Gauss ya había explorado, pero no publicó por temor a ser ridiculizado.
- 😔 Bolyai se sintió devastado al recibir una respuesta de Gauss que parecía minimizar sus contribuciones y esto llevó a que Bolyai no publicara más sobre su trabajo en geometría no euclidiana.
- 🌌 La teoría de la relatividad de Einstein, publicada en 1905, cambió nuestra comprensión del espacio y el tiempo, y generó una nueva perspectiva en la geometría del universo.
- 🔮 La geometría curva es fundamental para entender cómo las líneas rectas se comportan en el espacio-tiempo curvo, y ha sido confirmada por observaciones como la lente gravitacional de supernovas.
- 📈 La medición de la curvatura del universo a través de la observación del CMB (Fondo de Microondas Cósmico) ha llevado a la conclusión de que el universo es plano dentro del margen de error.
- 🤔 La densidad de masa-energía del universo es crítica para su forma geométrica; un poco más o menos podría haber resultado en un universo esférico o hiperbólico.
Q & A
¿Qué era la frase clave en uno de los libros de matemáticas más antiguos?
-La frase clave era un postulado en los Elementos de Euclides, que posteriormente se convirtió en el eje central de la teoría de las geometrías no euclideas.
¿Por qué Euclides decidió redactar sus 13 libros llamados Elementos?
-Euclides asumió el proyecto de resumir todas las matemáticas conocidas en ese entonces, con el objetivo de crear un solo libro que contuviera todo lo que se sabía sobre las matemáticas.
¿Qué problemas surgieron con el quinto postulado de Euclides?
-Los matemáticos se dieron cuenta de que el quinto postulado parecía un error a lo largo del tiempo, lo que llevó a intentos de demostración y reformulación por parte de destacados matemáticos.
¿Qué es la geometría hiperbólica y cómo se relaciona con el quinto postulado de Euclides?
-La geometría hiperbólica es una rama de las geometrías no euclideas que se desarrolla bajo la premisa de que se pueden trazar más de una línea paralela a una dada línea recta por un punto fuera de ella, lo que va en contra del quinto postulado de Euclides.
¿Quién descubrió la geometría no euclidiana y cómo cambió esto la matemáticas?
-János Bolyai y Carl Friedrich Gauss independientemente descubrieron la geometría no euclidiana. Esto marcó el inicio de un nuevo enfoque en las matemáticas, expandiendo la comprensión del espacio y el concepto de geometría más allá del modelo euclidiano.
¿Qué es el modelo del disco de Poincaré y cómo representa la geometría hiperbólica?
-El modelo del disco de Poincaré es una representación visual de la geometría hiperbólica en la que el plano hiperbólico se parece a un disco lleno de triángulos que se dilatan progresivamente alejándose del centro, mostrando cómo las líneas rectas en esta geometría parecen curvas.
¿Cómo se relaciona la geometría esférica con el quinto postulado de Euclides?
-La geometría esférica se desarrolla en una esfera donde las líneas rectas son arcos de círculos máximos, lo que significa que no hay líneas paralelas en el sentido euclidiano, ya que todas las great circles se intersectan en dos puntos opuestos de la esfera.
¿Qué es la teoría de la relatividad y cómo se relaciona con las geometrías curvas?
-La teoría de la relatividad, propuesta por Albert Einstein, establece que el espacio y el tiempo son relativos y que los objetos masivos curvan el espacio-tiempo. Esto se relaciona con las geometrías curvas ya que las trayectorias de los objetos en un espacio-tiempo curvo, como el universo, siguen path叫做geodésicas, que son las líneas rectas en la geometría curvada.
¿Cómo se puede determinar la forma del universo usando las geometrías curvas?
-La forma del universo se puede determinar midiendo los ángulos de un triángulo formado por objetos distantes, como galaxias. En una geometría plana, los ángulos suman 180 grados, en una esfera suman más y en una geometría hiperbólica suman menos de 180 grados.
¿Cuál es la mejor estimación actual de la curvatura del universo?
-La mejor estimación actual de la curvatura del universo es de punto C 007 má menos, lo que indica que el universo es predominantemente plano dentro del margen de error.
¿Por qué es significativo que el universo aparentemente tenga una densidad de masa-energía que resulta en un espacio plano?
-Es significativo porque la densidad de masa-energía del universo está muy cerca de un valor crítico que determinaría su geometría. Si hubiera sido ligeramente diferente, el universo tendría una forma curva, lo que afectaría fundamentalmente nuestra comprensión del cosmos y su evolución.
Outlines
📚 El misterioso quinto postulado de Euclides
Este párrafo explora la importancia de una sola frase en uno de los libros de matemáticas más antiguos y su impacto en la comprensión del universo. Se menciona a Euclides y su obra 'Elementos', que ha sido referencia fundamental en la matemática durante más de 2000 años. La discusión se centra en el quinto postulado de Euclides, que ha sido objeto de dudas y debate por parte de matemáticos a lo largo de los siglos. La historia muestra cómo pequeños cambios en esta frase han abierto camino a nuevos y extraños universos, siendo clave para entender nuestro propio universo. Además, se describe el proceso de Euclides al crear su obra y su enfoque en la lógica y los postulados para construir la matemática.
🔍 La búsqueda de una contradicción en el quinto postulado
Este segmento detalla el intento de matemáticos a lo largo de 2000 años para encontrar una contradicción en el quinto postulado de Euclides. Se menciona a Hanos Bolay, un estudiante de 17 años que se aventuró a resolver el misterio. A pesar de los esfuerzos de varios matemáticos, incluyendo a Proclo y Tolomeo, ninguno pudo demostrar el postulado. Se describen las diferentes tácticas empleadas, como la prueba por contradicción, y cómo estas también fallaron. Finalmente, se introduce la idea de que el quinto postulado podría ser completamente independiente de los otros cuatro, lo que llevó a la creación de nuevas geometrías.
🌐 La geometría hiperbólica y su impacto en el entendimiento del universo
Este párrafo introduce la geometría hiperbólica como un campo donde más de una línea puede ser paralela a una línea dada a través de un punto fuera de la línea. Se describe cómo Bolay imaginó un mundo en el que esto era posible y cómo la geometría hiperbólica se diferencia de la euclidiana. Se menciona el trabajo de Gauss en geometría esférica y cómo este tipo de geometría es consistente y diferente a la euclidiana. Además, se discuten las implicaciones de estas nuevas geometrías para la comprensión del universo, y cómo el modelo del disco de Poincaré muestra cómo las líneas rectas en una superficie curva pueden no parecer rectas.
🏹 La vida y el legado de Janos Bolyai
Este segmento narra la vida de Janos Bolyai, quien, a pesar de sus logros en las matemáticas, también tuvo un talento notable en el violin y la esgrima. Sin embargo, su arrogancia y dificultad para aceptar la autoridad llevaron a un conflicto con sus superiores. A pesar de sus habilidades en el duelo, Bolyai se sintió devastado por la respuesta de Gauss a sus hallazgos, lo que lo llevó a no publicar más sobre su trabajo en geometría no euclidiana. Posteriormente, se enteró de que Nikolai Lobachevski había descubierto la geometría no euclidiana antes que él. Bolyai dejó una gran cantidad de manuscritos sin publicar, y aunque no estaba al tanto de que Gauss también había descubierto la geometría no euclidiana, su trabajo fue reconocido como genio después de su muerte.
🌌 Las geometrías no euclidianas y la teoría de la relatividad
Este párrafo explica cómo las geometrías no euclidianas han influido en la teoría de la relatividad de Einstein. Se mencionan las geometrías hiperbólica y esférica, y cómo su consistencia fue demostrada por Eugenio Beltrami. La teoría de la relatividad especial de Einstein se basa en dos postulados fundamentales y cambia la percepción de la gravedad de Newton. Se describe cómo Einstein reconcilió la relatividad y la gravedad, y cómo la geometría curvada del espacio-tiempo es fundamental para entender la teoría de la relatividad. Además, se mencionan eventos recientes como la observación de una supernova y la detecció de ondas gravitacionales que apoyan las predicciones de la teoría de la relatividad.
🛰️ La curvatura del universo y la geometría cósmica
Este párrafo discute la importancia de medir la curvatura del universo para comprender su forma y la geometría subyacente. Se menciona el trabajo de Gauss en la geometría esférica y cómo esto ha llevado a la creación de geometrías no euclidianas. Se describe el experimento de Gauss y cómo los triángulos formados entre montañas pueden ser utilizados para medir la curvatura del espacio. Además, se introduce el concepto del CMB (fondo cósmico de microondas) y cómo su análisis puede revelar la geometría del universo. Finalmente, se menciona que, según los datos de la misión Planck, el universo parece ser plano dentro del margen de error.
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Highlights
La frase clave de un libro antiguo de matemáticas podría entender el universo.
Euclides publicó 'Elementos', un texto de referencia en matemáticas durante más de 2000 años, con excepción de la Biblia.
Durante siglos, matemáticos dudaron de una sola frase en los 'Elementos' que parecía un error.
Los mejores matemáticos finalmente comprendieron que Euclides no se había equivocado, sino que su frase era la clave.
Los pequeños cambios en la frase en cuestión abrieron el camino a nuevos y extraños universos.
Euclides asumió el desafío de resumir todas las matemáticas conocidas en su tiempo en un solo libro.
El quinto postulado de Euclides, sobre las paralelas, fue la fuente de incesante debate y investigación.
Los matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado de Euclides durante más de 2000 años, pero todos fallaron.
János Bolyai, un estudiante de 17 años, comenzó a trabajar incansablemente en el misterio de las paralelas.
Bolyai imaginó un universo en el que podían existir más de una línea paralela a una dada línea y punto fuera de ella.
La geometría hiperbólica fue descubierta por Bolyai, presentando un nuevo enfoque para entender el espacio.
Carl Friedrich Gauss, un matemático contemporáneo de Bolyai, también trabajó en geometrías alternativas a Euclides.
Gauss y Bolyai independientemente descubrieron la geometría no euclidiana, consistente y alternativa a la geometría tradicional.
La geometría esférica, en la que las líneas rectas son arcos de círculos, fue familiar para Gauss, quien trabajó en geodesia.
Gauss, debido a su trabajo en geodesia, tuvo que medir el reino de Hanover ayudando a crear un mapa.
La geometría hiperbólica fue finalmente reconocida por su consistencia y ser una extensión lógica de las matemáticas euclidinas.
La teoría de la relatividad de Einstein, publicada más tarde, se basa en conceptos de geometría no euclidiana, cambiando nuestra comprensión del espacio y el tiempo.
La geometría del universo puede ser determinada mediendo los ángulos de un triángulo, una tarea que Gauss comenzó hace 200 años.
El Fondo Cósmico de Microondas (CMB) proporciona una ventana al universo en su infancy, permitiendo el estudio de sus propiedades geométricas.
La curvatura del universo puede ser medida analizando el CMB, lo que indica si es plano, esférico o hiperbólico.
La relatividad general de Einstein ha sido exitosa en su predicción de fenómenos cósmicos, incluyendo la detecció de ondas gravitacionales.
La geometría plana, esférica y hiperbólica son conceptos fundamentales en la comprensión del universo que nos rodea.
Transcripts
una sola frase en uno de los libros de
matemáticas más antiguos tenía la clave
para comprender el universo elementos de
euclides se ha publicado en más
ediciones que ningún otro libro Con
excepción de la Biblia fue el texto de
referencia por más de 2000 años pero
durante ese tiempo los matemáticos
tenían dudas de una sola frase que
parecía un
error a la larga algunos de los mejores
matemáticos se dieron cuenta de que
después de todo euclides no se equivocó
Pero había más en la historia pequeños
cambios en esta frase abrieron universos
nuevos y extraños de la
nada sorprendentemente 80 años después
descubrimos que esos extraños universos
son clave para entender nuestro propio
[Música]
universo alrededor del 300 antes de
Cristo el matemático griego euclides
asumió un proyecto enorme resumir todas
las matemáticas conocidas en ese
entonces para básicamente crear un solo
libro que contuviera todo lo que se
sabía de las
Matemáticas pero no era una tarea fácil
antes de euclides había un pequeño
problema con las matemáticas se
demostraban las cosas pero lo hacían
dándole vueltas porque un triángulo
tiene 180 gr Porque si tomas dos líneas
par sí Pero puede haber paralelas Ah
puedes hacer un cuadrado Pero por qué
existe el cuadrado había esta
recursividad infinita de la razón
fundamental por la que algo es verdadero
es como en el diccionario cada palabra
se define en función de otras palabras
Cómo se llega a la verdad fundamental
euclides usó la solución que
introdujeron los griegos aceptemos que
unas cuantas de las cosas más simples y
básicas son
verdaderas Estos son nuestros postulados
con base en los postulados podemos
probar teoremas de uno en uno para
construir la matemática usando la lógica
mientras estas primeras afirmaciones
sean verdaderas todo lo que siga a
partir de ellas debe debe ser
definitivamente verdadero perfeccionó la
regla de oro de las pruebas matemáticas
rigurosas en la que se basa toda la
matemática moderna euclides usó este
método cuando publicó su serie de 13
libros llamada elementos en la que
demostró
465 teoremas cubriendo casi todas las
matemáticas conocidas por entonces
incluso geometría y teoría de números y
todos estos teoremas se basaban en
algunas definiciones unas cuantas
nociones comunes y
postulados vamos directo al libro uno y
este libro empieza en definiciones por
ahí hay que empezar las definiciones son
un punto es lo que no tiene partes una
línea es una longitud sin anchura y los
extremos de una línea Son puntos por
línea se refería a una curva y esta
tiene
extremos una línea recta es aquella que
yace igualmente respecto a sus puntos
etcétera etcétera hizo 23 definiciones y
luego están los cinco postulados
los primeros cuatro son sencillos uno si
tienes dos puntos puedes trazar una
línea recta entre ellos dos toda línea
recta se puede prolongar
indefinidamente tres dado un centro y un
radio se puede trazar un círculo y
cuatro todos los ángulos rectos son
iguales entre sí el postulado cinco se
pone más serio Qué es que si una línea
recta al incidir sobre dos líneas rectas
hace los ángulos interiores del mismo
lado menores que dos ángulos rectos
las dos líneas rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán en el
mismo lado de los ángulos menores a dos
ángulos
rectos de qué Rayos está hablando es un
postulado los demás son como de media
oración y son más que obvios y llega el
cinco de repente y es todo un párrafo
Qué está
haciendo esto hizo sospechar a los
matemáticos parecía que euclides se
había equivocado el filósofo griego
proclo pensó que el postulado C de debía
incluso ser eliminado de los postulados
porque es un teorema pero si es un
teorema deberíamos poder demostrarlo a
partir de los primeros cuatro postulados
y esto fue lo que muchos intentaron
algunos Incluyendo a tolomeo y proclo
creyeron que lo habían logrado pero no
era así de hecho todo lo que pudieron
hacer fue reformular el postulado cinco
con otras
palabras este es uno de esos enunciados
si tienes una recta y un punto que no
está en esa recta entonces hay un una
única recta que será paralela a la
primera recta Esta es la razón de que el
quinto postulado a veces se le llame el
postulado de las paralelas cuando falló
el método de la demostración directa
otros matemáticos como alhen y Omar
kayam intentaron un enfoque distinto la
prueba por contradicción La idea es
simple mantienes los primeros cuatro
postulados iguales pero asumes que el
quinto es falso entonces usas esos
nuevos postulados para demostrar
teoremas Y si llegas a una contradicción
por ejemplo verdadero es igual a falso
entonces significa que tu nuevo quinto
postulado debe estar equivocado y por
tanto la única opción restante es que la
versión de euclides del quinto postulado
es correcta y habrás demostrado El
quinto postulado y Qué pasaría si el
quinto postulado fuera falso Según
euclides por un punto que no está en una
recta puede pasar solo una recta que sea
paralela a la primera una alternativa es
que no se pudieran trazar rectas
paralelas que pasen por ese punto Ay
Quiénes lo entar y vieron que entonces
la longitud de las líneas tenía que ser
finita y eso no puede ser esa opción se
descartó contradecía el segundo
postulado que dice que las rectas se
pueden prolongar
indefinidamente la otra alternativa es
que se puede trazar más de una línea
paralela por un punto que no esté en la
primera recta Así que eso es lo que
hicieron asumieron que el quinto
postulado fallaba y pensaban esto tiene
que estar mal Dónde está la no podían
encontrar la contradicción entonces la
prueba por contradicción también falló
en total los matemáticos pararon más de
2000 años tratando de probar El quinto
postulado pero todos los que trataron
[Música]
fallaron y así cerca de 1820 hanos bolay
un estudiante de 17 años comenzó a pasar
sus días y noches trabajando en este
misterio su papá se preocupó y le
escribió a su hijo no Deberías intentar
este acercamiento a las paralelas
conozco ese camino hasta el final ya
atravesé esa noche sin fondo que
extinguió toda la luz y alegría de mi
vida te lo ruego deja la ciencia de las
paralelas por la paz aprende de mi
ejemplo pero el joven bolay no le hizo
caso a su padre no podía dejar la
ciencia de las paralelas por la paz
después de años de trabajo se dio cuenta
de que tal vez el quinto postulado no
podía probarse con los otros cuatro
podía ser totalmente
independiente de acuerdo con euclides
solo puede pasar una línea paralela por
un punto pero volay imaginó un mundo en
el que pudieran pasar más de una línea
paralela por ese punto Pero cómo bueno
Quién dijo que se necesitaba tener una
superficie plana en una superficie curva
como esta se pueden trazar más de una
línea que sea paralela a la recta
original pero esperen un momento esas
líneas no se ven
rectas Bueno lo que hace especial a las
líneas rectas es que son el camino más
corto entre dos puntos en esta
superficie esos caminos más cortos se
ven curvados porque las superficie es
curva aquí hay un ejemplo más familiar
los aviones intentan Volar por el camino
más corto entre dos ciudades básicamente
vuelan en línea recta pero esa línea no
se ve recta en un mapa porque la
superficie es curva estos caminos más
cortos en superficies curvas se llaman
geodésicas entonces todas estas líneas
son rectas pero no se ven rectas porque
el mundo que imaginó B era curvo ahora
conocemos esto como geometría
hiperbólica
cuando solía pensar en un plano
hiperbólico me lo imaginaba como una
enorme silla de montar pero en realidad
no es así el plano hiperbólico se parece
mucho más a esta pieza de crochet
empieza muy plano y uniforme en el
centro Pero conforme se mueve hacia
fuera se crea cada vez más y más tela Y
eso aleja a las líneas
paralelas y entre más afuera vayamos la
cantidad de tela va a crecer
exponencialmente y termina provocando
estos pliegues Así que si quieres pensar
en el plano hiperbólico creo que debes
pensar en sillas de montar en sillas de
montar en sillas de montar como un caos
de pliegues infinitos pero esa pequeña
pieza de crochet no es todo el plano
hiperbólico para mostrarlo tenemos que
hacer un mapa uno en donde quepa todo el
plano en un
disco para Mostrar cómo funciona vamos a
llenar todo el plano con estos
triángulos empezando en el centro como
en el crochet todo se ve muy normal Pero
conforme nos alejamos del centro tenemos
todo este espacio extra y podemos meter
más y más triángulos Parece que son más
chicos Pero en realidad son del mismo
tamaño ahora como el plano hiperbólico
es infinito se pueden agregar triángulos
por siempre y todos tienen que caber en
el disco a medida que nos acercamos a la
orilla los triángulos van a parecer cada
vez más
pequeños infinitamente más pequeños
interminables y nunca lograremos
alcanzar la orilla
esto se conoce como el modelo del disco
de poincare aquí las líneas rectas son
arcos de círculos que intersecan el
disco a 90 gr Y al igual que en la forma
original una línea recta en el centro se
ve recta mientras que las líneas rectas
cercanas a ella Parecen
curvarse lo extraordinario es que bji
aún no tenía un modelo de geometría
hiperbólica solo estaba trazando
triángulos euclidianos asumiendo que el
quinto postulado de euclides no se
sostenía Y aunque bji descubrió que el
comp atamiento en la geometría
hiperbólica es muy distinto al de la
euclidiana matemáticamente parecía igual
de
consistente en 1823 hanos con 20 años le
escribió a su papá descubrí cosas tan
maravillosas que me
fascinaron de la nada creé un nuevo y
extraño
universo pero Bay había estado haciendo
más que solo abordar antiguos misterios
matemáticos en sus 20 se unió al
ejército donde siguió desarrollando
otras dos de sus pasiones tocar el
violín y batirse en Duelo dominaba a
ambas pero Especialmente con la espada
no tenía rival quizá por sus muchos
talentos bolay se volvió arrogante y le
era difícil aceptar la autoridad de sus
superiores eso hacía que fuera difícil
llevarse bien con él esto llegó a un
punto álgido cuando durante uno de sus
despliegues 13 oficiales de caballería
de su guarnición lo retaron a un duelo
Bay aceptó el reto con la condición de
que después de cada dos duelos pudiera
tocar su violín un momento bji peleó con
cada uno sucesivamente y ganó los 13
duelos dejando a sus adversarios en la
[Música]
plaza Aunque a bolj le encantaban los
duelos su primer amor seguía siendo las
matemáticas en 1832 9 años después de
haber descubierto su extraño y nuevo
universo publicó sus hallazgos como un
apéndice de 24 páginas en el libro de
texto de su padre farcas bolji
extremadamente orgulloso y emocionado
por el trabajo de su hijo se lo envió a
quien Quizá es el mejor matemático de
todos los tiempos Carl thed gaus después
de estudiarlo detenidamente gaus
respondió meses después elogiarlo
equivaldría a elogiarme a mí mismo ya
que todo el contenido de la obra
coincide casi exactamente con mis
propias meditaciones que han ocupado mi
mente los últimos 30 o 35
años años antes gaus había recorrido un
un camino similar en 1824 Le escribió
una carta privada a uno de sus amigos en
la que describía haber descubierto una
geometría curiosa con teoremas
paradójicos y para los no iniciados
absurdos por ejemplo escribía gaus los
tres ángulos del triángulo pueden ser
tan pequeños como se desee si solo se
toman los lados lo suficientemente
grandes sin embargo el área del
triángulo nunca puede exceder un límite
definido En otras palabras se puede
tener un triángulo infinitamente largo
pero el área es
finita se puede ver por qué con el
modelo del disco de poincare un
triángulo pequeño se ve bastante normal
Pero conforme se hace más grande los
ángulos se vuelven cada vez más pequeños
finalmente todos esos ángulos llegan a
cero porque estas rectas intersecan el
disco a 90 gr estas rectas son
infinitamente largas pero debido a la
geometría el área es
finita en la misma carta privada gaus
escribía todos mis esfuerzos por
descubrir una contradicción o
inconsistencia en esta geometría no
euclidiana han sido
infructuosos al igual que bolji gaus
descubrió que esta geometría era
absolutamente consistente la nombró
geometría No euclidiana un nombre que se
quedó describe geometrías en las que se
cumplen los primeros cuatro postulados
pero no el quinto pero gaus decidió no
publicar sus hallazgos por temor a
quedar en ridículo esta aversión a un
tipo distinto de geometría Debería ser
al menos un poco sorprendente Porque
existe otra geometría con la que
deberíamos estar muy familiarizados la
geometría esférica ya que todos vivimos
en una esfera en una esfera las líneas
rectas son parte de círculos máximos que
son los círculos con la mayor
circunferencia posible en la tierra el
Ecuador y los meridianos son ejemplos de
círculos
máximos y podemos usar esto para ver
cómo se comportan las líneas rectas
estas líneas parecen ir en la misma
dirección Pero conforme se prolongan se
puede ver que se intersecan una vez y
otra vez al otro lado de la tierra y
esto siempre ocurre para dos círculos
máximos porque cada uno debe tener la
mayor circunferencia posible por eso en
una esfera no hay líneas
paralelas gaus llevaba mucho tiempo
fascinado por la geometría esférica
además era un geodesta y a menudo tomaba
medidas de la tierra en la década de
1820 le dieron la tarea de medir el
reino de Hanover para ayudar a hacer un
mapa como parte de su medición escaló
las montañas cercanas a gotinga con la
ayuda de gente situada en otros puntos
de referencia pudo medir cuidadosamente
los ángulos de varios triángulos que
luego serían usados para determinar la
posición de un lugar con respecto a otro
como referencia para la medición y para
ayudar a determinar la redondez de la
tierra midieron con precisión los
ángulos de un gran triángulo formado por
tres
montañas pero a pesar de sus ideas
románticas de tomar mediciones en la
cima de las montañas gaus No era el
correspondiente más amable cuando volay
Recibió la respuesta de su héroe se
sintió devastado porque creyó que gaus
estaba intentando socavar lo y robarle
sus ideas quedó tan resentido por la
respuesta de gaus que nunca volvió a
publicar en 1848 volay tuvo que soportar
otra pena cuando se enteró de que el
matemático ruso nikolai lobachevski
había descubierto por su cuenta la No
euclidiana mucho antes que Bay publicara
su apéndice de 24
páginas cuando Bay murió en 1860 dejó
20.000 páginas de manuscritos
matemáticos sin publicar él no supo que
gaus había descubierto la geometría no
euclidiana por su cuenta ni que después
de recibir el apéndice gaus Le escribió
a un amigo Considero que Este joven
geometra bolay es un genio de primer
nivel
[Música]
mientras Bay se amargaba la geometría no
euclidiana siguió desarrollándose hasta
1854 la geometría esférica no se
consideraba geometría no
euclidiana debido a que en una esfera
las líneas no se pueden prolongar
indefinidamente esto es con lo que se
toparon los matemáticos anteriores Y por
lo que descartaron esta geometría ya que
el segundo postulado de euclides no se
sostenía pero en 1854 ran modificó el
segundo postulado de una prolongación
infinita algo que es entre comillas
ilimitado y así el segundo postulado se
sostiene en una
esfera con este cambio la geometría
esférica se convirtió en otra geometría
nu euclidiana válida utilizando los
cuatro postulados generalizados y
tomando el quinto como que no hay líneas
paralelas ahora se puede derivar la
geometría esférica o
elíptica consideras que el quinto
postulado fue un error hubiera sido
mejor que no lo hubiera escrito nunca si
no lo hubiera escrito habría arriesgado
su geometría porque no hubiera podido
demostrar mucho de lo que él decía es
muy hermoso que lo haya escrito es
hermoso que la gente pasara 2000 años
tratando de refutarlo solo para
descubrir que de hecho tenía razón
cuando él escribió esto pero aunque
euclides se acertó al escribir El quinto
postulado cometió un error distinto Este
es el problema con lo que estaba
haciendo euclides definición uno un
punto es lo que no tiene partes Qué es
tener una parte Qué es una parte Qué es
no tener partes una línea es una
longitud sin anchura Qué es tener
anchura ya se Igualmente respecto a sus
puntos de qué Rayos está hablando lo
leímos hace dos minutos y todos dijimos
sí tiene sentido lo que dice no tiene
sentido no me des una definición que va
a tener una recursividad infinita si
defines algo en función de otras cosas
entonces Define esas cosas Si me dices
que es eso Entonces dime que es es lo
anterior a eso definir es una mala idea
no deberías tener definiciones sino
términos indefinidos no voy a decirte
que es un punto no voy a decirte que es
una recta no voy a decirte que es un
plano solo voy a decirte cuáles son los
postulados que se supone que satisfacen
Lo importante es la relación entre los
objetos no la definición de los objetos
en sí y cuando abres tu mente a esa
posibilidad de repente te das cuenta de
que hay un mundo geométrico
perfectamente válido en el cual línea
significa Círculo máximo y plano
significa esfera y punto es un punto en
una esfera Y entonces se satisfacen
cuatro de esos axiomas pero no el quinto
y de manera similar hay otro modelo
llamado modelo del disco para el espacio
hiperbólico en el cual el disco es el
plano y cuando digo líneas rectas me
refiero a arcos de círculos que son
ortogonales al disco y los puntos Son
puntos dentro del disco y el disco es el
plano se puede pensar en la geometría
como un juego los primeros cuatro
postulados son las reglas básicas
necesarias para jugar el juego y el
quinto postulado selecciona el mundo en
el que vas a jugar si eliges que no haya
líneas paralelas vas a jugar en
geometría esférica si eliges una línea
paralela vas a jugar en geometría plana
y si eliges más de una línea paralela
vas a jugar en geometría
hiperbólica pero ran decidió llevarlo un
paso más allá en lugar de elegir jugar
en un solo mundo por qué no combinarlos
todos en
uno durante su discurso inaugural en
1854 sentó las bases para una geometría
en la que la curvatura podría variar de
un lugar a otro una parte podría ser
plana otra un poco curva e incluso otra
parte con una curvatura
profunda a tres o más
dimensiones en 168 se produjo otro gran
avance cuando Eugenio beltrami demostró
inequívocamente que las geometrías
hiperbólica y esférica eran tan
consistentes como la geometría plana de
euclides es decir si hubiera alguna
inconsistencia en la geometría
hiperbólica o en la esférica tendría que
estar presente también en la geometría
plana las perspectivas de estas nuevas
geometrías eran magníficas y resulta que
esto era solo el
principio en 1905 Einstein propuso la
teoría de la relatividad especial que se
basa en Solo dos postulados uno las
leyes de la física son las mismas en
todos los sistemas de referencia
inercial y dos la velocidad de la luz en
el vacío es la misma para todos los
observadores inerciales En consecuencia
el espacio y el tiempo deben ser
relativos Pero eso generaba un problema
para la gravedad newtoniana porque según
Newton la fuerza de la gravedad es
inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre los dos objetos pero
en la relatividad especial de Einstein
esa distancia ya no está bien definida
En qué sistema de referencia estamos
midiendo Einstein tenía que encontrar
una manera de conciliar la relatividad y
la gravedad dos años después en 1907
Einstein tuvo el pensamiento más feliz
de su vida se imaginó a un hombre
cayendo del tejado de una casa y lo que
alegró tanto a Einstein es que se dio
cuenta de que mientras el hombre
estuviera cayendo Se sentiría
absolutamente ingrávido Y si soltara un
objeto este permanecería en un
movimiento uniforme con relación a él
sería como estar en el espacio lejos de
cualquier masa flotando en una nave
espacial a una velocidad constante y ese
es un observador inercial y el gran
descubrimiento es que Einstein se dio
cuenta de que no son similares son
idénticos porque no hay experimento que
pueda hacerse para determinar si estás
en caída libre en un campo gravitatorio
uniforme o si estás en el espacio
profundo lejos de cualquier cuerpo
masivo por tanto el hombre en caída
libre también debe ser un observador
inercial es decir no está acelerando ni
experimentando ninguna fuerza de
gravedad pero si la gravedad no es una
fuerza cómo se explican cosas como que
la estación espacial orbite la tierra no
debería salir volando en línea recta los
astronautas de la estación espacial
también se sienten ingrávidos y Esa es
la clave es como si viajaran a velocidad
constante en línea
recta se siente así porque eso es
precisamente lo que están haciendo viaj
en línea recta Entonces cómo podría esa
línea recta parecer curva a un
observador distante La respuesta es
porque el espaciotiempo en el que se
encuentra esa línea recta es
curvo verán los cuerpos masivos curvan
el espacio-tiempo y los objetos que se
mueven por el espaciotiempo curvo
seguirán el camino más corto a través de
esa geometría curvada la geodésica y
mientras los astronautas de la estación
espacial sigue en una línea recta esta
parecerá curva a un observador distante
porque la tierra curva el espaciotiempo
o a su
alrededor el comportamiento de las
líneas rectas en geometrías curvas es
fundamental para comprender el universo
en que vivimos y en los más de 100 años
que van desde su publicación la teoría
general de la relatividad ha tenido un
éxito
notable en 2014 los astrónomos
observaron brevemente una supernova la
muerte violenta y sumamente brillante de
una estrella de hecho vieron exactamente
la misma supernova en cuatro lugares
diferentes Cómo Pues en entre la
supernova y la Tierra había una galaxia
masiva que curva el espacio-tiempo la
luz de la supernova que se propagaba en
todas direcciones seguía varios caminos
distintos para llegar a la Tierra y
cuatro de ellos llegaron aproximadamente
al mismo tiempo la galaxia sirvió como
una lente gravitatoria inmensa los
astrónomos se dieron cuenta de que otras
galaxias del cúmulo también podrían
captar la luz de esa supernova pero con
longitudes de trayectoria y potenciales
gravitatorios diferentes por lo que la
luz llegaría a la Tierra en momentos
distintos tras una cuidadosa
modelización predijeron que deberían ver
una repetición de esa supernova justo un
año después y el 11 de diciembre de 2015
tal como Se predijo volvieron a ver la
misma
supernova además de poder observar los
efectos de la curvatura del
espaciotiempo ahora incluso podemos
medir Las ondas del propio espacio
tiempo ondas gravitatorias formadas por
sucesos cósmicos muy muy lejanos como la
fusión de agujeros negros y según un
estudio reciente de nanog grab El tejido
espacio temporal parece estar repleto de
restos de grandes sucesos cósmicos en
los 100 años transcurridos desde la
publicación de la relatividad general
innumerables descubrimientos han
corroborado sus predicciones y en su
núcleo se encuentran las geometrías
curvas de bolji y riman pero hasta ahora
todos los efectos que hemos visto son
distorsiones locales del
espaciotiempo Cuál es la forma de todo
el el
universo usando las diferencias entre
las geometrías también podemos
averiguarlo en la geometría plana
Esperamos que todos los ángulos de un
triángulo sumen 180 gr sin falta Pero en
geometría esférica los ángulos no suman
180 gr sino más del mismo modo en
geometría hiperbólica los ángulos suman
menos de 180 gr para determinar la forma
del universo basta con medir los ángulos
de un
triángulo y medir un triángulo es
precisamente lo que hacía gaus hace 200
años de hecho esto llevó a algunos a
especular con que en realidad estaba
intentando medir la curvatura del
espacio mismo el ángulo que encontró 180
gr dentro del error de
observación Pero eso no Debería ser muy
sorprendente tomemos como ejemplo este
globo que se aproxima a una esfera Si
trazo en él un pequeño triángulo la
superficie en la que dibujo es
prácticamente plana y los ángulos dentro
del triángulo sumarán esencial m 180 gr
pero si hago el Triángulo lo
suficientemente grande entran en juego
los efectos de la curvatura Y entonces
los ángulos del triángulo sumarán más de
180 gr y Este era el problema del
experimento de gaus Incluso si intentaba
medir la curvatura del espacio en Sí de
lo cual no hay pruebas sólidas el
triángulo que midió habría sido
demasiado pequeño en relación con el
tamaño del
universo entonces para superar el
problema de escala que encontró gaus
tenemos que ampliar los triángulos
formados entre montañas hasta los
triángulos más grandes que podamos y
como mirar cada vez más lejos es lo
mismo que mirar al pasado tenemos que
retroceder en el tiempo lo más posible
hasta la primera luz que podemos ver el
fondo cósmico de microondas o cmb en
inglés una imagen de cuando el universo
tenía solo 380,000 años Aunque el cmb es
casi totalmente uniforme hay algunos
puntos ligeramente más calientes o más
fríos sabemos A qué distancia está el
cmb Así que si podemos calcular el
tamaño de uno de esos puntos podremos
trazar un triángulo cósmico se cree que
las primeras variaciones de densidad y
temperatura se originaron a partir de
fluctuaciones cuánticas en el universo
primitivo que luego estallaron al
expandirse el universo debido a esta
rápida expansión no todas las regiones
pudieron estar en contacto causal con la
información que tenemos de cómo ilusionó
el universo primitivo los astrónomos
pueden predecir Con qué frecuencia
deberían aparecer manchas de distintos
tamaños en el cmb eso es lo que muestra
este espectro de potencia básicamente es
un histograma de la frecuencia con la
que debería producirse cada punto si el
universo es plano ahora tenemos algo con
qu comparar nuestra medición si el
universo es plano el ángulo que midamos
en el cielo Debería ser el mismo que
esperamos pero si el universo es curvo
como una esfera los ángulos del
triángulo deberían sumar más de 180 gr
por lo que el ángulo que midamos sería
mayor que el previsto y este pico se
desplazaría a la izquierda De igual
forma si el universo tiene una geometría
hiperbólica las manchas serían más
pequeñas de lo previsto y este pico se
desplazaría a la derecha Entonces qué
medimos Esta es la información de la
misión plank que es prácticamente la que
esperaría si el universo fuera plano
esta misión también nos da la mejor
estimación actual de la curvatura del
universo que es de punto C 007 má menos
pun
0019 eso es básicamente cero dentro del
margen de error Así que estamos bastante
seguros de que el universo en que
vivimos es
plano pero vivir en un universo plano
Parece ser extraordinariamente fortuito
actualmente la densidad de masa energía
promedio se reduce al equivalente de
unos seis átomos de hidrógeno por metro
cúbico si en promedio hubiera habido un
átomo de hidrógeno más el universo
tendría una forma curva más esférica si
hubiera habido uno menos la curvatura
sería de geometría hiperbólica Y hasta
ahora no estamos seguros de Por qué el
universo tiene la densidad de más
energía que
tiene lo que sí sabemos Es que la
relatividad general es una de las
mejores teorías físicas de la realidad y
en su esencia están esas geometrías
paradójicas y Aparentemente absurdas que
encontramos Gracias a que los
matemáticos pasaron más de 2000 años
pensando en una sola frase del texto
matemático más famoso del
[Música]
mundo
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