HISTORIA DEL CALCULO DIFERENCIAL

Summary

El script explora el cálculo diferencial como una herramienta matemática fundamental para analizar cambios. Desde la armonía pitagórica hasta el trabajo de Galileo, destaca la relación entre matemáticas y mundo físico. Expone las reglas básicas de derivación y su importancia en conceptos como la velocidad y la aceleración. Muestra cómo la derivada es una extensión del conocimiento desde Arquímedes y Euclides, y cómo Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial para descomponer funciones complejas. La precisión matemática es crucial, como se ve en la historia de Einstein y su respeto por las matemáticas, subrayando que la matemática va más allá de ser una simple herramienta para los físicos.

Takeaways

• 📚 El cálculo diferencial es una herramienta matemática fundamental para analizar cambios y movimientos en diversas áreas.
• 🎵 La armonía pitagórica, descubierta hace aproximadamente 600 años antes de Cristo, conectó por primera vez las matemáticas con el mundo físico a través de la relación de números sencillos.
• 🔍 Galileo Galilei, un milenio después, redescubrió la relación entre las matemáticas y el mundo físico, especialmente en su trabajo con la cinemática.
• 📖 Galileo creía que el conocimiento verdadero estaba en el 'libro' del universo, escrito en el lenguaje de las matemáticas, que requiere aprendizaje y comprensión.
• 🎼 La música y la física comparten el uso del lenguaje matemático, desde los griegos hasta los físicos modernos, cada uno con su propio vocabulario y reglas.
• 👨‍🎓 Galileo heredó del padre, un músico, la tendencia a desafiar las normas tradicionales, lo que se refleja en su creatividad en la física y el desarrollo de la cinemática.
• 🚀 Después de Galileo, se necesitaba un lenguaje más avanzado en física, lo que eventualmente llevó al desarrollo del cálculo diferencial aproximadamente 25 años después de su muerte.
• 📉 La derivada, fundamental en el cálculo diferencial, es el ritmo de cambio de cualquier función en un punto específico y es aplicable a una amplia gama de fenómenos.
• 📐 La pendiente, como concepto en geometría, es similar a la derivada en análisis, siendo una aproximación del cambio en una variable con respecto a otra.
• 🔢 El cálculo diferencial se basa en reglas sencillas de diferenciación, como la regla de la suma, el producto y la cadena, que permiten descomponer y analizar funciones complejas.
• 🚗 Las aplicaciones prácticas del cálculo diferencial son amplias, desde la medición de velocidad y aceleración hasta la optimización de procesos en la vida cotidiana y la ciencia.

Q & A

¿Qué es el cálculo diferencial y cómo se relaciona con el análisis del cambio en las cosas?

El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa diseñada para analizar cómo las cosas cambian. Se basa en reglas sencillas para calcular derivadas, que son medidas de cómo una cantidad varía con respecto a otra.

¿Cómo se descubrió la relación entre la armonía pitagórica y el mundo físico?

La relación entre la armonía pitagórica y el mundo físico se descubrió alrededor de 600 años antes de Cristo al observar que el largo de las cuerdas de un instrumento de cuerda afectaba el sonido de acuerdos agradables, y estas longitudes estaban en relación con números simples.

¿Qué rol jugó Galileo Galilei en la relación entre las matemáticas y el mundo físico?

Galileo Galilei entendió y redescubrió la importancia de la relación entre las matemáticas y el mundo físico, lo que se había olvidado con el tiempo. Él escribió sobre la necesidad de entender el lenguaje matemático para interpretar el 'libro' del universo.

¿Qué libro escribió Galileo y cómo se relaciona con el cálculo diferencial?

Galileo escribió un libro publicado en Roma en 1632 que se llama 'Il Saggiatore' o 'El Ensayador' en español. En este libro, planteó la idea de que el conocimiento verdadero está en el universo y se entiende a través del lenguaje de las matemáticas, lo que más tarde se relacionaría con el cálculo diferencial.

¿Cómo se relaciona la armonía pitagórica con la música y las matemáticas?

La armonía pitagórica se relaciona con la música y las matemáticas porque descubrió que la relación de los números sencillos determinaba los acordes agradables en la música. Esto fue un ejemplo temprano de cómo las matemáticas se relacionan con la música.

¿Qué es la cinemática y cómo se relaciona con el cálculo diferencial?

La cinemática es una rama de la mecánica que trata el movimiento en abstracto. El cálculo diferencial es fundamental en la cinemática, ya que las derivadas son usadas para describir el ritmo de cambio de cualquier función, como la velocidad en el movimiento.

¿Qué es la pendiente y cómo se relaciona con la derivada?

La pendiente es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal en un plano inclinado. En el contexto del cálculo diferencial, la pendiente de una curva en un punto dado es equivalente a la derivada de la función que representa la curva en ese punto.

¿Cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto en movimiento?

La velocidad instantánea se calcula tomando el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. Esto se hace dividiendo el cambio en la distancia por el cambio en el tiempo y tomando el límite cuando el tiempo tiende a cero.

¿Qué son las reglas de diferenciación y cómo se usan en el cálculo diferencial?

Las reglas de diferenciación son técnicas para calcular derivadas de funciones matemáticas. Incluyen la regla de la suma, la regla del producto y la regla de la cadena, que permiten descomponer funciones complejas en partes más simples y calcular sus derivadas.

¿Qué es la teoría de la relatividad de Albert Einstein y cómo se relaciona con las matemáticas?

La teoría de la relatividad general de Albert Einstein es una teoría matemática avanzada que describe la gravedad como una curvatura del espacio-tiempo causada por la masa y la energía. Einstein expresó su respeto por las matemáticas y reconoció su importancia en el desarrollo de su teoría.

¿Por qué es importante la precisión en las matemáticas y cómo se refleja en el cálculo diferencial?

La precisión en las matemáticas es crucial para garantizar la claridad y la coherencia en el pensamiento lógico y en las demostraciones. En el cálculo diferencial, la precisión es esencial para entender correctamente el concepto de derivada y sus aplicaciones en el análisis de cambios.

Outlines

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📚 Introducción al Cálculo Diferencial y su Significado Histórico

El primer párrafo introduce el cálculo diferencial como una herramienta matemática fundamental para el análisis del cambio. Se menciona que las bases de esta herramienta son reglas para calcular derivadas. Hacia el año 600 a.C., se descubrió la armonía pitagórica, relacionando matemáticas y el mundo físico por primera vez. Sin embargo, esta relación se olvidó y fue redescubierta por Galileo Galilei, quien en 1600 publicó 'El Ensayador', enfatizando la importancia del lenguaje matemático para entender el universo. El texto también toca la influencia de la familia Galilei en la música y la resistencia a las formas tradicionales, lo que refleja en el trabajo de Galileo en la cinemática y su necesidad de un lenguaje matemático avanzado para expresar sus ideas.

05:01

🚲 La Derivada y su Aplicación en la Cinemática

El segundo párrafo explora el concepto de la derivada como una herramienta esencial en la cinemática, similar a las ruedas en un viaje. La derivada se describe como el ritmo de cambio de cualquier función en un punto específico, ejemplificado con la velocidad como la derivada de la distancia. Se discuten las aplicaciones de la derivada en contextos variados, desde la densidad de población de los delfines hasta el precio de una pizza. Se introducen los conceptos de pendiente y recta tangente, y se explica cómo se calcula la pendiente en un punto dado a través de la aproximación de 'cuerdas' y el proceso de tender un punto hacia otro. También se mencionan a Pierre de Fermat y René Descartes como precursores en el cálculo de tangentes a curvas algebraicas.

10:06

📈 Procedimiento y Conceptos Básicos del Cálculo Diferencial

El tercer párrafo se enfoca en el procedimiento y conceptos básicos del cálculo diferencial. Se describe cómo la derivada se calcula a través del cociente de pequeños incrementos (deltas) y cómo, en el límite, esto se convierte en una derivada propiamente dicha. Se ejemplifica con la velocidad instantánea y la pendiente de una curva. Se explican los símbolos delta y su significado en el contexto de las derivadas. Se profundiza en la idea de que la derivada es el cociente entre dos cantidades pequeñas que tienden a cero, y cómo esto se representa con el símbolo de la derivada. Además, se mencionan reglas de diferenciación como la de la suma y el producto, y se ilustra cómo se aplican en contextos prácticos.

15:07

🛠 Las Herramientas del Cálculo Diferencial y sus Aplicaciones

El cuarto párrafo detalla las herramientas del cálculo diferencial, como la regla de la suma, la del producto y la de la cadena, y cómo se aplican para encontrar derivadas de funciones más complicadas. Se discuten ejemplos prácticos, como el cálculo del área de un tablero y el consumo de combustible de un vehículo. Se enfatiza cómo estas reglas permiten a los físicos y matemáticos descomponer problemas complejos en partes más sencillas y cómo el cálculo diferencial es esencial en la comprensión y solución de una amplia gama de problemas, desde la construcción hasta la física avanzada.

20:09

🎓 Einstein y la Importancia de las Matemáticas en la Física

El último párrafo presenta una reflexión sobre la relación entre las matemáticas y la física, ilustrada con una carta de Albert Einstein. Se menciona el trabajo de Einstein en la teoría de la relatividad y cómo, a pesar de su inicial underestimación de la complejidad de las matemáticas, terminó reconociendo su importancia crucial. Se discute cómo los físicos pueden subestimar la dificultad de ciertos problemas matemáticos, como la derivada de una función en un punto donde no existe una pendiente definida. El texto concluye con la idea de que, mientras los físicos pueden ver las matemáticas como una herramienta, para los matemáticos, el valor y la belleza de las matemáticas en sí mismas son lo que realmente importa.

Keywords

💡Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que estudia el cambio en las cosas y es una herramienta fundamental para analizar el ritmo de cambio de cualquier función en un punto determinado. En el video, se relaciona con la cinemática y se describe como una herramienta poderosa para entender el lenguaje de las matemáticas, ejemplificada con el concepto de derivada que es crucial para calcular el ritmo de cambio en diversas situaciones.

💡Derivada

Una derivada es una medida del cambio instantáneo de una función en un punto específico. En el video, se menciona que la derivada es para la cinemática lo que las ruedas son para un viaje, y se ilustra con ejemplos como la velocidad como la derivada de la distancia recorrida y cómo se relaciona con el concepto de pendiente en una cuesta.

💡Armonía pitagórica

La armonía pitagórica se refiere a la relación matemática entre los números que determinan la longitud de las cuerdas de un instrumento de cuerda para producir acordes agradables. En el video, se destaca como un ejemplo temprano de la relación entre matemáticas y el mundo físico.

💡Galileo Galilei

Galileo Galilei es mencionado en el video como un pionero en la comprensión de la relación entre las matemáticas y el mundo físico, y se le atribuye el desarrollo de la cinemática, una rama de la mecánica que estudia el movimiento en el abstracto.

💡Pendiente

La pendiente es la relación numérica entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y es usada para describir la inclinación de una superficie. En el video, se describe cómo la pendiente es fundamental para entender el concepto de derivada y se ilustra con ejemplos como la relación entre el aumento de altura en una cuesta y la distancia horizontal recorrida.

💡Tangente

La tangente es una recta que toca una curva en un solo punto y su pendiente es igual a la derivada de la curva en ese punto. En el video, se discute cómo Pierre de Fermat ideó el concepto de encontrar la recta tangente en un punto arbitrario de una curva, lo cual es fundamental para el cálculo diferencial.

💡Regla de la suma

La regla de la suma es una de las reglas básicas del cálculo diferencial que permite calcular la derivada de una suma de funciones como la suma de las derivadas individuales de cada función. En el video, se ejemplifica con el caso de dos pintores que pintan paredes a diferentes ritmos.

💡Regla del producto

La regla del producto es otra regla del cálculo diferencial que se utiliza para calcular la derivada del producto de dos funciones. En el video, se ilustra cómo se aplica esta regla al calcular el cambio en el área de un tablero debido a cambios en su largo y ancho.

💡Regla de la cadena

La regla de la cadena es una herramienta del cálculo diferencial que se utiliza cuando una función depende de otra función. En el video, se menciona para explicar cómo calcular la derivada de una función que depende de otra variable, como el consumo de combustible de un vehículo.

💡Albert Einstein

Albert Einstein es mencionado en el video en relación con su trabajo en la teoría de la relatividad y su reconocimiento del valor de las matemáticas, a pesar de que inicialmente las consideró un lujo. Su carta a un amigo refleja su respeto por la complejidad y la importancia de las matemáticas en la física.

Highlights

El cálculo diferencial es una herramienta matemática fundamental para analizar el cambio en diversas situaciones.

Las reglas de cálculo diferencial se originaron hace aproximadamente 600 años antes de Cristo con la armonía pitagórica.

Galileo Galilei redescubrió la relación entre matemáticas y el mundo físico, con su obra 'El Experimentador'.

El lenguaje matemático es crucial para entender el 'libro del universo', según la visión de Galileo.

La música y la física utilizan el lenguaje de las matemáticas desde hace siglos, destacando su importancia en diversas disciplinas.

Galileo creó la cinemática como una rama de la mecánica que expresa el movimiento de manera abstracta.

El desarrollo del cálculo diferencial fue necesario para un lenguaje más avanzado en la física post-Galileo.

La derivada es esencial en la cinemática, similar a cómo las ruedas son fundamentales para un viaje.

La derivada no solo se aplica al movimiento de cuerpos, sino también a cambios en funciones y conceptos abstractos.

La pendiente de una cuesta es un ejemplo práctico de cómo se calcula la derivada en un plano.

Pierre de Fermat y René Descartes contribuyeron significativamente al desarrollo de las ideas sobre tangentes y derivadas.

La recta tangente a una curva en un punto dado es el límite de aproximaciones de cuerdas a medida que se acercan a ese punto.

La velocidad instantánea se calcula como la derivada de la distancia con respecto al tiempo, tomando límites cuando el tiempo tiende a cero.

La regla de la suma, el producto y la cadena son fundamentales en la gramática del cálculo diferencial.

El cálculo diferencial es aplicado en contextos modernos, como en el funcionamiento de un velocímetro o cuentakilómetros.

La teoría de la relatividad general de Einstein demuestra la complejidad y el poder de las matemáticas en la física.

Las matemáticas son una herramienta esencial para los físicos, pero también requieren una comprensión profunda de su precisión y claridad.

La existencia de puntos en las funciones donde no hay derivada, como la punta de una pirámide, ilustra las sutilezas de las matemáticas.

Transcripts

el cálculo diferencial es una poderosa

herramienta matemática para analizar el

cambio en las cosas las bases de esa

herramienta son algunas reglas sencillas

para calcular derivadas

alrededor de 600 años antes de cristo

alguien descubrió que para obtener

agradables acordes era un instrumento de

cuerda el largo de esas cuerdas tenía

que estar en relación de números

sencillos como por ejemplo de 1 a 2 2 a

3 etcétera

eso se llama armonía pitagórica

y fue un descubrimiento importante

porque esta era la primera vez que se

relacionaban entre sí las matemáticas y

el mundo físico

desgraciadamente esa relación se olvidó

y hubo que descubrirla de nuevo muy

lentamente y con grandes dificultades

unos mil años después fue galileo

galilei quien lo comprendió

deseo leerles algo que galileo

escribiendo

este libro

publicado en roma el año 1600 23 se

llama ensayador traducido generalmente

por el ensayador pero yo prefiero

traducirlo más bien por el

experimentador porque me parece que es

lo que más se aproxima a lo que galileo

tenía en mente

galileo tenía la fea costumbre de

escribir sus famosas notas en italiano

yo se la sigue traduciendo no se

preocupen dijo el verdadero conocimiento

está escrito en un enorme libro abierto

continuamente ante nuestros ojos me

refiero al universo

pero uno no puede entenderlo uno debe

aprender una lengua y a reconocer los

caracteres para poder entender el

lenguaje en el que está escrito está

escrito en el lenguaje de las

matemáticas

luego nosotros ahora para poder leer el

libro del universo tenemos primero que

aprender los símbolos y el vocabulario

del lenguaje matemático

es un lenguaje de la precisión de la

poesía e incluso de la música

desde hace ya muchos años los físicos

utilizan el lenguaje de las matemáticas

y los músicos aproximadamente desde 600

años antes de cristo también se sirven

de

como en casi todas las lenguas incluida

la música las matemáticas tienen su

vocabulario propio sus propias reglas y

símbolos su precisión y elegancia su

poesía y su historia

y una parte de esta historia fue galileo

galilei que tuvo algo de inconformista

un rasgo que heredó de su padre vincenzo

que fue un gran músico

musicalmente el intenso se había negado

a sujetarse a las formas tradicionales

postura está que llegaría a ser la marca

de la familia

vincenzo escribió un libro en el que se

oponía la utilización de la armonía

pitagórica como acostumbraban a hacer

sus contemporáneos en música

el consideraba los antiguos acordes

griegos demasiado simples para las

complejas estructuras musicales del

renacimiento italiano

más tarde de tal palo tal astilla

galileo consideró que las matemáticas

griegas eran demasiado sencillas para

poder expresar sus ideas

y creo la cinemática una rama de la

mecánica que trata del movimiento en

abstracto

y la correcta expresión de cualquier

idea abstracta requiere un lenguaje

adecuado conceptos y símbolos que den a

una idea su significado y valor

a pesar de ser muy avanzada la nueva

ciencia del movimiento de galileo

sus raíces estaban todavía en el terreno

donde acostumbraba a moverse el antiguo

intelecto

y era algo enteramente nuevo lo que

tenía que florecer en el campo de la

matemática y de la ciencia

los eruditos necesitaban un lenguaje más

sofisticado que el que se hablaba desde

arquímedes y euclides en otras palabras

después de galileo la física necesitaba

un lenguaje más avanzado aproximadamente

25 años después de su muerte se

descubriría por fin ese famoso lenguaje

y comenzaría a utilizarse a partir de

entonces

se llamaría cálculo diferencial

el cálculo diferencial es muy potente

y como en cualquier lenguaje su poder

deriva de la idea que le sustenta la

derivada

la derivada es para la cinemática lo que

las ruedas son para un viaje

un medio sencillo pero muy eficaz para

poder obtener una perspectiva completa

de lo que es una derivada

y nada mejor que un poco de ejercicio

la derivada no sólo se aplica a un

cuerpo moviéndose horizontalmente ni por

eso ni sólo a un cuerpo moviéndose

verticalmente hacia arriba o hacia abajo

o como sea

la derivada es el ritmo de cambio de

cualquier función en un determinado

punto y está

como ya se explicó al hablar de la ley

de caída de los cuerpos de galileo

la velocidad es la derivada de la

distancia pero es también algo más

una derivada puede representar el ritmo

de cambio de cualquier cosa por ejemplo

la densidad de población de los delfines

en relación con el aumento disminución

de temperatura del agua o el ritmo de

cambio de volumen de un globo respecto

al área de su superficie

o el ritmo de cambio del precio de una

pizza con respecto a su tamaño

como se ve el concepto de derivada está

por todas partes pero el proceso

mecánico de la derivada el cálculo

diferencial necesita un enfoque práctico

para que el concepto se imponga

en definitiva sin las reglas de

diferenciación el concepto de derivada

se nos puede hacer una montaña

a la larga es una ayuda incluir algunas

definiciones recogidas por el camino por

eso antes de que sea demasiado tarde

para volver atrás consideren lo

inclinado

en un plano inclinado lo empinado es la

relación entre el cambio en la altura y

el cambio en la distancia horizonte

esta relación en número recibe el nombre

de pendiente

por ejemplo supongamos que la altura de

una cuesta aumenta 15 metros cada 100

metros

el ciclista se mueve 15 metros hacia

arriba y 100 metros en horizontal la

pendiente es de 0 15

cuanto mayor es la pendiente llegará

hasta arriba es todo una proeza

si es casi cero es un paseo

y cuando la pendiente es negativa es

cuesta abajo aunque se pueda caminar

fácilmente por ellas las matemáticas

tienen sus picos y valles y nadie sabe

quién fue el primero que pregunto cuál

era la mejor manera para ir de acá para

allá

la respuesta en términos algebraicos fue

dada por un matemático francés llamado

fermat

en 1629 se le ocurrió la idea de hallar

la recta tangente en un punto arbitrario

de una curva

en 1638

fermat compartió su descubrimiento con

su compatriota rené start que tenía su

propio método para hallar tangentes a

curvas algebraicas

muchas de estas ideas matemáticas sobre

todo las de fermat fueron desarrolladas

posteriormente por virgen line e isaac

newton

según un método general y sistemático de

análisis matemático el cálculo

diferencial

dejando la historia de lado al menos por

el momento quedan algunas preguntas

oportunas

por ejemplo en una curva que cambie

suavemente hay una pendiente que cambia

constantemente como se puede calcular en

el lenguaje de hoy la pendiente en un

punto dado

para determinar la pendiente en un punto

particular por ejemplo aquí

simplemente se toma otro punto de la

cuesta no importa donde

después se traza una línea recta que se

llama cuerda que una esos dos puntos

y la pendiente depende de la posición

del segundo punto

si el primer punto y el segundo están

próximos la cuerda es una aproximación

bastante acertada del recorrido de la

bici

cómo vamos' el segundo punto hacia el

primero

la pendiente es un número

al tender un punto hacia el otro

esos números tienden hacia un cierto

valor que se denomina pendiente de la

cuesta en ese punto

la recta que pasa por ese punto con esa

pendiente se llama recta tangente y es

la recta hacia la que tienden las

cuerdas al tender un punto hacia el otro

la pendiente de la cuesta es la

pendiente de la recta tangente en ese

punto

se puede calcular la velocidad

instantánea de manera análoga

la ley de caída de los cuerpos de

galileo aquí aplicada a una persona que

más bien no quiere

más que un terrorífico experimento es el

diferencial que viene en auxilio la

variación de la distancia se divide por

la variación del tiempo

el cociente es la velocidad media

durante un intervalo de tiempo dado

cuando ese tiempo disminuye hacia cero

el valor límite de la velocidad media es

la velocidad instantánea

el incremento en la altura se divide por

el incremento en la distancia horizontal

el resultado es la pendiente de la

cuerda que une los dos puntos si la

distancia horizontal se reduce a 0

el valor límite de la pendiente de la

cuerda es la pendiente en ese punto

la diferenciación los objetivos y los

cálculos difieren pero no el concepto

esencial ni el procedimiento

la velocidad es la derivada de la

distancia con respecto al tiempo

la pendiente es la derivada de la altura

con respecto a la distancia horizontal

en cualquier caso una derivada es lo que

le ocurre a un cociente una razón entre

dos números cuando el dividendo y el

divisor disminuyen a cero

antes de alcanzar el cero sus pequeños

valores se expresan con la letra griega

delta

delta y es un pequeño incremento de iu

delta x es un pequeño incremento de x

así que delta y / delta x es simplemente

un cociente de dos números pequeños

cuando esos números se hacen 0 el

cociente se convierte en una derivada y

los deltas en un nuevo símbolo

diferencial de i / diferencial de x

el símbolo de la derivada que significa

derivada de la cantidad y con respecto a

x

cuando ya se domina la mecánica sencilla

encontrar la derivada de cualquier cosa

es tan fácil como accionar un

interruptor

a

la derivada de una función es la

pendiente de su tangente en cada punto

la derivada de una función es también

una función

si la función es una recta la pendiente

es constante y la derivada es

precisamente esa constante

si es igual a seno de x entonces

derivada de y respecto a x es igual a

coseno de x

vamos

sí y es igual a coser de x

entonces derivada de y respecto a x es

igual a menos sino de x

ayer derivadas requiere un poco de

práctica pero el esfuerzo vale la pena

y si consideramos el gran número de

máquinas contemporáneas que hayan

derivadas esto se ha convertido en una

práctica moderna

un velocímetro o cuentakilómetros es una

máquina que de 'viva mide la derivada de

la distancia recorrida en cada instancia

a lo largo del camino

el ritmo de cambio de posición es la

velocidad instantánea expresada en

kilómetros por hora

por supuesto cuando el vehículo no se

mueve no recorre ninguna distancia aquí

la posición es constante y la derivada

de una constante es cero

la matemática es un lenguaje con

estructura gramatical un conjunto de

reglas que componen y descomponen la

tarea que se tiene entre manos

en cualquier cosa que se trabaje desde

construir una casa

a componer una sinfonía la tarea más

complicada puede descomponerse de la

misma manera

newton inline y desarrollaron las

herramientas del cálculo que permiten

diferenciar la función más complicada

descomponiendo la en partes sencillas

una de las reglas básicas de la

diferenciación es la regla de la suma

supongamos que un pintor pinta 90 metros

cuadrados de pared por hora

y otro pintor 100 metros

y esos son los ritmos a los que las

superficies de pared cambian de color en

otras palabras son las derivadas por

consiguiente cada hora se han pintado

190 metros cuadrados de pared

así es como funciona la regla de la suma

la derivada de una suma es la suma de

las derivadas

otra buena herramienta es la regla del

producto que se utiliza para obtener la

derivada del producto de dos funciones

por ejemplo el área de un tablero es el

producto de su largo por su ancho

si se acorta el largo

la variación en el área es el producto

del ancho x la variación en el largo

si el ancho se reduce la variación en el

área es el producto del largo

multiplicado por la variación en el

ancho

la variación total en el área es la suma

de estos y es exactamente así en el caso

del carpintero como en el lenguaje del

cálculo diferencial

la derivada del producto de corte está

es y por la delegada de z más z por la

derivada de i

usando esta regla es posible encontrar

la derivada de x al cuadrado

cómo

cómo

o de equis elevado al cubo o de

cualquier potencia de x

la derivada de x a la enésima potencia

es n por x a la potencia el 1

frecuentemente una operación depende de

onda por ejemplo supongamos que un

vehículo tiene un consumo específico de

17 millas por galón de fuel eso es una

derivada

si es la distancia recorrida y x la

cantidad de fuel consumida entonces 17

millas por galón es la derivada de iu

respecto a x igual a de y partido por de

x supongamos que consume 2 galones por

hora 2 galones por hora igual a de x

partido por de t

la velocidad de un vehículo en millas

por hora es igual a las millas

recorridas por galón multiplicado por

los galones que consume por hora

es la regla de la cadena se utiliza

cuando y depende de x y x depende de ti

la regla de la suma

la regla del producto

y la regla de cadena

estas tres reglas representan la

gramática del cálculo diferencial

y el valor del cálculo diferencial se

puede ver en la variedad de sus

aplicaciones

por ejemplo cuando un cohete se mueve un

desplazamiento es en un tiempo que la

derivada del desplazamiento es la

velocidad

positiva para movimiento hacia arriba

y negativa para movimiento hacia abajo

la derivada de la velocidad es la

aceleración que es lo mismo que hallar

la derivada de una derivada

o sea la segunda derivada de s

la aceleración producida por el

encendido del cohete

he recibido una carta de un músico

llamado albert eisntein

también 1912 ha tardado en llegar el

servicio de correos trabaja a veces con

mucha lentitud pero realmente no me la

escribió a mí sino a un amigo suyo yo le

he obtenido en la biblioteca de

cualquier forma voy a leerla y veremos

qué escribió dice estoy ocupándome

exclusivamente del problema de la

gravitación y creo que ahora superaré

todas las dificultades pero yo estoy

seguro de una cosa he llegado a tener un

gran respeto por las matemáticas

cuyas sutiles partes yo en mi ignorancia

hasta este instante había creído que

eran un mero lujo

einstein trabajó cuatro años más en la

gravitación y el resultado fue la teoría

general de la relatividad de la cual

podemos decir que es la teoría

matemática más difícil de toda la física

qué quiso decir einstein al expresar que

las sutiles partes de las matemáticas le

parecían un lujo

pensó realmente que podría tener éxito

sin hacer cálculos

por supuesto que no

el asunto es que los físicos tienen

cierta arrogancia de las matemáticas

por ejemplo se puede tener la impresión

de que siguiendo unas reglas sencillas

se puede obtener la derivada de

cualquier función

y no es del todo cierto

supongamos la función con forma

piramidal como una pirámide de egipto

bien es muy fácil obtener la pendiente

aquí y también es fácil obtenerla aquí

sin embargo en la punta tenemos

problemas porque en ese punto no hay

ninguna pendiente la función no tiene

derivada en ese punto

yo nunca dije nada que les hiciese creer

a ustedes que eso podía ocurrir

para los físicos las matemáticas son

solo una herramienta que usan para

llevar a cabo todo lo demás

pero un verdadero matemático es el

guardián de la precisión y claridad de

las ideas

lo que interesa a los matemáticos es la

propia matemática si un matemático hace

una proposición sobre las derivadas

la afirmación tendrá en cuenta toda

posible excepción por extraña inusual

que parezca como el pico de la pirámide

esa es la clase de sutileza que

preocupaba en este

hasta el próximo vídeo