Método del trapecio | Integración numérica |Métodos Numéricos | Parte 1 | ¡Muy básico!

Summary

Este vídeo explica el método del trapecio, una técnica numérica para calcular áreas bajo curvas en ingeniería. Se describe cómo seccionar un gráfico en trapecios de igual ancho (delta x) y calcular su área para aproximar la integral de una función. Se ilustra con ejemplos paso a paso, desde la división del intervalo en trapecios, el cálculo de alturas y bases, hasta la aplicación de la fórmula del área de trapecio. Se enfatiza que más trapecios resultan en una aproximación más precisa, y se compara el resultado numérico con la integración analítica para demostrar la eficacia del método.

Takeaways

• 📐 El método del trapecio es una técnica numérica para calcular áreas bajo curvas, útil en campos como la ingeniería.
• 📈 Se divide el área bajo la curva en trapecios para aproximar la integral, siendo más preciso cuanto más pequeños sean los trapecios.
• 🔢 El cálculo del área de un trapecio se hace sumando la base mayor y la base menor, dividir entre 2 y multiplicar por la altura.
• 📉 Para mejorar la precisión, se reduce el tamaño de los intervalos (delta x) y se incrementa el número de trapecios.
• 📝 Se utiliza la fórmula delta x = (límite superior - límite inferior) / n, donde n es el número de trapecios.
• 📋 Se calcula el valor de la función en los puntos de corte para determinar las alturas de los trapecios.
• 📊 El área total se obtiene sumando el primer valor, el último valor y dos veces la suma de los valores intermedios, multiplicando todo por delta x / 2.
• 📉 El ejemplo práctico muestra cómo calcular el área bajo la curva de una función específica entre límites dados usando el método del trapecio.
• 🔍 Al comparar el resultado del método del trapecio con la integral analítica, se observa un error que disminuye con un mayor número de trapecios.
• 📊 Al aumentar el número de trapecios, como en el ejemplo de 20 o 500, se acerca más al resultado analítico, indicando mayor precisión.

Q & A

¿Qué es el método del trapecio en matemáticas?

El método del trapecio es un método numérico utilizado para aproximar el área bajo una curva, es decir, para calcular integrales de funciones.

¿Cuál es la importancia de calcular el área bajo una curva en ingeniería?

En ingeniería, calcular el área bajo una curva es importante para determinar magnitudes como la fuerza, el flujo de fluidos, la capacidad de almacenamiento, entre otras.

¿Cómo se determina el área de un trapecio en el método del trapecio?

El área de un trapecio se determina mediante la fórmula: (base mayor + base menor) / 2 * altura.

¿Qué representa el delta x en el método del trapecio?

El delta x representa el intervalo o 'espesor' de cada trapecio en la división de la curva, y es igual a (límite superior - límite inferior) / número de trapecios.

¿Cómo se calcula el área total bajo la curva utilizando el método del trapecio?

Se suman las áreas de todos los trapecios individuales, que se calculan usando la fórmula del área de un trapecio, y se multiplica por el delta x / 2.

¿Por qué es mejor usar un mayor número de trapecios en el método del trapecio?

Usar un mayor número de trapecios reduce el error de aproximación y aumenta la precisión del cálculo del área bajo la curva.

¿Cómo se calcula el valor de delta x cuando se usan 10 trapecios para una función definida entre 0 y 5?

Se calcula como (5 - 0) / 10, lo que da como resultado 0.5.

¿Cuál es la fórmula general para calcular el área usando el método del trapecio?

El área se calcula como (delta x / 2) * (f(x0) + 2 * Σ f(xi) + f(xn)), donde f(x0) es la primera altura, f(xn) es la última altura y la suma incluye las alturas de los trapecios intermedios multiplicadas por 2.

¿Cómo se evalúa la función para obtener las alturas de los trapecios?

Se sustituyen los valores de x correspondientes a cada trapecio en la función dada para obtener las alturas f(xi).

¿Cómo se compara el resultado del método del trapecio con la integración analítica?

Se compara el área calculada mediante el método del trapecio con el resultado de la integral analítica evaluada en los mismos límites para medir la precisión del método numérico.

Outlines

00:00

📐 Introducción al Método del Trapecio

Este primer párrafo introduce el método del trapecio como una técnica numérica para calcular áreas bajo una curva en diversas disciplinas, especialmente en ingeniería. Se describe cómo seccionar un gráfico en trapecios de igual ancho (delta x) y cómo calcular el área de cada uno para luego sumarlos para obtener el área total bajo la curva. Se enfatiza la importancia de la precisión al hacer delta x más pequeño y se explica cómo se calcula el área de un trapecio usando la fórmula (base mayor + base menor) / 2 * altura. También se menciona la importancia de recordar que las alturas en los trapecios son valores de la función en los puntos correspondientes.

05:01

🔍 Detallando el Cálculo del Área de Trapecios

En el segundo párrafo, se explica con más detalle cómo calcular el área de múltiples trapecios en una función. Se destaca la diferencia entre las bases y las alturas de los primeros y últimos trapecios versus los de los trapecios intermedios, que son compartidas. Se introduce la fórmula para calcular el área total como la suma de las áreas de los trapecios individuales, teniendo en cuenta que las áreas de los trapecios intermedios se multiplican por dos y se suman al área del primer y último trapecio. Se menciona la relevancia de delta x y cómo se calcula en función de los límites inferior y superior y el número de trapecios (n).

10:02

📈 Aplicación del Método del Trapecio a un Ejemplo

El tercer párrafo presenta un ejemplo práctico del método del trapecio aplicado a una función dada, que se ha graficado entre 0 y 5. Se describe el proceso de dividir el intervalo en 10 trapecios y calcular delta x, así como el proceso de encontrar los valores de x y evaluar la función en esos puntos para llenar una tabla con las alturas correspondientes. Se detalla cómo se aplican las fórmulas para calcular el área de los trapecios y se obtiene un resultado aproximado del área bajo la curva.

15:03

🔢 Mejorando la Precisión con Más Trapecios

Este cuarto párrafo explora cómo aumentar el número de trapecios puede mejorar la precisión del cálculo del área bajo la curva. Se describe el proceso de calcular delta x con 20 trapecios en lugar de 10, y cómo se llena una tabla nueva con los valores de x y la función evaluada en esos puntos. Se aplica la fórmula del método del trapecio con el nuevo delta x y se compara el resultado con el análisis analítico para mostrar la mejora en la precisión.

20:06

🔚 Conclusión y Sugerencias paraMayor Precisión

En el último párrafo, se concluye con una reflexión sobre cómo el método del trapecio puede ser utilizado para obtener resultados casi exactos al aumentar el número de trapecios, llegando a sugerir que con 500 o 1000 trapecios se podría obtener un resultado exacto. Se agradece la atención del público y se les anima a ver más videos para aprender más sobre el tema.

Keywords

💡Método del Trapecio

El Método del Trapecio es una técnica numérica utilizada para aproximar el área bajo una curva, esencial en campos como la ingeniería y las ciencias. Se basa en dividir el intervalo de integración en subintervalos y calcular el área de trapecios que se forman entre los puntos de la función. En el guion, se explica cómo seccionar una función en trapecios de igual ancho (delta x) y calcular su área para aproximar la integral definida entre dos límites.

💡Área Bajo la Curva

La 'Área Bajo la Curva' es un concepto fundamental en el análisis de funciones, representando la suma total de los valores de la función en un intervalo determinado. En el video, se busca determinar esta área a través del Método del Trapecio, lo que es crucial para entender el comportamiento de la función y sus aplicaciones prácticas.

💡Delta x (Δx)

Delta x (Δx) se refiere al ancho de cada uno de los trapecios en el Método del Trapecio. Es el intervalo que se divide el rango total entre el límite inferior y el superior, y se usa para calcular la altura de los trapecios. En el guion, se menciona que cuanto más pequeño sea Δx, más preciso será el cálculo de la integral.

💡Función

Una 'Función' es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el contexto del video, la función es el objeto del cual se está calculando el área bajo su curva, y se usa para graficar y aplicar el Método del Trapecio.

💡Límites Inferior y Superior

Los 'Límites Inferior y Superior' definen el rango sobre el cual se calcula la integral. En el Método del Trapecio, estos límites son cruciales para determinar el tamaño de Δx y, por ende, la precisión del cálculo. El guion explica cómo se calcula Δx a partir de estos límites y el número de subintervalos (trapecios).

💡Integral

La 'Integral' es una operación matemática que permite calcular el área bajo la curva de una función. En el video, se utiliza el Método del Trapecio para aproximar el valor de una integral definida, que es una tarea común en ingeniería y física.

💡Altura de los Trapecios

La 'Altura de los Trapecios' se refiere a la función evaluada en los puntos que definen los límites de los trapecios. Estas alturas son fundamentales para calcular el área de cada trapecio y, por ende, la aproximación de la integral. El guion describe cómo se determinan estas alturas y cómo se utilizan en el Método del Trapecio.

💡Base Mayor y Menor

En el Método del Trapecio, la 'Base Mayor' y la 'Base Menor' de cada trapecio son los valores de la función en los extremos del subintervalo. Estas bases, junto con la altura (Δx), se utilizan para calcular el área de cada trapecio, siguiendo la fórmula de área de un trapecio (base mayor + base menor) / 2 * altura.

💡Número de Trapecios (n)

El 'Número de Trapecios' (n) es la cantidad de subintervalos en los que se divide el intervalo total para aplicar el Método del Trapecio. Cuantos más trapecios se utilicen, más preciso será el cálculo, aunque también aumenta el trabajo. El guion menciona cómo se elige el valor de n y cómo afecta a la precisión del resultado.

💡Aproximación Numérica

La 'Aproximación Numérica' es el proceso de calcular un valor desconocido a través de métodos que no requieren de una solución analítica directa. En el video, el Método del Trapecio es presentado como una aproximación numérica para el cálculo de integrales, lo que es útil cuando las integrales no se pueden calcular de manera exacta.

Highlights

El método del trapecio es una estrategia numérica para calcular áreas bajo curvas, muy importante en ingeniería.

Seccionar la curva en trapecios de igual espesor (delta x) permite calcular el área bajo la curva de manera sencilla.

El área de cada trapecio se calcula sumando las bases y dividiendo entre 2, multiplicando por la altura (delta x).

El cálculo de delta x depende del límite superior, el límite inferior y el número de trapecios (n).

La precisión del cálculo mejora mientras delta x se acerca a cero, es decir, usando más trapecios.

El primer y último trapecio tienen alturas únicas, mientras que los intermedios comparten alturas.

La fórmula general del método del trapecio se puede simplificar y aplicar fácilmente.

Ejemplo práctico: se calcula la integral de una función entre 0 y 5 usando 10 trapecios.

El cálculo se realiza incrementando delta x a partir del límite inferior y evaluando la función en cada punto.

La suma de las áreas de los trapecios intermedios, más la mitad de las áreas de los primeros y últimos, da el área total.

El resultado del método del trapecio se compara con el cálculo analítico para verificar la precisión.

Aumentar el número de trapecios, como en el ejemplo con 20, mejora la precisión del cálculo.

El error disminuye al aumentar el número de trapecios, acercándose al resultado analítico.

El método del trapecio es una aproximación que puede ser muy precisa con un número suficiente de trapecios.

El uso de software como Excel puede automatizar y agilizar el proceso de cálculo del método del trapecio.

El vídeo ofrece una guía paso a paso para aplicar el método del trapecio y compararlo con métodos analíticos.

El método del trapecio es una herramienta útil en cálculos de integrales numéricas, especialmente en campos de la ingeniería.

Transcripts

qué tal buen día en este vídeo vamos a

ver el método del trapecio el método del

trapecio es un método numérico una

estrategia de solución para determinar

áreas bajo la curva hay que recordar que

en diversas asignaturas ingeniería es

tema importante el determinar el área

bajo la curva entonces una estrategia

que nos va a permitir calcular la de una

manera muy sencilla pues es el método

del trapecio nos vamos a iniciar

este es el problema que tienen ustedes

una función

la cual aquí está ya graficada nos pide

la integral entre ciertos límites límite

inferiores y el límite superior pues es

b y aquí lo que hice fue seccionar la

esta sección nada

en figuras que si ustedes ven pues son

trapecios que dan una forma un trapecio

tenemos también otro trapecio

estos trapecios tienen el mismo espesor

que aquí lo mencioné como delta equis y

si yo quisiera calcular el área bajo la

curva pues lo que voy a hacer es

determinar el área del primer trapecio

del segundo del tercero de todos los que

estén aquí más este más este más este y

cuando conozca todas esas áreas y yo la

asume pues lo que voy a obtener es el

área bajo la curva este delta x de una

vez les adelanto que mientras más

cercano sea a cero

mientras más pequeños sean pues el

cálculo va a ser más preciso

nos vamos a imaginar que yo le hago un

acercamiento o un zoom a uno de los

trapecios que aquí marcamos por ejemplo

a este donde tengo a uno vamos a decir

que yo lo extraigo de ahí aquí está se

observan tiene una altura una primera

altura que vamos a llamar f1 y de que

depende pues depende del valor de la

función ahí tengo el espesor aquí en la

base y tengo una segunda altura un f 2 s

f 2 pues también depende del valor de la

función y aquí ya lo represento para que

se vea más claro el trapecio que se

forma entonces este trapecio pues ahí

está ya bien claro en color azul

ustedes en su educación básica pues les

enseñaron a determinar el área de

trapecios y les enseñaron a esta fórmula

base mayor aquí está la base mayor más

la base menor que es ésta por la altura

y lo partimos entre 2

si este lo recortamos aquí está

recostado y aplicó esta fórmula en lugar

de b para mí la base mayor pues es f1 lo

escribo para mí la base menor pues sf2

lo escribo y la h

la altura pues en mi caso es delta x

aquí está sobre dos y en puedo

factorizar delta x sobre dos para que

aquí nada más depende de esta de la base

mayor de la base menor que hay que

recordar que en mi función pues no son

otra cosa más que alturas aquí están las

primera altura la segunda altura

ahora imagínense qué

ahora tengo aquí tres trapecios en la

misma función la línea roja pues la

curva roja es la función

tengo mis tres trapecios 1 2 3

cada uno una altura otra altura

entonces por ejemplo si quisiera

calcular el área del primero

pues requiero la base

menor más la base mayor y la altura

sobrados de la altura acuérdense que es

esta base que es delta xy que vamos a

considerar pues que es constante siempre

vale lo mismo es decir si en el primer

trapecio aquí tengo un valor de 2 pues

aquí vale 2 y aquí vale 2 vale

exactamente lo mismo

para el caso

fíjense estoy bien interesante

esta línea es la base mayor del primer

trapecio pero a su vez está compartida y

es la base menor del segundo trapecio

vamos a este ejemplo

efe 3 la base mayor el segundo trapecio

pero a su vez es la base menor del

tercer trapecio es decir aquí está

compartida una misma altura para el

trapecio 2 y para el trapecio 3 y aquí

es lo mismo para el trapecio 1 y para el

trapecio dos tienen compartida esta

altura

efe 1 y f 4 no se comparte con ninguna

sy primer trapecio y último trapecio es

decir la primera altura y la última

altura no se van a compartir pero las de

los trapecios de enmedio si aquí está el

área del primer trapecio f1 f2

por la altura sobre 2

efe 273 por la altura sobre 2 f 3 más f

4 por la altura sobre 2

entonces quedamos que delta x tiene el

mismo valor

es el mismo valor

estos procesos tienen la misma base

entonces

yo lo puedo factorizar del techo

sobrados y me queda f1 f2 más f2 y f3

más f3 más efe 4 si entonces

les reitero el primero y el último son

distintos pero esto es como están

compartidos

con una vez que lo cuente y lo

multiplica por 2 es suficiente entonces

primera altura la pongo última altura la

pongo y las alturas compartidas la

escribo una vez y la multiplicó por 2 y

así pudiera calcular la suma de estas

tres áreas

entonces ya con ese conocimiento previo

muy básico pues ya puedo plantear la

expresión del trapecio

si observan este delta x sobre 2 pues

esto no es a la altura sobre 2 que viene

de aquí acuérdense de factorizar lo

efe x0 es la primera altura que dijimos

que es distinta y fx en es la última

altura que también vimos que era

distinta y estas esta que está

multiplicada por dos pues son las

alturas que están compartidas que ya

vimos que va a ser entre trapecios

intermedios vamos a requerir también un

delta x que es ese espesor

depende del límite superior del inferior

y de n que va a ser el número de

trapecios que ustedes van a decidir

cuántos les reitero que mientras sean

más su cálculo va a ser más exacto x

depende de el límite inferior del valor

del trapecio

y de el incremento

nos vamos a empezar con un ejemplo que

es esa integral que es muy sencilla

ustedes con sus conocimientos de

educación básica la pudieran integrar

sin ningún problema pero bueno yo la voy

a usar como ejemplo si yo obtengo esta

función la gráfico entre 0 y 5 pues

obtengo esta curva esa función pública

entre 0 y entre 5 lo que hice fue darle

valores entre 0 y 5 yo tuve esa gráfica

y pues como el tema es área bajo la

curva pues aquí están las áreas que se

van a formar un área positiva un área

negativa y otra vez un área positiva la

suma de las tres pues me va a dar el

área total entre 0 y 5

vamos a empezar primero la primera

fórmula que tienes que aplicar es la del

espesor o las de delta x dice que

requiero a ver

ve

es el límite superior y ya es el límite

inferior entonces sería 5 0 y n

para este primer ejemplo voy a usar yo

que voy a usar diestra pesos entonces n

vale 10

entre días turmeda punto 55 menos de 20

días 9.5

ya tengo delta x vamos a usar la segunda

fórmula que es la del cálculo de x es tu

bien importante fíjense que n debe de

empezar en cero y debe de acabar en 1010

acuérdense que yo dije que son 10

trapecios pero siempre siempre siempre

deben de empezar en cero y acabar en el

número que ustedes eligieron

aplicamos la fórmula dice que escriba a

a ese límite inferior que si ustedes lo

observa el límite inferior pues es cero

escribo 0 en todos no cambia más n más

el valor de en el primer 0 en el cuarto

es 4 y en el último es 10 entonces lo

varían aquí y delta x pues 30 x les dio

punto 20.5 perdón

aquí está punto 5 entonces todos

escriben punto 5 hacen su operación aquí

tienen los valores se observan empezamos

en el inferior y voy a ir sumando o

incrementando delta x

punto 5 1 1.5 y si lo hice correctamente

debo de acabar en el último trapecio en

el valor del límite superior aquí lo

estoy remarcando empiezo en cero que es

el límite inferior y acabo en el límite

superior que 5 y entre ellos tiene que

haber

punto 5

punto 5 puntos 5.5 de la integral pues

así como gráfica también puedo sacar la

función

me va a servir para llenar la siguiente

tabla

aquí está la función entonces por

ejemplo cuando x vale 0 sustituyó en la

función

me da 8 cuando x vale 2 sustituyen la

función me da cero y así llenan su tabla

la pueden llenar en excel o con su

calculadora no

ya que hicieron eso eso es la mayor

parte del trabajo fíjense lo sencillo

que va a ser esta es la fórmula

y ya vimos cómo se obtuvo entonces

tienen

delta x ya sabemos que es punto 5 entre

2

efe x0 es la primera altura

de su trapecio entonces tomar el primer

valor

xm es la última altura toman el último

valor

más dos veces estas son las alturas que

están compartidas

entonces las que van a estar compartidas

personas que están entre el inferior y

el superior que aquí las marque de color

rosa

fíjense lo que dice dos veces asuma

desde uno desde uno hasta n menos uno en

este caso teníamos diez trapecios pues

sea 10 le restan 1 les quedan 9 por eso

que estoy sumando hasta 9

entonces sustituyó el primer valor

x 0 f x 0 aquí está el último valor

es este aquí está más dos veces la suma

desde aquí hasta acá que me da 13.875

entonces ya que hacen su operación suman

lo de dentro del corchete cuadrado y lo

multiplican por punto 5 entre 2 pues les

da 13.43 75 y escribo unidades cuadradas

pues porque estamos hablando de área

entonces esta fórmula es muy simple ni

siquiera se la tienen que aprender nada

más acuérdense

sumo el primer valor sumo el último de

la tabla y todo lo de enmedio lo sumo y

ya que los números multiplicó por 2

finalmente cuando tengo ya mi suma del

primero del último y de los que

multiplique por dos pueblos multiplicó

por delta x sobre 2

este no es el valor que nos dio con el

trapecio

vamos a comprobarlo como ustedes les

enseñaron en su educación básica

pues esto es muy sencillo tengo 123

separan 4 integrales aquí están

separadas esta es regla de potencia

regla de potencia y el 5 como es

constante lo saca de la integral

regla de potencia y el 2 como es

constante lo saco del integral el 8 lo

saco del integral por ser constante y

aquí está

ya está acomodado isaac y tenemos afuera

de integrar las constantes

aquí el que dice que la potencia pues le

sumamos 1 y lo mismo que escriben arriba

lo escriben abajo

aquí es potencia dos más uno y lo mismo

que escriben arriba lo escriben abajo

y lo multiplicamos por 52 que multiplica

a uno más uno y aquí abajo también es

uno más uno integral debe x pues les da

x entonces queda x por 8x por ocho

simplifican y les queda aquí existe la 3

más 1 x a la 4 sobre tres más uno sobre

4

nos vamos a esta ciencia les queda 2

entre 2 2 entre 2 pues se hace uno y

sólo les queda uno por equis cuadrada o

sea x cuadrado

aquí ya tengo todo integrado sustituyó

el límite superior el 5 y lo resto le

voy a restar el límite inferior que en

este caso es el 0 sustituyó en todas y

listo que es lo que tenemos en esta

diapositiva sustituye el límite superior

el límite inferior

pues de aquí me da todo 0 entonces sumó

estas estas partes le restó 0 y me da

12.91 67 si lo comparo con el trapecio

medio 13.43 75 pues es ta

tiene un error no no es tan preciso

vamos a

a usar más trapecios ya que les dije que

la precisión depende del número de

trapecios ahora voy a usar 20 si uso 20

bueno vuelvo a calcular delta x b límite

superior 5 límite inferior 0 y cambio n

ahora son 20 trapecios pues lo divido

entre 20 ahora el incremento o el

espesor es de punto 25

volvemos a hacer nuestra tablita

recuerden siempre deben de empezar en

cero y acabar en n que en nuestro caso

son 20

a límite inferior cero en todos ponemos

cero acm n ver cambiando cero

12

7

17

delta x delta x pues es punto 25 en

todos escribe punto 25 es decir se va a

incrementar punto 25 y aquí está 0.25

punto 5 funciones de 3.75 recuerden que

si lo hicieron bien pues en el 20 deben

de tener el límite superior

ya que tengo

mis valores de x lo sustituyó en la

función punto 75 al cubo

menos 5 por puntos 35 al cuadrado más

dos por puntos 75 más 8 y me da 7 puntos

10 93 ustedes verifiquen todos

y ahí están los 20 mayo tengo todas mis

funciones evaluadas o mis alturas

y aplicamos la fórmula no se les olvide

tomo la primera como la primera

obtengo la última aquí está la última

más dos veces todas las de en medio

aquí está si sumo desde 1 hasta 19

en uno pues es 8.2 y en 1911 punto 85 93

si hago esa suma es tema se esté más de

este más hasta llegar aquí pues me da 39

puntos 1875 lo multiplicó por 2 y delta

x que en este caso fue punto 2050 2

entonces algo me suma y lo multiplicó

por 32 sobre 2 y ahora me da

13.04 68 unidades cuadradas

este es el analítico 12.91 se observan

pues ya se parece mucho

todavía hay error pero eso parece mucho

y lo vamos a hacer consiguen ya no voy a

escribir las tablas ya nos las voy a

desplegar pero pues el excel lo pueden

hacer ustedes muy rápido

tienes fe que vale 5 límite superior

menos inferior entre tiempo es el

incremento es muy pequeño les dije al

principio que mientras ese delta

extendían a 0 se acercan a 0 pues si va

a ser más preciso mi resultado no

entonces

punto sólo se encuentre dos el primero

así como las anteriores es 8 y el último

como las anteriores es 8 18 pero esto si

cambia son todos los valores intermedios

por dos y me da ya que hago mi operación

12 puntos 92 18

que se observan pues ya casi es el

resultado analítico casi estoy seguro

que si ustedes lo hacen con 500

trapecios o con 1000 pues les va a dar

el resultado exacto no nada más aquí les

reitero pues ustedes lo hacen con excel

o con algún programa pues va a ser muy

rápido no van a tener ningún problema en

que sean 100 500 o 1000 trapecio no pues

agradezco su atención su tiempo espero

les sirva y pues les pido que vean los

siguientes vídeos donde vamos a ver ahí

más ejemplos pues muchas gracias hasta

la próxima