Aproximaciones trapzoidales del area bajo la curva

KhanAcademyEspañol

3 Apr 201309:24

Summary

TLDREn este video, se explica cómo aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6] utilizando el método de los trapecios. Se utilizan 5 trapecios de igual largo, calculando el ancho de cada uno como 1. Se describe paso a paso cómo dibujar y calcular el área de cada trapecio, desde el degenerado en el punto (1,0) hasta el quinto trapecio que abarca desde f(5) hasta f(6). Finalmente, se suman las áreas de los trapecios para obtener una aproximación del área total, que se evalúa y simplifica para dar un resultado numérico aproximado de 7.26.

Takeaways

😀 El objetivo es aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6].
📏 Se utilizan 5 trapecios para realizar la aproximación, cada uno con el mismo largo.
🔢 El largo de cada trapecio se calcula como (6 - 1) / 5, resultando en un delta x de 1.
📐 Se describe cómo dibujar los 5 trapecios, cada uno con alturas correspondientes a las funciones evaluadas en los puntos clave.
📉 El primer trapecio es en realidad un triángulo degenerado, ya que una de sus alturas es cero.
📊 Se explica cómo calcular el área de cada trapecio utilizando la fórmula de área de trapecio, incluso para el caso degenerado.
🧮 Se suman las áreas de los trapecios individuales para obtener la aproximación total del área bajo la curva.
🔢 Se simplifica la fórmula general para el área de trapecios, destacando la importancia de los valores de la función en los puntos de corte.
📘 Se menciona que la fórmula general para el área de trapecios se puede encontrar en libros de texto, pero se aconseja una comprensión visual para una mejor entendimiento.
💡 Se calcula el valor numérico aproximado del área utilizando la fórmula simplificada y los valores de la función, resultando en aproximadamente 7.26.

Q & A

¿Cuál es la función f(x) que se utiliza para aproximar el área en el intervalo [1, 6]?
-La función f(x) utilizada para aproximar el área es f(x) = √x.
¿Cuál es el método de aproximación utilizado para calcular el área debajo de la gráfica de la función?
-El método de aproximación utilizado es el método de los trapecios, específicamente con 5 trapecios de igual longitud.
¿Cómo se determina el largo de cada uno de los 5 trapecios utilizados en la aproximación?
-El largo de cada trapecio se determina dividiendo la diferencia entre el intervalo [1, 6], que es de 5 unidades, entre los 5 trapecios, resultando en 1 unidad de largo cada uno.
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular el área de un trapecio en este caso?
-La fórmula utilizada para calcular el área de un trapecio es (base1 + base2) / 2 * altura, donde la base es el largo de los lados paralelos y la altura es la distancia entre los lados.
¿Cómo se calcula el área del primer trapecio, considerando que uno de sus lados es cero?
-El área del primer trapecio, que es en realidad un triángulo degenerado, se calcula como la mitad del producto de su base (que es f(2) - f(1)) y su altura (que es f(2)).
¿Cuál es la altura del segundo trapecio y cómo se calcula?
-La altura del segundo trapecio es f(3) - f(2), que se calcula evaluando la función f(x) en x = 2 y x = 3.
¿Cómo se determina el área del quinto y último trapecio en la aproximación?
-El área del quinto trapecio se determina tomando el promedio de las alturas f(5) y f(6), multiplicándolo por la distancia entre los lados paralelos (delta x).
¿Cuál es la fórmula general para calcular el área aproximada con n trapecios?
-La fórmula general para calcular el área aproximada con n trapecios es (delta x / 2) * (f(x0) + 2*(f(x1) + f(x2) + ... + f(x(n-1))) + f(xn)).
¿Cuál es el resultado numérico aproximado del área debajo de la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6] utilizando 5 trapecios?
-El área aproximada es 7.26, obtenida al evaluar la fórmula general con los valores de f(x) correspondientes al intervalo [1, 6].
¿Qué significa el resultado numérico obtenido y cómo se interpreta en el contexto del problema?
-El resultado numérico de 7.26 representa una aproximación del área que queda debajo de la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6]. Es importante recordar que esto es solo una aproximación y no el valor exacto.

Outlines

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📊 Aproximación del Área Bajo una Gráfica usando Trapecios

El primer párrafo explica cómo aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6] utilizando una técnica de integración numérica con 5 trapecios. Se describe el proceso de dibujar los trapecios y cómo calcular su área utilizando la fórmula de área de trapecio. Cada trapecio tiene un ancho delta x = 1, y se calcula el área de cada uno teniendo en cuenta las alturas correspondientes a los valores de la función en los puntos clave. El primer trapecio es un caso especial, ya que uno de sus lados es cero, lo que lo convierte en un triángulo. El vídeo detalla cómo se calcula el área de cada uno de estos trapecios y cómo se suman para obtener una aproximación del área total.

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🔢 Simplificación y Cálculo del Área Aproximada

El segundo párrafo continúa el proceso de aproximación del área, simplificando la fórmula general para el cálculo de áreas de trapecios y luego evaluando los valores numéricos específicos para la función dada. Se menciona que la fórmula para la aproximación del área con trapecios es una generalización que se puede aplicar a cualquier función y intervalo. Se calcula el área aproximada insertando los valores de la función en los puntos clave y utilizando el delta x = 1. El resultado se simplifica y se evalúa numéricamente, obteniendo un valor aproximado del área. El vídeo enfatiza que esta es solo una aproximación y que en la realidad, la función y la gráfica son continuas, por lo que hay pequeños errores en la aproximación que se pueden corregir al aumentar el número de trapecios.

Mindmap

Keywords

💡Aproximación

La aproximación es el proceso de estimar un valor o una cantidad de manera no exacta, pero cercana a la verdad. En el video, se utiliza para calcular el área bajo la gráfica de una función usando un método numérico. Se aproxima el área utilizando 5 trapecios, lo que demuestra cómo se puede obtener una estimación de una integral a través de la división del intervalo en subintervalos y la aplicación de la fórmula del área de un trapecio.

💡Función

Una función es una relación matemática que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función \( f(x) = \sqrt{x} \) es la que se está graficando y de la cual se está calculando el área bajo su curva en el intervalo [1, 6]. La función es fundamental para entender el dominio y el rango de los cálculos que se están realizando.

💡Gráfica

La gráfica es la representación visual de una función en un plano cartesiano. En el video, la gráfica de la función \( f(x) = \sqrt{x} \) se usa para visualizar el área que se desea aproximar. La gráfica es crucial para entender la distribución de los valores de la función y cómo estos afectan el cálculo del área.

💡Intervalo

Un intervalo es un rango de valores en un conjunto ordenado, como los números reales. En el guion, el intervalo [1, 6] define el dominio sobre el cual se calcula el área. El intervalo es importante porque limita el rango de valores de x que se consideran en el cálculo.

💡Trapecio

Un trapecio es una forma geométrica con cuatro lados, donde solo dos lados son paralelos. En el contexto del video, se utilizan trapecios para aproximar el área bajo la curva de la función. Cada trapecio representa una porción del área total y se calcula su área usando la fórmula del área de un trapecio, que se aplica repetidamente para cada uno de los cinco trapecios en el intervalo.

💡Delta x

Delta x, o \( \Delta x \), representa el intervalo de x que se utiliza para dividir el dominio de la función en subintervalos. En el guion, se menciona que \( \Delta x = 1 \), lo que significa que el intervalo de 1 a 6 se divide en cinco subintervalos iguales, cada uno de longitud 1. Este valor es clave en el cálculo del área de cada trapecio.

💡Área

El área representa la extensión de un espacio bidimensional. En el video, el objetivo es calcular el área bajo la gráfica de la función \( f(x) = \sqrt{x} \) en el intervalo [1, 6]. El cálculo del área se realiza a través de la aproximación de los trapecios, que se suman para obtener una estimación del valor total.

💡Fórmula del área de un trapecio

La fórmula del área de un trapecio es \( \text{área} = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \), donde \( b_1 \) y \( b_2 \) son las longitudes de los lados paralelos y \( h \) es la altura. En el guion, esta fórmula se aplica para cada uno de los cinco trapecios, considerando los valores de la función en los puntos de corte como lados y \( \Delta x \) como la altura.

💡Raíz

La raíz de un número es otro número que, al elevarse a una potencia dada, resulta en el primer número. En el guion, la función \( f(x) = \sqrt{x} \) implica calcular la raíz cuadrada de x, que es una operación fundamental en el cálculo de las alturas de los trapecios y, por ende, en la aproximación del área.

💡Suma

La suma es el resultado de unir o agregar dos o más cantidades. En el video, la suma es utilizada para agregar el área de los cinco trapecios individuales y obtener una aproximación del área total bajo la curva. La suma es esencial en el proceso de integración numérica para obtener una estimación del área.

Highlights

Se aproxima el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6].

Se utilizarán 5 trapecios para la aproximación del área.

El intervalo total se divide en 5 partes iguales, cada una con un largo de 1 unidad.

El primer trapecio es degenerado, con una altura de 0 en el lado izquierdo y f(2) en el derecho.

El segundo trapecio tiene alturas f(2) y f(3) respectivamente en sus lados.

El tercer trapecio se extiende desde f(3) hasta f(4).

El cuarto trapecio tiene alturas f(4) y f(5).

El quinto y último trapecio abarca desde f(5) hasta f(6).

La fórmula de área de trapecio se adapta incluso para triángulos degenerados.

Se calcula el área de cada trapecio utilizando la fórmula de promedio de alturas multiplicado por la base.

El cálculo se simplifica al factorizar el delta x/2 común en todas las áreas.

La fórmula general para la aproximación con n trapecios se menciona.

Se evalúa la función f(x) = √x en los puntos clave para obtener los valores necesarios.

Se realiza el cálculo numérico de la aproximación del área.

El resultado aproximado del área es 7.26, obteniendo una buena aproximación a la gráfica.

Se destaca que la aproximación con trapecios es solo un método para estimar el área, no una medida exacta.