Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 2

Matemáticas con Orozco

22 Sept 202010:45

Summary

TLDREn este segundo vídeo, se explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos. La función elegida es 0.3x^2 + 2, y se utiliza un intervalo de 0 a 4 dividido en rectángulos de base de una unidad. Se detallan los pasos para trazar los límites, evaluar la función en puntos clave y calcular las alturas correspondientes. Luego, se suman las áreas de los rectángulos para obtener una aproximación del área total, demostrando que el método es flexible y puede adaptarse a diferentes intervalos y tamaños de rectángulos.

Takeaways

😀 Este es un segundo vídeo o ejercicio sobre cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos.
📐 La función utilizada en el ejemplo es 0.3x^2 + 2.
🔍 Se explica que la metodología para aproximar el área es la misma para cualquier función, y se hace referencia a un primer vídeo para más detalles.
📏 Se decide utilizar rectángulos con una base de una unidad de ancho en lugar de dos, para mostrar la flexibilidad en el tamaño de los rectángulos.
📈 Se elige el intervalo de cero a cuatro para evaluar la función, lo que resultará en cuatro rectángulos.
📍 Se enfatiza la importancia de la intersección entre la función y la altura de los rectángulos, que se determina en los puntos centrales de cada intervalo.
🎨 Se utilizan colores diferentes para cada rectángulo y su altura correspondiente para facilitar la visualización y el cálculo.
✅ Se calculan las alturas de los rectángulos evaluando la función en los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5.
📊 Se calcula el área de cada rectángulo multiplicando la base (1 unidad) por su altura correspondiente.
🔢 Se suman las áreas de los cuatro rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva, que resulta en 14.3 unidades al cuadrado.

Q & A

¿Cuál es el objetivo principal del segundo vídeo mencionado en el guion?
-El objetivo principal es enseñar cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos, con una función específica y un intervalo determinado.
¿Cuál es la función utilizada en el ejemplo del vídeo?
-La función utilizada en el ejemplo es 0.3x^2 + 2.
¿Cómo cambia la metodología de solución si se usan rectángulos con bases de diferente tamaño?
-La metodología de solución se mantiene la misma, pero el tamaño de los rectángulos inscritos dependerá del intervalo elegido, afectando la precisión de la aproximación.
¿Por qué es importante la elección del intervalo en la aproximación del área bajo la curva?
-La elección del intervalo afecta directamente al número de rectángulos necesarios y, por ende, a la precisión de la aproximación del área. Un intervalo más grande requiere menos rectángulos, mientras que uno más pequeño requiere más.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en el ejemplo del vídeo?
-En el ejemplo, la base de los rectángulos es de una sola unidad, lo que permite formar cuatro rectángulos en el intervalo de 0 a 4.
¿Cómo se deciden los puntos de corte para trazar la altura de los rectángulos?
-Los puntos de corte se deciden evaluando la función en los puntos centrales de los intervalos dentro del intervalo total, en este caso, en 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5.
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular el área de un rectángulo en este contexto?
-La fórmula utilizada para calcular el área de un rectángulo es base por altura, donde la base es de una unidad y la altura se calcula a partir de la función en el punto de corte.
¿Cómo se calcula la altura de los rectángulos en el ejemplo del vídeo?
-La altura de los rectángulos se calcula evaluando la función en los puntos de corte correspondientes y multiplicando el resultado por 0.3, sumando 2 al producto.
¿Cuál es el resultado aproximado del área total bajo la curva utilizando los cuatro rectángulos?
-El área total aproximada bajo la curva es de 14.3 unidades al cuadrado.
¿Cómo se puede mejorar la precisión de la aproximación utilizando rectángulos inscritos?
-La precisión de la aproximación se puede mejorar reduciendo el tamaño de la base de los rectángulos, es decir, aumentando el número de rectángulos inscritos en el intervalo.

Outlines

00:00

📐 Introducción al cálculo de área bajo la curva con rectángulos inscritos

Este párrafo presenta el segundo vídeo sobre el cálculo del área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos. La función en cuestión es 0.3x^2 + 2. Se explica que el método para aproximar el área es el mismo que en el primer vídeo, pero se utilizarán rectángulos con base de una unidad en lugar de dos. El objetivo es mostrar que se puede inscribir rectángulos de cualquier tamaño deseado. Se decide evaluar la función en el intervalo de 0 a 4, lo que resultará en cuatro rectángulos. Se detalla cómo se trazan los límites y se inscribirán los rectángulos, poniendo atención en la intersección de la función con los bordes superiores de los rectángulos.

05:00

🔢 Cálculo de alturas y áreas de los rectángulos

En este apartado, se procede a calcular las alturas de los cuatro rectángulos inscritos en el intervalo de 0 a 4. Se evalúa la función en los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5, que corresponden a la mitad de cada intervalo para cada rectángulo. Se presentan los cálculos paso a paso, utilizando colores diferentes para cada altura, y se suman los resultados de la función evaluada a los puntos correspondientes. Se detallan los cálculos numéricos para cada altura y se eliminan los trazos innecesarios para tener una visualización clara de los rectángulos con sus alturas correspondientes.

10:01

📊 Sumación de áreas para obtener la aproximación total

El último párrafo del guion describe cómo se calcula el área total a partir de las áreas de los cuatro rectángulos individuales. Se suman las áreas calculadas en el párrafo anterior, y se obtiene un resultado total de 14.3 unidades al cuadrado como aproximación del área bajo la curva. El vídeo concluye con un llamado a la acción para que los espectadores den like si les gustó el contenido y se anuncia el próximo vídeo.

Mindmap

Keywords

💡Aproximación

La aproximación es el proceso de estimar un valor o cantidad de manera no exacta, sino cercana a la verdad. En el vídeo, se utiliza el método de rectángulos inscritos para aproximar el área bajo una curva, lo que implica calcular un valor que no es exacto pero se acerca al área real. El ejemplo se da cuando se decide evaluar la función en intervalos de una unidad para trazar los rectángulos.

💡Rectángulos inscritos

Los rectángulos inscritos son figuras rectangulares que se colocan debajo de una curva en un intervalo determinado, con el objetivo de aproximar el área bajo la curva. En el vídeo, se utilizan rectángulos inscritos con bases de una unidad para aproximar el área bajo la función dada, lo cual es una técnica para entender integrales y cálculos de áreas.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el vídeo, la función es '0.3x al cuadrado más 2', y se evalúa en diferentes puntos para determinar las alturas de los rectángulos inscritos, siendo fundamental para el cálculo del área aproximada.

💡Base del rectángulo

La base de un rectángulo es la longitud de uno de sus lados, generalmente el más ancho. En el contexto del vídeo, la base de los rectángulos inscritos es de una unidad, lo que simplifica el cálculo del área ya que se multiplica directamente por la altura correspondiente.

💡Altura del rectángulo

La altura de un rectángulo es la medida perpendicular a la base. En el vídeo, la altura de cada rectángulo se determina por el valor de la función en el punto central del intervalo correspondiente, siendo esencial para el cálculo del área del rectángulo.

💡Área

El área representa la extensión de una superficie bidimensional. En el vídeo, el objetivo es calcular el área aproximada bajo la curva mediante la suma de las áreas de los rectángulos inscritos, que se hace multiplicando la base por la altura de cada rectángulo.

💡Intervalo

Un intervalo es un rango de valores en el eje de las x's. En el vídeo, el intervalo elegido es desde cero hasta cuatro, y se divide en subintervalos de una unidad para trazar los rectángulos, lo que influye directamente en la precisión de la aproximación.

💡Evaluación

La evaluación de una función en un punto específico consiste en sustituir ese punto en la función y calcular el resultado. En el vídeo, la función se evalúa en puntos como 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5 para determinar las alturas de los rectángulos, lo cual es crucial para el cálculo de áreas.

💡Suma

La suma es el resultado de unir números o cantidades. En el vídeo, la suma se utiliza para calcular el área total aproximada, al agregar el área de los cuatro rectángulos inscritos individuales, lo que da como resultado un valor que se acerca al área real bajo la curva.

💡Colores

En el vídeo, se utilizan colores para diferenciar visualmente los distintos rectángulos y sus alturas, ayudando al espectador a seguir el proceso de cálculo. Por ejemplo, se usa azul para el primer rectángulo, verde para el segundo, y así sucesivamente, para facilitar la identificación y comprensión del procedimiento.

Highlights

Introducción al segundo ejercicio de aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos.

Explicación de que la metodología para aproximar el área bajo la curva es la misma para cualquier función.

Comparación con el primer vídeo sobre la aproximación del área usando rectángulos.

Decisión de usar rectángulos con base de una unidad en lugar de dos para una mejor visualización.

Importancia de la elección del intervalo para determinar el tamaño de los rectángulos.

Estrategia para inscribir rectángulos en un intervalo de cero a cuatro con base de una unidad.

Procedimiento para trazar los límites y dividir el intervalo en cuatro partes iguales.

Determinación de la altura de los rectángulos a través de la intersección con la función en el centro de cada rectángulo.

Evaluación de la función en los puntos de corte central de cada rectángulo.

Coloreado de las alturas de los rectángulos para facilitar la identificación y cálculo.

Cálculo de las alturas para los puntos 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5 de la función 0.3x^2 + 2.

Explicación paso a paso del cálculo de las áreas de los rectángulos.

Sumatoria de las áreas de los cuatro rectángulos para obtener una aproximación del área total.

Resultado final de la aproximación del área total debajo de la curva.

Invitación a los espectadores a dar like si les gustó el vídeo.

Anuncio del próximo vídeo en la serie.