90. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (Con una raíz igual a cero) EJERCICIO RESUELTO

MateFacil
30 Jan 201705:17

Summary

TLDREn este vídeo, se explica cómo resolver la ecuación diferencial de segundo orden y lineal 'y'' - 5y' = 0'. Se propone una solución exponencial y se obtiene la ecuación característica 'r^2 - 5r = 0'. Al factorizar, se encuentran los valores de 'r' (0 y 5), y se derivan dos soluciones: y1 = 1 y y2 = e^(5x). La solución general es una combinación lineal de ambas, y = c1*y1 + c2*y2. Además, se menciona que en futuras ecuaciones, las soluciones pueden ser reales repetidas o complejas.

Takeaways

  • 📘 La ecuación diferencial presentada es de segundo orden, lineal, homogénea y con coeficientes constantes.
  • 💡 Para resolver este tipo de ecuaciones, se propone una solución de forma exponencial: y = e^rx.
  • 🛠️ Se obtiene la ecuación característica al sustituir la solución en la ecuación diferencial y factorizar la exponencial.
  • 🧮 La ecuación característica se forma al sustituir las derivadas por términos en r: r² para la segunda derivada, r para la primera, y el coeficiente para y.
  • ✂️ Se puede factorizar una r común de la ecuación característica, resultando en: r(r - 5) = 0.
  • ✅ Las soluciones de la ecuación característica son r = 0 y r = 5, generando dos soluciones para la ecuación diferencial.
  • 🧑‍🏫 La primera solución es y1 = 1, obtenida al sustituir r = 0 en la solución exponencial.
  • 🚀 La segunda solución es y2 = e^(5x), obtenida al sustituir r = 5 en la solución exponencial.
  • 📐 La solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de ambas soluciones: y = c1 + c2 * e^(5x).
  • 🔮 En futuros vídeos, se abordarán casos donde la ecuación característica tiene soluciones repetidas o complejas.

Q & A

  • ¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?

    -Se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y de coeficientes constantes, que es homogénea.

  • ¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial mencionada?

    -Se propone una solución de forma exponencial, de la forma \( y = e^{rx} \).

  • ¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?

    -La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene a partir de la sustitución de la solución propuesta en la ecuación diferencial original.

  • ¿Cómo se derivan las soluciones de la ecuación característica?

    -Se derivan las soluciones de la ecuación característica al factorizar y resolver las ecuaciones resultantes de primer grado que surgen al igualar a cero el producto de los factores.

  • ¿Cuáles son las soluciones obtenidas para la ecuación característica en el ejemplo?

    -Las soluciones obtenidas para la ecuación característica son \( r = 0 \) y \( r = 5 \).

  • ¿Qué solución se obtiene al sustituir \( r = 0 \) en la ecuación diferencial?

    -Al sustituir \( r = 0 \), se obtiene la solución \( y_1 = 1 \).

  • ¿Cuál es la segunda solución y cómo se obtiene?

    -La segunda solución es \( y_2 = e^{5x} \) y se obtiene al sustituir \( r = 5 \) en la ecuación diferencial.

  • ¿Cómo se expresa la solución general de la ecuación diferencial?

    -La solución general se expresa como una combinación lineal de las soluciones particulares, es decir, \( y = c_1 \cdot y_1 + c_2 \cdot y_2 \).

  • ¿Qué ocurre si la ecuación característica tiene soluciones complejas?

    -Si la ecuación característica tiene soluciones complejas, se deben aplicar métodos adicionales para resolver la ecuación diferencial, como se explicará en un vídeo futuro.

  • ¿Cómo se pueden verificar que las soluciones propuestas son correctas?

    -Se pueden verificar las soluciones derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial original para confirmar que satisfacen la ecuación.

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