Área aproximada por rectángulos (inscritos y circunscritos)
Summary
TLDREl guion del video explica el proceso de aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos inscritos y circunscritos. Se subdivide el intervalo de 0 a 1 en cinco partes iguales y se calcula el área de cada rectángulo a partir de su ancho (1/5) y su altura correspondiente a la función evaluada en puntos clave. Se suman las áreas de los cinco rectángulos para obtener una aproximación del área total. Además, se describe el cálculo de las sumatorias para obtener áreas aproximadas tanto inferiores como superiores, proporcionando un rango para el área real de la región.
Takeaways
- 📏 Se aproxima el área de una región determinada por una función y el eje x desde 0 hasta 1.
- 🔢 El intervalo de 0 a 1 se subdivide en cinco partes iguales para la aproximación.
- 📐 Se utilizan rectángulos inscritos para la aproximación inferior del área.
- 📈 El área de cada rectángulo inscrito se calcula como el ancho (1/5) multiplicado por la altura correspondiente a la función evaluada en ese punto.
- 🧮 Se suman las áreas de los cinco rectángulos inscritos para obtener una aproximación del área total.
- 🔑 Se identifica un factor común (1/5) en la suma de las áreas de los rectángulos.
- 📉 Se resuelve la sumatoria de la función evaluada en puntos equidistantes para encontrar la aproximación inferior.
- 📊 Se utilizan rectángulos circunscritos para la aproximación superior del área.
- 🔼 La altura de los rectángulos circunscritos se toma del valor inicial de la función en cada subintervalo.
- 📘 Se resuelve la sumatoria de la función evaluada en los puntos iniciales de los subintervalos para encontrar la aproximación superior.
- 📋 La aproximación del área se encuentra entre las sumas de los rectángulos inscritos y circunscritos.
Q & A
¿Cuál es la función utilizada en el script para definir la región que se está aproximando?
-El script no especifica explícitamente la función, pero se describe que la región está limitada en la parte superior por una función y en la parte inferior por el eje x.
¿Cuál es el intervalo de x considerado para la aproximación del área en el script?
-El intervalo de x considerado es desde x = 0 hasta x = 1.
¿Cómo se subdivide el intervalo para la aproximación del área en el script?
-El intervalo de 0 a 1 se subdivide en cinco partes iguales para la aproximación del área.
¿Cuál es la estrategia utilizada para aproximar el área de la región en el script?
-La estrategia utilizada es sumar el área de cinco rectángulos inscritos en la región.
¿Cómo se calcula el área del primer rectángulo inscrito en el script?
-El área del primer rectángulo se calcula multiplicando su ancho, que es 1/5, por la altura, que es la función evaluada en 1/5.
¿Qué es la notación Sigma y cómo se utiliza en el script para simplificar la sumatoria?
-La notación Sigma (Σ) se utiliza para representar sumatorias, y en el script se usa para simplificar la suma de los términos correspondientes a las áreas de los rectángulos.
¿Cómo se evalúa la función para el cálculo del área de los rectángulos en el script?
-La función se evalúa sustituyendo el argumento x por los valores correspondientes a los puntos de subdivisión del intervalo, como 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 y 5/5.
¿Qué es la fórmula que se utiliza para calcular la sumatoria de los términos I^2 en el script?
-La fórmula utilizada para calcular la sumatoria de los términos I^2 es (n(n+1)(2n+1))/6, donde n es el número de términos.
¿Cuál es la diferencia entre los rectángulos inscritos y los circunscritos mencionados en el script?
-Los rectángulos inscritos están dentro de la región y usan el valor de la función en el punto derecho para la altura, mientras que los rectángulos circunscritos están fuera de la región y usan el valor de la función en el punto izquierdo para la altura.
¿Cómo se calcula el área aproximada con rectángulos circunscritos en el script?
-El área aproximada con rectángulos circunscritos se calcula sumando el área de rectángulos donde cada uno tiene un ancho de 1/5 y una altura dada por la función evaluada en el punto izquierdo del subintervalo.
¿Cuál es el rango aproximado del área de la región según el script?
-El área de la región se encuentra entre 10/25 y 14/25 avos, según la aproximación con rectángulos inscritos y circunscritos.
Outlines
📏 Aproximación de Área por Rectángulos Inscritos
Este párrafo describe un método para aproximar el área de una región en el eje x, limitada por una función en la parte superior y el eje x en la parte inferior, desde x=0 hasta x=1. Para ello, se propone subdividir el intervalo en cinco partes iguales y utilizar cinco rectángulos inscritos en la región para aproximar su área. Cada rectángulo se define por su ancho, que es 1/5, y su altura, que es el valor de la función evaluada en puntos específicos dentro del intervalo. Se calcula la suma de las áreas de estos rectángulos para obtener una aproximación del área total de la región.
🔢 Cálculo de la Sumatoria para Aproximación Inferior
En este párrafo se explica cómo se calcula la suma de las áreas de los rectángulos inscritos para obtener una aproximación inferior del área de la región. Se utiliza la notación Sigma para representar la sumatoria de los términos, donde cada término corresponde a la evaluación de la función en puntos equidistantes dentro del intervalo. Se resuelve la sumatoria separando la función en dos partes y utilizando las propiedades de las potencias para simplificar la expresión. Al final, se calcula la suma aproximada inferior utilizando fórmulas conocidas para sumatorias de potencias y productos.
📐 Aproximación de Área por Rectángulos Circunscritos
Este párrafo aborda el cálculo de la aproximación superior del área de la región utilizando rectángulos circunscritos. Se describe cómo se definen los rectángulos basándose en los valores de la función en los extremos izquierdos de los subintervalos. Se extrae el factor común del ancho de los rectángulos (1/5) y se utiliza la notación Sigma para simplificar la sumatoria de los términos correspondientes a las alturas de los rectángulos. Se evalúa la función en los puntos necesarios y se descompone la sumatoria en varias partes para facilitar el cálculo.
🔍 Resultados de las Aproximaciones Inferiores y Superiores
Finalmente, este párrafo presenta los resultados de las aproximaciones inferior y superior del área de la región. Se calculan las sumas de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos, respectivamente, utilizando las fórmulas y sumatorias resueltas en los párrafos anteriores. Se concluye que el área de la región se encuentra entre dos valores, que son las sumas aproximadas inferior y superior, proporcionando así un rango dentro del cual se encuentra el área exacta de la región.
Mindmap
Keywords
💡Aproximación
💡Rectángulos inscritos
💡Rectángulos circunscritos
💡Sumatoria
💡Intervalo
💡Factor común
💡Notación Sigma
💡Función
💡Evaluación
💡Área aproximada
💡Subdivisión
Highlights
Se aproxima el área de una región limitada por una función y el eje x de 0 a 1 mediante la subdivisión del intervalo en cinco partes iguales.
Se utilizan rectángulos inscritos para aproximar la región, calculando el área de cada uno por el producto de su ancho y la altura dada por la función evaluada en el punto correspondiente.
El área del primer rectángulo se calcula como el ancho (1/5) multiplicado por la función evaluada en 1/5.
Se describe el proceso de calcular el área de los siguientes rectángulos inscritos, cada uno con un ancho de 1/5 y una altura dada por la función evaluada en los puntos 2/5, 3/5, 4/5 y 5/5.
Se extrae el factor común 1/5 de la suma de las áreas de los rectángulos para simplificar el cálculo.
Se presenta la sumatoria de los términos correspondientes a las alturas de los rectángulos, utilizando notación Sigma.
Se evalúa la función para cada término de la sumatoria, obteniendo una expresión que incluye el argumento de la función variando de 1/5 a 5/5.
Se resuelve la sumatoria, separando la constante 1/25 y utilizando la fórmula conocida para la sumatoria de I cuadrado.
Se calcula el área aproximada inferior de la región mediante la sumatoria, resultando en un valor de 11/25.
Se describe el cálculo del área aproximada con rectángulos circunscritos, utilizando la función evaluada en los puntos iniciales de los subintervalos.
Se extrae el factor común 1/5 de la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos y se presenta la sumatoria correspondiente.
Se evalúa la función para cada término de la nueva sumatoria, considerando el argumento de la función variando de 0 a 4/5.
Se resuelve la nueva sumatoria, separando la constante 1/25 y utilizando las fórmulas para sumatorias de I, I al cuadrado y una constante.
Se calcula el área aproximada superior de la región mediante la sumatoria, resultando en un valor de 14/25.
Se concluye que el área de la región se encuentra entre 11/25 y 14/25, proporcionando una aproximación inferior y superior.
Transcripts
vamos a aproximar el área de la región
que aparece en pantalla limitada en su
parte superior por la función que está
aquí
y en su parte inferior con el eje x
desde x = 0 hasta x =
1 para aproximar la región vamos a
subdividir el intervalo de 0 a 1 en
cinco partes
iguales y vamos a comenzar a hacer la
aproximación considerando cinco
rectángulos
en esta
área entonces son inscritos porque están
dentro de la región entonces lo que
vamos a hacer es sumar cada uno cada
área de cada rectángulo para que nos dé
una aproximación de la región
total
Entonces el primer
rectángulo tiene como área la
multiplicación de su ancho que sería un
qu por el alto el alto o la altura me lo
va a dar 1/5 evaluado en la
función Entonces sería F de
1/5 ese serían el área del primer
rectángulo vamos a escribirlo acá en
este lado Entonces el área aproximada
con cinco rectángulos inscritos el
primero de
ellos
sería de ancho 1/5
y de altura F de
1/5 vamos con el
segundo entonces de ancho 1/5 y de alto
F de 25 que es el terminal derecho
evaluado en la
función Entonces tenemos aquí el segundo
ancho y
alto más el
tercer
rectángulo cuya área está dada por una
de 1/5 y un alto en su terminal derecho
3/5 evaluado en la función F de
3/5 ancho y
alto vamos con el
cuarto Entonces el cuarto ancho 1/5 y
alto 4/5 evaluado en la función o sea F
4/5 Aquí está vamos con El
quinto que sería de ancho 1/5 y de
altura la función evaluada en 1 o en 5
sobre 5 que es igual a
1 Entonces tenemos el ancho 1/5 y la
altura f evaluada en 5 sobre 5 evaluada
en 1 que en este caso nos da
cer bien ya tenemos la suma de
las áreas de
cada rectángulo de los cinco rectángulos
escritos ahora vamos a proceder a
calcular esa suma entonces lo que vamos
a ver es
que podemos sacar factor común 1/5
Entonces nos queda un factor común
de los otros cinco términos que pueden
ver
ahí ahora vamos a escribir la sumatoria
de esos cinco términos en notación Sigma
o sea con i en empezando desde uno
porque hasta 5 que tenemos cinco
términos recordemos que para escribir la
sumatoria Necesitamos saber el iimo
término Cómo va la expresión del iimo
término entonces miremos que el
argumento de la
función está variando 1/5 lo podemos
escribir como 1/5 por 1 25 como 1/5 * 2
3/5 como 1/5 * 3 y así sucesivamente
hasta 5/5 como 1/5 por 5 Entonces
observemos que se mantiene constante 1/5
en todas los en todos los términos o en
todos los argumentos de cada una de las
funciones
entonces escrito en notación Sigma o en
sumatoria decimos
que la sumatoria de I empezando con 1
hasta 5 porque hay cinco términos como
pueden ver el último término es 5 de f
evaluado en 1/5 por I entonces si yo
resuelvo esta
sumatoria tendría de nuevo otra vez los
cinco términos aquí arriba Bueno
entonces ya tenemos esa sumatoria en
forma más compacta en notación Sigma
ahora
resolvamos como
sigue vamos a evaluar la función Cuánto
es F de 1/5 de I entonces nuestra
función es esta recordemos que es esta
Entonces vamos a
evaluarla Entonces al evaluarla pues 1 -
x cuadrado simplemente lo que vamos a
hacer es 1/5 de y en x y nos quedaría la
sumatoria de la
función 1 menos lo que está
ahí Entonces vamos a resolver esa
sumatoria
Cómo primero vamos a separar la
sumatoria en dos sumatorias una con el
uno y otra con este término entonces con
el uno Me quedaría la sumatoria de uno
con el otro término entonces la
sumatoria de 1/5 de I
cuadrado ahora vamos a este exponente
también a distribuirlo en 1/5 y en I
propiedades de los de la potencia
entonces quedaría 1/5 cuadrado y al
cuadrado 1/5 cuadrado es 1 sobre 25 y lo
podemos escribir por fuera de la
sumatoria ya que es una
constante Ahora la sumatoria desde I
empezando con 1 hasta 5 de I cuado es
una fórmula ya conocida y se
calcula con esto O sea que simplemente
vamos vamos a reemplazar esa n es ese 5
Entonces vamos a reemplazar el cco acá
acá y eso nos da la sumatoria de I
cuadrado Entonces al reemplazar esto
como podemos ver vamos a escribirlo por
acá entonces quedaría reemplazamos el 5
5
5 5 + 1
6 2 * 5 10 + 1 11
simplificamos el 6 y 5 * 11 aquí tenemos
5 *
11 continuemos aquí
arriba simplificamos el 5 con el
25 Entonces 5 arriba y 5 abajo quedaría
1/5 1 * 11 11 sobre 5
5 * 5
25 nos queda acá y el denominador sería
5 25 - 11 14 y 5 y
5 1 * 14
14 5 * 5
25 y nos queda que 14 sobre 5 es el área
aproximada por una sumas inferior de
rectángulos en este caso cinco
rectángulos exactos esa sería la suma
aproximada inferiormente
ahora vamos con el área aproximada con
cinco rectángulos
circunscritos entonces para
esto consideremos el primer rectángulo
que sería de c a un
quinto y observemos que la altura de ese
rectángulo ya no nos la da el terminal
derecho si no nos la da el terminal
izquierdo en este caso cer0 entonces la
imagen de cer0 va a ser la altura de ese
primer rectángulo y su ancho va a seguir
siendo 1/5 como pueden ver ancho 1/5 y
altura F de 0 sería el área del primer
rectángulo vamos con el segundo
rectángulo entonces también tiene un
ancho
1/5 Aquí vemos
1/5 y F de 1/5 porque el terminal
izquierdo de ese subintervalo es 1/5 Y
ese es el que me va a dar la altura del
rectángulo circunscrito porque está por
encima de la
región o contiene la
región vamos con el tercer
entonces la altura me va a dar la imagen
de 25 como podemos ver F 2/5 Aquí está F
2/5 altura por ancho vamos con el área
del
cuarto que sería de ancho
1/5 y de alto F de 3/5 nuevamente el
terminal izquierdo es el que me está
dando la la altura y vamos con el último
Entonces el último tiene un ancho de 1/5
otra vez y la altura me la dar la imagen
de un de
45 entonces ancho 1/5 por F de
4/5 ya
tenemos la suma de las cinco rectángulos
circunscritos ahora vamos a
desarrollarla entonces nuevamente
sacamos factor común
1/5 decimos que un quinto factor común
de los otros cinco términos como podemos
observar se repiten cada
término nuevamente vamos a escribir esta
sumatoria de forma más compacta con la
notación
Sigma ahora veamos que el argumento de
la
no
empieza en uno como anteriormente sino
empieza en cer0 y no llega hasta 5 sino
hasta 4 por lo tanto el ido término de
esa sumatoria veamos lo
siguiente cuando y es ig a 1 si
reemplazamos acá quedaría 1 - 1 y nos
daría el primer término c y cuando y
vale 5 entonces reemplazamos acá 5 - 1 4
y nos da el último
término de la sumatoria Entonces esta
sería nuestra forma de notación Sigma
para nuestra
sumatoria nuevamente nuestra función es
esta Entonces vamos a evaluar F de
1/5 por I - 1 en la
función Entonces es simplemente
sustituir la x por este
valor y obviamente nos queda que la
sumatoria de I empezando desde 1 hasta 5
va a ser todo este
término Vamos a continuar aquí
arriba Aquí vamos a separar la sumatoria
en dos
sumatorias entonces con el 1 me quedara
la sumatoria de 1 y el otro término
y esto me quedan dos sumatorias
distribuimos el exponente
dos en 1/5 y en y
-1 como pueden ver nos queda
así 1/5 cuadrado es 1 sobre 25 como es
una constante sale de la
sumatoria y -1 cuadrado desarrollamos El
Binomio Entonces nos queda el primero al
cuadrado menos dos veces el primero por
el segundo más el cuadrado del último o
sea
1 hacemos distributiva 1/5 * 5 y 1/5 por
1 sobre 25
Entonces 1/5 * 5 simplificamos el 5 y
nos da 1
1 * 1 1 5 * 25
125 ahora la sumatoria la abrimos en
tres
sumatorias le vamos a sacar la sumatoria
a i cuadrado la sumatoria a 2i y la
sumatoria a 1 queé nos quedaría de esta
forma este 2 nuevamente como es una
constante está de la sumatoria y solo me
queda el I dentro de la sumatoria que es
el que está
variando y aquí me queda la sumatoria de
uno que es una
constante continuamos en este
lado entonces para resolver cada una de
esas
sumatorias sus fórmulas son las
siguientes para I para una sumatoria de
I a la
do fórmula es esta que la vimos
anteriormente para una sumatoria de I es
esta que está acá y para una sumatoria
de una constante es esta que está acá la
constante por
n entonces Comencemos con la primera
sumatoria reemplazamos ese
5 por la
n y nos quedaría de esta forma 5 5 + 1 2
* 5 + 1
vamos con la segunda la sola sumatoria
en I Entonces reemplazamos el 5 en esta
fórmula 5 5 +
1 y esa c es este 1 entonces quedaría 5
por 1
5 5 + 1 2 * 5 10 + 1
11 5 + 1
6 simplificamos el 6 y nos quedaría 5 *
11
55 simplificamos este 2 con este
2 y nos quedaría 5 * 6 30
luego 55 - 30 25 + 5 30 aquí
está 30 * 1
30 sobre
25
sacamos quinta de 36 quinta de 125 5
Entonces nos queda 6 sobre 25
25 por una 25 -
619 sobre
25 y lo que nos queda es el área
aproximada de la suma superior por cinco
rectángulos
circunscritos en resumen el área de la
región de esta
región se encuentra entre 10 19 25
avos y 14 25 avos o sea entre 5
rectángulos de suma inferior y cinco
rectángulos de suma Superior
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Método: rectángulos CIRCUNSCRITOS | Área bajo la curva | Cálculo Integral
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