SUMAS DE RIEMANN
Summary
TLDREl guion del video explica conceptos fundamentales del cálculo integral, centrándose en las sumas de Riemann. Se describe cómo se calcula el área bajo una curva utilizando rectángulos, diferenciando entre sumas inferiores y superiores. Se enfatiza la importancia de la base constante de los rectángulos y cómo la altura varía según la función. El video utiliza Geogebra para ilustrar cómo mejorar la aproximación al área al aumentar el número de rectángulos, concluyendo que, con un número suficientemente grande, ambas metodologías de sumas son igualmente efectivas para determinar el área bajo la curva.
Takeaways
- 📚 El cálculo integral se utiliza para determinar el área bajo una curva o función.
- 📐 Las sumas de Riemann son una técnica para aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos.
- 🔢 Las sumas inferiores y superiores son dos métodos distintos para realizar estas aproximaciones.
- 📏 La base de los rectángulos en las sumas de Riemann debe ser la misma para todos, mientras que la altura varía según la función.
- 📉 Las sumas inferiores colocan los rectángulos por debajo de la curva, mientras que las superiores los colocan por encima.
- 🔍 A medida que aumenta el número de rectángulos, las aproximaciones se vuelven más precisas, acercándose más a la curva.
- 📝 El límite cuando n (número de rectángulos) tiende a infinito es fundamental para obtener una aproximación exacta del área.
- 📏 Delta x (Δx) representa la base de los rectángulos y se calcula como la diferencia entre los puntos a y b dividida por n.
- 📖 La fórmula para las sumas superiores y las inferiores incluye la suma de rectángulos, donde la base y la altura varían según la función y el intervalo.
- 🔄 Con un número suficientemente grande de rectángulos, tanto las sumas inferiores como superiores pueden determinar el área debajo de la curva con igual precisión.
Q & A
¿Qué es una suma de Riemann?
-Una suma de Riemann es una técnica utilizada en el cálculo integral para aproximar el área bajo la gráfica de una función en un intervalo dado. Se realiza sumando el producto de la base de los rectángulos (generalmente el intervalo dividido en subintervalos) y su altura correspondiente, que es el valor de la función en cierto punto.
¿Cuál es la diferencia entre sumas inferiores y sumas superiores en el contexto de las sumas de Riemann?
-Las sumas inferiores utilizan el valor mínimo de la función en cada subintervalo para calcular la altura de los rectángulos, mientras que las sumas superiores usan el valor máximo. Esto afecta la forma en que se aproxima el área bajo la curva, ya que las sumas inferiores tienden a ser menores y las superiores mayores que el área real.
¿Para qué sirven las sumatorias en el cálculo de las sumas de Riemann?
-Las sumatorias son fundamentales en el cálculo de las sumas de Riemann porque permiten sumar el área de un gran número de rectángulos, cada uno calculado con la base y la altura correspondientes. Esto es esencial para aproximar el área total bajo la curva cuando se aumenta el número de subintervalos.
¿Qué significa 'delta x' en el contexto de las sumas de Riemann?
-En el cálculo de las sumas de Riemann, 'delta x' (denotado como Δx) representa la longitud de la base de los rectángulos, que es el intervalo total dividido por el número de subintervalos (n). Cuanto más grande sea n, más pequeño será Δx, lo que conduce a una mejor aproximación del área.
¿Cómo se relaciona el número de rectángulos (n) con la precisión de la aproximación en las sumas de Riemann?
-A medida que aumenta el número de rectángulos (n), la base de cada rectángulo (Δx) disminuye, lo que lleva a una aproximación más precisa del área bajo la curva. Idealmente, cuando n tiende a infinito, las sumas de Riemann convergen al área exacta.
¿Qué es la fórmula general para calcular las sumas inferiores en el cálculo de Riemann?
-La fórmula general para las sumas inferiores es: Área = límite cuando n tiende a infinito de la suma desde i=1 hasta n de [f(x_i^*) * Δx], donde x_i^* es el punto de mínimo en el subintervalo y Δx es la longitud de la base del rectángulo.
¿Cuál es la fórmula general para calcular las sumas superiores en el cálculo de Riemann?
-La fórmula general para las sumas superiores es: Área = límite cuando n tiende a infinito de la suma desde i=1 hasta n de [f(x_i^**) * Δx], donde x_i^** es el punto de máximo en el subintervalo y Δx es la longitud de la base del rectángulo.
¿Por qué es importante que la base de los rectángulos sea la misma en todas las sumas de Riemann?
-Es crucial que la base de los rectángulos sea la misma en todas las sumas de Riemann porque esto garantiza que se estén considerando rectángulos uniformes a lo largo del intervalo, lo que permite una comparación justa y una suma coherente de las áreas.
¿Cómo se determina el punto de evaluación (x_i^* o x_i^**) para las alturas de los rectángulos en las sumas de Riemann?
-El punto de evaluación para las alturas de los rectángulos se determina dependiendo si se están calculando sumas inferiores o superiores. Para sumas inferiores, se toma el punto de mínimo en el subintervalo, y para sumas superiores, se toma el punto de máximo.
¿Cuál es la relación entre las sumas de Riemann y el concepto de integral definida en el cálculo?
-Las sumas de Riemann son la base conceptual para el cálculo de integrales definidas. La integral definida se obtiene tomando el límite de las sumas de Riemann cuando el número de rectángulos, n, tiende a infinito, lo que proporciona el área exacta bajo la curva en el intervalo considerado.
Outlines
📚 Introducción a las Sumas de Riemann
Este párrafo introduce el concepto de las sumas de Riemann, explicando su relación con el cálculo integral y su propósito principal, que es determinar el área debajo de una curva. Se menciona que el cálculo integral se ocupa de encontrar el área bajo una función dada, y para ello se utilizan sumas inferiores o superiores. Se describe la estrategia de usar rectángulos para aproximar el área, destacando la importancia de que la base de los rectángulos sea la misma para todos. Además, se introducen las fórmulas para calcular el área mediante sumas inferiores y superiores, y se menciona el uso de GeoGebra para ilustrar cómo estos métodos se aplican en la práctica.
🔍 Análisis de las Sumas de Riemann en el Cálculo Integral
En este párrafo se profundiza en el análisis de las sumas de Riemann, comparando las sumas inferiores y superiores para determinar el área bajo una función. Se ilustra cómo el uso de un mayor número de rectángulos mejora la aproximación al área real. Se discute la idea de que, a medida que aumenta el número de rectángulos, tanto las sumas inferiores como superiores se acercan al área exacta debajo de la curva. Se enfatiza la necesidad de un número infinito de rectángulos para obtener una aproximación perfecta. Además, se explican los términos y la lógica detrás de las fórmulas de las sumas de Riemann, incluyendo la definición de 'n' como el número de rectángulos y cómo se relaciona con la base y la altura de estos para calcular el área.
Mindmap
Keywords
💡Sumas de Riemann
💡Área bajo una curva
💡Sumas inferiores
💡Sumas superiores
💡Rectángulos
💡Delta x (Δx)
💡Límite
💡Función
💡Geogebra
💡Integral
Highlights
Definición de las sumas de Riemann y su propósito.
Relación de las sumas de Riemann con el cálculo integral y el área bajo curvas.
Explanación de las sumas inferiores y superiores en el contexto de las sumas de Riemann.
Importancia de la base de los rectángulos en las sumas de Riemann.
Diferencia entre las sumas inferiores y superiores en términos de la altura de los rectángulos.
Método para determinar el área con sumas inferiores y su fórmula correspondiente.
Método para determinar el área con sumas superiores y su fórmula correspondiente.
Explicación de la variable delta x en el cálculo de las sumas de Riemann.
Importancia de la sumatoria en las fórmulas de las sumas de Riemann.
Uso de GeoGebra para visualizar las sumas inferiores y superiores.
Comparación de las aproximaciones de área con diferentes cantidades de rectángulos.
Explicación de por qué es recomendable un número infinito de rectángulos para una mejor aproximación.
Análisis de la igualdad entre las sumas inferiores y superiores cuando el número de rectángulos es suficientemente grande.
Detalles de la fórmula para las sumas superiores y su interpretación.
Explicación de la variable n en la fórmula de las sumas de Riemann y su significado.
Importancia de la base y la altura en la fórmula de las sumas de Riemann.
Conclusión sobre la equivalencia de las sumas inferiores y superiores para determinar el área debajo de una curva.
Transcripts
qué tal chicos pues ya estamos de
regreso y ahora vamos a abordar el tema
de las sumas de riman
qué son las sumas de riman y para qué
nos van a servir bueno pues ya habíamos
hablado que el cálculo integral trata de
determinar o el problema geométrico del
cálculo integral trata acerca de
determinar el área debajo de una curva
debajo de una función entonces
hablando de las sumatorias o las sumas
de riman dice que sea una función
fx definida en el intervalo ab el
intervalo cerrado a ver el área a bajo
la gráfica de fx en ese intervalo se
obtiene a través de sumas inferiores o
superiores qué quiere decir eso bueno
pues aquí tenemos una función que está
con rojo
y nos dice que el área debajo de esta
curva la podemos encontrar ya sea con
sumas inferiores o con sumas superiores
ya habíamos hablado anteriormente de que
la estrategia para determinar el área
bajo una curva era a través de
rectángulos noten algo súper importante
algo muy importante es que la base de
los rectángulos siempre tiene que ser la
misma de todos si en este caso en esta
figura ha colocado cuatro rectángulos y
todos tienen la misma base que es lo que
varía pues la altura evidentemente estos
dos rectángulos tienen la misma altura
pero este ya no y este ya no de que
depende la altura pues de la función
ahorita vamos a hablar puntualmente
acerca de esto pero pues hay dos formas
ya sea sumas inferiores o sumas
superiores
la expresión que te permite determinar
el área con sumas inferiores aquí está
la expresión o la fórmula que te permite
determinar el área con las sumas
superiores aquí está donde el delta x es
la base del rectángulo y se obtiene de
menos a sobre n ahorita vamos a hablar
acerca de eso así que entonces por lo
pronto debes de entender que hay dos
maneras de determinar esta área con
respecto a lo que se denomina como sumas
sumatorias ok ende si te fijas en ambas
expresiones está el simbolito de la
sumatoria por eso fue importante ver el
tema de las sumatorias primero porque
nos van a servir para determinar el área
debajo de una curva ok entonces ahorita
vamos a ver acerca dél geogebra y cómo
nos va ayudar álgebra para explicar esto
así que bueno estamos ya en el geogebra
y he colocado aquí la misma función que
viste en la diapositiva anterior y aquí
en la izquierda ha colocado sus más
inferiores en la derecha sumas
superiores porque se llaman sumas
inferiores bueno fíjate lo que sucede
cuando yo coloco unos rectángulos aquí
si coloco un rectángulo en sumas
inferiores el rectángulo está por debajo
de la función si coloco un rectángulo en
sumas superiores queda por encima de la
función recuerda que en cálculo integral
lo que nos interesa es determinar el
área debajo de la función entonces por
ejemplo si utilizo un rectángulo pues es
una aproximación pero fíjate esta área
blanca aún le falta y le falta este
pedacito de área blanca un rectángulo no
es suficiente si utilizo un rectángulo
de las sumas superiores pues si abarca
el área pero se pasa toda esta parte de
aquí no me interesa porque lo que me
interese es lo que está debajo entonces
en sumas inferiores nos falta área en
sumas superiores no sobra área si
aumentamos este número
a 2
fíjate que es una mejor aproximación ya
queda menos espacio en blanco si
aumentamos aquí a 2 pues es una mejor
aproximación porque ya nos quitó este
espacio de la que estaba pintado es una
mejor aproximación pero sigue habiendo
exceso de área y aquí sigue habiendo un
déficit de área entonces si yo aumento
por ejemplo digamos a 4 y aumentó a 4
acá
entonces tenemos todavía una mejor
aproximación es decir entre mayor número
de rectángulos tenga pues evidentemente
va a ser mejor mi aproximación entre
mayor número de rectángulos tenga pues
va a ser mejor mi aproximación cuanto
rectángulo serio recomendable 10 20 50
pues lo recomendable es que tengas un
número infinitamente grande de
rectángulos porque entre mayor número de
rectángulos estarás cubriendo mayor
parte del área por ejemplo sea que
aumentamos fíjate aumentamos aumentamos
aumentamos y siempre va a haber
huequitos pero es por esa razón que
debemos tener muchísimos rectángulos
para que el área casi sea cubierta en su
totalidad
igual de este lado
va a haber va a haber un exceso de área
pero entre más aumentemos los
rectángulos más se van a ajustar hacia
la curva que nos interesa cuál de las
dos es mejor cuando el número de
rectángulos es lo suficientemente grande
las dos son iguales de acuerdo no es que
una sea mejor que la otra las dos son
iguales porque te permiten determinar el
área debajo de la curva que es lo que
nos interesa ahora
vamos a
a continuar con la explicación de las
fórmulas y te decía voy a colocar aquí
la expresión de las de la sumatoria de
las superiores por ejemplo y vamos a
explicar cada una de ellas
entonces pues aquí he colocado la imagen
que les mostraba nada más solamente la
parte de las sumas superiores y aquí la
expresión de como determinar el área que
está debajo de la curva voy a explicar
de qué se trata cada término para dejar
un poco más en claro
qué dice esta expresión por qué está tan
tan complicada con tantas letras qué es
lo que quiere decir bueno
pues sucede
dice el área es igual al límite cuando n
tiende a infinito pero quien es n n es
el número de rectángulos que van a
formar el área por eso dice que n tiende
al infinito porque entre mayor sea el
número de rectángulos mejor va a ser la
aproximación del área por un lado eso es
dice cuando n tiende al infinito de
quien de la sumatoria desde igual con 1
hasta n que es porque aparece aquí la
sumatoria pues porque lo que quiero es
sumar las áreas las áreas de cada uno de
estos rectángulos quien es esto porque
aparece este paréntesis pues porque esto
es la base
estévez - a es la base se supone que
este es el el punto a este es el punto b
entonces ve - a es la distancia que hay
desde aquí hasta acá y entre n porque
vamos a dividir en n cantidad de
rectángulos si este intervalo lo vamos a
dividir en n cantidad de rectángulos
porque dice esta parte de f de a más y
delta x ésta es la altura
esta es la altura y va a estar
determinada pues por la función cada
rectángulo por ejemplo en este punto
porque este rectángulo está así de alto
pues porque se tomó como referencia este
punto este rectángulo porque está así de
alto pues porque se tomó como referencia
este punto este rectángulo porque está
así de alto pues porque se tomó como
referencia este punto este rectángulo
por qué porque se tomó como referencia a
este punto entonces
el área
el límite cuando n tiende a infinito
porque nos interesa que sean muchísimos
rectángulos porque aparece esta
expresión porque esto es la base por que
aparece esta expresión porque esto es la
altura la altura está definida o está
limitada o definida por la función que
estamos analizando entonces es una suma
de áreas de áreas de rectángulos por eso
es base por altura entonces
a grosso modo esa es la explicación de
esta expresión la expresión que tiene
que ver con las sumas inferiores es muy
similar sí así que lo que vamos a hacer
a continuación
es precisamente sumatoria de rectángulos
de muchísimos rectángulos para
determinar el área debajo de una curva
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