Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 1

Matemáticas con Orozco

22 Sept 202008:43

Summary

TLDREn este video, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de aproximar el área bajo una curva utilizando el método de rectángulos. Selecciona un intervalo de 0 a 6 y coloca rectángulos de base de dos unidades, asegurándose de que la altura de cada rectángulo intersecte la curva en su centro. Evalúa la función en puntos clave para determinar las alturas y luego calcula el área de cada rectángulo. Finalmente, suma las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva en el intervalo seleccionado, demostrando un enfoque práctico para entender integrales y cálculos de áreas.

Takeaways

📊 El objetivo del ejercicio es aproximar el área bajo la curva de una función específica.
📈 Se utiliza el método de rectángulos para calcular el área, eligiendo un intervalo de 0 a 6.
🔲 Se inscribieron rectángulos en la gráfica con una base de 2 unidades y alturas variadas.
📐 La altura de cada rectángulo se determina cruzando la parte central de la gráfica con la función dada.
✏️ Se evalúa la función en puntos clave (1, 3, 5) para determinar las alturas de los rectángulos.
🔢 Las alturas se calculan utilizando la fórmula dada en el guion, que es 3 + 0.2x^2.
📝 Se realizan operaciones algebraicas para encontrar las alturas de los rectángulos: 3.2, 4.8 y 8 unidades.
📋 Se multiplica la base de los rectángulos (2 unidades) por sus alturas correspondientes para obtener sus áreas.
📊 El área total se calcula sumando las áreas de los tres rectángulos: 6.4, 9.6 y 16 unidades cuadradas.
🎯 El resultado final es una aproximación del área bajo la curva que se estima en 32 unidades cuadradas.

Q & A

¿Qué método se utiliza para aproximar el área bajo la curva en el ejercicio descrito?
-Se utiliza el método de rectángulos para aproximar el área bajo la curva.
¿Cuál es el intervalo que se elige para calcular el área bajo la curva?
-El intervalo elegido para calcular el área es desde 0 hasta 6.
¿Cómo se deciden las posiciones de los rectángulos en la gráfica?
-Los rectángulos se inscriben en la gráfica de tal manera que sus lados verticales corten la curva en el centro de su base.
¿Cuál es la base de los rectángulos utilizados en el método?
-La base de los rectángulos es de dos unidades.
¿Cómo se calcula la altura de cada rectángulo?
-La altura de cada rectángulo se calcula evaluando la función en el punto central de la base del rectángulo.
¿Cuál es la función que se evalúa para determinar la altura de los rectángulos?
-La función que se evalúa es 3 + 0.2x^2.
¿Cuál es el resultado de evaluar la función en el punto 1 para calcular la altura del primer rectángulo?
-El resultado de evaluar la función en el punto 1 es 3.2, que es la altura del primer rectángulo.
¿Cuál es el área del primer rectángulo que se calcula?
-El área del primer rectángulo es 6.4 unidades cuadradas, que se obtiene multiplicando la base de 2 unidades por la altura de 3.2.
¿Cuál es el área total aproximada bajo la curva utilizando los tres rectángulos?
-La área total aproximada bajo la curva es de 32 unidades cuadradas, que se obtiene sumando las áreas de los tres rectángulos.
¿Cómo se sugiere mejorar la aproximación del área bajo la curva si se quisiera hacer más precisa?
-Para mejorar la aproximación, se podrían utilizar más rectángulos con bases más pequeñas, distribuidos de manera más密集 a lo largo del intervalo.

Outlines

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📏 Aproximación del Área Bajo una Curva

En el primer párrafo, se explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando el método de rectángulos. El presentador decide inscribir rectángulos de dos unidades de ancho en la gráfica de la función. Describe cómo colocar los rectángulos para que sus alturas se cruzen en la parte central de la gráfica, lo que representa una mejor aproximación. Luego, procede a calcular las alturas de los rectángulos evaluando la función en los puntos centrales de los intervalos seleccionados y multiplica estas alturas por la base de dos unidades para obtener el área de cada rectángulo. Finalmente, suma las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva en el intervalo de 0 a 6.

05:04

📐 Cálculo de Áreas y Resultado Final

En el segundo párrafo, se continúa con el cálculo del área bajo la curva. El presentador evalúa la función en los puntos clave (1, 3 y 5) para determinar las alturas de los rectángulos. Aplica la fórmula de área del rectángulo (base por altura) para cada uno de los tres rectángulos y luego suma los resultados para obtener el área total. El cálculo se detalla paso a paso, mostrando las operaciones matemáticas y los resultados intermedios. Al final, se obtiene un área total de 32 unidades cuadradas como aproximación del área bajo la curva en el intervalo de 0 a 6. El video concluye con un llamado a la audiencia para que den like si les gustó el contenido y se anuncia que en el próximo video se explorarán más temas similares.

Mindmap

Keywords

💡Aproximación del área

La aproximación del área se refiere al proceso de calcular el área bajo una curva a través de métodos numéricos. En el video, se utiliza el método de rectángulos para aproximar el área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Este concepto es fundamental para entender cómo se aproxima el área cuando no es posible calcularla de manera analítica.

💡Método de rectángulos

El método de rectángulos es una técnica numérica para estimar el área bajo una curva. Consiste en dividir el intervalo en subintervalos y usar rectángulos para aproximar la área bajo la curva en cada subintervalo. En el guion, se menciona que se inscribirá rectángulos de dos unidades de base para aproximar el área, mostrando cómo se aplican estos rectángulos en la gráfica de la función.

💡Rectángulos inscritos

Los rectángulos inscritos son aquellos que se colocan debajo de la curva de la función en el intervalo de interés, con la intención de aproximar el área bajo la curva. En el video, el locutor describe cómo inscribir rectángulos de dos unidades de ancho y cómo la altura de cada rectángulo se determina por el valor de la función en el punto central del intervalo correspondiente.

💡Base y altura de los rectángulos

La base de los rectángulos se refiere al intervalo horizontal de dos unidades que se utiliza para inscribir los rectángulos, mientras que la altura corresponde al valor de la función en el punto medio de ese intervalo. En el guion, se calcula la altura de cada rectángulo evaluando la función en puntos específicos, como 1, 3 y 5, para luego multiplicar por la base de dos unidades.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el video, la función se utiliza para evaluar la altura de los rectángulos en puntos específicos, lo que es crucial para calcular la aproximación del área bajo la curva.

💡Área de los rectángulos

El cálculo del área de los rectángulos es un paso clave en el método de rectángulos. Se calcula multiplicando la base por la altura de cada rectángulo. En el guion, se detalla cómo se calcula el área de tres rectángulos individuales, obteniendo valores como 6.4, 9.6 y 16 unidades cuadradas respectivamente.

💡Sumatoria

La sumatoria es el proceso de sumar una serie de términos. En el contexto del video, se utiliza para agregar el área de los tres rectángulos individuales y obtener el área total aproximada bajo la curva. El resultado de la sumatoria da como resultado un valor total de 32 unidades cuadradas.

💡Intervalo

El intervalo en matemáticas se refiere a un rango de valores dentro del cual se realiza un cálculo o análisis. En el video, el intervalo de 0 a 6 es donde se realiza la aproximación del área bajo la curva, y es crucial para entender el dominio en el que se aplica el método de rectángulos.

💡Unidades cuadradas

Las unidades cuadradas son una medida de área que indica el tamaño de un espacio en dos dimensiones. En el video, se utiliza la medida 'unidades cuadradas' para expresar el área calculada bajo la curva, sin especificar una unidad de medida concreta como metros cuadrados o pulgadas cuadradas.

💡Gráfica

Una gráfica es una representación visual de datos, en este caso, la función y los rectángulos inscritos. En el guion, la gráfica se utiliza para visualizar la función y cómo los rectángulos son inscritos debajo de la curva, siendo fundamental para entender el proceso de aproximación del área.

Highlights

El ejercicio consiste en aproximar el área bajo una curva usando el método de rectángulos.

Se elige un intervalo de 0 a 6 para calcular el área bajo la curva.

Se decide utilizar rectángulos de base de dos unidades para la aproximación.

Se inscribirán rectángulos de dos unidades de ancho en la gráfica de la función.

Se sugiere colocar la altura de los rectángulos en la parte central de la gráfica para una mejor aproximación.

Se describe el proceso de trazado de líneas para delimitar los rectángulos en la gráfica.

Se explica cómo se determina la altura de los rectángulos a partir de la función dada.

Se calcula la altura del primer rectángulo evaluando la función en el punto 1.

Se calcula la altura del segundo rectángulo evaluando la función en el punto 3.

Se calcula la altura del tercer rectángulo evaluando la función en el punto 5.

Se multiplica la base de los rectángulos por sus alturas correspondientes para obtener el área de cada uno.

Se suman las áreas de los tres rectángulos para obtener la aproximación total del área bajo la curva.

Se obtiene un resultado aproximado de 32 unidades cuadradas para el área bajo la curva en el intervalo de 0 a 6.

Se menciona que la unidad de medida para el área es 'unidades cuadradas' sin especificar una medida lineal concreta.

Se invita a los espectadores a dar like al vídeo si les gustó el contenido.