Derivar desde cero.

Summary

Este video ofrece una explicación detallada sobre el cálculo de derivadas en cálculo diferencial. Se cubren las reglas fundamentales como la derivada de potencias, las derivadas de funciones trigonométricas, la regla del producto, la regla de la cadena, y el manejo de funciones exponenciales y logaritmos. Se profundiza en cómo aplicar cada una de estas reglas, con ejemplos prácticos para derivar expresiones complejas. También se exploran derivadas más avanzadas como las de funciones inversas y logaritmos en distintas bases. Un recurso completo para estudiantes que deseen entender y practicar la derivación.

Takeaways

• 😀 La derivada de una potencia de x se calcula multiplicando el exponente por el coeficiente de x y restando 1 al exponente.
• 😀 La derivada de una constante es siempre 0. Por ejemplo, la derivada de 7 o 30 es 0.
• 😀 La derivada de x elevado a n es n por x elevado a n-1, lo cual es una fórmula fundamental en el cálculo de derivadas.
• 😀 La derivada de una suma es la suma de las derivadas de los términos. Esto se aplica también a expresiones polinómicas.
• 😀 Para derivar un producto de funciones, se utiliza la regla del producto: derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo.
• 😀 La derivada de un cociente de funciones sigue la regla del cociente: derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo sobre el cuadrado del denominador.
• 😀 La derivada de funciones trigonométricas básicas son: la derivada de seno es coseno, la derivada de coseno es -seno, y la de tangente es 1 + tangente al cuadrado o 1/coseno al cuadrado.
• 😀 La regla de la cadena se aplica cuando se tiene una función compuesta, como seno de 2x. La derivada se obtiene derivando la función externa e multiplicando por la derivada de la función interna.
• 😀 La derivada de la función exponencial con base e (e^x) es simplemente e^x, pero si la base es diferente, se multiplica por el logaritmo neperiano de la base.
• 😀 La derivada de una raíz cuadrada de x es 1/(2√x), que es equivalente a derivar x^(1/2).
• 😀 La derivada de logaritmos en base a sigue la fórmula 1/(x * ln(a)), y se debe aplicar la regla de la cadena cuando se tiene una función compuesta dentro del logaritmo.

Q & A

¿Cómo se deriva una potencia en términos generales?

Para derivar una potencia de la forma x^n, multiplicamos el exponente n por la base x y restamos 1 al exponente. Es decir, la derivada de x^n es n * x^(n-1).

¿Cuál es la derivada de una constante?

La derivada de una constante es siempre cero. Esto se debe a que las constantes no varían, por lo que su tasa de cambio es nula.

¿Qué pasa cuando se deriva una función lineal como 2x?

La derivada de una función lineal como 2x es simplemente el coeficiente de x, es decir, la derivada de 2x es 2.

¿Cómo se deriva un producto de dos funciones?

La derivada de un producto de dos funciones f(x) y g(x) se obtiene mediante la regla del producto: derivada(f) * g + f * derivada(g).

¿Cómo se deriva un cociente de dos funciones?

La derivada de un cociente de dos funciones f(x) y g(x) se obtiene mediante la regla del cociente: (derivada(f) * g - f * derivada(g)) / g^2.

¿Cuál es la derivada de funciones trigonométricas como el seno o el coseno?

La derivada del seno de x es el coseno de x, y la derivada del coseno de x es el negativo del seno de x. La derivada de la tangente de x es 1 + tangente^2(x) o 1/coseno^2(x).

¿En qué consiste la regla de la cadena?

La regla de la cadena se aplica cuando una función está compuesta, es decir, cuando se tiene una función dentro de otra. Se deriva la función exterior como si fuera independiente, y luego se multiplica por la derivada de la función interior.

¿Cómo se deriva una función exponencial como e^x?

La derivada de la función exponencial e^x es simplemente e^x. Si la base es otro número como 7, la derivada será 7^x * ln(7).

¿Cómo se deriva una raíz cuadrada?

La derivada de una raíz cuadrada de x (es decir, √x) es 1 / (2√x). Esto se obtiene reescribiendo la raíz como x^(1/2) y aplicando la regla de las potencias.

¿Cuál es la derivada de un logaritmo neperiano?

La derivada del logaritmo neperiano de una función es 1 / la función. Si la función es 2x, la derivada es 1 / (2x). Si la función es algo más complejo, se aplica la regla de la cadena.