Derivadas parciales Introducción
Summary
TLDREl guía ofrece una introducción al concepto de derivadas parciales, explicando que son y cómo se calculan en comparación con las derivadas de una sola variable. Se enfatiza la importancia de mantener constantes las demás variables al derivar una función de varias variables. Se proporcionan ejemplos y se practica la notación de las derivadas parciales, destacando las distintas formas de escribirlas y cómo se aplican en el cálculo vectorial y la geometría diferencial.
Takeaways
- 📘 Las derivadas parciales son utilizadas en cálculo vectorial y geometría diferencial, y son derivadas de funciones de varias variables.
- 🔑 Una función de varias variables tiene múltiples letras y variables, como fx y gy, mientras que una función de una variable solo tiene una, como fx.
- 📐 Se derivan funciones de varias variables con respecto a una sola variable, manteniendo las demás constantes.
- 📌 La notación de las derivadas parciales se diferencia de la de una sola variable, usando la letra '∂' para indicar que es una derivada parcial.
- 📝 Cuando se derivan funciones de una sola variable, las constantes se dejan de lado y se multiplican por la derivada de la variable.
- 📑 Se pueden escribir las derivadas parciales de diferentes maneras, como '∂f/∂x', 'df/dx' o 'f_x'.
- 🔍 Es importante recordar que en las derivadas parciales, las variables que no se derivan se consideran constantes.
- 📈 Se pueden realizar derivadas de segundo orden, derivando dos veces la función con respecto a la misma variable o a diferentes variables.
- 📒 Se pueden derivar funciones con respecto a diferentes variables en diferentes ordenes, lo que puede dar resultados diferentes.
- 🎓 El vídeo ofrece ejercicios prácticos para que el estudiante aplique los conceptos aprendidos sobre derivadas parciales.
Q & A
¿Qué es lo que se busca enseñar en el curso de derivadas parciales mencionado en el guion?
-El curso busca enseñar el concepto de derivadas parciales, que son derivadas de funciones de varias variables, y cómo se aplican en áreas como el cálculo vectorial y la geometría diferencial.
¿Cuál es la diferencia fundamental entre las derivadas parciales y las derivadas ordinarias?
-Las derivadas parciales son utilizadas en funciones de varias variables, y se calculan manteniendo todas las demás variables constantes, mientras que las derivadas ordinarias se aplican a funciones de una sola variable.
¿Cómo se indica que una función depende de varias variables?
-Se indica utilizando múltiples letras, como en el ejemplo f(x, y), donde f es la función y x e y son las variables independientes.
¿Cuál es el propósito de las derivadas parciales en el cálculo vectorial y la geometría diferencial?
-Las derivadas parciales son útiles para entender cómo varía una función en relación con una sola variable, manteniendo las demás constantes, lo cual es crucial en el cálculo vectorial y la geometría diferencial.
¿Cómo se escribe la derivada de una función con respecto a una variable específica?
-Se escribe utilizando la letra de la variable con respecto a la cual se está derivando, por ejemplo, ∂f/∂x o f_x', donde f es la función y x es la variable.
¿Qué significa la letra grec 'nabla' en el contexto de las derivadas parciales?
-La letra grec 'nabla' (∇) se utiliza como un símbolo para representar las derivadas parciales, indicando que se trata de una derivada con respecto a varias variables.
¿Cuál es la forma más común de escribir la derivada parcial de una función de dos variables con respecto a una de ellas?
-La forma más común es utilizando la letra grec 'nabla' y la letra de la variable con respecto a la cual se derivará, como ∂f/∂x.
¿Cómo se calcula la derivada parcial de una constante por una variable?
-La derivada parcial de una constante por una variable es cero, ya que una constante no varía con respecto a ninguna variable.
¿Qué se debe recordar al derivar una función de varias variables con respecto a una sola variable?
-Se debe recordar que las demás variables se mantienen constantes y no se derivan.
¿Cómo se indica que se está derivando una función dos veces con respecto a la misma variable?
-Se indica utilizando el símbolo de derivada parcial repetidamente, como ∂²f/∂x², para indicar que se derivó dos veces con respecto a x.
¿Cuál es la importancia de saber todas las formas de escribir la derivada parcial en el guion?
-Es importante conocer todas las formas de escribir la derivada parcial porque cada texto o instructor puede preferir una u otra, y entender estas notaciones ayuda a la comprensión y aplicación correcta del concepto.
Outlines
📘 Introducción a las derivadas parciales
El primer párrafo introduce el tema del curso de derivadas parciales. Se explica que las derivadas parciales son utilizadas en el cálculo vectorial y la geometría diferencial. Se menciona que estas derivadas se aplican a funciones de varias variables, donde la función depende de múltiples variables independientes. Se hace una comparación entre funciones de una variable y funciones de varias variables, destacando que en las derivadas parciales, se toma la derivada con respecto a una sola variable manteniendo las demás constantes. Se invita a los estudiantes a seguir el curso para comprender mejor este concepto.
📗 Explicación de las derivadas parciales y notación
En el segundo párrafo, se profundiza en cómo se escriben las derivadas parciales y la importancia de la notación correcta. Se explica que las derivadas parciales se diferencian de las derivadas de una sola variable en la forma de escritura. Se aborda cómo derivar una función de varias variables con respecto a una sola variable, manteniendo las demás constantes. Se presentan diferentes formas de notar las derivadas parciales y se enfatiza la necesidad de aclarar con respecto a qué variable se está derivando. Se invita a los estudiantes a realizar un ejercicio para practicar la escritura de derivadas parciales.
📙 Ejercicio práctico de derivadas parciales
El tercer párrafo presenta un ejercicio práctico para que los estudiantes apliquen lo aprendido sobre derivadas parciales. Se les pide que escriban la derivada de una función con respecto a una variable dada, utilizando las distintas formas de notación aprendidas. Se explica con detalle cómo se derivan términos constantes y variables en una función de varias variables. Se enfatiza la importancia de recordar que las constantes no cambian durante la derivación y cómo se manejan en el proceso de derivación.
📕 Conclusión y ejercicio adicional
El cuarto y último párrafo concluye el tema con un ejercicio adicional para que los estudiantes practiquen la derivada con respecto a otra variable. Se resalta la importancia de recordar que en la derivada, las variables no mencionadas se consideran constantes. Se ofrece un desafío para que los estudiantes calculen la derivada de una función específica y se anima a suscribirse al canal y a likear el vídeo si les gustó el contenido. El profesor también alienta a los estudiantes a comentar, compartir y, si están preparándose para una tarea o evaluación, les desea éxito.
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Keywords
💡Derivadas Parciales
💡Funciones de Varias Variables
💡Constantes
💡Operaciones
💡Notación
💡Variables Independientes
💡Derivada de una Variable
💡Ejercicios
💡Funciones de Una Variable
💡Curso de Derivadas Parciales
Highlights
Curso de derivadas parciales introductorio.
Definición de derivadas parciales de una función de varias variables.
Importancia de mantener constantes las demás variables al derivar parcialmente.
Comparación entre funciones de una variable y funciones de varias variables.
Ejemplos de funciones de una variable y su derivación.
Ejemplos de funciones de varias variables y cómo se derivan parcialmente.
Diferentes formas de notar las derivadas parciales.
La letra de Jacob (∂) como símbolo para derivadas parciales.
Proceso de derivación de una constante por una variable.
Derivación de una función de dos variables con respecto a una sola variable.
Ejercicio práctico para escribir la derivada de una función con respecto a una variable.
Diferenciación entre derivar con respecto a una variable y con respecto a otra.
Ejercicio de derivación con respecto a y de una función de dos variables.
Uso de la notación de derivadas parciales en ejercicios.
Importancia de la notación y el proceso de derivación en ejercicios de cálculo.
Ejercicio final para practicar la derivación parcial.
Invitación a suscribirse y apoyar el canal.
Conclusión del curso introductorio de derivadas parciales.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de derivadas
parciales y ahora realizaremos una
pequeña introducción a este tema
[Música]
i
[Música]
primero que todo pues vamos a ver qué
son las derivadas parciales no esto es
un concepto muy pequeño si de pronto en
otro vídeo vamos a ver concretamente qué
son las derivadas parciales y aquí
solamente vamos a ver un concepto
pequeño como les digo una derivada
parcial en derivadas parciales de una
función de varias variables bueno ya les
voy a explicar todo esto detenidamente
no una función de varias variables
obviamente para que sea una derivada
parcial pues tiene que ser en una
función de varias variables o sea
funciones que tienen varias letras y
varias variables es su derivada respecto
de una de esas variables y como hay
varias se va a derivar con respecto a
una sola con las otras manteniéndose
constantes esto es muy importante y algo
que debemos tener bien claro las otras
variables se mantienen constantes bueno
ya lo vamos a ver con ejemplos si para
qué sirven las derivadas parciales o las
derivadas parciales en que se usan son
útiles en el cálculo vectorial muy
probablemente si ustedes están viendo
este curso es porque están viendo
cálculo vectorial o geometría
diferencial entonces para empezar a
comprender este tema pues primero que
todo quiero comparar funciones de varias
variables con funciones de una variable
o funciones un y variables y una
variable perdón generalmente las
funciones de una variable que son las
que habíamos visto hasta el momento pues
son funciones de este tipo por ejemplo f
x igual y aquí pues obviamente como aquí
dice f x quiere decir que la función que
vamos a escribir aquí depende de la
letra x o sea solamente vamos a
encontrar la letra x por ejemplo 3 x al
cuadrado más 5 x menos 2 esa es una
función una variable por qué porque aquí
solamente encontramos una letra si
algunas veces en algunas ecuaciones uno
encuentra diferentes letras pero esas
otras letras toman algunos valores nada
más entonces no serían variables sino
serían constantes bueno otra función que
bueno ya saben ustedes que aquí en lugar
de fx podemos escribir
que sería la variable dependiente y
estas son las variables independientes
bueno otra función que ya le voy a dar
otro nombre obviamente gtx acordémonos
que la f simplemente quiere decir la
función se llama f si de x que quiere
decir que la variable es la letra x lo
mismo aquí la función simplemente yo le
di otro nombre pues porque aquí voy a
escribir otra función en este caso la
función se llama g y también tiene la
variable x entonces aquí vamos a
encontrar la variable x por ejemplo seno
de 2 x más 1 por ejemplo sí entonces
bueno aquí a veces uno le hace un
paréntesis para aclarar que el ángulo
del seno es 2x y entonces aquí tenemos
dos funciones 1 y variables no no se
confundan con esto no acordémonos 15 no
pues eso son letras pero esto es una
operación no no son variables sino
simplemente la operación seno bueno no
se confundan con eso esto es lo que
habíamos visto hasta el comienzo que
obviamente no es lo que vamos a ver
ahora porque ahora vamos a ver funciones
de varias variables o sea ya no va a ser
solamente
variable x sino otras variables dos o
tres o cuatro o cinco variables ahora
veamos algunos ejemplos de funciones de
varias variables entonces las funciones
se pueden llamar como uno quiera
generalmente se llaman con una letra por
ejemplo nuevamente pues por lo que es lo
más usado voy a llamar la función f
en este caso ésta efe que esta función f
que voy a escribir va a tener dos
variables por ejemplo va a tener la
variable x y la variable y si se escribe
así función en este caso es de dos
variables que quiere decir que esta
función que yo voy a escribir aquí pues
tiene la variable xy la variable y sí
entonces por ejemplo 3 x al cuadrado más
2 x y menos llegue al 4 si esta es una
función de dos variables no nos
confundamos con la que estaba aquí en
las funciones una variable no porque
ésta es una variable independiente y
esta es otra variable independiente sí y
aquí pues está la función que depende de
esas variables bueno
otra función voy a llamarla a la función
h la función h que en este caso voy a
escribirla con más variables voy a
escribir por ejemplo la variable x bueno
generalmente uno escribe la equis y la
ye pues porque es lo más usado pero
recuerden que las variables pues no
importa qué letra tengan si simplemente
se sabe que son variables aquí voy a
escribir la variable x la variable i y
la variable set si qué quiere decir esto
que aquí voy a encontrar esas tres
variables listos entonces funciona con
estas tres variables 5x cuadrado menos 3
y el cuadrado más seno de set por
ejemplo si miren que hizo una función en
la que encontramos esas tres variables
bueno aquí podríamos por ejemplo
agregarle más cinco o más cinco cuartos
o más lo que sea lo importante es que se
reconocen y quiero que vayamos viendo la
notación se reconoce que es una función
de varias variables aquí lo dice cuántas
variables va a tener y pues aquí en la
función también encontraremos esas
mismas variables y para avanzar un
poquito más en el tema que quiero que
veamos
cómo se escriben las derivadas y por qué
las derivadas parciales ya obviamente no
se van a escribir igual que las
derivadas de una sola variable no
entonces primero que todo bueno
recordemos cómo se hacían las derivadas
de una sola variable por ejemplo si
tenemos la función fx igual a 3x al
cuadrado más 5 sigue una fase para
hallar la derivada pues simplemente
escribimos la f derivada de x sí
efe prima de equis y acordémonos miren
voy a hacer esta derivada de espacio
para que y aclarando todo porque pues
generalmente uno se salta pasos en este
tipo de derivadas tan sencillas pero voy
a explicarles cómo es que hacíamos estas
derivadas porque esto es clave para
hacer las derivadas parciales
acordémonos que por ejemplo aquí miren
que aquí tenemos una constante por una
variable cuidado con esto de constantes
acordémonos que para derivar esto
simplemente se dejaba la constante y se
multiplica por la derivada de la
variable si este paso uno se lo saltaba
así como se deriva esto pues bajando el
exponente y restándole uno pues espero
que ustedes ya lo sepan bien porque pues
en este tema ya lo deben saber no más
esto es otra constante pero en este caso
es una constante sola no tiene variables
como se deriva una constante la derivada
de la constante sería cero si esto es
clave para lo que vamos a ver más
adelante no cómo se derivaba una
variable pero simplemente se escribía f
prima sí por qué pues porque como
solamente tenía una variable pues ceder
a esa variable o con respecto a esa
variable pero cuando tenemos más de una
variable como es lo que vamos a ver
ahora cómo se escriben las derivadas por
ejemplo escribamos primero que todo una
función una función que se hoy vas a
llamar otra vez
efe de equis de las variables xy y pues
aquí voy a escribir las variables 3x al
cuadrado bueno a mí me gusta mucho es x
al cuadrado más 5x y menos 7 y al
cuadrado más 1 por ejemplo si si tenemos
esta función de varias variables en este
caso son dos como se escribiría la
derivada para escribir la derivada
debemos aclarar con respecto a cuál de
las letras se va a derivar porque como
lo vimos en el texto que les escribe el
comienzo se deriva con respecto a una
sola variable y las otras en ese caso
permanecen constantes entonces por
ejemplo supongamos que quiero derivar
con respecto a x como se escribe que
esto lo quiero derivar con respecto a x
hay varias formas de escribir lo primero
que bueno primera no no es que sean en
orden sino
les voy a decir una
en primera posición no entonces se
escribe derivada de la función f bueno
algo que quiero aclararles es que esta
letra ya la escribo muy fea sí porque la
letra verdadera pues más bien aquí se
las dejo es ésta así que obviamente
miren la que está más bonita que esa que
estoy haciendo yo esta letra se llama la
de de jacob y que se usa pues como para
simbolizar que son derivadas parciales y
generalmente no hacemos una de normal si
no hacemos este tipo de de nox entonces
voy a derivar la función f con respecto
a cuál letra pues entonces aquí en el
denominador escribimos la letra por
ejemplo voy a derivar lo con respecto a
la letra x si que quiere decir que voy a
derivar con respecto a x y que entonces
la va a permanecer constante otra forma
de escribir este tipo de derivadas no
estoy derivando solamente les estoy
escribiendo las diferentes formas de
escribir la derivada con respecto a x
otra forma sería escribir la función si
igualita función en las variables x
sigue pero aquí se le escribe
que se va a derivar por ejemplo como es
derivada de x aquí le escribimos esto y
esto es exactamente lo mismo si entonces
si ustedes encuentran esto que quiere
decir la derivada de la función en dos
variables pero derivada con respecto a x
que es lo mismo que dice aquí otra forma
en la que ustedes pueden encontrar
escrita la derivada se escribe la
derivada con respecto a x de la función
f si y otra forma que pues de pronto
puede ser en una de las más usadas sí
aunque bueno la más usada es como ésta y
otra forma que es la de los más
perezosos
sí porque como yo les he dicho a los
vídeos generalmente uno como matemático
es perezoso y trata de hacerlo más
pequeño así eso no quiere decir que sea
malo
efe con respecto a x entonces la función
la vamos a derivar con respecto a x
cualquiera de las tres es exactamente lo
mismo esto se le de derivada de f con
respecto a x esto se le de derivada de
la función con respecto a x esto se le
de derivada de la función f con respecto
a x y esto también se le deriva
la función con respecto a x voy a parar
aquí un poquito para dejarles un
ejercicio de una vez de práctica háganme
el favor ustedes pause en el vídeo y
escríbanme ahora como se escribiría de
todas estas formas la derivada de esta
función pero ahora con respecto a la
letra y entonces háganlo ustedes y la
respuesta va a aparecer en 32 y bueno la
derivada con respecto ayer se escribiría
de esta forma no entonces derivada de la
función f con respecto a ye o derivada
con respecto a y de la función en dos
variables o derivada con respecto a la
de la función f o derivada con respecto
al de la función es así cualquiera de
las tres formas sí entonces por ejemplo
en un ejercicio a uno le dicen si
tenemos esta función encuentre esto o no
le van a decir encuentre la derivada con
no le van a decir encuentre esto si esto
que quiere decir la derivada con
respecto a ex o se lo pueden decir de
esta forma encuentre esto que es la
derivada con respecto a la de la función
f entonces la idea es que ustedes sepan
todas las formas de escribir la derivada
pero como estamos hablando de una
función
variables muchas veces se va a utilizar
la segunda derivada así como se escribe
la segunda derivada de este tipo de
funciones bueno ya se utiliza más la la
forma de la primera que les escribí con
la de jacob y si entonces se escribe la
siguiente forma bueno esa de me
disculparán lópez
segunda derivada de la función f
si aquí lo que estamos diciendo es que
vamos a derivar la función f dos veces y
abajo en el denominador tenemos que
escribir con respecto a que cuidado que
pueden ser diferentes tipos de derivada
por ejemplo podría ser con respecto a x
dos veces esto que quiere decir que
vamos a derivar dos veces la función f y
las dos veces la vamos a derivar con
respecto a x obviamente en el curso
vamos a ver todas las derivadas no otra
derivada que ya no es esta misma bueno
aclaró
por ejemplo la derivada con respecto a f
la doble derivada de la función f perdón
con respecto por ejemplo con respecto a
x y con respecto a ye que aquí debemos
aclarar si no es lo mismo derivar
primero con respecto a allá y después
con respecto a x si no tienen que
derivarse en este orden no entonces en
este caso cuál sería la primera derivada
bueno de una vez aquí les escribo cómo
se escribiría de la forma larga esto sí
aquí esto sería la derivada
con respecto a x bueno me disculpan esa
de tan fea de la derivada de f con
respecto a y qué quiere decir esto sí
miren que lo único que hice fue separar
miren que pues aquí abajo dice derivada
de x derivada de ella y aquí arriba dice
derivada doble de la función
f si esto para aclarar que que si
nosotros encontramos esta anotación
bueno eso ya lo vamos a ver como les
digo el vídeo es más adelante lo primero
que se debe derivar no es con respecto a
x sino con respecto a y bueno primero se
derivaría con respecto ayer y esa
derivada después se deriva con respecto
a x bueno pero simplemente aquí estamos
viendo es solamente como se escribiría
si para que ustedes comprendan de que
les estaban hablando en cada ejercicio o
también se podría escribir por ejemplo
la derivada con respecto a x dos veces o
la derivada con respecto a xy con
respecto a y así que de esto vuelvo a
decirles vamos a profundizar más en los
siguientes vídeos y por último vamos a
hacer este
ejercicio sencillo que es encontrar esta
derivada bueno entonces si en un
ejercicio nos dicen tenemos esta función
encuentra esta derivada sé que en este
caso como se lee la derivada de la
función f con respecto a x entonces
cuidado porque cuando estamos derivando
con respecto a x debemos tener en mente
que la ye
bueno ya se sabe que el 3 es una
variable no perdón una constante sí
porque no cambia en este caso como
estamos tirando con respecto a x
entonces la ye lo mismo aquí éste
completico el 7 y al cuadrado porque el
7 es una constante y la que se va a
tomar como una constante y en este caso
el 1 también es una constante entonces
cómo estamos derivando con respecto a x
lite todas las velas miramos como
constantes no esto es una constante que
ya lo sabíamos la ye igual que el 5 me
faltó subrayar o marcar este 5 es una
constante esto es una constante el 7
como es una constante y la ye entonces
todo es una constante y esto es una
constante aquí lo marcó pero pues ya en
el ejercicio pues ustedes no logran
hacerlo entonces como hallamos la
derivada de esto
miren que aquí empezamos con la derivada
de 3 perdón de una constante por una
variable voy a hacer todo el proceso
para que veamos cómo se hace aquí
también aquí les decía al comienzo no
aquí dejamos el 3 y lo multiplicamos por
la derivada de la variable que en este
caso en la equis se va
el exponente dice la restauró
generalmente uno se salta este paso y
escribe 6x no aquí más
miren que primero se escribe la
constante y después se deriva la
variable aquí cuál es la constante en
esta expresión el 5 y la y entonces como
para ir practicando primero voy a
escribir la constante por la derivada de
la variable en este caso la derivada de
x que es 1 miren que esto como se toma
como constante no se deriva o más bien
la derivada de una constante por una
función pues es la constante por la
derivada de la función aquí seguiría
menos todo esto es una constante cual es
la derivada de una constante
y más esto también es una constante cuál
es la derivada de una constante sería
cero sí entonces aquí lo único que
habría que hacer sería simplemente
organizar aquí pues dice tres por dos
eso es 6 x + y aquí dice 5 porque x 15
por 15 ye o sea que esta sería la
derivada con respecto a x de la función
f si aquí ya terminamos que bueno lo voy
a escribir de la otra forma derivada con
respecto a x de la función f aunque
bueno si nosotros empezamos con esta
anotación deberíamos terminar con esa
misma anotación para no estar
escribiendo diferentes tipos de
notaciones no generalmente cuando a uno
le gusta más una siempre hace todos los
ejercicios con esa anotación que yo
empecé con ésta debía haber escrito aquí
derivada de f con respecto a x de esta
misma forma así entonces ya con esto ya
terminamos la introducción como siempre
por último les voy a dejar un ejercicio
para que ustedes practiquen ya saben que
pueden pausar el vídeo ustedes van a
encontrar esta derivada si no les voy a
decir cuál es simplemente la idea es que
sepan este tipo de notación
pues ésta va a aparecer en 32 espera un
momento si llegaste hasta esta parte del
vídeo supongo que fue porque te gustó te
sirvió porque aprendiste algo nuevo
porque el profesor explica muy bien
bueno o por alguna de estas razones y si
es así te invito a que apoyen mi canal
suscribiéndote y dándole laica al vídeo
ahí abajo like
bueno ahora sí te dejo para que observes
de la respuesta lo único que debemos
mentalizarnos en este tipo de ejercicios
bueno primero que todo saber derivar no
pero simplemente es ir recordando no
aquí dice derivada con respecto a y qué
quiere decir esto que si vamos a derivar
esto miren que aquí no está la ye o sea
que esto es una constante y la equis
también es una constante o sea que todo
es una constante porque no está la letra
y entonces como es una constante cuál es
la derivada pues es
si ahora aquí tenemos constantes porque
miren que esto se toma como una
constante porque no está la pero esa
constante está multiplicada por una
variable entonces como se deriva esto se
deja la constante y se multiplica por la
derivada de la variable que en este caso
la derivada de uno sin miren que esto no
se está derivando porque en este caso se
aparta aquí pues si es la derivada cero
no aquí se aparta y la derivada de y que
es 1 - esto nuevamente es una constante
por una variable entonces se deja la
constante que este paso uno se lo salta
y se multiplica por la derivada de la
variable que es bajar el exponente y
restarle uno más la derivada de una
constante que es cero simplemente
organizamos aquí sería 5 x 15 x y aquí
menos 7 por 2 14
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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