Función Racional - Ejercicios Nivel 1 - Introducción
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada de las funciones racionales, destacando que son funciones de la forma f(x) = p(x)/q(x), donde p y q son polinomios, y q(x) ≠ 0. Jorge de Mate Móvil, el presentador, desmiente la idea de que estas funciones sean complicadas y proporciona ejemplos claros para ilustrar sus conceptos. Aborda temas como los valores no definidos, las gráficas de funciones racionales y cómo estas varían en comparación con las de polinomios. Además, explica cómo identificar intersecciones con los ejes x e y, y cómo encontrar el dominio y rango de una función. Finalmente, utiliza una gráfica para demostrar el comportamiento de la función a medida que x se acerca a valores específicos. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan entender mejor las funciones racionales y sus aplicaciones.
Takeaways
- 📚 Una función racional es una que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio denominador no sea el polinomio nulo.
- 📈 Los ejemplos dados muestran que funciones racionales pueden ser de diferentes grados y aún así ser racionales, siempre que el denominador no sea cero.
- 🚫 Se aclara que los valores no definidos en una función racional ocurren cuando el denominador es cero, lo cual es una restricción que debe evitarse al graficar o calcular el dominio de la función.
- 📊 Al discutir las gráficas de funciones racionales, se señala que son muy diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.
- ∞ La función racional `y = 1/x` se acerca a la asintota y no tiene definido en x = 0, lo que se representa con una línea punteada en la gráfica.
- 🔍 El dominio de una función racional está compuesto por todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.
- 🤔 Se exploran problemas específicos de funciones racionales, incluyendo encontrar intersecciones con los ejes坐标轴, dominio y rango, y el comportamiento de la función cerca de puntos singulares.
- 📐 Se proporciona una guía para resolver problemas de funciones racionales, incluyendo el cálculo de intersecciones, dominio, rango y comportamiento asintótico.
- 📉 Al analizar el comportamiento de funciones racionales cerca de puntos donde el denominador es cero, se utiliza la tabla de valores para ver cómo cambia la función al acercarse a dichos puntos.
- 📈 Se destaca que, a medida que x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, pero desde el lado correcto, el valor de la función tiende a infinito positivo o negativo, dependiendo del lado desde el cual se acerca.
- 📘 Se recomienda la guía de ejercicios para practicar y profundizar en el entendimiento de las funciones racionales, y se motiva a los estudiantes a continuar con los niveles subsiguientes del curso.
Q & A
¿Qué es una función racional?
-Una función racional es una función que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio en el denominador no sea el polinomio nulo.
¿Por qué no se puede dividir por cero en una función racional?
-No se puede dividir por cero en una función racional porque hacerlo resultaría en un valor no definido, lo que no es deseable ya que no se podría representar en una gráfica.
¿Cómo se calcula el dominio de una función racional?
-El dominio de una función racional se calcula determinando todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero, ya que estos valores resultarían en una división por cero.
¿Qué ocurre con la gráfica de una función racional cuando el denominador se acerca a cero?
-Cuando el denominador de una función racional se acerca a cero, la gráfica de la función se acerca indefinidamente a la asintota correspondiente, es decir, la curva se acerca más y más a la línea en x = a, donde 'a' es el valor que hace cero el denominador.
¿Cómo se encuentra el punto de intersección de una función racional con el eje y?
-Para encontrar el punto de intersección de una función racional con el eje y, se establece la condición de que x sea igual a cero y se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de y.
¿Cómo se determina el rango de una función racional?
-El rango de una función racional se determina despejando y (la variable dependiente) en términos de x (la variable independiente) y viendo los posibles valores que puede tomar y, teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el dominio.
¿Qué son las asintotas y cómo se relacionan con las funciones racionales?
-Las asintotas son líneas que la gráfica de una función racional se acerca indefinidamente, pero nunca toca. En las funciones racionales, las asintotas generalmente ocurren en los puntos donde el denominador es cero.
¿Por qué una función racional no puede tener un polinomio con exponentes fraccionarios en el numerador o denominador?
-Una función racional debe tener un polinomio en el numerador y otro en el denominador, donde los polinomios son funciones formadas por sumas o productos de términos que contienen a x con exponentes enteros no negativos. Los exponentes fraccionarios no se consideran parte de los polinomios y, por lo tanto, no cumplen con la definición de una función racional.
¿Cómo se identifican las intersecciones de la gráfica de una función racional con los ejes x e y?
-Las intersecciones con el eje x ocurren donde el valor de y es cero, mientras que las intersecciones con el eje y ocurren donde el valor de x es cero. Estas se calculan estableciendo las condiciones respectivas y resolviendo la ecuación.
¿Cómo se comporta el valor de una función racional cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero?
-Cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, el valor de la función racional tiende a un infinito positivo o negativo, dependiendo del lado por el que se acerque a dicho valor.
¿Cómo se representa gráficamente una asintota vertical en una función racional?
-Una asintota vertical en una función racional se representa gráficamente con una línea punteada que indica el valor de x que hace que el denominador sea cero, y que la curva de la función se acerca a esta línea pero nunca la toca.
Outlines
😀 Introducción a las funciones racionales
Se presenta el tema de las funciones racionales, explicando que son funciones que toman la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el denominador (polinomio q de x) no sea el polinomio nulo. Se mencionan restricciones y se ofrecen ejemplos sencillos para ilustrar la definición.
📈 Gráficas de funciones racionales y sus características
Se discute cómo las gráficas de funciones racionales difieren de las de funciones polinomiales, señalando que pueden ser más complejas debido a las posibles 'cintas' y 'puntos vacíos'. Se proporciona un ejemplo clásico de una función racional y se destaca la importancia de evitar valores no definidos al asegurar que el denominador es distinto de cero.
🚫 Evita valores no definidos en las funciones racionales
Se enfatiza la necesidad de evitar valores no definidos en las funciones racionales, estableciendo que el denominador debe ser distinto de cero. Se explora el dominio de una función racional, explicando cómo se calcula y cómo se representa gráficamente a través de líneas punteadas en puntos donde el denominador es cero.
🌐 Ejemplos y casos de funciones racionales
Se presentan varios ejemplos de funciones racionales, incluyendo aquellos que son en realidad polinomios y cómo se pueden manipular algebraicamente para cumplir con la definición de una función racional. También se discute cuando una función no es racional debido a la presencia de exponentes fraccionarios.
🔍 Hallazgo de intersecciones, dominio y rango de funciones
Se aborda cómo encontrar intersecciones con los ejes x e y, dominio y rango de una función racional dada. Se utiliza un ejemplo para ilustrar el proceso de resolución de ecuaciones y cómo determinar los puntos donde la función intersecta los ejes y cumple con las restricciones impuestas por el dominio.
📊 Comportamiento de las funciones racionales接近无穷
Se examina el comportamiento de las funciones racionales cuando el valor de x se acerca a ciertos límites. Se utiliza un ejemplo para demostrar cómo los valores de la función se acercan a infinito positivo o negativo dependiendo del lado desde el que se abordara el límite.
🏞 Análisis de gráficas y problemas de funciones racionales
Se realiza un análisis detallado de una gráfica de función racional, identificando intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y horizontales, y el dominio y rango de la función. Se proporcionan valores específicos para puntos sobre las asíntotas y se describe cómo la curva se comporta en relación con estas.
🎯 Resumen final y próximos pasos
Se resume lo aprendido sobre funciones racionales, incluyendo intersecciones, asíntotas, dominio y rango. Se anima a los espectadores a suscribirse al canal y a visitar el sitio web para obtener más información y ejercicios relacionados con funciones racionales y sus aplicaciones.
Mindmap
Keywords
💡Función racional
💡Polinomio
💡Gráfica de una función racional
💡Puntos vacíos
💡Dominio de una función
💡Rango de una función
💡Intersecciones con los ejes
💡Cintas
💡Comportamiento a medida que se acerca a un valor
💡Asignación de variables
Highlights
Una función racional es una que siempre tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el denominador no sea el polinomio nulo.
El numerador y el denominador de una función racional son polinomios, y el denominador nunca es cero.
Algunos ejemplos de funciones racionales incluyen f(x) = x + 1 / x - 2 y r(x) = x^3 - 8 / x + 1.
Las gráficas de funciones racionales son muy diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.
Los valores no definidos en una función racional ocurren cuando el denominador es cero.
El dominio de una función racional está compuesto por todos los valores reales de x excepto los que hacen que el denominador sea cero.
La función racional 1/x es un ejemplo clásico que muestra un valor no definido cuando x es cero.
El comportamiento de una función racional a medida que x se acerca a un valor específico puede ser de aproximación a infinito o a cero.
Las intersecciones de una función racional con los ejes x e y se pueden encontrar estableciendo la condición de igualdad a cero y reemplazando en la función.
El denominador de una función racional no puede ser cero, de lo contrario, la función no estaría definida en ese punto.
La gráfica de una función racional muestra un comportamiento específico cuando se acerca a cintas verticales, que representan valores no incluidos en el dominio.
El rango de una función racional son todos los valores que puede tomar la función, y generalmente se encuentra restricciónando el valor de y a una cinta horizontal.
La gráfica de la función 1/(x + 2) muestra un comportamiento donde el valor de y se acerca a cero cuando x se aleja hacia -∞ y a -∞ cuando x se acerca a -2 por la izquierda.
El dominio y el rango de una función racional son fundamentales para entender las restricciones y el comportamiento de la función.
Las cintas en la gráfica de una función racional indican puntos vacíos donde la función no está definida.
El análisis de las intersecciones y el comportamiento a medida que se acerca a puntos específicos proporciona una visión completa del comportamiento de la función racional.
La guía de ejercicios proporcionada en el material ofrece una práctica adicional para comprender las funciones racionales y sus gráficas.
Transcripts
ah
hola chicos yo soy jorge de mate móvil y
el día de hoy vamos a revisar el
capítulo de función racional de un tema
muy bonito que puede parecer complicado
pero no te preocupes hemos preparado
muchos vídeos para que nadie se quede
con ninguna duda lo primero que te voy a
contar es que una función racional es
una función que siempre siempre va a
tener la forma de equis o ye igual a px
entre equis pero que eso puede xxx
polinomio nada más así de sencillo si
aquí arriba en el numerador vamos a
tener a peu de x y quiénes pdx1
polinomio y aquí abajo en el denominador
vamos a tener acude x y quieres q de x
otro polinomio que no lo olvides la
función racional siempre tiene la forma
fx igual a un polinomio dividido entre
otro polinomio una pequeña restricción y
es que el polinomio q de x es diferente
del polinomio nulo es como se trata de
un polinomio decimos que q de x es
diferente del polinomio no lo que te
parece si vemos algunos ejemplos para
que veas que esto no es tan complicado
ya sé fx va a ser igual a aquí arriba
colocó un polinomio como x 1 y aquí
abajo otro polinomio como x menos sur
ahí está una función racional que te
parece si hacemos a otro ejemplo en
lugar de fx puede colocar 10 también se
vale y sigue siendo una función racional
que va a ser igual a x al cubo menos
ocho dividido entre x + 1
es una función racional si tenemos un
polígono de arriba en el numerador y
abajo otro polinomio ya está así de
sencillo otro ejemplo algunos profesores
y algunos libros a las funciones
racionales no les colocan fx sino que
les colocan rd x n de x así que vamos a
colocar por aquí r b x igual a que te
parece si colocamos ahora un polinomio
más grande de grado 2 como x cuadrado
más x más 1 dividido entre x menos 1
perfecto ahí tenemos otro ejemplo de
función racional ya hemos hablado acerca
de algunos ejemplos ahora vamos a usar
una pequeña introducción a las gráficas
de la función racional y es que si viene
una función racional se basa en dos
polinomios en la división o consciente
de dos polinomios la gráfica de una
función racional es muy diferente a la
gráfica de una función polinomio no
tienen nada que ver si son realistas
totalmente diferentes y pueden ser un
poquito complicadas por el tema de las
cintas y los puntos vacíos pero no te
preocupes tenemos también un vídeo sobre
gráficas u otro vídeo sobre asiento
estás así que nadie se va a quedar con
ninguna duda por aquí yo tengo una
gráfica de la función ye igual a uno
dividido entre x voy a colocar por aquí
este es el clásico ejemplo de función
racional en el que aparecen todos los
libros e iguala 1 entre xy aquí tenemos
graficar esta función
efe de equis o ye igual a 1 entre x
atención en la función racional pueden
aparecer valores no definidos cuando el
denominador se hace cero sí sí sí sí
mira qué te parece si coloco aquí uno
dividido entre el valor de x pero qué
pasa cuando x toma el valor de cero
cuando x toma el valor de 0 me va a
quedar 1 entre 0 y 1 entre 0 es un valor
no definido a mí no me gustan los
valores no definidos porque no lo puedo
representar en la gráfica yo lo que
quiero es un valor definido para poder
tabular para poder graficar lo los
valores no definir no nos gustan para
nada y tenemos que evitarlos como sea
vamos a colocar una pequeña regla y es
que tenemos que colocar aquí que el
denominador tiene que ser diferente de
cero porque un denominador igual a cero
como 130 me va a quedar un valor no
definido para ello vamos a especificar
siempre que el denominador tiene que
estar diferente de cero y de esa manera
se hace mucho más sencillo calcular el
dominio de una función si por ejemplo en
este caso si me piden calcular el
dominio tengo que colocar que el
denominador es diferente de cero el
denominador aquí es x y x tiene que ser
diferente de 0 x no puede tomar el valor
de 0 así que esto lo vamos a ver en
nuestra gráfica como una cintita siempre
o aparece un punto vacío o una asín
totta cuando colocamos denominador
diferente de cero y las así todas las
vamos a representar con líneas punteadas
como estamos viendo ahí en este caso
atención un dato muy importante para
reconocer la 5ta es que nuestra función
se va a acercar indefinidamente
la acin total la curva se acerca se
acerca se acerca se acerca y se acerca a
la asín total que está aquí en x igual a
0 en esta recta x igual a 0 muy bien y
si quiero calcular el dominio voy a
especificar lo simplemente voy a colocar
que el dominio es el siguiente en el
dominio es el siguiente vamos a
colocarlo es x que pertenece al conjunto
de los números reales
sin embargo x es diferente de 0
en una función racional el dominio va a
estar compuesto por todos los valores
reales de x excepto aquellos que hacen
que el denominador se haga 0 si no no
olvides el dominio está compuesto por
todo el conjunto de los números reales
excepto aquellos valores que hacen que
el denominador se haga 0
por eso colocamos aquí denominador tiene
que ser diferente de 0 y ahora sí vamos
con algunos ejemplos me pidieron en los
comentarios que deje algunos ejemplos
así que vamos a hacerlo porque este tema
a veces se enreda
primer ejemplo llegó a la 1 / x 1 aquí
arriba hay un número pero ese número es
un polinomio un polinomio de grado 0 así
que aquí arriba tenemos un polinomio de
grado cero y aquí abajo un polinomio de
grado 1 polinomio entre polinomio nos da
una función racional
okey segundo ejemplo uno entre x al
cuadrado más x más 1 ya sabemos de este
uno es un polinomio de grado cero y aquí
abajo tenemos un polinomio de grado 2
ahí están polinomio entre polinomio nos
da una función racional sin ningún
problema
otro ejemplo más rd x igual a x al
cuadrado más x más 1 dividido entre x
más 1 por x menos se trata de una
función racional aquí arriba tenemos un
polinomio de grado 2 y aquí abajo en el
denominado también tenemos un polinomio
solo que está expresado de forma
factorizar pero sigue siendo un
polinomio nada más ver para menos
productos notables y entonces polinomio
entre polinomio nos da una función
racional puede estar factor izado no hay
un problema vamos ahora con los
siguientes dos ejemplos mucho más
interesantes y x1 gayone a x va solo eso
es una función lineal también puede ser
una función polinomiales de grado 1 pero
se trata de una función racional vamos a
hacer un pequeño artilugio mira qué te
parece si la colocamos de esta manera la
voy a colocar como x + 1
dividido entre 1 x 1 dividido entre 1 se
trata entonces de una función racional
aquí arriba tenemos un polinomio de
grado 1 y aquí abajo un número que es un
polinomio de grano ser polinomio entre
polinomio muy parecido a lo que habíamos
visto es un ratito por y nombre entre
polinomio nos da una función racional no
hay ningún problema
otro ejemplo fx igual a x al cuadrado
más x basura se trata de una función
racional al igual que el ejercicio
anterior puedo colocar este x al
cuadrado más x + 1 de la siguiente
manera mira simplemente vamos a colocar
aquí una división y lo colocamos como
ahí está x al cuadrado más x + 1
dividido entre 1 aquí tenemos un
polinomio de grado 2 en el numerador y
aquí abajo en el denominador un
polinomio de grado 0 o un solo número sí
así que también es una función racional
polinomio entre polinomio de manera
general podemos decir que las funciones
polinomiales como estas dos son
funciones racionales porque se pueden
expresar de esta manera como una
división de polinomios dos ejemplos más
a ver e igual a 1 entre raíz de x + 1
mira qué te parece si lo colocamos de
esta manera aquí tenemos seguro que ya
sabemos que es un polinomio de grado 0
no hay ningún problema y aquí raíz de x
aquí el índice es el 2 que está ahí
escondidito y aquí el x está elevado a
la 1 por la ley del exponente
fraccionario yo no puedo colocar como x
elevado a la un medio más uno y este uno
pasa aquí dividido entre el irish es el
2x a la mediana zul se trata de una
función racional aquí arriba tenemos un
polinomio de grado 0 muy bien y aquí
abajo x a la un medio
[Música]
x al lado medio uno no es un polinomio
porque en el polinomio de los exponentes
sólo pueden ser enteros desde el 0 hacia
adelante 0 1 2 3 4 5 10 mil pero no
pueden ser una fracción solamente
enteros no negativos podemos tener aquí
valores 0 1 2 3 4 5 pero no una fracción
por lo tanto esto no es un polinomio
polinomio / no polinomio no me da una
función racional tiene que ser polinomio
entre polígonos por lo tanto esta no es
una función racional tiene que ser
poniéndome entre polinomio y x a los
medios más uno no es un polinomio porque
aquí en la variable solamente podemos
tener enteros no negativos desde el 0 en
adelante ok siguiente ejemplo fx igual x
a la 3 medios más x a la media más 1
dividido entre x azul aquí abajo a
imponer un polinomio de grado 1 sin
ninguna duda pero aquí arriba tenemos
nuevamente exponentes fraccionarios
y eso no es un polinomio un polinomio
sólo tiene enteros no negativo usted
deseo hacia adelante por lo tanto esta
tampoco es una función racional
ahora sí vamos con los problemas abajo
en la información del vídeo hay una
parte donde dice descarga la guía de
ejercicios ahí vas a encontrar una guía
con muchos problemas de funciones vamos
a ir a la parte de función racional
problema número uno
ayer intersecciones dominio y rango de
la función igual a uno dividido entre x
más 2 que igual a uno dividido entre x
más 2 un problema clásico si alguien no
se acuerda no hay ningún inconveniente
aquí tenemos una pequeña ayuda como
íbamos a hacer para encontrar las
intersecciones lo único que tengo que
hacer es si quiero encontrar esta
sección con el eje x igual a cero por
otro lado si quiere encontrar la
intersección con el eje y igual x hacer
así de sencillo vamos a partir por aquí
entonces voy a colocar por aquí la
intersección con el eje
te parece si como íbamos a hacer para
encontrarle traducción con el eje x lo
único que tengo que hacer es establecer
la condición de igual a cero vamos a
igualar a cero y esto lo vamos a colocar
por aquí ok
mi función es igual a 1 dividido entre x
más 2 así que ahora lo que vamos a hacer
es bien sencillo este y cuanto lo vamos
a igualar a ese hielo vamos a igualar a
cero esa va a ser mi condición para
poder encontrar la intersección con el
eje x cero es igual a uno dividido entre
x más 2 a partir de aquí tenemos que
calcular el valor de x así que vamos a
seguir por aquí y mira qué es lo que
vamos a hacer ese 0 que está en el
primer miembro no voy a multiplicar por
el denominador del segundo miembro este
x más 2 que está dividiendo pasa al
primer miembro como pasa multiplicando
así que me quedaría 0 x x + 2 igual a 1
esta flechita y ahora si 0 por x2
igual hay 10 por x + 2 cuanto es eso es
0 verdad y me queda 0 igual a 1
qué es esto estamos ante una
inconsistencia si tenemos que ser igual
a 1 y los valores de x se anulan
certifica que aquí no hay ninguna
solución aquí no hay nada que podamos
hacer así que por lo tanto no vamos a
tener intersección con el eje x mucha
atención que hemos obtenido luego de
reemplazar por cero y tratar de
encontrar los valores de x nos ha
quedado una inconsistencia 0 igual a 1
por lo tanto eso nos indica que no hay
intersección con el eje x vamos a ver si
es que hay transición con el eje y no lo
sabemos
ok vamos a calcular por aquí ahora la
intersección con el eje gay y cómo vamos
a calcular la intersección con el eje y
bien sencillito ahora lo que vamos a
hacer es igualar x a 0 y coloco por aquí
x igual a 0 coloco mi flechita y ahora
vamos a reemplazar en nuestra función
original mucha atención el yo lo dejo
igualito trabajamos con esta función de
aquí arriba la original
e igual a 11 lo colocó allí y ahora el x
lo reemplazó por 0 mucha atención en el
valor de y no lo cambio lo dejo tal cual
simplemente vamos a reemplazar el x por
0 1
dividido entre 0 +2 voy a colocar por
aquí lo que sigue vamos a tener entonces
lo siguiente que va a ser igual a cuánto
que va a ser igual a 1 dividido entre
cuanto 1 dividido entre 0 + 2 cuantos
eso sobre las 2 el 2 ya igual a un medio
así que ya tenemos el valor de que vamos
a colocar la intersección por aquí mira
un par ordenado siempre colocamos
primero el valor de x punto y coma el
valor de y cuánto vale x en la
intersección con él y el valor de x está
por aquí mi condición inicial x vale 0 y
cuánto vale el valor de y un medio un
medio positivo es si quieres le pongo
ahí el más ahí está no hay ningún
problema el estatut ya tenemos las
intersecciones no hay
con el eje x pero la intersección con el
eje y se encuentra en el punto cero
punto y coma un medio excelente ya
tenemos la primera parte así que le voy
a poner por aquí un check vamos ahora
con el dominio y rango
como vamos a encontrar el dominio y el
rango vamos a con encontrar primero el
dominio lo vamos a hacer por aquí y si
alguien no se acuerda el dominio eran
los posibles valores de x como íbamos a
hacer para encontrar el dominio
simplemente despejamos y vemos que
restricciones tenemos por lo general ya
está despejado como es este caso aquí
tenemos a nuestra función ye igual a 1
entre x + 2
vamos a despejar y ella está despejado
yo quiero encontrar los valores de x y
para ello tengo que centrarme en las
restricciones que restricciones tenemos
para x en este caso
tenemos alguna restricción para xy como
siempre ya sabemos que en una división
el denominador el denominador tiene que
ser diferente de cero así que lo voy a
colocar por aquí denominador tienes que
ser diferente de cero si no me vas a
meter en problemas porque si me queda 1
entre 0 no definido y yo quiero
solamente números reales no quiero
números no definidos así que el
denominador tiene que ser diferente de
cero por lo tanto el x + 2 tiene que ser
diferente de cero este diferente lo
trabajábamos como si fuera el signo
igual él no tiene nada de raro así que
ahora vamos a colocar que x es diferente
de 0 y este 2 que está con signo
positivo en el primer miembro pasa al
segundo resto
con signo negativo x va a ser entonces
diferente de menos 2 y allí tenemos la
restricción mucho para encontrar el
dominio despejamos que ya estaba
despejado y vemos las restricciones que
tenemos para x porque en el dominio
vamos a calcular los posibles valores de
x ahora que podemos decir entonces x
tiene una sola restricción y es que x
tiene que ser diferente siempre de menos
2 así que vamos a colocar por aquí ya
como respuesta el dominio de la función
dominio de la función va a ser el
siguiente mira vamos a decir entonces
que x pertenece al conjunto de los
números reales y puede tomar cualquier
valor de los reales
excepto excepto el menos 2 ok allí esta
x pertenece al conjunto de los números
reales pero no puede tomar el valor de
menos 2
ya tenemos el dominio de nuestra función
lo marcamos como respuesta y por aquí le
vamos a dar a check que nos falta a los
faltas solamente el rango el rango no
vamos a colocar por aquí de ok vamos a
ver el rango son los posibles valores
para nuestra variable y que como vamos a
encontrar el rango muy sencillo
despejamos xy vemos las restricciones
que tenemos así que vamos a partir como
siempre de nuestra función original e
igual a cuanto a ver si me ayudas uno
dividido entre x más 2
ahora tenemos que despejar x como lo
vamos a hacer bien sencillo mira este x
más 2 que está dividiendo lo pasó al
primer miembro como paso multiplica así
que colocamos lo siguiente llegue x x
más 2 va a ser igual a cuánto va a ser
igual a 1
x x más 2 ahora aplicamos la
distributiva primero y por equis y luego
elche por el más 210 por equis
y por x x porque más que por 2 lo
colocamos como 2 y esto va a ser igual a
1 lo que queremos es despejar x así que
qué te parece si los términos que tienen
x los dejo en el primer miembro y los
que no tienen x los pasó al segundo
miembro por aquí me va a quedar el que
por x este es el único término que tiene
x y en el segundo me queda 1 y éste más
2 ya lo pasó con signo negativo está
sumando lo paso restando ahora
despejamos x x va a ser igual a cuanto a
mira más e igual a uno menos dos pero
ahora tenemos que decir que se esté que
estaba allí multiplicando al x pasa al
segundo miembro realizando la operación
contraria es decir dividiendo y ahora me
pregunto tengo alguna restricción si
tengo una restricción y es que
nuevamente el denominador no puede ser
cero siempre que tenemos una fracción
nos vamos a centrar en el denominado ya
hemos despejado
y ahora solamente nos faltan ver las
restricciones entonces vamos a colocarlo
esto por aquí porque ya no nos queda
mucho espacio y como ya tenemos una
división tenemos que centrarnos en el
denominador y ver que este denominador
ver que ese denominador no sea igual a
cero así que ya sabemos cómo va esto
hacemos los mismos pasos en el
denominador tiene que ser diferente de
cero en este caso cuál es mi denominador
mismo denominador simplemente el yen y
que tiene que ser diferente de ser con
eso me alcanza para poder establecer el
rango de mi función y lo vamos a colocar
por aquí en el rango de la función va a
ser el siguiente vamos a decir que quien
pertenece al conjunto de los números
reales y que puede tomar cualquier valor
dentro del campo de los reales efecto
cual excepto el 0 muy bien le ponemos
aquí
- abrimos llaves y colocamos el cero
esa sería la respuesta a la última parte
ya tenemos intersecciones tenemos
dominio tenemos rango ahora si ahora
seguir con el siguiente problema vamos
ahora con el problema número 2 de
nuestra guía de ejercicios continuación
el problema anterior me piden determinar
el comportamiento de la función ya igual
a 1 entre x vasos la misma función
cuando x se aproxima a menos o justa
luego que ayer ahora el comportamiento
de mi función que es lo que pasa con la
función que es lo que pasa con fx que es
lo que pasa con ye cuando cuando x se
aproxima menos 2 vamos a ver qué es lo
que pasa con la función cuando x se
aproxima se aproxima a menos 2 vamos a
recordar que hace unos minutos hemos
hallado el dominio de la función que es
x que pertenece a los reales excepto del
menos 2 x toma cualquier valor dentro
del conjunto de los reales excepto en
menos 2 este excepto al menos 2 como lo
vamos a ver en nuestra gráfica por aquí
tenemos al eje x eje de las artistas eje
y eje de las ordenadas y x puede tomar
cualquier valor
dos más uno más 10.000 menos uno menos
tres también pero al menos dos no x no
puede tomar al menos dos y eso siempre
me va a representar una cito tras una
cinta está vertical así que mucha
atención con eso vamos a dibujar aquí
está sin tota vertical que significa que
x no puede tomar el valor de menos 2 así
que mucho cuidado con eso ahí está ya
nuestra cinta de color verde x no puede
tomar el valor de menos 2
eso significa que mi curva va a tener
dos porciones una porción aquí al lado
izquierdo del -2 y otra porción al lado
derecho del -2 la curva va a estar
partida gracias a esa así total que
tenemos ahí en el menos dos así que
cuando nos aproximamos al menos 2 lo
podemos hacer por la izquierda de al
menos 2 pero también podemos acercarnos
al menos 2 por la derecha del -2 y por
el lado izquierdo como por el lado
derecho
lo vamos a colocar por aquí vamos a
decir que nos vamos a aproximar entonces
al menos dos por el lado izquierdo del
lado izquierdo los representamos con
este menos aquí arriba en el exponente o
también que nos podemos acercar al menos
dos por el lado derecho y el lado
derecho lo representamos allí con el
signo más vamos a armar una pequeña
tablita de tabulación para ir viendo
cómo se comporta fx cuando nos vamos
acercando al menos dos vamos a colocar
por aquí valores de x y por aquí valores
de g
que ya sabemos que es lo mismo que f de
x
vamos a trabajar entonces con valores
que estén a la izquierda del -2 y nos
vamos acercando cada vez más al menos
siempre por la izquierda a la izquierda
de los ojos pueden usar valores que
estén entre el -2 y el menos 3 como el
menos 2,5 de los 2.3 menos 2.1 pero 2,1
está más cerquita así que vamos a
colocar primer valor el menos 2,1 y
vamos a hallar no el valor de ley cuando
x vale menos 2,2 y eso cómo lo hacemos
gracias a la función que la tenemos por
aquí y es igual a uno dividido entre x
más 2 x 4 vale x vale menos 21 vasos ahí
está por lo tanto a cuando va a ser
igual de fx va a ser igual a 1 dividido
entre menos 212 eso menos nos da menos
0,11 entre menos 0.1 me da cuanto más
entre menos menos uno entre 0.1 eso me
da 10 ya tenemos el primer valor vamos a
acercarnos ahora un poquito más al menos
o siempre por el lado izquierdo nos
vamos acercando acercando resaltando así
que un valor más cercano al menos 2 por
el lado izquierdo puede ser el menos
2,01 éste está más cerquita
cuánto vale fx oye que es igual a 1
dividido entre x que es menos 2,01 más 2
por lo tanto va a ser igual a 1 dividido
entre cuantos dividido entre menos 0
01 más / menos eso me da menos 1 entre
0.1 me va a dar si menos 100 un valor
más el último para ver cuál es el
comportamiento de la función cuando nos
acercamos al menos 2 por la izquierda un
balón que esté muy muy cerquita de menos
2 vuelva a ser un poquito más cerquita
menos 2,001 te parece cuánto vale y en
ese punto y es igual a 1 / / x menos
2,001 vasos esto va a ser igual a cuánto
va a ser igual a 1 dividido entre el
menos 0,001 más entre menos menos y
cuánto vale jay lleva a ser igual a
menos 1000 menos mil que es lo que
estamos viendo cuando x vale menos 21 y
vale menos 10 nos acercarnos un poquito
más al menos 2 con el valor menos 201 y
allí vale menos cielo si nos acercamos
un poquito más al menos 2 por el lado
izquierdo - 2001
vale menos 1000 y en la gráfica vamos a
ver el comportamiento muy clarito de
esta manera mira a medida que nos vamos
acercando al menos 2 por el lado
izquierdo los valores de ella van
cayendo cayendo cayendo se hacen cada
vez más negativos y ahí está ahí podemos
ver el comportamiento de mi función a
medida que me acerco al -2 qué es lo que
sucede con los valores de los valores de
llevan bajando bajando bajando bajando
yéndose hacia donde yéndose hacia abajo
hacia el extremo inferior hacia el
infinito negativo y ese va a ser el
comportamiento cuando nos acercamos al
-2 por el lado izquierdo en los valores
de la función van a irse hacia el
infinito negativo cuando nos acercamos
al menos 2 por la izquierda sí que va a
ser la primera parte de mi respuesta
mucha atención con eso y lo
representamos con la siguiente anotación
que no hemos usado antes en los vídeos
miran
fx vamos a decir que entiendes se
aproxima al infinito negativo cuando a
eso va a suceder cuando 2
fx oye se acerca al infinito negativo se
aproxima tiende al infinito negativo en
qué momento cuando x tiende se acerca se
aproxima al menos 2 por el lado
izquierdo ahí tenemos ya la primera
parte de mi respuesta ok
aquí lo vamos a colocar muy importante
la función f equis o ye tiende al
infinito organismo cuando x se aproxima
al menos 2 por la izquierda ese va a ser
la primera parte de mi respuesta ok la
primera parte del comportamiento vamos
ahora con la segunda parte del
comportamiento y es que habíamos dicho
que mi gráfica tiene dos porciones una
porción a la izquierda del -2 y una
porción a la derecha de los dos y que es
lo que pasa entonces cuando me acerco a
menos dos por el lado derecho
vamos a tomar valores que estén a la
derecha del -2 entre el -2 y el menos
uno a la derecha del -2 un valor ahora
muy fácil mira vamos con el menos 1,9 te
parece ya sabemos cómo va la población y
es igual a uno dividido entre x menos 19
más 2 esto a cuánto va a ser igual va a
ser igual a 1 dividido entre 0,11 entre
0.1 eso me da el valor de más 10 y es
positivo un valor que esté más cerca más
cerca del minuto siempre por el lado
derecho más cerca que el menos 1,9 ya se
mira que te parece el menos 1,99 es
estar más cerquita llega cuánto va a ser
igual ayúdame con la tabulación va a ser
igual a 1 dividido entre menos 1,99 más
2 esta parte lo hacemos ya más rápido ok
va a ser entonces igual a 12 dividido
entre 0,01 y eso es igual a más entre
más eso me da más y aquí 13 0,01 me da
más 100 muy bien
otro valor que esté más cerca más cerca
del menudo siempre por el lado derecho
más cerca que al menos 1991 que está muy
cerquita es el menos 1,999 ahí está y es
igual a 1 dividido entre menos 1999 más
2 y esto va a ser igual a lo siguiente 1
dividido entre 0,001 130.00 eso me va a
dar más 1 y 3 ceros 12 y 13 mil perfecto
entonces mira es lo que sucedió cuando x
tomaba el valor de menos 1,9 el valor de
gdf x serán más 10 si nos acercamos un
poquito más al menú dos por la derecha
al menos sólo coma 999 el valor de y se
hacía más grande ahora vale más 100 y si
nos acercamos mucho más al menos 2
siempre por el lado derecho a menos 1999
el valor del vídeo de fx es más 1000
mucho más grande entonces lo que estamos
viendo es que a medida que nos
aproximamos al menos dos por la derecha
los valores de iu van aumentando
creciendo creciendo y aumentando hasta
donde bueno hasta aquí en el infinito
positivo y esa va a ser la otra parte
del comportamiento de mi función a
medida que nos acercamos al menos dos
por el lado derecho los valores del df
de x se acerca al infinito positivo cuál
sería el comportamiento vamos a decir
que el comportamiento es el siguiente
fx oye tiende se aproxima se acerca al
infinito positivo cuando pasa eso va a
suceder cuando x lo voy a colocar por
aquí cuando x se aproxima al menos 2
pero ahora por el lado derecho y esta
sería la segunda parte de mi respuesta
ahí está
entonces nos preguntan cuál va a ser el
comportamiento lo ponemos en dos líneas
es mi función se aproxima a tiende al
infinito negativo cuando x se aproxima
al menos 2 por el lado izquierdo lo
vemos ahí en la gráfica en segunda parte
de mi respuesta
fx se aproxima tiende al infinito
negativo cuando x se acerca en menos 2
por la derecha que te parece si ahora
hacemos la comprobación del problema 1 y
el problema 2 para hacer la comprobación
del problema 1 y el problema 2 vamos a
recurrir a un gráfica dor a des moss en
el problema 1 me pedían hallar
intersecciones dominio y rango de la
función 1 / x bajos y podemos ver allí
claramente que no hay intersección con
el eje x la curva no se cruzó con el eje
x pero sí con el eje y en el punto cero
punto y coma un medio cero punto y coma
0,5 es lo mismo que un medio o 0,5
además en el dominio podemos ver que x
toma cualquier valor excepto al menos 2
y en el rango podemos ver que ya toma
cualquier valor excepto el 0 respecto al
comportamiento de mi función cuando x se
aproxima al menos 2 podemos ver que por
el lado izquierdo
efe de x tiende al infinito negativo y
por el lado derecho cuando nos acercamos
al menos 2 por el lado derecho fd x hoy
tiende al infinito positivo ahora sí
vamos con un último problema vamos ahora
con el problema número 5 de nuestra guía
de ejercicios en el último y nos vamos
no sin antes recordar que ya casi
terminamos el nivel 1 luego viene el
vídeo de así notas este está muy bueno
luego el nivel 2 con algunos problemas
de gráficas solamente gráficas y nivel 3
problemas de aplicaciones de la función
racional a casos prácticos a la vida
real ok problema número 5 a partir de la
gráfica que usan aquí le piden ayer las
intersecciones con los ejes las así en
todas el dominio y también el run mucha
atención me tienen intersecciones con
los 6 x
así en todas dominio y rango tenemos por
aquí a nuestra gráfica vamos a partir
tenemos por aquí al eje x eje de las
antillas eje y eje de las ordenadas muy
bien y tenemos a la curva de color azul
es dos porciones
aquí una línea verde punteada al lado
izquierdo tenemos una primera porción de
mi función y al lado derecho de esta
línea punteada una segunda porción hay
una línea punteada en vertical y un en
horizontal así que qué te parece vamos
primero con las intersecciones voy a
marcarlo por a ok muy bien vamos a
tenemos allí dos porciones de mi curva
así que vamos primero con la
intersección con el eje x le parece si
ahí está
vamos entonces primero con la
intersección con el eje x en la
intersección con el eje x no nos
olvidemos el valor de y es igual a cero
esto siempre nos sirve para comprobar
mira aquí tenemos a nuestro eje x y la
curva de color azul en qué punto corta
al eje x
vamos a analizar esta porción de aquí de
la derecha que es donde están cortando
al eje x mira la curva viene por aquí y
sube sube sube sube y aquí en este
puntito
y la curva corta el eje x cuál es la
coordenada de ese punto en x cuánto es
el valor en x el valor es 3 y en el
valor es cero y esto eso sería el punto
de intersección con el eje x lo voy a
colocar por aquí valor en x 3 y valores
primero el valor de x punto y coma el
valor de jett comprobamos entonces que
el valor de s
ya tenemos la intersección con el eje x
vamos con la segunda parte qué te parece
si ahora encontramos la intersección con
el eje y no siempre hay intersecciones
vamos a ver si es que éste es el caso
habrá o no habrá intersección bueno no
nos olvidemos que la intersección con el
eje y el valor de x es igual a cero
vamos a ir a nuestra curva y vamos a
trabajar ahora con la otra porción la
porción que está a la izquierda de esta
línea punteada de color verde y mira
dónde corta la curva al eje
la curva viene por aquí avanza avanza
avanza avanza hasta este punto
y allí corta intersecta hay que usar
pintarlo por aquí aquí en este puntito y
cuál es la coordenada de ese puntito y
ahí el valor de x cuánto es el valor de
x es 0 mientras que el valor de jake
cuánto es aquí lo tenemos estrés
positivo y vamos a colocar aquí el punto
la coordenada x es ser tiene estrés
mucha atención comprobamos que x igual a
0 perfecto ya tenemos las intersecciones
vamos ahora con las así no estás te
parece si vamos con las cosas y las voy
a colocar por aquí como un cheque verde
como representamos las cintas y como las
vamos a ver en nuestra gráfica siempre
las vamos a ver con una línea punteada
así las vamos a dibujar y así las vamos
a ver representadas ok
aquí están claramente definidas las asín
totales con estas líneas punteadas de
color verde vamos primero con la cinta
horizontal de precios y la 5ta
horizontal ok así en total horizontal
muy bien cuando hacer la 5ta horizontal
necesitamos definir su ecuación y aquí
tenemos a la 5ta horizontal de color
verde ahí está ahí está mi asiento
tradicional así que vamos a tomar
algunos puntos de su asiento está
horizontal para hallar su ecuación mira
qué te parece si decimos aquí a ver en
este punto está sobre el asiento está
horizontal ahí está cuál es la
coordenada en ese punto en x el valor es
0 y en el 2 a otro punto otro punto de
esta cita puede ser este punto ahí está
en x el valor es 2 y en el valor es 2
ahí está otro punto a ver lo voy a
ayudar ahora con mi regla que te parece
este punto de aquí mira este puntito de
aquí cuál es la coordenada de este punto
que está aquí en x igual a 7 allí el
valor de x es 7 y el valor de cuánto es
2
entonces todos estos puntos que están
sobre la cinta tienen una característica
en común y la característica en común es
que el valor de iu es siempre igual a 2
y por lo tanto por lo tanto en la
ecuación la ecuación de ésta sin total
es igual a 12 a lo largo de la cinta
todos los puntos tienen como valor de 2
que hay buenas dos esa va a ser la
ecuación de la cim total si tú ya tienes
más experiencia con esto simplemente
cuentas de igual a 12 y allí tenemos a
la curva
ahí está muy una función constante una
constante entonces la ecuación del
asiento está horizontal es igual a 2
perfecto qué te parece si vamos ahora
con la quinta vertical
muy bien vamos a colocar por ecd así en
total vertical cuál será esa ecuación
vamos a buscarla en nuestra curva
teniendo en cuenta que las a sin total
siempre las vamos a ver representadas
mediante una línea
entonces aquí tenemos a una línea
punteada de color azul a la cual la
curva nunca intersecta se acerca se
acerca pero de manera indefinida si muy
bien se acerca se acerca se acerca pero
no la llega a tocar así que qué te
parece si vamos colocando aquí algunos
valores que se encuentren sobre ese
asunto atrás mira a ver un valor a ver a
ver a ver qué te parece este puntito de
aquí este puntito de aquí cuál es su
coordenada en x toma el valor de 2 y en
que tome el valor de cero
ahí está ese puntito está sobre la cim
total otro valor
otro valor por aquí te parece si por
aquí mira en este puntito cuál es el par
ha ordenado en x toma el valor de 2 y en
menos 2 aquí lo tenemos uno el tiempo
puntito por aquí te parece a ver que
están más o menos a la altura del 6 cuál
es ese puntito en x vale 2
y el vale 6 como puedes ver todos estos
puntos tienen algo en común y es que en
todos ellos el valor de x cuánto es el
valor de x es 2 y esa va a ser la
ecuación de esa así total vertical va a
ser simplemente x igual a 2 a lo largo
de esta línea de esta recta todos los
puntos de x tienen el valor de 2 y esa
va a ser la ecuación si tú tienes más
experiencia simplemente cuentas 1 y 2 x
igual a 2 y lo vamos a colocar por
equidad y total vertical x igualados
porque ya tenemos las intersecciones ya
tenemos las así en total que nos falta
vamos ahora con el dominio y el rato
vamos a marcarlo por el dominio y ramón
nada del otro mundo nada que no hayamos
hecho antes entonces vamos a colocar
dominio de la función cuales todos los
posibles valores que toma x mira x viene
desde el infinito negativo se va
acercando avanzando pasa por el menos 4
menos dos por el cero corta y pasa por
el más uno y se queda antes de llegar al
más dos en el dos se va a saltar se va a
saltar el valor de x x nunca llega a
tocar el más dos por eso allí tenemos
una sin total saltamos y continuamos
luego del +2 hasta el infinito positivo
así que vamos a decir que x toma todos
los valores dentro del conjunto de los
reales excepto que número excepto el más
2 lo colocamos de esta manera x
pertenece al conjunto de dos reales y
toma todos los valores excepto el más 2
y listo ya tenemos el dominio x puede
tomar cualquier valor excepto este más 2
que lo vemos ahí como una cinta verde
muy bien vamos ahora con el rango y aquí
si no hay nada del otro mundo mira el
rango cómo va a ser cuál es el
comportamiento de iu que viene por aquí
desde el infinito negativo sube sube
pasa por el velo 2 por el 0 corta el eje
x pasa por el más 1 y aquí no llega al 2
aquí va a saltar y después del 2 va a
continuar por este lado izquierdo
continúa continuada sube sube sube sube
y se va hasta el infinito positivo por
lo tanto vamos a decir que el rango es
el siguiente ya que pertenece al
conjunto de los reales quién puede tomar
cualquier valor es el conjunto de los
reales
excepto también el más 2 y en esto ya
tenemos dominio rango dancing total
vertical horizontal intersecciones con
los ejes así que ya terminamos con este
problema ya está aquí vamos a llegar con
el nivel 1 pero se viene estos vídeos de
assín todas gráficas y aplicaciones que
son muy interesantes y no te puedes
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