Función Racional - Ejercicios Nivel 1 - Introducción

Summary

El video ofrece una explicación detallada de las funciones racionales, destacando que son funciones de la forma f(x) = p(x)/q(x), donde p y q son polinomios, y q(x) ≠ 0. Jorge de Mate Móvil, el presentador, desmiente la idea de que estas funciones sean complicadas y proporciona ejemplos claros para ilustrar sus conceptos. Aborda temas como los valores no definidos, las gráficas de funciones racionales y cómo estas varían en comparación con las de polinomios. Además, explica cómo identificar intersecciones con los ejes x e y, y cómo encontrar el dominio y rango de una función. Finalmente, utiliza una gráfica para demostrar el comportamiento de la función a medida que x se acerca a valores específicos. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan entender mejor las funciones racionales y sus aplicaciones.

Takeaways

• 📚 Una función racional es una que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio denominador no sea el polinomio nulo.
• 📈 Los ejemplos dados muestran que funciones racionales pueden ser de diferentes grados y aún así ser racionales, siempre que el denominador no sea cero.
• 🚫 Se aclara que los valores no definidos en una función racional ocurren cuando el denominador es cero, lo cual es una restricción que debe evitarse al graficar o calcular el dominio de la función.
• 📊 Al discutir las gráficas de funciones racionales, se señala que son muy diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.
• ∞ La función racional `y = 1/x` se acerca a la asintota y no tiene definido en x = 0, lo que se representa con una línea punteada en la gráfica.
• 🔍 El dominio de una función racional está compuesto por todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.
• 🤔 Se exploran problemas específicos de funciones racionales, incluyendo encontrar intersecciones con los ejes坐标轴, dominio y rango, y el comportamiento de la función cerca de puntos singulares.
• 📐 Se proporciona una guía para resolver problemas de funciones racionales, incluyendo el cálculo de intersecciones, dominio, rango y comportamiento asintótico.
• 📉 Al analizar el comportamiento de funciones racionales cerca de puntos donde el denominador es cero, se utiliza la tabla de valores para ver cómo cambia la función al acercarse a dichos puntos.
• 📈 Se destaca que, a medida que x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, pero desde el lado correcto, el valor de la función tiende a infinito positivo o negativo, dependiendo del lado desde el cual se acerca.
• 📘 Se recomienda la guía de ejercicios para practicar y profundizar en el entendimiento de las funciones racionales, y se motiva a los estudiantes a continuar con los niveles subsiguientes del curso.

Q & A

¿Qué es una función racional?

Una función racional es una función que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio en el denominador no sea el polinomio nulo.

¿Por qué no se puede dividir por cero en una función racional?

No se puede dividir por cero en una función racional porque hacerlo resultaría en un valor no definido, lo que no es deseable ya que no se podría representar en una gráfica.

¿Cómo se calcula el dominio de una función racional?

El dominio de una función racional se calcula determinando todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero, ya que estos valores resultarían en una división por cero.

¿Qué ocurre con la gráfica de una función racional cuando el denominador se acerca a cero?

Cuando el denominador de una función racional se acerca a cero, la gráfica de la función se acerca indefinidamente a la asintota correspondiente, es decir, la curva se acerca más y más a la línea en x = a, donde 'a' es el valor que hace cero el denominador.

¿Cómo se encuentra el punto de intersección de una función racional con el eje y?

Para encontrar el punto de intersección de una función racional con el eje y, se establece la condición de que x sea igual a cero y se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de y.

¿Cómo se determina el rango de una función racional?

El rango de una función racional se determina despejando y (la variable dependiente) en términos de x (la variable independiente) y viendo los posibles valores que puede tomar y, teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el dominio.

¿Qué son las asintotas y cómo se relacionan con las funciones racionales?

Las asintotas son líneas que la gráfica de una función racional se acerca indefinidamente, pero nunca toca. En las funciones racionales, las asintotas generalmente ocurren en los puntos donde el denominador es cero.

¿Por qué una función racional no puede tener un polinomio con exponentes fraccionarios en el numerador o denominador?

Una función racional debe tener un polinomio en el numerador y otro en el denominador, donde los polinomios son funciones formadas por sumas o productos de términos que contienen a x con exponentes enteros no negativos. Los exponentes fraccionarios no se consideran parte de los polinomios y, por lo tanto, no cumplen con la definición de una función racional.

¿Cómo se identifican las intersecciones de la gráfica de una función racional con los ejes x e y?

Las intersecciones con el eje x ocurren donde el valor de y es cero, mientras que las intersecciones con el eje y ocurren donde el valor de x es cero. Estas se calculan estableciendo las condiciones respectivas y resolviendo la ecuación.

¿Cómo se comporta el valor de una función racional cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero?

Cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, el valor de la función racional tiende a un infinito positivo o negativo, dependiendo del lado por el que se acerque a dicho valor.

¿Cómo se representa gráficamente una asintota vertical en una función racional?

Una asintota vertical en una función racional se representa gráficamente con una línea punteada que indica el valor de x que hace que el denominador sea cero, y que la curva de la función se acerca a esta línea pero nunca la toca.