LIMITE: a Ideia Fundamental do Cálculo

Summary

Daniel Nunes takes us on a journey to understand the concept of limits, a fundamental idea in calculus. He explains limits intuitively, using the example of estimating the square root of 2, and then delves into the formal definition involving epsilon and delta. The video clarifies the misconceptions around limits and emphasizes their importance in defining exponential functions and the calculus operations of derivatives and integrals. Nunes encourages a blend of intuitive thinking with rigorous mathematical understanding to appreciate the depth of limits in mathematics.

Takeaways

• 😀 Calculus is one of the greatest creations in the history of mathematics, and it relies fundamentally on the concept of limits.
• 📚 The script introduces the concept of limits as a crucial idea in calculus, which is often the first contact with higher mathematics.
• 🕰 Historically, calculus was taught in secondary education but has since been phased out, which is seen as a loss due to the reduced exposure to important mathematical ideas.
• 🌟 The intuitive notions of continuous change, such as continuous heating and motion, have challenged brilliant minds for millennia, leading to the development of calculus in the 17th century.
• 👨‍🔬 Isaac Newton is credited with the independent creation of calculus, though it was built upon the intuitive concept of limits without formal rigor.
• 🔢 The script uses the example of estimating the square root of 2 to illustrate the concept of limits and approximations, highlighting the connection between limits and real numbers.
• 📉 The importance of functions in modern science is discussed, with functions being a natural way to describe relationships, such as the position of a particle as a function of time.
• 📈 The concept of limits is explored in the context of functions, explaining how the behavior of a function can be understood as it approaches a certain value.
• 🚫 The script clarifies that the limit is not about the function's value at a specific point but rather its behavior as it approaches that point without actually reaching it.
• 📚 The formal definition of a limit using the Greek letters epsilon (ε) and delta (Δ) is introduced, emphasizing the rigorous mathematical approach to understanding limits.
• 📐 The geometric interpretation of epsilon and delta is provided to help visualize the concept of limits, showing how any level of error can be accommodated with an appropriate distance Delta.
• 🔑 The script mentions that the concept of limits is essential for understanding exponential functions and is integral to the definitions of derivatives and integrals in calculus.

Q & A

What is the main topic of the video?

The video discusses the concept of limits in mathematics, particularly in the context of calculus, and how it is fundamental to understanding continuous change.

Why is calculus considered one of the greatest creations in the history of mathematics?

Calculus is considered one of the greatest creations because it provides a framework for understanding continuous change, which is essential in many fields of science and mathematics. It relies on the concept of limits, which is crucial for defining derivatives and integrals.

What historical context is provided about the teaching of calculus?

The video mentions that there was a time when the basics of calculus were taught in high school, but with the increasing specialization in curricula, this is no longer the case. This change has reduced people's exposure to some of the most important ideas in the history of mathematics.

How did ancient mathematicians approach the idea of continuous change?

Ancient mathematicians had intuitive notions of continuous change, such as continuous heating or movement, but it wasn't until the 17th century, with the rise of modern science, that a more formal understanding of continuous variation developed alongside calculus.

What role did Isaac Newton play in the development of calculus and the concept of limits?

Isaac Newton is one of the independent creators of calculus. He treated the concept of limits intuitively, without a formalized approach. His work laid the foundation for the development of calculus, even though the rigorous definition of limits came about 200 years later.

What is the significance of the square root of 2 in the context of limits?

The square root of 2 is used as an example to illustrate the idea of limits. The video explains how this number, while well-defined, can only be approximated on the real number line, demonstrating the deep connection between limits and the structure of real numbers.

How do limits relate to functions in mathematics?

Limits are closely related to functions. They describe the behavior of a function as the input approaches a certain value. This concept is central to understanding continuous functions and the behavior of functions near specific points.

What is an intuitive understanding of a limit as described in the video?

An intuitive understanding of a limit involves imagining what value a function would approach as its input gets closer and closer to a specific point, without actually reaching that point. This approach helps to grasp the idea of a function's behavior near a given value.

What is the formal definition of a limit using epsilon and delta, and why is it important?

The formal definition of a limit states that for any arbitrarily small error margin (epsilon), there exists a small distance (delta) such that if the input of the function is within this distance of a certain point (but not equal to it), the function's output will be within the error margin of the limit value. This definition is important because it provides a rigorous framework for understanding limits and avoids incorrect conclusions based on intuition alone.

How does the video explain the concept of limits in higher dimensions?

The video explains that in higher dimensions, the concept of a limit can be visualized similarly to the one-dimensional case. For example, in two dimensions, the limit is defined in terms of a disk of arbitrary radius (epsilon) around a point, with a corresponding smaller disk (delta) that ensures all points within this smaller disk are mapped within the larger disk by the function.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Calculus and Limits

Daniel Nunes introduces the concept of calculus as one of the most significant creations in the history of mathematics, highlighting its dependence on the crucial idea of limits. He laments the reduction of calculus in the curriculum and emphasizes the importance of understanding continuous change, a notion that has challenged minds since antiquity. The video aims to demystify limits and their connection to real numbers, using the example of estimating the square root of 2 to illustrate the concept of approximation and the deep relationship between the structure of real numbers and limits.

05:02

🔍 Understanding Limits and Functions

This paragraph delves into the concept of limits in the context of functions, which are central to both mathematics and modern science. It explains how functions describe relationships, such as the position of a particle being a function of time. The paragraph discusses the process of finding limits by approaching a certain value without actually reaching it, using the behavior of the function as an example. It also touches on the difference between a function being continuous at a point and having a limit that differs from its value at that point, emphasizing the importance of rigor in the concept of limits.

10:02

📉 The Rigor of Limits: Epsilon and Delta

The paragraph explores the formal definition of limits using the epsilon-delta approach, which was established by mathematicians like Cauchy, building upon Newton's intuitive understanding. It explains the formal definition of a limit, involving epsilon as a measure of error and delta as the distance from the point of interest. The explanation aims to clarify that the limit exists if, for any given tolerance of error, there is a corresponding distance that ensures the function's value stays within the error margin. The paragraph also discusses the geometric interpretation of these concepts and their application to functions of multiple variables.

📈 Exponential Functions and Irrational Exponents

The final paragraph discusses the application of limits to define exponential functions with irrational exponents. It explains how the exponential function a^x is defined as the limit of a^r as r approaches the irrational number x, using rational approximations. The paragraph emphasizes the importance of limits in calculus, particularly in defining derivatives and integrals, and invites viewers to stay tuned for further exploration of these topics in future videos. It concludes with a call to action for viewers to like, subscribe, and comment on the video.

Keywords

💡Calculus

Calculus is a branch of mathematics that deals with rates of change and accumulation. It is foundational to the video's theme as it is the main subject being discussed. The script mentions that calculus was once taught in high school and is a crucial part of modern science's development, highlighting its importance in understanding continuous change and motion.

💡Limit

A limit is a fundamental concept in calculus that describes the value that a function or sequence approaches as the input approaches some value. The video emphasizes the limit as a crucial idea for calculus, explaining it through intuitive notions and later providing a rigorous definition involving 'epsilon' and 'delta', which helps in understanding the behavior of functions as they approach certain values.

💡Continuity

Continuity in calculus refers to a property of functions where there are no abrupt changes in value, and the function is defined at every point in its domain. The script touches upon continuity when discussing the behavior of functions at certain points and how limits are used to determine if a function is continuous at a given point.

💡Function

A function in mathematics is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs. The video uses the concept of a function to explain how calculus can describe phenomena such as the position of a particle as a function of time, which is central to understanding the application of calculus in physics and other sciences.

💡Epsilon (ε)

Epsilon, symbolized by 'ε', is used in the rigorous definition of a limit to represent an arbitrarily small positive quantity that serves as a margin of error. The script introduces epsilon in the formal definition of a limit, illustrating how it is used to quantify the closeness of a function's value to a certain limit.

💡Delta (Δ)

Delta, symbolized by 'Δ', is used in conjunction with epsilon to define a limit in calculus. The script explains that delta represents a distance or range within which the input values must stay to ensure the output values are within epsilon of the limit. This concept is crucial for the formal definition of a limit.

💡Approximation

Approximation is the process of finding a value that is very close to another number but not exact. The video discusses approximation in the context of finding the square root of 2 and how limits are related to the idea of getting increasingly close to a value without necessarily reaching it.

💡Exponential Function

An exponential function is a mathematical function that describes exponential growth or decay. The script mentions the exponential function when discussing how limits are used to define what it means to raise a number to an irrational power, which is an essential concept in calculus and its applications.

💡Graphical Representation

Graphical representation is a way to visualize the behavior of functions through graphs. The video script suggests that while it can be helpful to graph functions to understand limits, it is not always possible or practical, leading to the need for algebraic methods and the epsilon-delta definition.

💡Irrational Numbers

Irrational numbers are numbers that cannot be expressed as a simple fraction and have non-repeating, non-terminating decimal expansions. The script uses the square root of 2 as an example of an irrational number and discusses how limits are used to understand operations involving irrational numbers in calculus.

💡Derivative

A derivative in calculus represents the rate at which a quantity changes with respect to another quantity. Although not deeply explored in the script, the derivative is mentioned as an application of limits, which is essential for understanding the instantaneous rate of change of a function.

💡Integral

An integral in calculus is a concept that represents the accumulation of a quantity and is the inverse operation to differentiation. The script briefly mentions integrals in relation to limits, indicating their importance in calculus for understanding the total change over an interval.

Highlights

Calculus is one of the greatest creations in the history of mathematics and depends fundamentally on the concept of limits.

Calculus was once taught in high school but has since been removed from curricula, which is a pity as it limits exposure to important mathematical ideas.

The intuitive notions of continuous change, such as continuous heating and motion, have challenged brilliant minds for millennia.

The path to truly understanding continuous variation began in the 17th century with the birth of modern science.

Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz are credited with the independent creation of calculus, which is fundamentally based on the idea of limits.

Newton treated the concept of limits intuitively without strictly formalizing it.

The concept of limits is closely related to the idea of approximations and the notion of real numbers.

Functions are central to not only mathematics but also modern science, with functional relationships being very natural to us today.

A function is a rule that associates two sets, such as time and position coordinates in the case of particle movement.

Graphs can be drawn to understand the behavior of a function, especially as the variable approaches a certain value.

The limit of a function as the variable approaches a certain value can be understood intuitively as how the function behaves as it gets closer to that value.

The concept of limits is essential for defining what a derivative and an integral are in calculus.

Augustin-Louis Cauchy was the first to use the famous two Greek letters (epsilon and delta) in the definition of a limit.

The formal definition of a limit involves epsilon and delta to make the intuitive notion of approaching a value more rigorous.

The geometric interpretation of epsilon and delta helps in understanding the concept of limits more intuitively.

The concept of limits is used without much reflection in certain notions such as the exponential function.

Exponential functions with irrational exponents are defined using the concept of limits, which involves approximations through rational numbers.

The importance of limits in calculus is evident in the definitions of derivatives and integrals, which will be discussed in future videos.

The video aims to demystify the concept of limits, presenting both an intuitive understanding and a rigorous definition using epsilon and delta.

Transcripts

o cálculo é uma das maiores criações da

história da matemática mas para

funcionar ele Depende de uma ideia

crucial hoje nós vamos falar sobre o que

é um limite

Olá meu nome é Daniel Nunes você está

tem ciência e o cálculo costuma ser o

primeiro contato com a matemática

superior mas nem sempre foi assim Houve

um tempo em que emoções de cálculo eram

ensinadas ainda no ensino médio mas com

a filosofia crescente mediu o que rezar

cada vez mais o currículo esse tempo já

passou que é uma pena porque diminuiu o

contato das pessoas com algumas das

ideias mais importantes da história

desde a antiguidade as noções intuitivas

de mudança contínua aquecimento contínuo

e movimento continuo desafiam as mentes

mais brilhantes que já caminharam por

esse planeta mesmo sendo uma noção

intuitiva e explorada a milênios o

caminho para realmente entender a

variação contínua aberta no século 17

com nascimento da ciência moderna que se

desenvolveu em conjunto E graças ao

cálculo o cálculo é uma criação

Independente de Newton apesar do cálculo

dependente de forma fundamental da ideia

de limite esse conceito só foi

completamente estabelecido 200 anos

depois pelas mãos de Coxim e vai traz o

começo dessa ideia tá no próprio Newton

que tratava o conceito de limite de uma

forma intuitiva sem grandes preocupações

e formalizar isso rigorosamente uma

visão mais intuitiva é um bom ponto de

partida para começar a entender limites

os limites estão mais perto da gente do

que a gente imagina pensa por exemplo no

número raiz de 2 O que é realmente esse

número a gente sabe que ele corresponde

a diagonal de um quadrado de lado 1 Mas

e se fosse para localizar raiz 2 como um

ponto na reta real onde ele ficaria de

cara a gente sabe que ele fica entre um

e dois porque um ao quadrado dá um e

dois ao quadrado dá quatro a gente pode

melhorando aos poucos essas estimativas

encontrando com cada vez mais precisão a

posição de raiz de dois na reta através

de a aproximações sucessivas você pode

usar uma calculadora e ela vai te dar

uma expressão de raiz de dois com várias

casas decimais só que isso nunca será

raiz de dois realmente é apenas uma

aproximação para ela essa aproximação

pode ser feita tão boa quanto a gente

queira incorporando mais e mais casos

decimais mas sempre será apenas uma

aproximação então por aí você percebe

que existe uma conexão profunda entre a

ideia de aproximações que você De certa

forma os limites e a própria noção de

número real e de fato essas noções se

conversam uma coisa se apoia na outra eu

não pretendo explorar mais aqui as

origens dessa relação mas é importante

ter em mente a conexão profunda entre a

própria estrutura dos números reais e o

conceito de limite

limites dependem também do conceito de

função parece que lábios foi o primeiro

a usar esse termo que é Central não só

para matemática como também para a

própria ciência moderna relações

funcionais são muito naturais para nós

nos dias de hoje por exemplo a gente não

tem dificuldade de entender o que quer

dizer a posição de uma partícula em

movimento ser função do tempo a medida

que o tempo passa a posição da partícula

se modifica para cada instante de tempo

existe uma posição correspondente isso é

suficiente para descrever esse movimento

uma função é apenas uma regra para

associar dois conjuntos no caso do

movimento o conjunto da escala de tempo

é associado ao conjunto das coordenadas

de posição podemos trocar a partícula

por um carro e as coordenadas do carro

estão distribuídas por um mapa a função

de movimento leva então cada tempo em

uma única coordenada no mapa isso

descreve o caminho percorrido pelo carro

algumas vezes podemos traçar o gráfico

de uma função como uma maneira de

entender melhor o seu comportamento Pode

ser que por algum motivo a gente quer

saber o que acontece com a função

conforme nos aproximamos de um

determinado valor para variável

independente X por exemplo na função

representada por esse gráfico a gente

poderia estar interessado em ver o que

acontece quando X se aproxima de ar esse

caso o valor da função vai se

aproximando cada vez mais de l a medida

que x se aproxima cada vez mais já

intuitivamente a gente diz que o limite

de f de x quando X tende a = l isso

significa que conseguimos nos aproximar

desse valor L tanto quanto a gente

queira conseguimos isso tomando um valor

de X suficientemente próximo de a mas

não igual a a e que vai gerar um valor

de f de x bem perto de l o processo de

limite para esse funk Estamos nos

aproximando de ar mas sem chegarmos em

ar de fato isso porque chegar em a é

simplesmente olhar o valor da função em

a e não é isso que a gente quer até

porque às vezes a função nem está

definida ali ou possui uma definição

exótica nesse ponto O que importa não é

saber o valor real em ar mas sim como a

função se comporta a medida que nos

aproximamos já basicamente seria

imaginar qual o valor a função teria em

a caso as expectativas que formamos a

medida que nos aproximamos de ar

realmente concretismo

pode acontecer de F de Aço exatamente l

e nesse caso dizemos que a f é uma

função contínua no ponto a mas também

pode acontecer do limite hélice

diferente do valor da função em a na

prática Nem sempre é possível ou viável

elaborar o gráfico de F para ver como

limites se comportam que normalmente

acontece é olhar diretamente para uma

expressão algébrica da função e ver como

limite se comporta E aí começa a surgir

um problema por exemplo qual o limite de

seno de pi sobre x quando X tende a 0

sem olhar para o gráfico dessa função

como resolver esse problema uma primeira

maneira poderia ser testar alguns

valores próximos de zero números da

forma um cvn é um número natural serve

para gerar uma aproximação do zero nesse

caso sendo difícil sobre x ficaria sendo

de NP que vale sempre zero para todo ele

natural então isso quer dizer que o

limite de cenas de pi sobre x quando X

tende a zero é zero

não porque poderíamos nos aproximar do

zero de outra forma por exemplo com

números do tipo 2 CBN com n novamente

natural aí teremos sendo de NP sobre o 2

que fica alternando Tecnicamente entre

os valores um zero menos um e zero

olhando para o gráfico dessa função

vemos que a coisa é pior ainda ela

oscila loucamente entre menos um e uma

medida que x se aproxima de zero Então

na verdade Não Existe limite para essa

função quando X tende a zero se a gente

tivesse confiado na nossa primeira

aproximação a gente poderia ter caído na

tentação de dizer que o limite Era Zero

então fica claro que essa noção

intuitiva de X se aproximar de ar

precisa ser tomada mais rigorosa e esse

Rigor só veio 200 anos depois os

trabalhos de Newton elas vão nos

matemáticos

e foi ele quem usou pela primeira vez as

duas letras gregas famosas na definição

de limite eles são até hoje amplamente

utilizadas e temidas

na época o alemão Call vai atrás mas

essencialmente a ideia do coxim já é

muito similar agora vai estrear você

também para nós a definição formal de

limite é a seguinte

dizemos que o limite de f de x quando X

tende a e l c dado Epson maior que zero

arbitrário existe Delta maior que zero

tal que se x é um número que satisfaz 0

menor que o módulo de X - a menor do que

Delta então o módulo de f de x menos L é

menor do que Epson essa definição é

realmente assustadora para quem vê ela

pela primeira vez tem essas letras

gregas esses símbolos intimidadores mas

na verdade o significado de tudo isso é

até bem simples Apesar desse formato

mais rebuscado essa definição possui a

mesma intuição de antes ela é o limites

ou possível fazer apps difícil aproximar

dele apenas fazendo com que o x se

aproxime de a sendo entanto ser o

próprio a isso tem que valer para toda

forma de aproximação possível a questão

é que esse Epson e delta torna uma ideia

do que significa esse aproximar

muito menos vaga do que antes mesmo do

exemplo do seno de pi sobre x se não

tomarmos cuidado com o que significa

essa aproximação poderíamos cair no erro

de achar que o limite a zero quando na

verdade ele sequer existe Coxi usou a

letra grega Epson para representar a

ideia de erro enquanto Delta significa

diferença intuitivamente é mesmo Isso se

ela é mesmo limite e isso significa que

para uma certa margem de erro Epson ao

redor de L basta a gente considerar

valores de x a uma diferença de a que

não ultrapasse Delta que isso é

suficiente para garantir que f de x cai

dentro da margem de erro Epson ao redor

de l a minha forma favorita de entender

esses epsons e deltas é justamente

pensar dessa forma visual isso é

possível porque o módulo da diferença de

dois números nada mais é do que a

distância entre esses números o conceito

geométrico então podemos dizer que o

limite é L se para qualquer grau de

tolerância épsilon de erro que pode ser

tão pequeno quanto quisermos existe

sempre uma distância Delta que Garanta

que todo ponto x que esteja uma

distância de a menor que Delta com x

diferente a vai acertar o que f de x cai

dentro do intervalo de raio Epson ao

redor de L essa forma de ver funciona

inclusive dimensões maiores com funções

de várias variáveis por exemplo em duas

dimensões o limite é hélice para todo o

disco de raio arbitrário Epson ao redor

de L forma possível encontrar um disco

furado pequeno de raio Delta tal que é

que leva esse disco furado para dentro

do disco de raio Edson ao redor de L é a

mesma coisa de antes

Existem certas noções que a gente usa

sem grandes reflexões mas que dependem

essencialmente da ideia de limite Um Bom

exemplo é a função exponencial a gente

entende perfeitamente O que significa a

elevado a n onde a é maior do que zero e

n é um número natural basta multiplicar

a n vezes também entendemos O que é uma

raiz caesma de ar é justamente o número

que multiplicado k vezes por ele mesmo

dá o próprio a partir daí conseguimos

entender sem dificuldade o que seria a

elevado a n sobrecar um número racional

positivo qualquer é a raiz ksima de a

elevado a n mas o que significa elevar a

raiz quadrada de 2 ou qualquer outro

número irracional não existe uma

interpretação simples para isso apesar

disso podemos definir precisamente O que

há elevado a um irracional Alfa qualquer

quer dizer que a gente faz isso usando o

conceito de limite então a função

exponencial a elevado a x é uma função

que nos Racionais funcione exatamente

como dissemos AIDS

profissionais digamos Alfa ela é

definida como o limite de a elevado a r

quando R tende a Alfa onde R5 um número

racional ou seja olhamos para o limite

racional de a elevado a x repare que

aqui a situação é um pouco diferente do

que falamos antes sobre o limites porque

agora as únicas aproximações que

queremos usar são aproximações através

de números racionais Já que é somente

neles que é exponencial está bem

definida só que isso não é problema o

que os Racionais são densos nos reais ou

seja para definir o que significa 3

elevado a raiz de 2 a gente começa com

aproximações Racionais raiz de 2 vamos

elevando três a essas aproximações

Racionais conforme esses Racionais se

aproximam mais e mais mais de dois três

elevado a eles vai se aproximando de um

determinado limite o valor de três

elevado a √2 é por definição o valor

desse limite então para gastar Nossa

matemática aqui podemos escrever

rigorosamente a definição da exponencial

de a Da alphal Ferraz e da seguinte

forma dizemos que a elevada a aopl se

para todo Epson modo que zero existe

Delta modo que zero tal que se R

racional e zero é menor do que o módulo

de R menos Alfa menor do que Delta então

o módulo de a elevado a r - l é menor do

que Epson o que isso tudo quer dizer que

apenas estamos usando aproximações

Racionais para definir a exponencial com

expoente zirracionais demora um pouco

para a gente se acostumar com essa coisa

de Epson 11 deltas mas ter sempre em

mente a interpretação geométrica ajuda

demais na verdade é assim que eu penso

até hoje lembra que a gente usa o Rigor

apenas na hora de escrever as coisas mas

o nosso raciocínio trabalha de uma forma

mais intuitiva por isso essas imagens

mais intuitivas ajudam demais a nortear

os nossos pensamentos a importância de

limites para o cálculo aparece já na

própria definição do que é uma derivada

e também do que é uma integral Mas isso

fica para outros vídeos a gente fazer as

coisas com calma seja também o interesse

de vocês É lógico Conta aí nos

comentários no vídeo de hoje eu trouxe

uma ideia intuitiva de limite mas também

a sua definição mais rigorosa em termos

de Epson e deltas que é importante saber

mas também é importante entender eu

espero que o vídeo tenha ajudado a

desmistificar um pouco esse assunto que

essencialmente não passa de uma noção

geométrica e é assim que eu penso nela

até hoje muito obrigado aos membros do

canal E não se esqueça de deixar o like

se inscrever e até o próximo vídeo