32. Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen

Summary

En este video, Jesús Grajeda explica la ecuación de la circunferencia cuando su centro no está en el origen, detallando cómo se deriva a partir del teorema de Pitágoras. A través de ejemplos prácticos, como una circunferencia con centro en (5,7) y radio 4, y otra con centro en (2,-6) y radio 3, el video ilustra cómo aplicar la fórmula para obtener la ecuación de la circunferencia. Al final, se utiliza GeoGebra para graficar las ecuaciones, mostrando su precisión. El video concluye animando a los espectadores a seguir aprendiendo matemáticas.

Takeaways

• 😀 Se explica cómo derivar la ecuación de la circunferencia cuando su centro no está en el origen.
• 😀 La fórmula de la ecuación de la circunferencia es (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio.
• 😀 Para entender de dónde proviene la ecuación, se utiliza un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras.
• 😀 El centro de la circunferencia tiene coordenadas (h, k) y el radio es la distancia desde el centro a cualquier punto sobre la circunferencia.
• 😀 Los catetos del triángulo rectángulo se encuentran al calcular la diferencia de las coordenadas: (x - h) y (y - k).
• 😀 Aplicando el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que es el radio.
• 😀 Se muestra cómo sustituir los valores de h, k y r en la ecuación para encontrar la ecuación de una circunferencia específica.
• 😀 Ejemplo 1: Si el centro está en (5, 7) y el radio es 4, la ecuación sería (x - 5)² + (y - 7)² = 16.
• 😀 Ejemplo 2: Si el centro está en (2, -6) y el radio es 3, la ecuación sería (x - 2)² + (y + 6)² = 9.
• 😀 La visualización con gráficos en Geogebra se utiliza para confirmar que las ecuaciones obtenidas son correctas.
• 😀 Se enfatiza que la comprensión de la ecuación de la circunferencia es esencial para resolver problemas matemáticos relacionados con círculos.

Q & A

¿Qué es la ecuación de la circunferencia cuando su centro no está en el origen?

La ecuación de la circunferencia, cuando su centro no está en el origen, tiene la forma (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio de la circunferencia.

¿Cómo se deriva la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria?

La ecuación se deriva utilizando el teorema de Pitágoras. Se traza un triángulo rectángulo desde el centro de la circunferencia hasta un punto sobre ella, donde los catetos son las diferencias de las coordenadas de los puntos, y la hipotenusa es el radio.

¿Qué representan las coordenadas (h, k) en la ecuación de la circunferencia?

Las coordenadas (h, k) representan el centro de la circunferencia, el cual no está en el origen de los ejes coordenados.

¿Qué es el radio de una circunferencia y cómo se representa?

El radio de una circunferencia es la distancia desde su centro hasta cualquier punto sobre ella. En la ecuación de la circunferencia, se representa con la letra 'r'.

¿Cómo se determina el valor de los catetos en el triángulo rectángulo utilizado para derivar la ecuación?

El cateto horizontal se calcula como la diferencia entre las coordenadas 'x' del punto sobre la circunferencia y el centro (x - h), y el cateto vertical se calcula como la diferencia entre las coordenadas 'y' del punto sobre la circunferencia y el centro (y - k).

¿Qué establece el teorema de Pitágoras en el contexto de la circunferencia?

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En este caso, los catetos son (x - h) y (y - k), y la hipotenusa es el radio 'r'.

¿Cómo se escribe la ecuación de la circunferencia si el centro está en las coordenadas (5, 7) y el radio es 4?

La ecuación de la circunferencia con centro en (5, 7) y radio 4 sería (x - 5)² + (y - 7)² = 16.

¿Qué se debe hacer para encontrar la ecuación de la circunferencia cuando se conocen las coordenadas del centro y el radio?

Para encontrar la ecuación de la circunferencia, se debe sustituir las coordenadas del centro (h, k) y el valor del radio (r) en la fórmula general (x - h)² + (y - k)² = r².

¿Qué ocurre si el radio de la circunferencia es 3 y el centro está en las coordenadas (2, -6)?

La ecuación de la circunferencia con centro en (2, -6) y radio 3 sería (x - 2)² + (y + 6)² = 9.

¿Cómo se verifica la ecuación de la circunferencia usando Geogebra?

En Geogebra, se puede graficar la ecuación de la circunferencia sustituyendo los valores en la fórmula. Si el gráfico muestra correctamente el centro en las coordenadas dadas y el radio como se especifica, entonces la ecuación es correcta.