Criterio de la primera derivada.
Summary
TLDREn este video tutorial, el profesor Rodríguez imparte un clase de cálculo diferencial centrado en el Criterio de la Primera Derivada. Utiliza el ejemplo \( \frac{1}{3}x^3 - 4x \) para demostrar cómo encontrar valores críticos. Explicó paso a paso cómo simplificar la primera derivada, factorizarla y encontrar los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o viceversa. Luego, identificó los valores críticos (-2 y 2) y calculó los puntos críticos sustituyendo estos valores en la función original, obteniendo (-2, -16/3) y (2, -16/3). El video es una excelente herramienta para comprender conceptos fundamentales de cálculo.
Takeaways
- 👨🏫 El profesor Rodríguez imparte una clase de cálculo diferencial.
- 📘 Se estudia el criterio de la primera derivada para determinar los valores críticos.
- 🔍 Se utiliza el ejemplo f(x) = \( \frac{1}{3}x^3 - 4x \) para aplicar el criterio.
- ✏️ Se calcula la primera derivada f'(x) = \( x^2 - 4 \) y se factoriza para simplificar.
- 🔢 Se encuentran los valores críticos \( x = -2 \) y \( x = 2 \) al igualar la primera derivada a cero.
- 📊 Se evalúa la primera derivada en puntos que no son críticos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
- ↗️ La función crece en los intervalos \( (-\infty, -2) \) y \( (2, \infty) \).
- ↘️ La función decrece en el intervalo \( (-2, 2) \).
- 📌 Se identifican los puntos críticos sustituyendo los valores críticos en la función original.
- 📝 Se calculan los puntos críticos: \( f(-2) = \frac{16}{3} \) y \( f(2) = -\frac{16}{3} \).
- 🔚 El profesor Rodríguez concluye la clase y anima a suscriptores para recibir futuros tutoriales.
Q & A
¿Qué tema se aborda en la clase de cálculo diferencial impartida por el profesor Rodríguez?
-El tema tratado en la clase es el criterio de la primera derivada.
¿Cuál es la función que se utiliza como ejemplo para aplicar el criterio de la primera derivada?
-La función utilizada como ejemplo es \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x \).
¿Cómo se calcula la primera derivada de la función dada en el ejemplo?
-La primera derivada se calcula como \( f'(x) = x^2 - 4 \).
¿Cuál es la segunda derivada de la función dada?
-La segunda derivada es \( f''(x) = 2x \).
¿Cómo se factoriza la primera derivada para encontrar los valores críticos?
-La primera derivada se factoriza como \( f'(x) = (x + 2)(x - 2) \).
¿Cuáles son los valores críticos que se obtienen al igualar la primera derivada a cero?
-Los valores críticos son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
¿Cómo se evalúa si los valores críticos son de crecimiento o decrecimiento de la función?
-Se evalúa sustituyendo valores en la primera derivada que no sean críticos y observando si es positiva (crecimiento) o negativa (decrecimiento).
¿Cuál es la interpretación de los valores críticos en el contexto de la función dada?
-Los valores críticos son puntos donde la función cambia de ser creciente a decreciente o viceversa.
¿Cómo se encuentran los puntos críticos en la función original?
-Se sustituye el valor crítico en la función original para encontrar el valor de y correspondiente.
¿Cuáles son los puntos críticos que se encuentran al aplicar el criterio de la primera derivada a la función dada?
-Los puntos críticos son \( (-2, \frac{16}{3}) \) y \( (2, -\frac{16}{3}) \).
¿Cómo se puede contactar al profesor Rodríguez para enviar ejercicios para ser resueltos en tutoriales futuros?
-Se puede contactar al profesor Rodríguez a través de WhatsApp o enviando un correo electrónico al que aparece en la pantalla o en la descripción del video.
Outlines
📘 Criterio de la primera derivada
El profesor Rodríguez introduce el concepto de criterio de la primera derivada en cálculo diferencial. Se utiliza la función \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x \) para encontrar valores críticos. Se calcula la primera derivada \( f'(x) = x^2 - 4 \) y se factoriza para simplificar. Se establecen los valores críticos al igualar la primera derivada a cero, obteniendo \( x = -2 \) y \( x = 2 \). Se evalúa la primera derivada en puntos que no son críticos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Se concluye que la función crece en los intervalos (-∞, -2) y (2, ∞), y decrece en (-2, 2).
📙 Identificación y análisis de valores críticos
Se explica cómo identificar los valores críticos que hacen que la función cambie de creciente a decreciente o viceversa. Se confirma que -2 y 2 son valores críticos al observar el comportamiento de la función a su izquierda y derecha. Se calculan los puntos críticos sustituyendo estos valores en la función original, obteniendo \( f(-2) = \frac{16}{3} \) y \( f(2) = -\frac{16}{3} \). El profesor Rodríguez concluye la clase con un resumen del criterio de la primera derivada y anima a los estudiantes a suscribirse y enviar ejercicios para futuras sesiones.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo diferencial
💡Criterio de la primera derivada
💡Valores críticos
💡Primera derivada
💡Segunda derivada
💡Factorización
💡Diferencia de cuadrados
💡Recta real
💡Puntos críticos
💡Función creciente/decreciente
Highlights
Introducción a la clase de cálculo diferencial con el profesor Rodríguez.
Explicación del criterio de la primera derivada para determinar los valores críticos.
Ejemplo práctico con la función \( \frac{1}{3}x^3 - 4x \) para aplicar el criterio.
Cálculo de la primera derivada \( F'(x) = x^2 - 4 \).
Factorización de la primera derivada para simplificar la expresión.
Determinación de los valores críticos a partir de \( x + 2 = 0 \) y \( x - 2 = 0 \).
Ubicación de los valores críticos -2 y 2 en la recta real.
Evaluación de la primera derivada en puntos que no son críticos (-3, 0, 3).
Análisis de la monotonía de la función en intervalos alrededor de los valores críticos.
Identificación de los cambios en la monotonía para confirmar los valores críticos -2 y 2.
Cálculo de los puntos críticos sustituyendo los valores críticos en la función original.
Resultado del primer punto crítico: \( f(-2) = \frac{16}{3} \).
Resultado del segundo punto crítico: \( f(2) = -\frac{16}{3} \).
Conclusión de la clase y invitación a suscribirse para recibir más tutoriales.
Oportunidad para que los estudiantes envíen ejercicios para ser resueltos en futuras clases.
Transcripts
Hola amigos soy el profesor bny
Rodríguez y bienvenidos a esta nueva
clase de cálculo diferencial el día de
hoy vamos a aprender criterio de la
primera derivada con el siguiente
ejemplo 1 ter de X a 3 - 4x para l dar
valores críticos aplicamos el criterio
de la primera
derivada F prima x es ig 1 * 3 3 tercios
de X a la 2 men derivada de 4x es
4 tenemos la primera
derivada podemos simplificar este TR se
va con este 3 nos queda que F prima de X
es igual a x a la 2 - 4 lo recomendable
es factorizar la primera derivada F
prima de X abro dos paréntesis tengo una
diferencia de cuadrado perfectos raíz
cuadrada del primero es x uno positivo
el otro negativo raíz cuadrada del
segundo es 2 como ya está totalmente
factorizada y simplificada la primera
derivada Entonces vamos a igualar cada
factor a
0 x + 2 = 0 x - 2 = a 0 porque los
valores críticos aparecen cuando la
primera vale c o cuando la primera
derivada no
existe despejamos x = -2 aquí tenemos un
posible valor crítico Todavía no Estamos
seguros y despejamos la siguiente x es
ig a 2 acá tenemos otro posible valor
crítico ahora vamos a ubicar esos
posibles valores críticos en la recta
real ubico el menor que es el -2 abierto
y ubico el dos abierto vamos a evaluar
la primera derivada en valores que no
estén en valores que no sean los valores
críticos o sea que puedo utilizar el -3
puedo utilizar el c y puedo utilizar
aquí el
TR entonces decimos F prima de
-3
es igual a reemplazamos el -3 en la
primera
derivada
-3 + 2 * -3 - 2 eso va a dar
-1 por -5 que es igual menos por menos
da más
5 nos dio positiva quiere decir que en
el intervalo donde está el -3 la función
crece vamos a evaluar la primera
derivada en el
cero F
prima de
0 reemplazamos la X por el 0 0 + 2 * 0 -
2
eso viene siendo igual a 2 por -2 es
igual a men 4 tenemos que en el
intervalo donde está el cer ese
intervalo es negativo quiere decir que
mi función decrece en todo este
intervalo Y por último evaluamos F prima
de
3 sería 3 +
2 3 - 2 que esto es igual a 5 * 1 esto
es igual a 5 quiere decir que en el
intervalo donde está el tres Ese
intervalo es
positivo en ese intervalo mi función
crece podemos poner los intervalos de
crecimiento y de de
crecimiento
crece desde menos infinito hasta
-2 menos infinito coma hasta
-2 Unido desde dos hasta el
infinito mi función
decrece desde el -2 hasta el
2 Cómo sabemos
si el número que nosotros encontramos es
un valor crítico o no un valor crítico
es aquel que hace que mi función cambie
de ser creciente y empiece a ser
decreciente o viceversa que cambie de
ser decreciente y empiece a ser
creciente si se fijan a la izquierda del
-2 toda la función es creciente y a la
derecha del -2 la función es decreciente
el -2 hizo que la recta real cambiará
Por ende el -2 es un valor crítico ahora
si nos fijamos con el dos a la izquierda
es decreciente y a la derecha es
creciente Por ende el dos también es un
valor
crítico con los valores críticos podemos
hallar los puntos
críticos los puntos críticos se hallan
sustituyendo en la función original La X
por el valor crítico Entonces vamos a
hacer F de -2 que es el primer valor
crítico quedaría así
1/3 de -2 a la 3 - 4 *
-2 Esto va a dar como resultado -
8/3 + 8 que esto es igual a -8 + 24
sobre
3 que eso es igual a 16 terci tenemos el
primer punto
crítico punto crítico dice que cuando la
x vale
-2 la y vale 16
ter vamos ahora a hallar el segundo
punto crítico con el segundo valor
crítico que es el 2
f2 es igual a
1/3 * 2 a la
3
men 4 * 2 esto es igual a
8/3 -
8 en su efecto 8 * 1 8 - 8 * 3
24 sobre 3 * 1 3 esto es igual a
-16
ter3
el segundo punto crítico
sería cuando la x vale 2 La y vale
-16
terci amigos hemos terminado esta clase
esto es el criterio de la primera
derivada Espero que les haya gustado nos
vemos en una próxima oportunidad no
olviden suscribirse para estar
pendientes de todos los tutoriales si
usted tiene ejercicio que quiere que yo
solucione en alguno de los tutoriales
puede enviármelo al WhatsApp que aparece
en pantalla o en la descripción aparece
mi correo electrónico nos vemos
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