Derivadas (Universo Mecánico 3)

Summary

El cálculo diferencial es una herramienta matemática fundamental para analizar cambios en el mundo físico y abstracto. Este poderoso lenguaje permite a los físicos y matemáticos describir y entender fenómenos complejos. La derivada, esencia del cálculo diferencial, se relaciona con la armonía pitagórica y fue rediscubierta por figuras como Galileo Galilei, quien vio en las matemáticas el lenguaje del universo. Con el tiempo, se desarrollaron reglas como la de la suma, el producto y la cadena, que son la gramática del cálculo diferencial. Este cálculo no solo se aplica a movimientos físicos, sino también a cambios en áreas, consumo de combustible y más. Albert Einstein, a pesar de su inicial subestimación, acabó reconociendo la importancia de las matemáticas en su trabajo en la teoría de la relatividad, destacando la necesidad de un matemático para mantener la precisión y claridad en la ciencia.

Takeaways

• 📚 El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en las cosas.
• 🎓 Las reglas para calcular derivadas son fundamentales en el cálculo diferencial y tienen raíces históricas que se remontan a 600 años antes de Cristo.
• 🎶 La armonía pitagórica fue un descubrimiento importante que relacionó las matemáticas con el mundo físico a través de la música.
• 📖 Galileo Galilei fue un pionero en la comprensión de la relación entre las matemáticas y el universo, y su obra 'El Experimentador' influyó en el desarrollo del cálculo diferencial.
• 👨‍👦 Galileo heredó su espíritu de innovación de su padre, Vincento, un músico que desafió las formas tradicionales y contribuyó a la evolución de la música.
• 🌱 La cinemática, creada por Galileo, es una rama de la mecánica que trata el movimiento en el abstracto y requiere de un lenguaje matemático adecuado.
• 🔢 Los símbolos y el vocabulario matemático son esenciales para entender el 'libro del universo', como lo describe Galileo.
• 📈 La derivada es una noción fundamental en el cálculo diferencial, representando el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.
• 📉 La pendiente, o inclinación, es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y es un concepto clave en el cálculo de derivadas.
• 🤔 Fermat y Descartes contribuyeron significativamente al desarrollo del cálculo diferencial con sus métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas.
• 🚀 Las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma, el producto y la cadena, son la 'gramática' que permite descomponer y analizar funciones complejas.

Q & A

¿Qué es el cálculo diferencial y qué propósito cumple en las matemáticas?

El cálculo diferencial es una herramienta matemática utilizada para analizar el cambio en las cosas. Permite calcular derivadas y es fundamental en la cinemática, proporcionando una perspectiva completa de lo que es una derivada, la cual es el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.

¿Cómo se relaciona la armonía pitagórica con la historia del cálculo diferencial?

La armonía pitagórica, que descubrió la relación entre los números y el largo de las cuerdas de un instrumento para obtener acordes agradables, fue el primer paso en relacionar las matemáticas con el mundo físico. Este descubrimiento fue importante y sentó las bases para la conexión entre las matemáticas y la física que más tarde se exploraría en el cálculo diferencial.

¿Quién fue Galileo Galilei y qué贡献给了数学和物理?

Galileo Galilei fue un científico y astrónomo italiano que comprendió la importancia de las matemáticas en la descripción del universo. Escribió en su libro 'El Experimentador' que el verdadero conocimiento está escrito en el lenguaje de las matemáticas y que para entender el universo, es necesario aprender este lenguaje.

¿Cómo describió Galileo la relación entre el conocimiento y el universo?

Galileo describió el universo como un gran libro abierto continuamente ante nuestros ojos, donde el verdadero conocimiento está escrito. Para entenderlo, es necesario aprender la lengua y reconocer los caracteres matemáticos en los que está escrito.

¿Por qué Galileo consideró que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas?

Galileo consideró que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas para expresar sus ideas complejas en la ciencia y la física. Él creó la cinemática, una rama de la mecánica que trata del movimiento en abstracto, y para la correcta expresión de estas ideas abstractas requería un lenguaje matemático más adecuado.

¿Cuándo se descubrió el cálculo diferencial y qué significó este descubrimiento?

El cálculo diferencial se descubrió aproximadamente 25 años después de la muerte de Galileo. Este lenguaje matemático fue necesario para una física más avanzada y permitió a los eruditos analizar conceptos más sofisticados, lo que llevó a un mayor desarrollo de la ciencia y la física.

¿Qué es la pendiente y cómo está relacionada con la derivada?

La pendiente es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal. Es un número que representa la empinado de una cuesta. La derivada es similar a la pendiente, ya que es el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado. La pendiente en un punto en particular se conoce como la pendiente de la recta tangente en ese punto.

¿Cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto en movimiento?

La velocidad instantánea de un objeto se calcula tomando el límite cuando el tiempo tiende a cero de la velocidad media, que es el cociente de la variación de la distancia recorrida entre la variación del tiempo transcurrido.

¿Qué son las reglas de diferenciación y cómo se aplican en el cálculo diferencial?

Las reglas de diferenciación son técnicas matemáticas utilizadas para encontrar derivadas. Incluyen la regla de la suma, la regla del producto y la regla de la cadena. Estas reglas permiten a los matemáticos descomponer funciones complejas en partes más simples y calcular sus derivadas.

¿Cómo se relaciona el cálculo diferencial con la física y sus aplicaciones prácticas?

El cálculo diferencial es esencial en la física para describir conceptos como la velocidad y la aceleración. Por ejemplo, la derivada del desplazamiento es la velocidad, y la segunda derivada de la velocidad es la aceleración. Además, se utiliza en tecnologías modernas, como en el cálculo de instrumentos de medición como velocímetros o cuentakilómetros.

¿Por qué es importante la precisión en las matemáticas y cómo la ven los físicos y los matemáticos?

La precisión en las matemáticas es crucial para garantizar la claridad y la coherencia en el desarrollo de las ideas y en la resolución de problemas. Mientras que los físicos pueden ver las matemáticas como una herramienta para la ciencia, los matemáticos se centran en la belleza y la lógica intrínsecas de las matemáticas, explorando todas las posibles excepciones y casos atípicos.

Outlines

00:00

📚 Introducción al cálculo diferencial y su importancia histórica

Este párrafo aborda el cálculo diferencial como una herramienta matemática fundamental para el análisis del cambio. Se menciona su origen en las reglas para calcular derivadas y cómo la armonía pitagórica relacionó las matemáticas con el mundo físico por primera vez. Se destaca a Galileo Galilei por reconectar estas disciplinas y su obra 'El sellador', que simboliza la visión de que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas. Además, se explora la relación entre la música y las matemáticas, y cómo la cinemática, una rama de la mecánica, requiere de un lenguaje matemático adecuado para expresar ideas abstractas.

05:00

🚴 La derivada como elemento esencial en la cinemática

El párrafo 2 se enfoca en la derivada como una herramienta crucial en la cinemática, comparándola con las ruedas en un viaje. Se describe la derivada como el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado, y no solo aplicada al movimiento de cuerpos. Se menciona cómo la derivada puede representar cambios en diversos contextos, como la densidad de población de los delfines o el precio de una pizza en relación con su tamaño. Se profundiza en el concepto de pendiente como la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y cómo los matemáticos como Fermat y Descartes contribuyeron a la formulación de métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas.

10:03

🔢 Concepto de derivada y su cálculo

El tercer párrafo detalla cómo se calcula la pendiente en un punto dado, que es equivalente a la velocidad instantánea en la cinemática. Se discute el concepto de 'delta' (δ), que representa pequeños incrementos en las variables, y cómo el cociente de estos deltas converge a la derivada cuando los incrementos tienden a cero. Se introduce el símbolo de la derivada 'd/dx' y se explica que la derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto. Se dan ejemplos de derivadas de funciones como la del seno y el coseno, y se enfatiza la importancia de la práctica para dominar el cálculo diferencial.

15:04

🛠️ Reglas del cálculo diferencial y su aplicación

Este párrafo explora las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma y la del producto, que permiten descomponer funciones complejas en partes más simples para facilitar su análisis. Se da un ejemplo práctico con pintores que cambian la superficie de pared a diferentes ritmos, y cómo la suma de estos ritmos representa la derivada de una suma de funciones. Además, se menciona la regla de la cadena, que se utiliza cuando una función depende de otra. Estas reglas constituyen la 'gramática' del cálculo diferencial, y se destaca su valor en la variedad de aplicaciones que abarca.

20:07

🚗 Aplicaciones prácticas del cálculo diferencial

El quinto párrafo se centra en las aplicaciones prácticas del cálculo diferencial, como el cálculo de la velocidad y la aceleración de un cohete. Se describe cómo la derivada del desplazamiento da la velocidad, y la segunda derivada proporciona la aceleración. Se utiliza la metáfora de las matemáticas y la física trabajando en armonía como un instrumento que combina notas en una melodía. Se menciona a Albert Einstein y su respeto por las matemáticas después de trabajar en la teoría de la relatividad, destacando la importancia de las 'sutiles partes' de las matemáticas en la física.

25:08

🏛 Precisión en las matemáticas y su rol en la física

Por último, el sexto párrafo aborda la percepción de los físicos hacia las matemáticas como una herramienta y cómo los matemáticos son guardianes de la precisión y claridad en el pensamiento matemático. Se destaca la importancia de considerar todas las excepciones posibles, como en el caso de una función con forma de pirámide que no tiene derivada en su vértice. Se enfatiza que, para los matemáticos, el valor de las matemáticas radica en su propia belleza y rigor, y no solo en su utilidad para otras disciplinas.

Keywords

💡Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una herramienta matemática utilizada para analizar cambios en distintas situaciones, como el movimiento de objetos o la variación de funciones. En el video, se destaca como una herramienta poderosa que permite obtener una perspectiva completa de lo que es una derivada, y cómo esta puede representar el ritmo de cambio de cualquier cosa, desde la densidad de población de los delfines hasta el precio de una pizza con respecto a su tamaño. Se menciona que el cálculo diferencial es esencial para entender el lenguaje matemático y su importancia en la física y otras disciplinas.

💡Derivada

Una derivada es una medida matemática que representa el ritmo de cambio de una función en un punto específico. En el video, se relaciona con la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, y se ilustra cómo la derivada puede aplicarse a conceptos tan diversos como la velocidad en la cinemática o el cambio en el volumen de un globo. La derivada es fundamental en el cálculo diferencial y se describe como el 'ritmo de cambio' de cualquier cosa.

💡Armonía pitagórica

La armonía pitagórica se refiere a la relación numérica simple que existe entre la longitud de las cuerdas de un instrumento de cuerda y el sonido que produce. En el video, se menciona como un ejemplo histórico de la conexión entre las matemáticas y el mundo físico, ya que los antiguos griegos descubrieron que ciertas relaciones numéricas producían acordes musicales agradables.

💡Galileo Galilei

Galileo Galilei fue un científico y astrónomo italiano que jugó un papel fundamental en el desarrollo de la física y la astronomía modernas. En el video, se destaca su papel en la redescubrimiento de la relación entre las matemáticas y el mundo físico, y cómo su trabajo influyó en el desarrollo del cálculo diferencial. Se cita su obra 'El Ensayador', donde describe su visión de que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas.

💡René Descartes

René Descartes fue un filósofo y matemático francés que contribuyó significativamente a la filosofía y las matemáticas, y es conocido por sus métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas. En el video, se menciona su contribución al cálculo diferencial y cómo su trabajo fue desarrollado posteriormente por otros matemáticos como Fermat, Leibniz e Isaac Newton.

💡Isaac Newton

Isaac Newton fue un científico inglés que formulaó las leyes fundamentales de la mecánica y la gravitación, y también fue uno de los principales desarrolladores del cálculo diferencial. En el video, se destaca su papel en el desarrollo de las herramientas del cálculo que permiten descomponer funciones complejas en partes más simples y entender su comportamiento.

💡Regla de la suma

La regla de la suma es una de las reglas básicas del cálculo diferencial que permite calcular la derivada de una suma de funciones como la suma de las derivadas de cada función individual. En el video, se ilustra con el ejemplo de dos pintores que trabajan a ritmos diferentes, y cómo la regla de la suma se aplica para encontrar la cantidad total de pared pintada por hora.

💡Regla del producto

La regla del producto es otra regla fundamental del cálculo diferencial utilizada para encontrar la derivada del producto de dos funciones. En el video, se muestra cómo se aplica esta regla con el ejemplo del área de un tablero, que es el producto de su largo y ancho, y cómo las variaciones en estos afectan el área total.

💡Regla de la cadena

La regla de la cadena es una herramienta del cálculo diferencial que se utiliza cuando una función depende de otra función, es decir, cuando se tiene una función compuesta. En el video, se menciona cómo esta regla permite calcular la derivada de una función en términos de variables adicionales, lo que es esencial para entender cómo las variables están relacionadas entre sí.

💡Albert Einstein

Albert Einstein fue un físico teórico alemán conocido por su contribución a la física con la teoría de la relatividad. En el video, se menciona una carta que escribió en 1912, donde expresaba su respeto por las matemáticas y su papel crucial en su trabajo. Einstein reconocía que, a pesar de la percepción de que las matemáticas son una herramienta para los físicos, son en realidad una disciplina profunda y compleja que requiere un gran respeto y comprensión.

💡Lenguaje matemático

El lenguaje matemático se refiere a la forma en que las matemáticas se utilizan para describir y analizar fenómenos en el mundo natural y construido. En el video, se destaca cómo el lenguaje matemático es preciso, poético y hasta musical, y cómo es esencial para entender y describir el universo. Se compara con el idioma de las artes y se menciona que, para comprender el 'libro del universo', es necesario aprender este lenguaje.

Highlights

El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en las cosas.

Las bases del cálculo diferencial son algunas reglas sencillas para calcular derivadas.

Hace aproximadamente 600 años, se descubrió la armonía pitagórica, un vínculo entre matemáticas y el mundo físico.

Galileo Galilei entendió la importancia de la relación entre las matemáticas y el universo físico.

Galileo escribió en su libro 'El Sellador' que el verdadero conocimiento está escrito en el lenguaje de las matemáticas.

El lenguaje matemático es preciso y poético, utilizado por físicos y músicos desde hace siglos.

Vicenzo Galilei, padre de Galileo, también contribuyó a la música rechazando las formas tradicionales y desafiando la armonía pitagórica.

Galileo consideró las matemáticas griegas demasiado sencillas y desarrolló la cinemática como una rama de la mecánica.

Los eruditos necesitaban un lenguaje más sofisticado después de Galileo, lo que llevó al desarrollo del cálculo diferencial.

El cálculo diferencial es esencial para la cinemática y permite obtener una perspectiva completa de una derivada.

La derivada no solo se aplica al movimiento de cuerpos, sino también al ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.

La pendiente de una cuesta es un ejemplo de cómo se calcula la derivada en un punto particular.

Pierre de Fermat y René Descartes contribuyeron a las ideas matemáticas que llevaron al desarrollo del cálculo diferencial.

La velocidad instantánea se calcula como el límite de la velocidad media cuando el tiempo tiende a cero.

La derivada es el cociente de dos pequeños números, delta y y / delta x, que se convierte en una derivada cuando estos se acercan a cero.

La derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto y también es una función en sí misma.

Las reglas de diferenciación como la regla de la suma y la regla del producto son fundamentales en el cálculo diferencial.

La regla de la cadena es esencial cuando una operación depende de otra, como en el caso del consumo de combustible de un vehículo.

El cálculo diferencial tiene una amplia variedad de aplicaciones, desde la física de loscohetes hasta la economía.

Albert Einstein expresó su respeto por las matemáticas y reconoció su importancia en su trabajo en la teoría de la relatividad.

Los físicos a menudo subestiman la complejidad de las matemáticas, que son esenciales para la precisión y claridad en la ciencia.

Transcripts

el cálculo diferencial es una poderosa

herramienta matemática para analizar el

cambio en las cosas las asas de esa

herramienta son algunas reglas sencillas

para calcular derivadas

alrededor de 600 años antes de cristo

alguien descubrió que para obtener

agradables acordes era un instrumento de

cuerda el largo de esas cuerdas tenía

que estar en relación de números

sencillos como por ejemplo de 1 a 2 2 a

3 etcétera eso se llama armonía

pitagórica

y fue un descubrimiento importante

porque esta era la primera vez que se

relacionaban entre sí las matemáticas y

el mundo físico desgraciadamente esa

relación se olvidó y hubo que

descubrirla de nuevo muy lentamente y

con grandes dificultades unos mil años

después fue galileo galilei quien lo

comprendió

deseo leerles algo que galileo escribió

este libro

publicado en roma el año 1600 23 se

llama el sellador traducido generalmente

por el ensayador pero yo prefiero

traducirlo más bien por el

experimentador porque me parece que es

lo que más se aproxima a lo que galileo

tenía en mente

galileo tenía la fea costumbre de

escribir sus famosas notas en italiano

yo se la sigue traduciendo no se

preocupen dijo el verdadero conocimiento

está escrito en un enorme libro abierto

continuamente ante nuestros ojos me

refiero al universo

pero uno no puede entenderlo uno debe

aprender la lengua y a reconocer los

caracteres para poder entender el

lenguaje en el que está escrito está

escrito en el lenguaje de las

matemáticas

luego nosotros ahora para poder leer el

libro del universo tenemos primero que

aprender los símbolos y el vocabulario

del lenguaje matemático

es un lenguaje de la precisión de la

poesía e incluso de la música

desde hace ya muchos años los físicos

utilizan el lenguaje de las matemáticas

y los músicos aproximadamente desde 600

años antes de cristo también se sirven

de

como en casi todas las lenguas incluida

la música las matemáticas tienen su

vocabulario propio sus propias reglas y

símbolos su precisión y elegancia su

poesía y su historia

y una parte de esta historia fue galileo

galilei que tuvo algo de inconformista

un rasgo que heredó de su padre vincenzo

que fue un gran músico

musicalmente vincenzo se había negado a

sujetarse a las formas tradicionales

postura está que llegaría a ser la marca

de la familia vincenzo escribió un libro

en el que se oponía la utilización de la

armonía pitagórica como acostumbraban a

hacer sus contemporáneos en música

el consideraba los antiguos acordes

griegos demasiado simples para las

complejas estructuras musicales del

renacimiento italiano

más tarde de tal palo tal astilla

galileo consideró que las matemáticas

griegas eran demasiado sencillas para

poder expresar sus ideas

[Música]

y creo la cinemática una rama de la

mecánica que trata del movimiento en

abstracto

[Música]

y la correcta expresión de cualquier

idea abstracta requiere un lenguaje

adecuado conceptos y símbolos que den a

una idea su significado y valor

a pesar de ser muy avanzada la nueva

ciencia del movimiento de galileo sus

raíces estaban todavía en el terreno

donde acostumbraba a moverse el antiguo

intelecto griego

y era algo enteramente nuevo lo que

tenía que florecer en el campo de la

matemática y de la ciencia

[Música]

los eruditos necesitaban un lenguaje más

sofisticado que el que se hablaba desde

arquímedes y euclides en otras palabras

después de galileo la física necesitaba

un lenguaje más avanzado aproximadamente

25 años después de su muerte se

descubriría por fin ese famoso lenguaje

y comenzaría a utilizarse a partir de

entonces

se llamaría cálculo diferencial

[Música]

el cálculo diferencial es muy potente

y como en cualquier lenguaje su poder

deriva de la idea que le sustenta la

derivada

la derivada es para la cinemática lo que

las ruedas son para un viaje

un medio sencillo pero muy eficaz para

poder obtener una perspectiva completa

de lo que es una derivada

y nada mejor que un poco de ejercicio

la derivada no solo se aplica a un

cuerpo moviéndose horizontalmente ni por

eso ni sólo un cuerpo moviéndose

verticalmente hacia arriba o hacia abajo

o como sea

la derivada es el ritmo de cambio de

cualquier función en un determinado

punto instante

como ya se explicó al hablar de la ley

de caída de los cuerpos de galileo

la velocidad es la derivada de la

distancia pero es también algo más

una derivada puede representar el ritmo

de cambio de cualquier cosa por ejemplo

la densidad de población de los delfines

en relación con el aumento disminución

de temperatura del agua o el ritmo de

cambio de volumen de un globo respecto

al área de su superficie

o el ritmo de cambio del precio de una

pizza con respecto a su tamaño

como se ve el concepto de derivada está

por todas partes pero el proceso

mecánico de la derivada el cálculo

diferencial necesita un enfoque práctico

para que el concepto se imponga

en definitiva sin las reglas de

diferenciación el concepto de derivada

se nos puede hacer una montaña a la

larga es una ayuda incluir algunas

definiciones recogidas por el camino por

eso antes de que sea demasiado tarde

para volver atrás consideren lo empinado

en un plano inclinado lo empinado es la

relación entre el cambio en la altura y

el cambio en la distancia horizontal

esta relación un número recibe el nombre

de pendiente

por ejemplo supongamos que la altura de

una cuesta aumenta 15 metros cada 100

metros

el ciclista se mueve 15 metros hacia

arriba y 100 metros en horizontal la

pendiente es de 0 15

cuanto mayor es la pendiente llegará

hasta arriba es toda una proeza

[Música]

si es casi cero es un paseo

[Música]

y cuando la pendiente es negativa es

cuesta abajo

aunque se pueda caminar fácilmente por

ellas las matemáticas tienen sus picos y

valles y nadie sabe quién fue el primero

que preguntó cuál era la mejor manera

para ir de acá para allá

la respuesta en términos algebraicos fue

dada por un matemático francés llamado

fermat

en 1629 se le ocurrió la idea de hallar

la recta tangente en un punto arbitrario

de una curva

en 1638

fermat compartió su descubrimiento con

su compatriota rené de escarp que tenía

su propio método para hallar tangentes a

curvas algebraicas

[Música]

muchas de estas ideas matemáticas sobre

todo las de fermat fueron desarrolladas

posteriormente por virgen line e isaac

newton

según un método general y sistemático de

análisis matemático el cálculo

diferencial

[Música]

dejando la historia de lado al menos por

el momento quedan algunas preguntas

oportunas

por ejemplo en una curva que cambie

suavemente hay una pendiente que cambia

constantemente como se puede calcular en

el lenguaje de hoy la pendiente en un

punto dado

para determinar la pendiente en un punto

particular por ejemplo aquí

simplemente se toma otro punto de la

cuesta no importa donde

después se traza una línea recta que se

llama cuerda que una esos dos puntos

y la pendiente depende de la posición

del segundo punto

si el primer punto y el segundo están

próximos la cuerda es una aproximación

bastante acertada del recorrido de la

bici

cómo vamos' el segundo punto hacia el

primero

la pendiente es un número

al tender un punto hacia el otro

esos números tienden hacia un cierto

valor que se denomina pendiente de la

cuesta en ese punto

la recta que pasa por ese punto con esa

pendiente se llama recta tangente y es

la recta hacia la que tienden las

cuerdas al tender un punto hacia el otro

la pendiente de la cuesta es la

pendiente de la recta tangente en ese

punto

se puede calcular la velocidad

instantánea de manera análoga

la ley de caída de los cuerpos de

galileo aquí aplicada a una persona que

más bien no quiere

más que un terrorífico experimento es el

diferencial que viene en auxilio la

variación de la distancia se divide por

la variación del tiempo

el cociente es la velocidad media

durante un intervalo de tiempo dado

cuando ese tiempo disminuye hacia cero

el valor límite de la velocidad media es

la velocidad instantánea

el incremento en la altura se divide por

el incremento en la distancia horizontal

el resultado es la pendiente de la

cuerda que une los dos puntos si la

distancia horizontal se reduce a 0

el valor límite de la pendiente de la

cuerda es la pendiente en ese punto

la diferenciación los objetivos y los

cálculos difieren pero no el concepto

esencial ni el procedimiento

la velocidad es la derivada de la

distancia con respecto al tiempo

la pendiente es la derivada de la altura

con respecto a la distancia horizontal

[Música]

en cualquier caso una derivada es lo que

le ocurre a un cociente una razón entre

dos números cuando el dividendo y el

divisor disminuye gracias

antes de alcanzar el cero sus pequeños

valores se expresan con la letra griega

delta

delta y es un pequeño incremento de iu

delta x es un pequeño incremento de x

así que delta y / delta x es simplemente

un cociente de dos números pequeños

cuando esos números se hacen 0 el

cociente se convierte en una derivada y

los deltas en un nuevo símbolo

diferencial de i / diferencial de x

el símbolo de la derivada que significa

derivada de la cantidad y con respecto a

x

cuando ya se domina la mecánica sencilla

encontrar la derivada de cualquier cosa

es tan fácil como accionar un

interruptor

[Música]

la derivada de una función es la

pendiente de su tangente en cada punto

la derivada de una función es también

una función

[Música]

si la función es una recta la pendiente

es constante y la derivada es

precisamente esa constante

[Música]

si es igual a seno de x entonces

derivada de y respecto a x es igual a

coseno de x

[Música]

sí y es igual a coseno de x entonces

derivada de y respecto a x es igual a

menos seno de x

ayer derivadas requiere un poco de

práctica pero el esfuerzo vale la pena

y si consideramos el gran número de

máquinas contemporáneas que hayan

derivadas esto se ha convertido en una

práctica moderna

un velocímetro o cuentakilómetros es una

máquina que deriva mide la derivada de

la distancia recorrida en cada instante

a lo largo del camino

el ritmo de cambio de posición es la

velocidad instantánea expresada en

kilómetros por hora

por supuesto cuando el vehículo no se

mueve no recorre ninguna distancia aquí

la posición es constante y la derivada

de una constante es cero

la matemática es un lenguaje con

estructura gramatical un conjunto de

reglas que componen y descomponen la

tarea que se tiene entre manos

en cualquier cosa que se trabaje desde

construir una casa

a componer una sinfonía la tarea más

complicada puede descomponerse de la

misma manera

newton y line y desarrollaron las

herramientas del cálculo que permiten

diferenciar la función más complicada

descomponiendo la en partes sencillas

una de las reglas básicas de la

diferenciación es la regla de la suma

supongamos que un pintor pinta 90 metros

cuadrados de pared por hora

y otro pintor 100 metros

esos son los ritmos a los que las

superficies de pared cambian de color en

otras palabras son las derivadas por

consiguiente cada hora se han pintado

190 metros cuadrados de pared

así es como funciona la regla de la suma

la derivada de una suma es la suma de

las derivadas

[Música]

otra buena herramienta es la regla del

producto que se utiliza para obtener la

derivada del producto de dos funciones

por ejemplo el área de un tablero es el

producto de su largo por su ancho

si se acorta el largo

la variación en el área es el producto

del ancho x la variación en el largo

si el ancho se reduce la variación en el

área es el producto del largo

multiplicado por la variación en el

ancho

la variación total en el área es la suma

de estos y es exactamente así en el caso

del carpintero como en el lenguaje del

cálculo diferencial

la derivada del producto de y por zeta

es y por la agregada de zeta más zeta

por la derivada de i

[Música]

usando esta regla es posible encontrar

la derivada de x al cuadrado

[Música]

[Música]

[Música]

cómo

[Música]

o de equis elevado al cubo

o de cualquier potencia de x

[Música]

la derivada de x a la enésima potencia

es n por x a la potencia n 1

[Música]

frecuentemente una operación depende de

otra por ejemplo supongamos que un

vehículo tiene un consumo específico de

17 millas por galón de fuel eso es una

derivada

si es la distancia recorrida y x la

cantidad de fuel consumida entonces 17

millas por galón es la derivada de iu

respecto a x igual a de y partido por de

x supongamos que consume 2 galones por

hora 2 galones por hora igual a de x

partido por de t

la velocidad de un vehículo en millas

por hora es igual a las millas

recorridas por galón multiplicado por

los galones que consume por hora

es la regla de la cadena se utiliza

cuando y depende de x y x depende de ti

[Música]

la regla de la suma

la regla del producto

y la regla de camión

estas tres reglas representan la

gramática del cálculo diferencial

y el valor del cálculo diferencial se

puede ver en la variedad de sus

aplicaciones

por ejemplo cuando un cohete se mueve un

desplazamiento s en un tiempo de la

derivada del desplazamiento es la

velocidad

positiva para movimiento hacia arriba

y negativa para movimiento hacia abajo

la derivada de la velocidad es la

aceleración que es lo mismo que hallar

la derivada de una derivada

o sea la segunda derivada de s

la aceleración producida por el

encendido del cohete

las reglas de cálculo diferencial y sus

aplicaciones a la física

[Música]

cada una actúa como un solo instrumento

que toca el arte y la ciencia de las

matemáticas

trabajando juntos

armonizando pueden combinar notas

individuales o números en una melodía

explícita

[Música]

[Música]

i

y

[Música]

he recibido una carta de un músico

llamado albert eisntein

la envió en 1912 ha tardado en llegar el

servicio de correos trabaja a veces con

mucha lentitud pero realmente no me la

escribió a mí sino a un amigo suyo yo le

he obtenido en la biblioteca de

cualquier forma voy a leerla y veremos

que escribió

estoy ocupándome exclusivamente del

problema de la gravitación y creo que

ahora superaré todas las dificultades

pero yo estoy seguro de una cosa he

llegado a tener un gran respeto por las

matemáticas cuyas sutiles partes yo en

mi ignorancia hasta este instante había

creído que eran un mero luz

einstein trabajó cuatro años más en la

gravitación y el resultado fue la teoría

general de la relatividad de la cual

podemos decir que es la teoría

matemática más difícil de toda la física

qué quiso decir einstein al expresar que

las sutiles partes de las matemáticas le

parecían un lujo

pensó realmente que podría tener éxito

sin hacer cálculos

por supuesto que no

el asunto es que los físicos tienen

cierta arrogancia ante las matemáticas

por ejemplo se puede tener la impresión

de que siguiendo unas reglas sencillas

se puede obtener la derivada de

cualquier función

y no es del todo cierto

supongamos una función con forma

piramidal como una pirámide de egipto

bien es muy fácil obtener la pendiente

aquí y también es fácil obtenerla aquí

sin embargo en la punta tenemos

problemas porque en ese punto no hay

ninguna pendiente la función no tiene

derivada en ese punto

yo nunca dije nada que les hiciese creer

a ustedes que eso podía ocurrir

para los físicos las matemáticas son

solo una herramienta que usan para

llevar a cabo todo lo demás

pero un verdadero matemático es el

guardián de la precisión y claridad de

las ideas

lo que interesa a los matemáticos es la

propia matemática si un matemático hace

una proposición sobre las derivadas

la afirmación tendrá en cuenta toda

posible excepción por extraña inusual

que parezca como el pico de la pirámide

esa es la clase de sutileza que

preocupaba en este

hasta el próximo día