Relación entre la derivada y la integral
Summary
TLDREl guion del video explica la relación entre la derivada y la integral, dos conceptos fundamentales del cálculo. Se inicia con la función primitiva, que se deriva para obtener una nueva función. Se describe el proceso de diferenciación y cómo se complementa con la integración, utilizando el ejemplo del volumen de un cubo. La derivada se obtiene al aplicar reglas de derivación, mientras que la integral es el proceso inverso que nos lleva de vuelta a la función original, a excepción de una constante. Se ilustra con analogías y ejemplos prácticos, destacando la importancia de entender estos conceptos para la comprensión del cálculo.
Takeaways
- 📚 La derivada y la integral son conceptos fundamentales en el cálculo que se complementan entre sí.
- 🔄 La función primitiva es el punto de inicio del ciclo de derivación e integración en el cálculo.
- 📈 La derivada de una función se calcula utilizando las reglas de derivación y refleja la variación de la función.
- 🔢 La propiedad de que la derivada de una constante es cero es un principio básico en el cálculo diferencial.
- 🔄 La diferencial de una función es el resultado de multiplicar la función por un pequeño cambio en la variable independiente.
- 🔄 La integración es la operación inversa de la derivación y permite regresar a la función primitiva.
- 🔄 La integral y la diferencial son conceptos que se anulan entre sí cuando se aplican operaciones inversas.
- 📦 La analogía del pan rebanado ilustra cómo la integración puede devolver una función a su estado original, a pesar de perder cierta cantidad durante el proceso de derivación.
- 📏 En el caso del volumen de un cubo, la función primitiva es x al cubo y la derivada es 3x al cuadrado, representando áreas planas.
- 📐 El diferencial del volumen de un cubo se calcula multiplicando el resultado de la derivada por un pequeño cambio en x.
- 🔍 La integración de los diferenciales nos lleva de regreso al volumen original, más una constante de integración que representa el posible error o variación perdida durante el proceso.
Q & A
¿Qué relación existe entre la derivada y la integral en el contexto del cálculo?
-La derivada y la integral son operaciones inversas en el cálculo. La derivada nos da la tasa de cambio de una función, mientras que la integral nos permite encontrar una función que, al derivarla, nos devuelva la función original, a excepción de una constante.
¿Qué es una función primitiva en el ámbito del cálculo?
-Una función primitiva es una función de la cual se puede derivar otra función dada, es decir, es una función que, al ser derivada, nos proporciona la función original.
¿Cómo se calcula la derivada de una función polinomial de grado 3?
-Para calcular la derivada de una función polinomial de grado 3, se aplica la regla de derivación del poder, reduciendo el exponente en uno y multiplicando por el exponente original. Por ejemplo, la derivada de una función de la forma ax^3 es 3ax^2.
¿Qué es el diferencial de una función y cómo se relaciona con la derivada?
-El diferencial de una función es una aproximación de la variación de la función cuando se cambia su variable independiente en una pequeña cantidad. Se calcula multiplicando la derivada de la función por el cambio en la variable independiente.
¿Por qué la integral y la derivada son consideradas operaciones inversas?
-La integral y la derivada son operaciones inversas porque la integral de una derivada nos devuelve la función original, a excepción de una constante, cancelando así el efecto de la derivada.
¿Qué es la constante de integración y por qué aparece en el proceso de integración?
-La constante de integración es un valor que se añade al resultado de una integral porque el proceso de integración es una operación no determinista; es decir, al integrar una función, se recupera la función original más una constante arbitraria.
¿Cómo se relaciona el volumen de un cubo con la derivada y la integral en el ejemplo proporcionado?
-En el ejemplo, el volumen de un cubo se expresa como x^3. Al derivar esta función, se obtiene la superficie de las caras del cubo (3x^2), y al integrar nuevamente, se recupera el volumen original más una constante de integración.
¿Qué propiedades de integración se aplican al calcular el volumen de un cubo en el ejemplo?
-Se aplica la propiedad de integración que indica que la integral de x^n es x^(n+1)/(n+1) más una constante de integración. En el caso del cubo, se integra 3x^2, obteniendo 3x^3/3 más una constante.
¿Cómo se describe la analogía del pan rebanado en relación con la derivada y la integral?
-La analogía del pan rebanado se utiliza para ilustrar cómo la derivada 'saca rebanadas' del pan (la función), y la integral las vuelve a poner, aunque puede haber perdido algunas migajas (la constante de integración), el pan (la función original) sigue siendo el mismo.
¿Qué es el diferencial de la variable independiente y cómo se relaciona con el diferencial de una función?
-El diferencial de la variable independiente, en este caso 'dx', es una pequeña cantidad por la cual cambia esta variable. El diferencial de una función es la variación de la función cuando su variable independiente cambia en 'dx', y se calcula como la derivada de la función multiplicada por 'dx'.
Outlines
📚 La relación entre derivada e integral
El primer párrafo introduce la relación fundamental entre la derivada y la integral, que es crucial para entender el paso del cálculo diferencial al integral. Se utiliza un diagrama para ilustrar cómo la función primitiva, una polinomio de grado 3 en este caso, se transforma mediante la derivación. Se describen las reglas de derivación aplicadas a cada término del polinomio, y se señala que la derivada de una constante es cero. Además, se menciona la diferencial de la función, que es el concepto que conecta la derivada con la integral, y se explica que la integración es la operación inversa de la derivación, que nos lleva de vuelta a la función primitiva, a excepción de una constante que se pierde en el proceso.
📐 El ciclo de derivación e integración: un ejemplo práctico
El segundo párrafo profundiza en el concepto de ciclo entre derivada e integral a través del ejemplo del volumen de un cubo. Se calcula el volumen como x al cubo, y luego se muestra cómo derivar esta función para obtener la variación del volumen, que es 3x al cuadrado. Se introduce el concepto de diferencial para representar una pequeña variación en el volumen. Finalmente, se describe el proceso de integración como la operación que nos lleva de vuelta al volumen original, a excepción de una constante de integración. Se utiliza una analogía del pan y las rebanadas para ilustrar cómo la integración puede no devolver exactamente al estado original debido a la pérdida de una pequeña cantidad, pero el resultado sigue siendo muy cercano.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Integral
💡Función primitiva
💡Diferencial
💡Propiedades de derivación
💡Constante de integración
💡Volumen de un cubo
💡Regla de derivación de potencia
💡Ciclo de integración y derivación
💡Analogía del pan
Highlights
La relación entre la derivada y la integral es fundamental para entender el cálculo diferencial e integral.
El ciclo comienza con la función primitiva, la cual es derivada en el segundo paso.
La derivada de una función polinomial de grado 3 se calcula utilizando las propiedades de derivación.
La derivada de una constante es siempre cero, un principio básico en las reglas de derivación.
La diferencial de la función es introducida como concepto clave entre la derivada e integral.
La diferencial neutraliza los términos multiplicativos en el proceso de integración.
La integración y la diferenciación son operaciones inversas que se anulan entre sí.
La integración puede resultar en una función diferente a la original debido a la pérdida de una constante durante la derivación.
Se utiliza una analogía del pan rebanado para explicar la relación entre derivación e integración.
Se presenta un ejemplo práctico del volumen de un cubo para ilustrar el ciclo de derivación e integración.
La derivada de la función que representa el volumen de un cubo es explicada con propiedades de derivar una x a la n.
El diferencial del volumen se calcula multiplicando la derivada por el diferencial de la variable independiente.
La integración de las 'figuritas' de volumen nos lleva de regreso al volumen original del cubo.
La constante de integración se introduce como un factor que puede variar dependiendo del proceso.
Se concluye que la derivada y la integral forman un ciclo que regresa a la función primitiva, a pesar de la constante perdida.
Transcripts
qué relación existe entre la derivada y
la integral esto es muy importante para
entender esa transición de lo que se
aprende en cálculo diferencial y lo que
se está por aprender en el cálculo
integral bueno para ello vamos a iniciar
viendo este pequeño diagrama en el cual
es muy importante ver que se complementa
un ciclo el ciclo inicia con lo que
llamamos la función primitiva es decir
la primera función está función bueno
pues es simple y sencillamente en este
caso es una función de tipo polinomio de
grado 3 que al momento de derivar la que
sería como el segundo paso de este
pequeño es quemita
lo que vamos a hacer recuerda según las
propiedades de derivación es de 3 baja y
multiplica al 6 entonces por eso 6 por 3
son 18 y el exponente original restamos
1 entonces por eso aquí tenemos un 2 en
este caso la derivada de menos 8 x al
cuadrado también bueno tenemos un menos
este 2 multiplica al 8 entonces por eso
tenemos un 16 y el exponente original
quitamos
la derivada de una constante ya sabemos
que siempre va a ser cero eso es uno de
los principios básicos que se deben de
recordar con respecto a las reglas de
derivación bien generalmente en los
cursos nos brincamos de la derivada a la
integral pero qué pasa entre la derivada
y la integral bueno pues hay algo a lo
que se le va a llamar diferencial de la
función y este diferencial de la función
consiste justamente en el hecho de que
por ejemplo si nosotros multiplicamos
aquí por de x también lo tenemos que
hacer de este lado entonces el de x que
teníamos aquí multiplicando se
neutraliza con este que está acá si
aplica esta propiedad del neutro
multiplicativo de modo que vamos a tener
únicamente deje de lado izquierdo y del
lado derecho ya vamos a tener
multiplicando a de x a quien bueno pues
el resultado de la derivada de la
función y bueno de una vez que nosotros
tenemos el diferencial de la función ya
podemos proceder a lo que es
la integración es decir la integración y
la diferencia son operaciones inversas
de modo que estas dos se van a anular si
por ser operaciones inversas y lo que
vamos a hacer es aplicando reglas de
integración que según lo que veas en tu
curso aprenderás con el tiempo
regresarías prácticamente a esta misma
función no exactamente a ella porque
esta constante la perdiste en el proceso
de derivación pero tú llegarías a la
función 6x al cubo menos 8 x al cuadrado
más ésta más es a lo que le llamamos la
constante integración y es el resultado
de integrar justamente esta función que
tenemos aquí es grave que no regresemos
exactamente a la misma función no sale
porque bueno si lo quisiéramos ver con
una analogía un poco absurda quizás tú
podrías pensar que el proceso de
derivación
es como si sacarás un pan rebanado de la
bolsa y estás constante vamos a estar
este 6
fueron las viejitas que se caen pero si
tú regresas todas las rebanadas al pan
con el proceso de la integración es
decir si tú regrese y todas las
rebanadas a la bolsa de donde
originalmente lo sacaste no te comiste
ninguna rebanada y lo metiste tal cual
pues no pasa nada porque en esencia el
pan sigue siendo el mismo a pesar de que
haya perdido quizás unas cuantas migajas
vamos a ver un ejemplo práctico
qué bueno yo lo quiero trabajar en este
caso como el volumen de un cubo entonces
para que entiendas cómo se cumple este
ciclo pero en un caso más práctico
tenemos el caso del volumen de un cubo
que un cubo sabemos que tiene un largo
por un ancho por un alto tiene tres
dimensiones por lo tanto para calcular
su volumen y como todos miden
exactamente lo mismo lo único que vamos
a hacer es multiplicar x por equis por x
es decir x al cubo entonces esa es la
función primitiva la primera función a
partir de ello lo que vamos a hacer es
ahora derivar a esa función la derivada
de x al cubo recuerda es en este caso si
aplicamos la propiedad de derivar una x
a la n lo que vamos a obtener es n por x
a la n menos 1 entonces esa es la razón
por la cual aquí tenemos 3 porque él es
el exponente original bajo entonces aquí
tenemos el 3 por x al cuadrado el
exponente original era 3 ahora va a ser
2 que significa esto bueno pues ahora
vas a tener tres caritas lo que estamos
diciendo
este 13 es que vas a tener 3 veces x al
cuadrado es decir caritas planas que no
van a tener grosor solamente van a tener
área es decir x x x x x x y x x x es
decir 3 veces x al cuadrado como lo está
indicando esta imagen ahora para obtener
el diferencial de esta función partimos
de el hecho de que aquí vamos a
multiplicar esto por de x y también lo
vamos a hacer de este lado x de x
entonces estas dos operaciones inversas
se simplifican de modo que vamos a
obtener algo como esto vamos a obtener
que el diferencial del volumen es decir
esa variación que va a haber en el
volumen es el 3 x al cuadrado el
resultado de la derivada que obtuvimos
anteriormente por el diferencial de la
variable independiente es decir por el
incremento el pequeño incremento
decremento que va a tener esta x que es
justamente si lo queremos ver desde esta
perspectiva ahora sí va a haber un
grosor pero es el rostro puede ser
pequeñito puede ser
únicamente pequeñito o infinitamente
este pues que tú no lo puedes observar
sale en la vida que tiene realmente los
diferenciales son muy muy chiquititos
pero aquí a modo de mostrarte cómo
funciona pues le estoy dando un pequeño
grosor a estas caritas cuadradas que
teníamos anteriormente esto de aquí ya
tiene tres dimensiones porque aquí
estamos hablando de área pero al
multiplicar por este diferencial ya
estamos otra vez regresando a lo que es
volumen entonces esto ya tiene sentido
entonces que vamos a tener tres veces
ahora x al cuadrado multiplicando a de x
entonces tienes 3 x al cuadrado cada una
con su respectivo de x finalmente para
regresar al cubo original lo que vamos a
hacer es integrar por eso se llama
integral vamos a integrar estas
figuritas de modo que aplicando
propiedades de integración lo que vamos
a hacer recuerda estas dos son
operaciones inversas por lo tanto se
cancelan en el proceso de integración
las constantes siempre salen entonces 3
es una constante sale del proceso
integración como lo indicamos aquí y la
propiedad integración de una equis a la
n vamos a suponer que tenemos integral
de x a la n de x siempre va a ser igual
a x a la n 1 sobre n más uno más y esto
no te preocupes si en este momento no lo
entiendes es una propiedad de
integración que es básica entonces aquí
lo que estamos haciendo es x a la n 1 si
el exponente original era un 2 pues
ahora va a ser un 3 sobre ese mismo
valor de el exponente que en este caso
sería 3 1 3 que multiplica con un 3 que
divide se simplifican y estamos
regresando al volumen original que era x
al cubo entonces estamos juntando las
tres que vimos en el paso 3 ahora
recuerda que este más es la constante
integración y que de acuerdo a la
analogía que te hacía por ejemplo del
pan pueden ser esas medidas que pueden
ser muy poquitas pueden ser muchas o
pueden ser simplemente nada en este caso
el valor de c sería 0 según la función
que originalmente teníamos
esa es la relación básicamente que
guarda la derivada con la integral que
que hacen es un ciclo sale de la
derivación a la integración siempre se
va a cumplir un ciclo que pasa por la
función primitiva después por la
derivada entre la derivada de la
integral existe la diferenciación sale
la diferencial y finalmente cuando te
aplicas el proceso de integración
regresas a la función primitiva que ya
vimos que en este caso era el volumen
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