Categoryとは何か?
Summary
TLDRこのビデオスクリプトは、カテゴリー論の基礎を掘り下げるセミナーの第1回目の内容を要約しています。カテゴリー論は数学の様々な分野を網羅し、類似性を見つけ出し新しいパターンを発見する力を持つと紹介されています。スクリプトでは、カテゴリーの定義や特徴、そして具体例として言語のプリオーダーを通じてカテゴリー論の理解を深める方法が説明されています。セミナーは、数学の基礎概念をより深く学ぶためにカテゴリー論の重要性を強調しています。
Takeaways
- 📚 カテゴリー論は数学の様々な分野を一つのフレームワークで捉えることができる理論です。
- 🔍 カテゴリー論を通じて、数学のパターンや構造をより高い次元から見ることができます。
- 🌐 カテゴリー論の特徴は、数学的対象の細かい要素を無視し、関係だけに注目することで新しい見解を得られることです。
- 🎓 このセミナーはカテゴリー論の基礎を学び、様々な数学的概念をより深く理解するためのものである旨が強調されています。
- 📘 カテゴリー論の教科書「Basic Category Theory」は、新しい視点からカテゴリー論を学ぶ上で非常に役立つとされています。
- 🔄 カテゴリー論では、オブジェクト間の写像(関手)とその合成が中心的な役割を果たします。
- 🔗 オブジェクト間の関係を表現する写像は、カテゴリー論において極めて重要で、様々な数学的構造をつなぐ役割を果たします。
- 🔶 カテゴリー論においては、同一者(自己写像)と合成の結合性がカテゴリーの定義に必要不可欠であるとされています。
- 📝 プリオーダーや全順序、部分順序、トータルオーダーなど、順序関係はカテゴリー論と密接に関連しており、特定の順序構造を持つ言語はカテゴリーとして解釈できます。
- 🌟 カテゴリー論は数学の基礎的な概念をより抽象的かつ包括的な形で捉えるための強力なツールであると示されています。
- 🚀 今後のセミナーでは、カテゴリー論の具体的な例や応用についてさらに深く掘り下げる予定であることが示唆されています。
Q & A
カテゴリー論の基礎セミナーは何を目的としていますか?
-カテゴリー論の基礎セミナーは、カテゴリー論の基礎的なトピックを紹介し、数学の様々な分野で見られる類似パターンを見つける方法を学ぶことを目的としています。
カテゴリー論の重要な特徴の一つは何ですか?
-カテゴリー論の重要な特徴の一つは、数学的対象の細部ではなく、対象同士の関係に焦点を当てることです。
カテゴリー論で「上空から見下ろす」という表現は何を意味していますか?
-「上空から見下ろす」という表現は、カテゴリー論が数学の対象をより抽象的なレベルで捉え、細部ではなく全体の構造に注目するという点を意味しています。
カテゴリー論において、オブジェクトと写像とはどのような役割を持っていますか?
-カテゴリー論では、オブジェクトは対象そのものであり、写像はオブジェクト同士を結ぶ関係を表すものです。これらの要素はカテゴリーの基本構成要素です。
カテゴリー論における「合成」とは何を意味していますか?
-カテゴリー論における「合成」とは、2つの写像を結合させて新たな写像を作ることを指します。これは、写像の連続的な適用を表します。
カテゴリー論で「同一者」とは何を指していますか?
-「同一者」は、カテゴリー論において各オブジェクトに対して自分自身に戻る写像を意味しています。これはカテゴリーの基本的な性質の一つです。
カテゴリー論における「合成の結合性」とは何を意味していますか?
-「合成の結合性」は、カテゴリー論において3つの写像を合成する場合、どのような順序で合成しても同じ結果になるという性質を指しています。
カテゴリー論と順序関係、特に全順序(プリオーダー)にはどのような関連性がありますか?
-カテゴリー論と順序関係、特に全順序は、順序関係が満たすべき特定の性質(反射性、推移性)がカテゴリーの基本的な性質と一致することがあります。
カテゴリー論において、言語の並びとどのように関連していますか?
-カテゴリー論において、言語の並びはオブジェクトとして捉えられ、その並びの順序関係がプリオーダーやカテゴリーの構造を形成します。
カテゴリー論のセミナーで今後取り上げる数学的な例とはどのようなものですか?
-今後のセミナーでは、軍、位相空間、トルoidal空間などの数学的な例を取り上げ、それらをカテゴリー論の観点から分析する予定です。
カテゴリー論において重要な視点は何かを教科書「Basic Category Theory」ではどのように述べていますか?
-「Basic Category Theory」では、カテゴリー論の重要な視点として、数学的対象の細かい性質ではなく、対象同士の関係に焦点を当てる新しい視点を提唱しています。
カテゴリー論のセミナーで紹介される「言語」の例はどのようにしてカテゴリー論と関連していますか?
-言語の例では、表現の集まりをオブジェクトとし、表現間の部分文字列関係を写像として捉え、それらからなるプリオーダーの構造をカテゴリー論の観点から分析しています。
Outlines
📝 カテゴリー論基礎セミナーの紹介
カテゴリー論の基礎を学ぶセミナーの開始。カテゴリー論の重要性と新しい視点について、様々な人の意見を引用しながら説明。基本的なカテゴリーの概念を紹介し、次回のセミナーでは具体的な例について話す予定。
🔍 カテゴリー論の新しい視点
ブログや書籍から引用し、カテゴリー論の新しい視点について説明。オブジェクト間の関係とその重要性に焦点を当て、具体的な例としてプレシーフやコプレシーフの概念を紹介。
🔗 カテゴリーの基本概念
カテゴリーCの構成要素であるオブジェクトと写像について説明。写像の合成と同一者の存在が重要であり、具体例を交えながらカテゴリーの基本的な性質について詳述。
⚙️ カテゴリーの要件と性質
カテゴリーの構成要件として、同一者の存在と写像の合成の結合性について説明。具体的な図を用いて、これらの性質がどのように成り立つかを解説。
📚 言語の表現とカテゴリー論
言語の表現をカテゴリーとして解釈する方法を説明。部分文字列の順序関係を用いてプリオーダーを定義し、それがカテゴリーとして解釈できることを示す。次回のセミナーでさらに具体的な数学的例を紹介予定。
Mindmap
Keywords
💡カテゴリー論
💡ファクター
💡オブジェクト
💡写像
💡合成
💡同一者
💡反射性
💡プリオーダー
💡言語モデル
💡数学的対象
Highlights
カテゴリー論の紹介とその基礎的なトークンの紹介を始めたいという意図
カテゴリー論は数学の様々な分野を一貫した視点で捉えることができる
カテゴリー論の基礎概念を学ぶセミナーの開催の重要性
カテゴリー論が数学のパターンを見つけるための道具であるという視点
カテゴリー論の教科書「Basic Category Theory」の紹介
カテゴリー論の特徴として、数学的対象の関係性に重点を置くこと
カテゴリー論における写像の概念とその重要性
カテゴリー論の新たな学び方とその広がりについて
カテゴリー論の基礎概念としてのオブジェクトと写像の関係
カテゴリー論における合成の結合性と同一者の存在
カテゴリー論の例として言語のプリオーダーを紹介
言語モデルにおけるテキストデータのプリオーダー構造の説明
プリオーダーの順序関係がカテゴリー論の条件と一致する点
カテゴリー論における表現の集まりと順序関係の説明
カテゴリー論の例としてプリオーダーの言語Pの説明
カテゴリー論の条件を満たすプリオーダーの言語の例
カテゴリー論の順序関係とプリオーダーの関係の解説
カテゴリー論の数学的例を次回紹介する予定
Transcripts
カテゴリー論基礎
の第1回目の講演セミナーを始めたいと
思っていますで今回のカテゴリー論基礎と
はあの基本的にはまカテゴリー論の話は
色々してきたんですけれどもやはり色々
抜けや漏れがあってできちんとカテゴリを
学ぶようなあの
そういうセミナーがなかったという風に
ちょっと反省しておりましてま色々思う
ところもありましてあの改めてカテゴリー
論の基礎的なあのトール軍の紹介を始め
たいという風に思っていますで今回は
パート1としてカテゴリーとファクターで
最初にカテゴリーとは何かっていう話をし
ていきたいという風に思っています
で最初に少しいろんな人たがカテゴリー色
についてどういうことを語ってるのかを見
ていきたいという風に思ってますでこれは
ラスタのあのからの引用なんです
カテゴリー論は数学を取り止めのように
俯瞰するバズビーて言ってますねで上空
から見ると細部は見えなくなるが地上から
は発見できなかったパターンを見つける
ことができるで例えばですね2つの数の
最小公倍数それと2つのベクトル空間の
直和は似ているんですよでこれについて
あの次回あのカテゴリーの例をいくつか
上げてお話したいと思ってるんですがま
その他に例えば産位相空間自由軍有利数体
でこの3つの間にも共通点があるんですね
でこうした多くの類似は疑問に手する答え
を発見し今まで見てきたこともないような
数学のパターンを見ることができるそう
いう道具がカテゴリー論だって話をして
ますこれはあの
ケンブリッジのあのカテゴリー論の教科書
ま23年前出たと思いますけれどもトム
ラインさーのベーシックカテゴリーセリで
これからの異様なんですがあの
とても新しい視点でカテゴリー論を見てる
という風に思ってますまあの皆さん真面目
なんでカテゴリー論の勉強始めようと思う
マランとかそういうのにいきなり入る人も
あのいらっしゃると思いますけれどもただ
やっぱり今色々もうカテゴリーのも整理し
てからもう何十年も経ってでそういう
新しい観点であの見ていく上ではこの本は
とてもいい本だという風に思っています
もう1つカテゴリー論の特徴の1つは多く
の細胞を取り除いてしまうことだ先ほどの
ブラズビって味方と同じことを言ってるん
ですが集合の要素やグループが解を持つか
あるいは遺空間が加算機て持つかどうか
あまり関心がないだからあなたは不思議に
思うかもしれないでそれは当然なんだけど
どうしてそういうことが役に立つのかこれ
はあの体のいつリレーションシップ
というカコラムからの引用なんですがあ
このサのあのカテゴリー論に対関する
コラムを色々利用させしていこうという風
に思ってますだからあの英語県では結構
あの新しい
あの整理のもで新しいあのカテゴリー論の
学び方
があの広まってるように僕は感じてるん
ですけれどもあまり日本では紹介されて
ないんですねまあのそういう味では多くの
部分はその受け売りになるんですけれども
あの平のこのカテゴリーセについてもあの
色々
あの意をして話を進めてこうという風に
思ってますこれはあれです
ねで細部をてでも大事なのは要するにあの
そのオブジェクトの関係なんだとそこが
1番大事なんだそれを扱うのがカテゴリー
論なんだって話をしてるんですねもう少し
突っ込んで言うと数学的対象はその種の
全ての対象との関係のネットワークによっ
て決定されそれによって理解されるので
あるこれはあですねwhenisoneE
tosomeotherThings1つ
のものが他のあるものと等しいってのは
どういうことかこれはバリマズという人の
これもブログですねこれもなかなかいい
視点だと思っててこれは実はあれですね
今回このパート
3パート2かな
[音楽]
あので扱うプレゼンタブルっていうかあの
プレシーフやコプレシーフというのも結局
は
あの要するにあるあのオブジェクト数学点
オブジェクトは他の大とどういう関係が
あるのかそのネットワークの相対で決まる
んだっていう見方ですねでそれは非常に
あのレプレゼントというのを理解するでは
大事な視点になってくだろうという風に
思っていますもう少しあの具体的な話をし
ますとカテゴリーとは関連する
オブジェクトのシステムである
オブジェクトは孤立して生きてるのでは
なくオブジェクトの間は何らかの写像の
概念がありそれを結びつけてるだ関崎と
関係が全てだっって言ったんですけどもも
関係を表現したのがその写像なまあの
オブジェクトとシウルフィズム
いうやつですねそれがそのオブジェクトの
結びそれが大事なんだっていうことですね
オブジス展開的にあるは軍とか遺族間これ
はあの次回のあのカテゴリーの例でお話
しようと思ってるんですがま例えば軍だっ
たら上道系写像だとかあの族トポロジー
だったら連続写像っていうのがその典型的
なその写像なんですけれどもでそういう例
をいくつか見ていくつかの今上げた2つの
音は全く異なるあの向きを持つことフレ
バって言ってますけれども学ぶことになる
だろう実際カテゴリー論の写像は皆さんが
よく知ってるよな意味で社写像である必要
はないこれは今回あの1つだけ具体的な例
てかこの間話してきたことのあの繰り返し
になりますけれどもあの言語がカテゴリー
だっっていう時に使われてるその関係写像
ってのは単なる単なるっていうかあの
モレスの方眼関係なんですねその
インクルージョンも実はシトしてみれと
いうことこれもだからあのライスターの
ベスカテゴリーセオリーの中であの触れ
られてることこういう見方はだから
あのあのやはりガリガリあの
数学の話からあのカテゴリーの話に入って
くだけじゃないんだよっていう話をしてる
わけででまそれはあの参考になるだろうと
いう風に考えてますでこっから僕あの具体
的なカテゴリーとは何かの話に入るんです
けれどもカテゴリーCっての次のもから
できてます1つはオブジェクトですねそれ
はCを交際する要素ですでまそれは
あの普通の集合の要素と同じように考えて
もいいんですがもファンクションっていう
のは関すたそういうのが1番分かりやすい
イメージでその社っていうのはその2つの
オブジェクトを結ぶもの関係を作るものだ
から集合の上での関数ってのは最初の
イメージでいいと思うんですが多分あの
次回次回その次の次ぐらいに話がファンク
タってのはあのそれは単なる集合じゃ
ないですよねカテゴリー自体を対象として
カテゴリーとカテゴリーの間の車を
ナショナルトランスフォーメーションて
言うんですけどもそういう車を構成したく
というのもあるわけでまそれにしても
カテゴリーがオブジェクトと車からできて
るっていうことには変わりがありませんで
この車をの普通はあのXからYの矢印で
表しますでこのいう時xをFのドメインY
をFのコドメンという風に呼びます
でも1つ大事なことはFがxからYの車で
GがYからZ車である時にこの2つの車
FGに対してGコンポーズFでこれがx
からZとなる車が存在すこれをあの車FG
のコンポジションあの合成と言いますで
これはあの条件はあの地名かもしれません
が社Fの子供
とGのドメインが一致する時あの合成が
定義されるということになりますでただ
それだけでカテゴリができてるわけじゃ
なくてカテゴリは次の性質と満たさなけ
いけませんと言っても2つだけです1つは
同一者
でCの全てのオブジXについてXを同じX
と結ぶ車XからXの車が存在するでもう1
つは斜の合成の結合性って言われるやつで
FがxからYの車でGがYからGのあの
あの車でかつHがZからWの車である時
このXとGを先にコンポーズしてその後に
FをコンポーズしたものとでXの
コンポーズの後ろにあのGとFの
コンポーズ額これが等しくなるというま今
これ後ろに行って言いましても実際はあの
コンポーズの記法だとこれ後ろから読むん
ですね入力はだからHDFHDFと同じ
ように並んでるように見えますけれども
入力は実はFから入って出力がHから出る
んですよまそそのさそれさえあの注意して
もらえばあのこのhgfって並びどこで
かこで組みても構わないってやつが合成の
結合性ですま絵で書くとこういう感じでま
このなんか細かいやつこれは先ほどの同一
者それぞれのオブジェクト全て自分から
自分へだからこういうあのサークルみたい
なやつがIDとか同一者を持つんですが
それを覗けば1つはFからGの写像のあの
梱包のはとそれからHからGのシャの
コンポーズがあってそれが先ほどのHG
あのH
あのFの方が先後ろが先なんですよねFと
そのHとGの
コンポーズをコンポーズしたものこれは
どうやったってそのXから
あのWへの写像になりますねそれからもう
1つ上の経路は何を示してるかって言うと
GとFを先に合成してそのとHを合成して
もこれもやはりXからWの車になりますね
これが等しくな
るっていうのがその合成の結合性と言わ
れるものですですからカテゴリーていうの
は単にあのオブジェクトとしればいいって
だけじゃなくてそれがそのこっちは車の
性質だと思ってもいいんですけれども同一
者が存在して車の合成の結合性が成り立た
なけばならないということ
です
ねでまこれだと抽象的なんですがこの間
話してきた言語というのを例えば大規模
言語モデルの入力に与えるテキストデータ
ですねこれを5の並びからなる表現で表現
って5の並びに過ぎないですけどもその
集まりと考えることにしましょうこれはだ
から言語の特徴のある面を切り取ってる
わけですねでこの時2つの表現SとTが
ある時にデュレスの方眼関係に基づく方眼
関係ってのは表現Sが表現TにあのまSが
住みたTの部分文字列であるそれをこう
いうあの順序あのS小なりTでという風に
話しますそうでない時SとTの間に順序
関係が存在しないこ立派な順序ですねで
この順序はその反射率と水率を満たします
のでこういうのをプリーオーダーって言い
ます全順序ま全順序もちょっと強めてあの
パーシャルオーダーだとかトータル
オーダーとか色々順序があるんですけども
その中でま全順序って1番条件が少ない
やつでもこれはまさにカテゴリーの条件と
ほとんど一緒なんです
よ
でそうした時にだから表現の集まりとして
の言語はその方眼関係部分文字列であ
るっていう関係で人時を入れるとプリ
オーダーの構造を持つことになりますで
こうしたプリオーダーとしての言語Pが
カテゴリーとしても解釈できることをまず
見ていこうとこれは今回のセミナー最初の
カテゴリーの例ですけれどもでこの
カテゴリーとしての言語をまカテゴリー
あるあるかまだ分からないですがまそれを
LとしましょうでLのオブジェクトをPの
要素これはPの要素ってのはあのプリ
オーダーとしてのあの定員された順序関係
が入ったやつがPですねそれの要素は同じ
ものだとしましょうでPの要素をSTと
するとSTは同じものだから当然Lの
オブジェクトでもありますでこれは5の
あの言語の5の並びからなる表現という
ことになりますLもPもいずれもえと言語
の5の並びからなる表現ですでこのLの車
を定義しますでLの車STをその半人あの
全順序プリオーダーが定義されてるPでS
小なりTという関係が成り立つこれはあの
あれですねSがTの部分文字列であると
いうことですねでその時に限に定義される
ということにしましょうでそうするとLの
オブジェクトと下が定義できたのでこれが
カテゴリーの要件を満たすことを見ていき
たいという風に思いますまず車の合成に
ついたですでプリオーダーなんでPは推率
を満たしますのでPの様子stuについて
S小なtかつT小なりUならばこれは推移
率でS小なUがないしますでstuはLの
オブジェクトですんでこのことはLにおい
てFがSからTの下でGがTからUの車で
であればあのHがSからUの車であること
を意味しますこれをあのHをあの車FGの
合成GコンポーズFと解釈することができ
ますだから車の合成はちゃんとPのプリ
オーダーが実はそのあのカテゴリーとして
見た時の車の合成が存在するってこを保証
してるってことですねもう1は同一者の
存在ですがこれはほとんど地名ですねでP
は反射列と満たしますので全てのPの様子
SについてS小なりSまS小なりってかS
小あるいは等しSが成りたしますこのこと
は全てのLのオブジェクトSについて同一
者SからSの車が存在することは意味し
ますまこれ絵で書くとあの車のあこれはの
合成の結合性ですねこれはまPがこういう
やつでこれだからあの順序関係あのSは小
なりTTは小なりUUは小なりVっていう
のがあってでSとUの間もこれは当然あの
Pの水星からSはなUですね同様にあの
TUVの間ででこういう順序感がたします
のでPの中ではT小なりVっていうのは鳴
たしますこれ可能にそれを書いてあります
でここで使れたのは単にその水あの順序
関係あの全順序プリオーダーとしての水性
を使ってるだけですでこれをNの世界で
考えるとこれも先ほど見ましたように
あのSからTTからUそれぞれfghとし
ますと先にfコンポーズgを適用して最後
にHを適用
しても真ん中を一直線にとってSTSから
Vの支えられますね今度下の段ですが先先
にFを適用して今度はGとHにコンポーズ
したものを適用してもこれは先ほどのあの
車の
合成ででこれもやはりSからVあのこのF
と一緒にするとSから分野の車を
あの定義することが分かりますこれはだ
から要するにあの社の合成カテゴリー論と
して見た場合カテゴリーとしてLを見た
場合にこのあのアロというか社はあの合成
の結合性を満たすっていうことになります
でこうして表現の方眼関係で定義される
プリオーダーの順序構造を持つ言語は
カテゴリーであることが分かり
ますでえもう1つあの準が転義された集合
はプリオーダーパーシャルオーダー
トータルオーダーまパシダってのはあれ
ですね
あのなんだあのトータルオーダってのはだ
からぜあの全順序半順序それ
から全トータルオーダも全順序っていうま
字が違うフリオーダーは前の順序前順序
ですねトータル全順序っていうのはあの
全体の前でトータルオーダーでトータル
オーダーってのはだから必ずあの2つの
あの源をあの要素を取った時に必ずその
大償関係が成りたあのどちら成り立った
成り立たなきゃいけないってやつねパシャ
ロンだったそういう条件はないんだけど
もしもAしなりBでBしなりAだったらA
とBが等しいってのそういう条件を加えた
ものがあのパーシャルオーダーっていう風
に言いますでまプリプレグループてのはま
今回は省略しますけれどもこれはだから
ランベックのあの文法理論のあの順調です
ねこれはいずれもだからあのプいずれも
プリオーダーの条件は満たしてるんで
カテゴリーの言葉で翻訳できますでまだ
から逆にうとプリオーダーっていうのが
カテゴリーとほとんど同義なんですね順序
関係とプリオーダーっていうのは
カテゴリーを構成する順序手合の中で最も
家庭が少ないものになってますでこういう
風にだからま普通カテゴリーの例っての
それは次回見ますけれどもまいろんなあの
軍の中のあの順道系だとかあの位相空間
トルなんかのある空間それもをだから謝と
してあの解釈するっての大体多いんです
けれどもまそれだけじゃないって話を冒頭
にもいろんな人が大事なのは関係であって
細かいそれがど何を意味するかあんまり
あの大事なんじゃ大事じゃないって話をし
てましたけれどもでまそういう意味で
あのなんだろうプリオーダーであることが
確認できればそれはほとんど自動的に
カテゴリーだということができるまそう
いう意味で繰り返しになりますけれども
言語の表現をその法外関係で順序を付けれ
ばそれはプリオーダーになってでそうすれ
ばそれはまたカテゴリでもあるということ
が分かるということですま今回の例は少し
あの標準的なそのカテゴリー論の例として
はちょっと違った印象を持たれるかもしれ
ませんががもっとあのオーソドックスな
そのカテゴリーとそのオブジェクト者ので
は次回にもう少しあの数学的な例を紹介し
たいという風に思っています
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