SISTEMA DE 2 ECUACIONES Y 3 INCÓGNITAS POR GAUSS. MATEMÁTICAS

Mundo Liceo

2 Nov 201708:06

Summary

TLDREl script de este video explica el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones pero tres incógnitas (x, y, z). El presentador muestra cómo simplificar el sistema dividiendo una fila y aplicando el proceso de Gauss para obtener una matriz con filas superiores de ceros, indicando un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones. Proporciona un ejemplo práctico, asignando un valor a una variable como parámetro y despejando las demás para encontrar la solución en términos de ese parámetro. Además, se menciona que en un próximo video se abordará el método de Cramer para resolver un sistema similar.

Takeaways

📚 El video trata sobre el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, aunque en este caso solo se proporcionan dos ecuaciones.
🔍 Se menciona que, a pesar de tener solo dos ecuaciones, se pueden seguir los pasos del método de Gauss sin problemas.
📝 Se sugiere dividir una de las filas por dos para simplificar la matriz y facilitar el proceso de resolución.
🧩 Se habla de la posibilidad de representar el sistema en una matriz de tres filas, incluyendo una fila de ceros para completar la estructura.
✂️ El proceso de Gauss implica manipular las filas para obtener ceros en las posiciones adecuadas, usando el primer número de la fila como pivote.
🔢 Se realiza una operación específica: multiplicar la segunda fila por 2 y restarla a la primera para obtener un cero en la posición correspondiente.
📉 Al final del proceso, se identifica que la última fila tiene ceros, lo que indica que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
🎯 Se introduce el concepto de parámetro (en este caso, 'lándola' o 'lambda') para expresar las soluciones en términos de este parámetro.
📝 Se resuelven las ecuaciones restantes para encontrar las relaciones entre las incógnitas en función del parámetro.
🔍 Se muestra el proceso de despejar una variable a la vez, utilizando las ecuaciones simplificadas para encontrar los valores de 'x', 'y' y 'z'.
📑 Se presenta la solución final del sistema en términos del parámetro, mostrando cómo se expresan las variables 'x', 'y' y 'z'.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones en el video?
-El método de Gauss se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones en el video.
¿Cuántas incógnitas hay en el sistema de ecuaciones presentado en el video?
-Hay tres incógnitas en el sistema de ecuaciones: x, y y z.
¿Cuántas ecuaciones se proporcionan inicialmente para resolver el sistema?
-Inicialmente se proporcionan dos ecuaciones para resolver el sistema.
¿Qué se hace con la tercera fila de la matriz si no hay una tercera ecuación?
-La tercera fila de la matriz se rellena con ceros ya que no hay una tercera ecuación en el sistema.
¿Cómo se simplifica la matriz para aplicar el método de Gauss?
-Se simplifica dividiendo la primera fila por 2 y luego utilizando el mínimo común múltiplo para convertir el 1 de la segunda fila en un cero.
¿Qué se deduce cuando la última fila de la matriz tiene todos los ceros?
-Cuando la última fila tiene todos los ceros, se deduce que el sistema es compatible indeterminado, lo que significa que hay infinitas soluciones.
¿Cómo se elige un valor para la variable 'zeta' para encontrar una solución específica?
-Se elige un valor arbitrario para 'zeta', llamada 'parámetro', y se utiliza para encontrar una solución específica en función de este parámetro.
¿Cómo se despeja la variable 'x' una vez que se conoce el valor de 'zeta'?
-Se utiliza la primera ecuación y se reemplaza 'zeta' por su valor en función del parámetro, luego se resuelve para encontrar el valor de 'x'.
¿Cuál es la solución final del sistema en función del parámetro 'lambda'?
-La solución final es x = -1, y = 2 - lambda y z = lambda.
¿Qué otro método se menciona para resolver sistemas de ecuaciones en el video?
-Se menciona el método de Cramer como otro método para resolver sistemas de ecuaciones.

Outlines

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📚 Introducción al Método de Gauss con Tres Incógnitas y Dos Ecuaciones

El primer párrafo presenta el tema del video, que es el Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, aunque solo se proporcionan dos ecuaciones. Se menciona la necesidad de copiar el ejercicio y se procede a escribir las ecuaciones en forma de matriz, destacando que una de ellas puede ser dividida por dos para simplificar el proceso. Se describen los pasos para convertir una de las ecuaciones en una matriz con filas de ceros, excepto en los coeficientes de las incógnitas y el término independiente.

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🔍 Desarrollo del Método de Gauss y Resolución de un Sistema Indeterminado

El segundo párrafo sigue el proceso del Método de Gauss, donde se intenta convertir en ceros los coeficientes de las incógnitas en una de las filas, a través de operaciones matricias como sumar o restar filas. Se llega a una situación en la que una de las filas tiene todos los coeficientes en ceros, lo que indica que el sistema es indeterminado y tiene infinitas soluciones. Se propone una estrategia para encontrar una solución particular, introduciendo un parámetro (denominado 'landa' o 'λ') y resolviendo las ecuaciones restantes para expresar las incógnitas en función de este parámetro. Finalmente, se presenta la solución del sistema en términos de 'x', 'y' y 'z', donde 'z' se expresa en función de 'λ', y se sugiere que en el próximo video se abordará otra resolución utilizando el Método de Cramer.

Mindmap

Keywords

💡Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. En el video, se discuten sistemas de tres incógnitas con solo dos ecuaciones, lo que plantea un desafío adicional en su resolución.

💡Método de Gauss

El método de Gauss es un procedimiento algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema en una forma escalonada mediante operaciones elementales. En el video, se muestra cómo aplicar este método con matrices que tienen menos ecuaciones que incógnitas.

💡Matriz

Una matriz es una tabla rectangular de números organizada en filas y columnas. En el video, se utiliza una matriz para representar y resolver el sistema de ecuaciones, destacando cómo se pueden agregar filas de ceros para manejar sistemas con más incógnitas que ecuaciones.

💡Parámetro

Un parámetro es una variable que se introduce para expresar soluciones infinitas en un sistema compatible indeterminado. En el video, se usa el parámetro 'λ' (lambda) para resolver un sistema con infinitas soluciones.

💡Sistema compatible indeterminado

Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones. Esto ocurre cuando las ecuaciones no son suficientes para determinar un único conjunto de valores para las variables. En el video, se demuestra cómo manejar este tipo de sistemas asignando valores a uno de los parámetros.

💡Despejar

Despejar es el proceso de aislar una variable en una ecuación. En el video, se explica cómo despejar variables en función de otras para encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones.

💡Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo es el menor número positivo que es múltiplo común de dos o más números. En el video, se utiliza para igualar coeficientes y facilitar la eliminación de términos en el método de Gauss.

💡Filas de ceros

Las filas de ceros en una matriz representan ecuaciones redundantes o que no añaden nueva información al sistema. En el video, se muestran matrices con filas de ceros para destacar cómo afectan a la resolución del sistema de ecuaciones.

💡Soluciones infinitas

Las soluciones infinitas ocurren en un sistema compatible indeterminado donde las variables pueden tomar una infinidad de valores que satisfacen las ecuaciones. En el video, se explica cómo identificar y manejar estas soluciones usando parámetros.

💡Operaciones elementales

Las operaciones elementales son procedimientos algebraicos aplicados a las filas de una matriz para simplificar su resolución. Incluyen la permutación de filas, multiplicación de una fila por un escalar, y la suma o resta de filas. En el video, se utilizan para transformar el sistema de ecuaciones en una forma más manejable.

Highlights

El video comienza con una introducción al método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, pero solo se proporcionarán dos ecuaciones.

Se menciona que el método de Gauss no cambiará y se seguirá el mismo procedimiento que ya se conoce.

Se presenta el sistema de ecuaciones que se va a resolver utilizando el método de jabón.

Se sugiere la posibilidad de escribir las ecuaciones en una matriz de tres filas, aunque solo hay dos ecuaciones disponibles.

Se destaca que la última fila de la matriz puede ser de ceros, ya que no hay tercera ecuación.

Se describe el proceso de simplificar la matriz para obtener ceros en las filas inferiores.

Se resalta la importancia de realizar operaciones matemáticas adecuadas para alcanzar el objetivo de tener ceros en la matriz.

Se menciona que, tras obtener una fila de ceros, se indica que el sistema es compatible e indeterminado, con infinitas soluciones.

Se propone la introducción de un parámetro, como 'lambda', para encontrar una solución particular del sistema.

Se muestra cómo despejar una variable utilizando la segunda ecuación y el valor de 'lambda'.

Se resalta la necesidad de simplificar las expresiones matemáticas y la importancia de dividir correctamente para evitar errores.

Se despeja la variable 'z' en función de 'lambda', mostrando el proceso paso a paso.

Se procede a despejar la variable 'x' utilizando la primera ecuación y el valor de 'z' encontrado.

Se resalta la importancia de realizar operaciones matemáticas correctas al despejar 'x', incluyendo la eliminación de paréntesis y la simplificación.

Se obtiene el valor de 'x' y se muestra cómo se llega a la solución del sistema.

Se presenta la solución del sistema en términos de 'x', 'y' y 'z', donde 'y' y 'z' dependen de 'lambda'.

Se menciona que la solución puede ser escrita de diferentes maneras, dependiendo de las preferencias del profesor o del estudiante.

Se anuncia un nuevo video para resolver un sistema de ecuaciones con el método de Cramer, mostrando la variedad de métodos disponibles para resolver sistemas de ecuaciones.