Cálculo de Áreas por Aproximación
Summary
TLDREste video ofrece una introducción al cálculo de áreas por aproximación en el contexto del cálculo integral. Se explora el uso de rectángulos para estimar áreas de figuras no convencionales, destacando la importancia de la teoría y la explicación detallada para facilitar el entendimiento independientemente de la presencia del profesor. Seguidamente, se presentan ejemplos prácticos y se desafía a los estudiantes a idear soluciones creativas, promoviendo el pensamiento crítico y la aplicación de conceptos de cálculo diferencial y integral.
Takeaways
- 📘 El objetivo del video es facilitar el regreso a clases y la realización de actividades con cuadernillos bien estructurados y teoría clara.
- 📐 Se aborda el cálculo de áreas por aproximación, destacando la importancia de la relación entre el cálculo de áreas y el cálculo integral y diferencial.
- 🤔 Se invita a los estudiantes a pensar creativa y no limitarse al uso de rectángulos y cuadrados para calcular áreas de figuras no convencionales.
- 📈 Se enseña cómo estimar el área de figuras geométricas no bien definidas a través de la construcción de figuras geométricas conocidas dentro de la nueva figura.
- 📉 Se explica el proceso de dibujo de rectángulos a lo largo del eje x y cómo calcular sus alturas utilizando la función dada.
- 🔍 Se resalta la importancia de entender que los cálculos son aproximaciones y no áreas exactas.
- 📊 Se discute cómo aumentar el número de rectángulos puede mejorar la precisión de la aproximación al área.
- 📏 Se calcula el ancho de los rectángulos a partir del intervalo total dividido por el número de rectángulos.
- 🔢 Se generaliza el proceso para cualquier función dada, utilizando variables para representar los puntos y los rectángulos.
- 📖 Se enfatiza la importancia de practicar y aplicar estos conceptos en ejercicios adicionales para un entendimiento más profundo.
Q & A
¿Por qué se eligió el cuadernillo utilizado en la clase?
-El cuadernillo fue escogido porque tiene una estructura más clara y explicativa que otros disponibles, facilitando la comprensión de los temas sin necesidad de videos o constante apoyo del profesor.
¿Cuál es el objetivo del regreso a clases según el profesor?
-El objetivo es que los estudiantes encuentren sencillo realizar las actividades y que los cuadernillos proporcionen teoría de forma clara y bien explicada para que puedan resolver los ejercicios por sí mismos.
¿Qué método utiliza el profesor para enseñar el cálculo de áreas no convencionales?
-El profesor enseña el cálculo de áreas no convencionales utilizando aproximaciones con figuras geométricas conocidas, como rectángulos, que se dibujan dentro de la figura irregular.
¿Qué sucede al usar rectángulos por debajo y por encima de una curva?
-Al usar rectángulos por debajo de una curva, el área estimada es menor que el área real, mientras que al usar rectángulos por encima de la curva, el área es mayor.
¿Cómo afecta el número de rectángulos al cálculo de áreas?
-A medida que se incrementa el número de rectángulos, el ancho de cada uno disminuye y la suma de sus áreas se aproxima más al área real de la figura.
¿Qué cambios se producen al aumentar el número de rectángulos en la suma de áreas?
-Al aumentar el número de rectángulos, la suma de las áreas se vuelve más precisa, acercándose más al valor real del área de la figura.
¿Cómo se calcula el ancho de cada rectángulo en una aproximación?
-El ancho de cada rectángulo se calcula dividiendo el intervalo total en el eje x (desde el inicio hasta el final de la figura) entre el número de rectángulos deseados.
¿Cuál es la fórmula general para el cálculo de áreas utilizando rectángulos?
-La fórmula general consiste en multiplicar el ancho de cada rectángulo (delta x) por la altura correspondiente, que se calcula con la función evaluada en los puntos del extremo izquierdo de cada rectángulo.
¿Cómo se relacionan los conceptos de cálculo diferencial e integral con el cálculo de áreas?
-El cálculo de áreas por aproximación está vinculado tanto al cálculo integral, que se enfoca en sumar áreas pequeñas, como al cálculo diferencial, que ayuda a determinar las funciones y límites involucrados.
¿Qué recomienda el profesor hacer tras entender el tema de cálculo de áreas por aproximación?
-El profesor recomienda que los estudiantes apliquen el procedimiento aprendido en los ejercicios del cuadernillo, tanto en las actividades de cierre como en las secciones de práctica adicional.
Outlines
📘 Introducción al cálculo de áreas por aproximación
El video comienza con una introducción al cálculo de áreas utilizando aproximaciones, especialmente en figuras no convencionales. Se enfatiza la importancia de que los estudiantes puedan realizar actividades de aprendizaje independientemente de la presencia del profesor, utilizando cuadernillos que combinen teoría y ejercicios bien explicados. Se invita a los estudiantes a pensar creativa y no limitarse al uso de rectángulos y cuadrados para calcular áreas. Además, se menciona que el cálculo de áreas está intrínsecamente relacionado con el cálculo integral y diferencial.
📐 Análisis de aproximaciones y rectángulos en cálculo de áreas
Este párrafo profundiza en el uso de rectángulos para estimar áreas de figuras geométricas. Se discute cómo dibujar rectángulos por debajo y por encima de una curva afecta la precisión del cálculo de área. Se explica que el ancho de los rectángulos es constante y cómo se calcula a partir del intervalo total dividido por el número de rectángulos. También se explora cómo incrementar el número de rectángulos puede mejorar la aproximación al área real, disminuyendo el ancho de cada rectángulo y cambiando las sumas de sus áreas.
🔢 Generalización del cálculo de áreas con rectángulos
Se presenta una generalización del método de cálculo de áreas utilizando rectángulos, donde se introducen variables para representar los puntos y el número de rectángulos. Se explica cómo calcular el intervalo sobre el eje x, los valores de los extremos izquierdos de cada rectángulo y las alturas correspondientes a través de la función dada. Se resalta la importancia de la precisión en los cálculos y cómo se puede adaptar el método a cualquier función, proporcionando un enfoque más abstracto y aplicable a una variedad de problemas.
📊 Ejercicio práctico de cálculo de áreas con rectángulos
Este párrafo es un ejercicio práctico que sigue los conceptos generalizados del párrafo anterior. Se elige una función específica (f(x) = x^2) y se calcula el área bajo la curva desde 0 hasta 3 utilizando tres rectángulos. Se detallan los pasos para determinar el intervalo, calcular el ancho de los rectángulos, encontrar los valores de x y las alturas correspondientes, y finalmente, sumar las áreas de los rectángulos para obtener una aproximación del área total. El video utiliza esta práctica para reforzar la comprensión del método y preparar a los estudiantes para resolver problemas similares.
🎓 Conclusión y motivación para la práctica adicional
El video concluye con un llamado a la acción para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos en ejercicios adicionales. Se sugiere que la práctica es esencial para mejorar la comprensión y la habilidad para realizar cálculos de áreas por aproximación. El presentador agradece la atención y espera que el video haya sido útil, destacando la importancia de la aplicación directa de los conocimientos en problemas prácticos.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo de áreas
💡Aproximación
💡Rectángulos
💡Función cuadrática
💡Incremento de x (Δx)
💡Área total
💡Generalización
💡Actividades de apertura
💡Cálculo integral
💡Ejercicios prácticos
Highlights
Introducción al cálculo de áreas por aproximación, enfocado en simplificar el regreso a clases.
Importancia de la teoría y la explicación clara en los cuadernillos para facilitar el aprendizaje autónomo.
Relación entre cálculo de áreas y cálculo integral y diferencial.
Desafío de calcular áreas de figuras no convencionales usando métodos creativos.
Actividades de apertura para estimular respuestas creativas y conocimientos previos.
Uso de rectángulos para aproximar áreas de figuras geométricas definidas por funciones.
Importancia de considerar rectángulos con altura cero en la construcción de aproximaciones.
Diferencia entre rectángulos por debajo y por encima de una curva para estimar áreas.
Estrategia de dibujar rectángulos para cubrir áreas y estimar el área de figuras irregulares.
Incremento del número de rectángulos para mejorar las aproximaciones de áreas.
Observación de cómo disminuye el ancho de los rectángulos a medida que se incrementa su número.
Cálculo del ancho de los rectángulos basado en la partición del intervalo sobre el eje x.
Generalización del método para calcular áreas usando rectángulos con n cantidad de rectángulos.
Cálculo del área total a través de la suma de áreas de rectángulos individuales.
Ejercicio práctico para estimar el área bajo una función f(x) = x^2 desde 0 hasta 3 usando tres rectángulos.
Paso a paso para determinar el intervalo, calcular el ancho de los rectángulos y sustituir valores en la función.
Cálculo de las áreas de los rectángulos inscritos y su suma para obtener una aproximación del área total.
Recomendación de aplicar el procedimiento en ejercicios futuros para práctica y comprensión.
Transcripts
qué tal jóvenes buenos días bueno
comencemos con el primer tema este
decidir escoger este cuadernillo porque
me gustó más la estructura que los otros
que tenía a la mano entonces la idea de
este regreso a clases es que para
ustedes sea sencillo y realizar las
actividades y que los cuadernillos estén
dotados de mucha teoría y de una forma
muy bien explicada para que incluso sin
poder ver un vídeo sin poder estar al
tanto con el profesor pues ustedes
puedan contestarlos entonces comencemos
con el primer tema cálculo de áreas por
aproximación bueno
nuestra asignatura es cálculo integral
pero desde este momento se van a dar
cuenta ustedes que vamos a relacionar
mucho lo que es el cálculo de áreas con
nuestra asignatura y a su vez va a estar
relacionado por supuesto con cálculo
diferencial bueno pero qué diferencia va
a haber en cuanto al cálculo de áreas
pues comencemos con esto que ustedes
éste ya le está realizando que pasa
cuando tenemos una figura pues no
convencional que no entra en una
clasificación de las que estamos
acostumbrados cómo se te ocurre hacer el
cálculo de su área espero aquí
encontrarme montones de respuestas
creativas que no se queden con el
sencillo uso de rectángulos cuadrados
vamos a ver si pueden ir un poquito más
allá pero el objetivo final este a final
de cuentas es que puedan sacar el área
de esta figura verdad bueno no les voy a
decir yo mis ideas ustedes esto lo están
realizando son las actividades de
apertura
como les decía estas actividades son
para que lo contesten con lo que ustedes
conocen no hay respuestas buenas
respuestas malas
después pasamos a otra actividad de
apertura que también ahora te pide de
tres figuras básicas encontrar su área
espero y recuerden las fórmulas de cada
uno de ellos y luego pasamos a otra
figura que no está definida
convencionalmente verdad que es una
pequeña curva que pertenece a una
ecuación cuadrática una función
cuadrática porque es una parábola lo
vimos en geometría analítica y vamos a
ver qué ideas tienen ustedes para
solucionar esto bueno tal vez pues esté
con lo que voy a decir adelante pues les
voy a dar la respuesta a este ejercicio
pero no no hay problema el chiste es que
ustedes en su mente ya hayan empezado a
idear cosas y continuamos entonces con
lo que sería el desarrollo de la lección
del tema
es una forma de estimar el área de
figuras o este tipo de figuras no muy
bien definidas es a través de construir
figuras geométricas que si conocemos y
dibujarlas por dentro de la nueva figura
que queremos calcular su área ejemplo
tenemos la curva anterior que les dije
que correspondía a una función
cuadrática como yo no tengo una fórmula
específica para calcular el área de esa
figura que se me formó que era como una
media
naranja como medio gajo como yo no tengo
una fórmula para esto voy a auxiliarme
de figuras que sí conozco en este caso
de rectángulos para poder trabajar o
para poder hacer una aproximación aquí
es importante que tengamos en cuenta que
son aproximaciones es decir no es un
área exacta entonces en esta figura se
decide dibujar les decía rectángulos que
vamos a tratar de asimilar la siguiente
el siguiente concepto los rectángulos
han sido creados a lo largo a lo largo
del eje x tomando como ancho el eje x y
se han creado cuatro si yo se están
observando sólo tres verdad pero es que
éste cuenta como un rectángulo cuánto
tiene de altura tiene de altura cero
esto es básicamente no tiene área pero
más adelante van a ver que es importante
estar considerando desde este inicio la
construcción de rectángulos no pude
haber empezado arbitrariamente aquí
teniendo que empezar en esta parte
y las alturas de los rectángulos me lo
va a estar dando el lado izquierdo de
cada rectángulo
aquí tenemos la altura ya tengan en una
idea como calcular ese y de esa altura
si estamos hablando de que esto
corresponde a una función a una ecuación
bueno muy bien entonces cada rectángulo
se construyó aquí en algunos textos se
parte esta curva para introducir a los
jóvenes este en cuanto que son
rectángulos por debajo y que son
rectángulos por encima especialmente en
este libro me topé que lo abordan los
dos en un mismo este instante es decir
se observan de la mitad hacia la
izquierda el rectángulo quedó dibujado
por debajo dejando muchos huecos el de
la ermita hacia la derecha el rectángulo
quedó dibujado por encima
pasándose un poco entonces cuando
dibujamos rectángulos por debajo de una
curva siempre nos va a faltar para
llegar al área exacta y cuando dibujamos
rectángulos por encima de la curva
siempre nos va a sobrar ok bueno
entonces que más características podemos
observar aquí en este diseño que se hizo
bueno que el ancho de la figura es desde
aquí desde cero hasta este cuatro y cómo
se dibujaron cuatro rectángulos pues
entonces cada rectángulo quedó de ancho
uno
de una unidad cada rectángulo tiene una
unidad de ancho si es constante esto va
a ser constante y siempre todos los
rectángulos nos deben de quedar del
mismo ancho ya sea 12 3.5 punto 3 lo que
sea bueno
otra característica bueno si hacemos el
cálculo de las áreas y nos vamos a dar
cuenta que nos da 10
si puede estar la cuenta verdad porque
no la puedo calcular pero si tengo uno
por tres de altura media 31 por 44 y 1
por 33
tres cuatro y tres meses orbán un total
de diez
qué más podemos saber acerca de este
tema bueno que podemos mejorar nuestras
aproximaciones es decir nosotros podemos
incrementar el número de rectángulos que
existen debajo de la curva o que se van
a dibujar para cubrir esta está área
tenemos estos tres ejemplos uno
considerando ocho rectángulos el otro 16
y el otro 32 observen muy bien qué es lo
que pasa sea que puedan asimilar ustedes
con estos huecos blancos que va
sucediendo con ellos qué cantidad de
rectángulos qué pasa con el ancho del
rectángulo sus áreas observen aquí están
las áreas
cuál de estas tres será será la mejor
aproximación que podemos tener de un
área la 1 la 2 3 y precisamente son
estas preguntas las que vienen enseguida
a medida que aumentamos el número de
rectángulos qué cambios se producen en
el ancho de los mismos bueno pues a
mayor número de rectángulos el ancho de
los mismos de los rectángulos disminuye
a ver de regreso
observemos en el primer caso el ancho
era 1 porque eran 4 rectángulos
como duplicar la cantidad de rectángulos
observen que ahora el ancho de los
rectángulos es de medio media unidad
porque aquí va el 3 entonces aquí es 2.5
atrás 35 si yo vuelvo a dividirlos a la
mitad si aquí es 0.5 el ancho de estos
rectángulos debería de ser 0.25 en cada
unidad cabrían 4 de estos y en este si
lo divido nuevamente sería 0.125
muy bien entonces ahora la otra pregunta
a medida que aumentamos el número de
rectángulos qué cambios se producen en
las sumas de sus áreas que cambio porque
se produjo primero iniciamos con 10 y
luego tenemos 10.5 10.62 10.65 pues
entonces va aumentando verdad aumenta
pudiéramos decir va haciendo más exacta
correcto debería ser más exacta en
cuanto mide el ancho de la figura con
respecto al eje en los tres casos
observen que partimos de cero y la
figura se cierra en cuatro por lo tanto
el ancho de la figura es cuatro
muy bien ok las siguientes preguntas
cuando se emplean cuatro rectángulos
cuánto mide el ancho de cada uno bueno
ya lo contestamos verdad cuando son
cuatro mide 1 y cuando son este 8 pues
mide medio que era 0.5
como se puede calcular el ancho de los
rectángulos una vez que se conoce en
cuánto se va a particionar la figura
cómo podemos calcular el ancho de los
rectángulos sencillo primero tenemos que
ver desde donde a donde es el intervalo
en el eje de las x de 0 a 4
entonces el ancho es 4 y lo voy a
dividir entre el total de rectángulos
que quiero si yo quiero unir rectángulos
entonces cada rectángulo debería ser de
cuatro décimos o lo que es lo mismo que
un quinto o lo que es lo mismo que 0.4
si entonces el ancho del eje de las
equis que abarque la figura lo divido
entre el número de rectángulos que tengo
y así podemos conocer el ancho
de cada uno de estos rectángulos
ok entonces ahora pasamos a una
generalización que es esto bueno
en ocasiones o buenos siempre estamos
buscando una forma de simplificar el
trabajo entonces un método para hacerlo
es a través de una generalización que se
establecer una expresión que reduzca los
procedimientos y que se adapte a
cualquier otro problema en este caso a
cualquier función
recuerde nos estamos en cálculo vamos a
estar trabajando seguir trabajando lo
que son funciones estas funciones
- x cuadrada más 4 menos x y se
representa con esta curva azul
estamos vamos a tratar de dibujar cuatro
rectángulos con el ejemplo original en
el caso general a ver este es con un
ejemplo específico este es generalizando
usando letras nada más en lugar de tener
valores abajo y voy a tener que existe
un a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 hasta donde sea
desde un punto a hasta un punto b con n
cantidad de rectángulos
vamos a calcular el intervalo sobre el
eje x de la gráfica de la función
nosotros ya vimos que llegará hasta 4
iniciaba en 0 por lo tanto el intervalo
era de 4 si esto lo generalizamos de lo
dije ahorita termine en b
inician entonces el intervalo es
venenosa
tengan muy presente que en el lado en
este lado de aquí lo vamos a estar
llegando a valores vamos a llegar a una
expresión estamos partiendo de un
ejercicio que si se resuelve ahora
calculemos el ancho de cada rectángulo
dijimos que se iba a dividir el
intervalo entre el número de rectángulos
que yo quiero que se expresa con la
letra n como quiero 44 entre 4 a 1 ahora
cómo queda esta expresión
tengo el intervalo de menos a entre n
cuánto vale n por el momento no me
importa en este lado derecho de mi tabla
ahora vamos a determinar los valores de
los extremos izquierdos de cada
rectángulo a qué me refiero con esto
bueno estos valores de aquí bueno
inician 0 1
23 y nada más
si porque queremos el lado izquierdo
nada más
por eso aparece 0 1 2 y 3 y en la
generalización pues comenzamos con la de
nuevo a1 a2 y a3 no llegamos hasta b
ahora para calcular las alturas basta
sustituir estos valores en la función
que se me dio
si aquí de hecho hay un error aquí debe
de ser f1 f2 y f3 se les pasó ese error
citó a los editores muy bien entonces
con esta expresión si yo calculo efe de
cero
me da cero sí cálculo efe de uno me da
tres si cálculo efe de 24 y se calculó
efe de tres debe de dar nueve no
deberían estarse preguntando cómo
salieron esos valores pero bueno les
ayudo
- x cuadrada 2 al cuadrado es 4 y lo
dice más 4 x 4 por 2 8
- 48 me da este 4 aquí de hecho hay
también otro pequeño error la función
que se tomó fue distinta a la que nos
decían entonces es más 4 x + 4 x este
punto lo iba yo lo confundí con un menos
existe más 4 x
muy bien y como calculamos la altura de
cada rectángulo en la generalización
pues sólo lo dejamos indicado
efe porque íbamos a usar el valor a f1
f2 y f3
como se calcula el área de un rectángulo
pues base por altura entonces ya conozco
la base siempre va a ser igual porque
todos los rectángulos tienen el mismo
ancho y la altura fue la que acabamos de
encontrar 0 3 4 y 3 por lo tanto estos
son los valores de las áreas y si yo lo
sumo pues obtengo un área total de 10
en la generalización yo voy a dejar
indicado la base cuánto vale la base el
ancho de cada rectángulo que se expresa
con delta x multiplicado por el valor de
la función
así cada una de las áreas en este caso
en particular por visualización tenemos
que el primero me va a dar 0 quedándome
con los otros tres solamente pero veamos
los de este acá en la suma de las áreas
de todas maneras yo tengo un área 1 el
área 2 un área 3 un área 4 como las
expreso con estas expresiones de aquí
la área 1 corresponde a multiplicar efe
por el incremento de x que es la base
área 2 sf de a1 por la base
efe de a 2 por la base y 3 por la base
entonces así que obtengo una
generalización si yo les cambió la
función de la gráfica ustedes sean van a
tener que seguir de todas maneras este
mismo procedimiento sale bueno
entonces vamos a hacer un ejercicio más
espero lo que hemos empezado el vídeo
pero vamos a hacer este ejercicio los
voy a acompañar a hacerlos es una
función f x igual x cuadrada se dibuja
esta curva me están pidiendo encontrar
el área desde 0 hasta 3
entonces aquí tengo el 10
1 2 3
vamos a usar este rectángulos inscritos
vamos a ver cómo queda aquí ya tenemos
un avance de cómo quedó nuevamente el
primer rectángulo va a quedar con una
altura de 0 entonces va a dar 0 su
resultado pero ya el segundo rectángulo
y el tercer rectángulo pues iban a tener
un valor sale me piden que construya
específicamente tres rectángulos n igual
a 3 entonces lo primero que yo voy a
hacer determinar el intervalo de la
figura sobre el eje x donde inicia la
figura en cero donde termina en tres el
intervalo es 3 - 0 que es igual a 3
divide una partición el eje x para
inscribir tres rectángulos cuál será el
ancho de cada uno pues dijimos que se
dividía el intervalo entre el número de
rectángulos cuántos quiero 33 entre 3 me
da 1 cierto que hay una distancia de 1 a
2 hay una unidad así es verdad y de 2 a
3 también hay una unidad escribe los
valores de x que coinciden con el
extremo izquierdo 0 1 y 2
estos valores son los que me sirven para
sustituir en la función si cero porque
uno bueno cero porque es el inicial
porque uno porque esto es lo q me da
esta altura que es la que me va a servir
para calcular este rectángulo y por qué
dos porque al usar la función con dos
voy a obtener esta altura y me sirve
para calcular este rectángulo este es un
cero nuestro 660
paso 4 calcula en la altura de cada
rectángulo sustituye los valores de x
anteriores en la función 0 1 2 en x
cuadrado
efe de x
es igual a equis cuadrada
efe de 0
sería igual a 0 al cuadrado igual a 0
efe de 1
disculpen es difícil manejar el manos
pronto solucionar ese problema sería 1
al cuadrado
que es igual a 1 y por último efe de dos
sería igual a 2 al cuadrado
que es igual a 4 estamos ok entonces ya
tenemos los valores de las funciones de
las alturas 0 14
la base dijimos que todos debe de ser
igual
la primera altura fue 0 la segunda 1 y
la última fue 4 como cálculo del área
pues multiplicando base por altura 1 por
0 0 1 por 11 1 por 4 4 vamos a regresar
a nuestra figura para estar seguros que
vamos bien que altura tiene este
rectángulo
11 verdad como la que encontramos y qué
altura tiene este rectángulo 14 entonces
vamos bien
ya tenemos lo que son las áreas y se
calcula las calcula la sombra de las
áreas de todos los rectángulos pues
éramos unos 145 el resultado sería 5
entonces ustedes pueden hacer este mismo
procedimiento en los ejercicios que
vienen en las siguientes secciones
recuerden que esto que yo acabo de
explicar no es necesario que ustedes lo
anoten esto les sirve nada más para que
se entienda mejor el tema y me importa
más que se pongan directo en los
ejercicios que vienen en las siguientes
hojas tanto la actividad de cierre como
en la que viene manejado por la
transversalidad y para practicar más
muy bien su turno a trabajar muchas
gracias y espero les sirva este pequeño
vídeo
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