Curso de Integrales. Capítulo 1: ¿Qué es y para qué sirve la integral? Una propuesta didáctica.

Summary

El guión ofrece una introducción a la integral, una herramienta matemática fundamental para medir áreas, especialmente aquellas con límites curvos. Se explora la historia de cómo Arquímedes utilizó rectángulos para aproximar áreas bajo curvas y cómo, con el tiempo, Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo integral y el teorema fundamental del cálculo, que conecta la integración y la derivación como operaciones inversas. El vídeo también explica cómo se calcula la integral de funciones potencias y la importancia de entender la aplicación práctica de las integrales en lugar de solo memorizar técnicas de cálculo. Finalmente, se destaca la utilidad de las máquinas y programas para realizar cálculos integrales complejos, subrayando que el verdadero valor radica en la comprensión del propósito de las integrales.

Takeaways

• 📏 La integral es una herramienta matemática utilizada para medir áreas bajo curvas en funciones matemáticas.
• 📐 La comprensión de la integral permite apreciar los conceptos de longitud, superficie y el uso de unidades de medida para comparar y medir.
• 📏 La historia de la integral está marcada por la contribución de grandes mentes como Arquímedes, Newton y Leibniz, quienes trabajaron en la aproximación y el cálculo de áreas.
• 🔍 Arquímedes usó rectángulos para aproximar áreas bajo curvas, aunque reconoció los límites de su método y el desafío de encontrar una fórmula exacta.
• 🧮 Newton y Leibniz, trabajando de forma independiente, desarrollaron el cálculo integral y el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la integración con la derivación.
• 📈 La integral de una función puede representarse gráficamente, lo que permite visualizar y calcular áreas bajo curvas de manera más intutiva.
• 🔢 La integral de funciones potencias (como x^n) se calcula sumando 1 al exponente y dividiendo por el nuevo exponente, proporcionando una fórmula general para tales integrales.
• 📉 El cálculo de áreas bajo curvas es esencial en muchas aplicaciones prácticas y teóricas en las matemáticas, la física y la ingeniería.
• 💡 La integración y la derivación son operaciones inversas, lo que significa que la integral de una función da como resultado la función original antes de su derivación.
• ⚙️ A pesar de la disponibilidad de programas y calculadoras para realizar integrales, es importante entender su propósito y cómo se aplican en contextos más amplios.
• 🎓 El conocimiento de integrales y su cálculo no solo es útil para resolver problemas académicos, sino también para fomentar el pensamiento crítico y la capacidad de resolución de problemas.

Q & A

¿Qué es la integral y qué propósito tiene en las matemáticas?

La integral es una herramienta matemática que se utiliza para medir áreas bajo curvas en un plano. Su comprensión es crucial para calcular áreas de figuras con límites curvos, lo que es difícil de hacer de manera exacta con métodos tradicionales de medición.

¿Cómo se relaciona la integral con la derivada en el contexto del cálculo?

La integral y la derivada son operaciones inversas en el cálculo. Mientras que la derivada nos da la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto, la integral nos permite calcular el área bajo la curva de la función. Esto se fundamenta en el Teorema Fundamental del Cálculo.

¿Quiénes fueron los dos matemáticos que desarrollaron el concepto de integral y cómo se llama su contribución conjunta?

Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz fueron los dos matemáticos que desarrollaron el concepto de integral. Ambos trabajaron en el desarrollo del cálculo integral y su contribución conjunta se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.

¿Cómo se calcula el área bajo una función simple como f(x) = x utilizando la integral?

Para calcular el área bajo la función f(x) = x, se utiliza la integral. La integral de x es x al cuadrado dividido entre 2 (x^2/2). Al sustituir el valor de x hasta el cual se quiere calcular el área, se obtiene el área bajo la curva de f(x) = x hasta ese punto.

¿Cómo se relaciona el concepto de unidad de medida con la medición de áreas en matemáticas?

La unidad de medida es fundamental para la medición de áreas ya que permite comparar la superficie de un objeto con una medida estandarizada. En matemáticas, la unidad de medida para medir superficies es la unidad de área, que es un cuadrado de lado uno, y puede ser cualquier medida de longitud como el centímetro o el metro.

¿Por qué es importante la integral para la ciencia y la tecnología?

La integral es crucial para la ciencia y la tecnología porque permite calcular áreas y volúmenes de formas con límites curvos, lo que es esencial en campos como la física, la ingeniería y la economía. Además, el cálculo de integrales es la base para el análisis de funciones y la comprensión de comportamientos cambiantes en el tiempo.

¿Cómo se relaciona el concepto de área con la integración en matemáticas?

La integración es el proceso de encontrar una función cuya derivada es otra dada función, y su resultado es el área bajo la curva de esa función en un intervalo determinado. En otras palabras, la integral nos proporciona una fórmula para calcular áreas que no son rectangulares o rectangulares aproximadas.

¿Qué es el Teorema Fundamental del Cálculo y cómo se relaciona con la integral?

El Teorema Fundamental del Cálculo establece una conexión entre la derivada y la integral, indicando que la integral de una función es la antiderivada de esa función. Esto proporciona un método para calcular áreas y volúmenes sin la necesidad de sumar infinitesimales, lo que es esencial para el análisis matemático.

¿Cómo se calcula la integral de una potencia x^n, siendo n un número real?

Para calcular la integral de una potencia x^n, se utiliza la fórmula (x^(n+1))/(n+1), siempre que n ≠ -1. Esto significa que se suma 1 al exponente original y luego se divide por el nuevo exponente resultante.

¿Por qué es útil la integral para calcular áreas de figuras con límites curvos?

La integral es útil para calcular áreas de figuras con límites curvos porque proporciona una manera de encontrar áreas exactas sin la necesidad de aproximaciones o división en formas geométricas más simples. Esto es particularmente útil en geometría analítica y en la resolución de problemas en física y ingeniería.

¿Cómo se puede demostrar que una función es la integral de otra función dada?

Se puede demostrar que una función es la integral de otra función dada tomando la derivada de la función propuesta como integral y mostrando que es igual a la función original. Si la derivada coincide, entonces la función propuesta es en efecto la integral de la función original.

Outlines

00:00

😀 Concepto de Integral y su importancia

El primer párrafo introduce el concepto de integral como una herramienta matemática fundamental para medir áreas, tanto de figuras con límites rectos como curvos. Se menciona la importancia de la integral en la vida y cómo, históricamente, ha sido un desafío encontrar una fórmula para calcular áreas con límites curvos. La discusión se enfoca en la evolución del pensamiento matemático desde la aproximación de áreas con rectángulos hasta la invención de la integral como una fórmula 'mágica'.

05:03

🧐 Descubrimiento de la Integral por Newton y Leibniz

Este párrafo relata cómo Newton y Leibniz, independientemente y casi simultáneamente, descubrieron la forma de calcular áreas bajo curvas, lo que resultó en la creación de la integral. Se describe el proceso de análisis y el desarrollo de la fórmula que permitía calcular áreas de superficies con límites curvos sin la necesidad de aproximaciones previas. Además, se destaca la polémica sobre quién fue el primero en llegar a la fórmula y la gratitud hacia ambos matemáticos.

10:09

📐 Análisis de la Integral y su Relación con las Potencias

El tercer párrafo profundiza en el análisis de la integral y su relación con las potencias y los cuadrados perfectos. Se explora cómo, al observar las áreas bajo la función f(x) = x, se llega a una fórmula que relaciona el valor de x con el área correspondiente, lo que conduce a la creación de una función 'área'. Se destaca cómo la integral se relaciona con las potencias y cómo se puede generalizar para encontrar la integral de funciones más complejas.

15:10

🔄 Teorema Fundamental del Cálculo y sus Aplicaciones

Este párrafo aborda el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que integrar y derivar son operaciones inversas. Se describe cómo Newton y Leibniz llegaron a la comprensión de que la integral de una función es la función original de la cual se derivó. Se ilustra con ejemplos cómo encontrar la integral de funciones simples y se destaca la utilidad de la integral para calcular áreas.

20:14

📈 Integrales y sus Aplicaciones en la Geometría

El último párrafo se enfoca en las aplicaciones prácticas de las integrales en la geometría, especialmente para calcular áreas bajo curvas. Se discute cómo las integrales pueden ser utilizadas para encontrar áreas exactas sin la necesidad de aproximaciones. Además, se menciona la importancia de entender el propósito de las integrales más allá del cálculo, y se ofrece una visión general de las técnicas y reglas que se presentarán en capítulos posteriores para ayudar al lector a aprender a calcular integrales a mano.

Keywords

💡Integral

La integral es una herramienta matemática utilizada para calcular áreas bajo curvas en un plano cartesiano. En el video, se destaca como una de las 'magias' de la vida, que a pesar de su complejidad, permite medir áreas con límites curvos, lo cual es esencial en la física y la ingeniería.

💡Unidad de medida

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada utilizada para expresar dimensiones físicas como longitud, masa o tiempo. En el video, se menciona la necesidad de comparar con una unidad de medida para medir la longitud de una figura y el área de una superficie plana.

💡Área

El área representa la extensión de una superficie plana. En el video, se discute cómo calcular el área de figuras planas y cómo la integral se relaciona con la medición de áreas, especialmente cuando los límites son curvos.

💡Curvas

Las curvas son trazados en un plano que no son rectos. En el contexto del video, las curvas representan límites de figuras para las cuales la medición del área no es directa y requiere el uso de la integral.

💡Arquímedes

Arquímedes fue un matemático griego que, hace 2000 años, utilizó la aproximación de rectángulos para medir áreas bajo curvas. Su método fue un precursor a la integral y se menciona en el video como una solución temprana al problema de medir áreas con límites curvos.

💡Newton y Leibniz

Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son recordados en el video como los genios que desarrollaron el cálculo infinitesimal, que incluye la integral. Ambos contribuyeron a la creación de la fórmula 'mágica' que permite calcular áreas bajo curvas sin la necesidad de aproximaciones.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo establece una relación entre la derivación y la integración, mostrando que son operaciones inversas. En el video, se destaca como un hito en la historia de la matemática y la ciencia.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que define la pendiente de la tangente a una curva en un punto específico. En el video, se relaciona con la integral como una operación inversa, esencial para encontrar la función que, al derivarla, da como resultado la función original.

💡Función

Una función es una relación matemática que asocia a cada elemento de un conjunto (dominio) un único elemento de otro conjunto (codominio). En el video, las funciones son utilizadas para representar curvas y son clave en el proceso de integración.

💡Área bajo la curva

El área bajo la curva es el espacio comprendido entre la curva y el eje horizontal. En el video, se explora cómo la integral se utiliza para calcular este área, que es crucial en muchas aplicaciones científicas y tecnológicas.

💡Cálculo de áreas

El cálculo de áreas es una aplicación práctica del uso de la integral. En el video, se discute cómo la integral permite calcular áreas de figuras con límites curvos, una tarea que de otra forma sería compleja o imposible de realizar.

Highlights

La integral es una herramienta matemática utilizada para medir áreas, especialmente aquellas con límites curvos.

Arquímedes fue uno de los primeros en buscar una solución para medir áreas con límites curvos, aproximándolas con rectángulos.

Isaac Newton y Gottfried Leibniz, independientemente, desarrollaron el cálculo integral y diferencial, lo que revolucionó la forma en que se calculan áreas.

La integral de una función representa el área bajo la curva de esa función hasta un punto dado.

La fórmula mágica de Newton y Leibniz permite calcular áreas exactas sin la necesidad de sumar áreas de rectángulos.

El proceso de integración y derivación son operaciones inversas, lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.

La función f(x) = x^n tiene una integral directa que se calcula elevando el exponente en uno y dividiendo por el nuevo exponente.

La integral de funciones potencias es una forma sencilla de calcular áreas bajo curvas utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.

El cálculo de áreas con límites curvos se vuelve posible gracias a la introducción del concepto de integral.

La integral de fx = x es x^2/2, lo que permite calcular el área bajo una línea hasta un punto dado.

Las máquinas y programas modernos pueden calcular integrales complejas con un solo clic, pero es importante entender su propósito y no solo el proceso.

El cálculo de integrales a mano requiere de reglas y trucos que se pueden aprender y aplicar para integrar funciones más complejas.

El cálculo de áreas es solo uno de los muchos usos de las integrales en matemáticas y otras disciplinas.

La integral de x^2/2 es x^3/3, lo que demuestra cómo se calcula el área bajo una parábola hasta un punto específico.

El análisis de áreas y el desarrollo del cálculo integral fueron esfuerzos colectivos de muchos matemáticos a lo largo de la historia.

La integral es una herramienta fundamental para el avance de la tecnología y la ciencia, más allá de la mera curiosidad académica.

El entendimiento de las integrales y su aplicación en la vida real demuestran la belleza y el poder del pensamiento matemático.

Transcripts

voy a contar que es en la integral y

para qué sirve entender el concepto de

integral es uno de los placeres mágicos

que te ofrece la vida si la integral lo

que tanto miedo da la integral es una

herramienta matemática que sirve para

medir pero ojo que es medir medir es

comparar para medir la longitud de esta

figura tengo que comparar la longitud de

la figura con una unidad de medida si la

unidad de medida es ésta la figura es

dos veces la unidad la figura mide dos

unidades pero si la unidad de medida es

esta otra

la figura mide tres unidades y si la

unidad es el centímetro la figura mide

31 centímetros medir una longitud es

relativamente fácil pero como mide una

superficie la superficie es una cualidad

que tienen los cuerpos planos y para

medir una superficie también tengo que

tener una unidad de medida o una unidad

con la que comparar la superficie que

quiero medir la unidad de medida para

medir superficies es la unidad de área

la unidad de área es un cuadrado de lado

uno pero uno que da igual puede ser

centímetro kilómetro metro o cualquier

otra unidad de medida lo importante es

que sea un cuadrado este cuadrado de

lado uno es la unidad de área y para

saber el área total de una figura plana

tenemos que comparar la unidad de área

con la figura que queremos medir la

unidad cabe cuatro veces y la forma

matemática de decirlo es esta figura

mide cuatro unidades de área recordad

que la superficie es una cualidad y el

área es la medida unas veces se dice

calcula el área y otras veces se dice

calcula a la superficie da igual una

pregunta cuánto mide la superficie de

esta figura si la unidad de área

uno dos tres cuatro cinco y seis dos

filas de tres unidades tres de base por

dos de altura dos por tres seis unidades

de área y si la unidad es el centímetro

por aquí mide quince centímetros y por

aquí mide 10 centímetros la superficie

mide 15 centímetros por 10 centímetros

de área 10 por 15 son

150 y centímetro por centímetro es

centímetro al cuadrado 150 centímetros

cuadrados aquí caben 150 cuadrados de un

centímetro de lado las superficies que

hemos medido tienen límites rectos y sus

áreas son fáciles de calcular

pero qué pasa cuando la figura tiene

límites curvos ahora tengo esta figura y

esta unidad de área voy colocando

unidades de área en la figura

[Música]

pero quedan huecos que no podemos

rellenar con la unidad de área aquí hay

un problema y cada vez que hay un

problema a lo largo de la historia de

nuestra especie las mentes brillantes

empiezan a pensar hace 2000 años

arquímedes dio una solución bueno se

aproximó a la solución

[Música]

colocó rectángulos que llegaban hasta la

curva con el objetivo de cubrir toda la

superficie

calculaba el área de cada rectángulo

multiplicando la base por la altura y

después sumaba todas las áreas la suma

de las áreas de todos los rectángulos

era parecida al área de la superficie

que quería medir pero no idéntica

quedaban zonas pequeñas que no se podían

medir entonces se le ocurrió hacer

rectángulos más finos más estrechos

[Música]

ahora los huecos sin medir eran más

pequeños con lo que la superficie de los

rectángulos se parecía más a la

superficie de la figura entonces probó

con rectángulos más finos cada vez más

finos cada vez más estrechos

[Música]

y vio que la suma de las áreas de los

rectángulos era cada vez más parecida al

área de la figura que quería medir pero

por muy finos que hacía los rectángulos

siempre quedaban huecos sin medir

arquímedes se dio cuenta de que el

método de medir superficies mediante los

rectángulos no era muy exacto y se le

hizo bolas porque lo realmente

extraordinario sería encontrar una forma

de medir sin tener que hacer rectángulos

sin tener que sumar áreas una fórmula

mágica que permitiera calcular el área

exacta de una superficie aunque tuviera

los límites curvos esa fórmula se

convirtió en un reto en un desafío en un

problema que necesitaba solución en las

mentes brillantes dedicaban su tiempo su

esfuerzo su talento a encontrar una

forma de medir superficies con límites

curvos y la encontraron hace 400 años

dos personas dos mentes brillantes la

encontraron en newton y leibniz

cada uno por separado uno en inglaterra

y el otro en alemania

encontraron la forma de calcular el área

de cualquier superficie los dos llegaron

a la misma conclusión ya no tenían que

aproximar dibujando rectángulos pero ojo

los dos se basaron en los rectángulos

quién fue el primero newton y leibniz

quien descubrió la fórmula mágica no

está tan claro cada uno defendía que

había sido él lo que podemos hacer ahora

es dar las gracias a los dos porque el

invento cambió la historia de la

tecnología de la ciencia humanidad ahora

voy a ir dando los pasos que vieron

newton y leibniz

hasta llegar a esa idea feliz a esa

fórmula mágica que permitía calcular el

área de cualquier superficie dibujo la

figura en unos ejes de coordenadas

pegada al eje x y pegada al eje

así la tengo más controlada fíjate que

lo que buscaba era el área de esta

figura

aquí está la curva aquí está el eje x

aquí está el eje y aquí está el límite

de la figura esta es el área que

queremos y es aquí en este momento

cuando tuvieron la idea feliz o la feliz

idea se les ocurrió analizar el área que

va quedando bajo la curva a medida que

iba avanzando el eje x para x igual a 1

ver qué área queda para x igual a 2 ver

qué área queda y a partir de ahí ir

subiendo la equis y ver qué área iba

quedando por detrás de esta forma se

podía analizar si había alguna relación

entre la x que se tomaba y el área que

resultaba querían encontrar algo

esperable algo que les permitiera

encontrar el área exacta solo con elegir

una x determinada pero para calcular el

área que va quedando por detrás no

podemos partir de una figura con una

curva porque ese era precisamente el

problema así que vamos a cambiar la

figura curva por una recta para ir

probando como harían ellos luego si

encontramos una solución cambiamos la

figura por una más

una que tenga curvas así que empezamos

por una muy sencilla una cuya parte

superior sea recta una en la que se

pueda controlar gráficamente el área y

de esta forma ir monitorizando

comprobando que va pasando con el área

una como ésta

repito he cambiado la figura curva por

una más sencilla por una recta para ir

comprobando gráficamente el área que va

quedando concretamente esta parte la

parte que nos importa se corresponde con

una función muy conocida en matemáticas

la función fx igual a equis o

simplemente igual a equis

una función en la que en cada punto la x

es igual a la y es muy sencilla de

dibujar preparamos una tabla de valores

para x igual a 0 y vale 0 para x 1 y

vale uno para dos vale 2

[Música]

esta función está muy bien porque me

permite ir comprobando qué área va

quedando por debajo de la función a

medida que cambia la x con esta unidad

de área vamos a ir viendo gráficamente

qué resultados obtenemos a medida que

vamos aumentando la x

fíjate bien porque vamos a ir

comprobando el área que va quedando de

forma gráfica el área que queda bajo la

función y el eje de las x como si aquí

debajo se formara una superficie que va

a ir cambiando a medida que aumentamos

la x empezamos de izquierda a derecha

para x igual a 0 no hay área

para x igual a 1 el área que queda es la

mitad de una unidad de área

0.5

para x igual a 2

el área que va quedando es una una y

media 2

para x 3

1 2 3 4 y media

y para cuatro el área es 1 2 3 4 5 6 7 y

8

y para compararlas bien voy a ponerlas

con el mismo denominador 0.5 es un medio

2 es lo mismo que cuatro medios

4 con 5 es igual que 9 medios

si 9 entre 2 son 4 5 y 8 es igual que 16

entre 2

analicemos lo que ha salido debajo

siempre queda un 2 y en el numerador

queda 1 4 916 o suena algo conocido 1 4

916 exacto son los cuadrados perfectos

los cuadrados de 1 2 3 y 4 cuando la x

es 1 aquí queda el cuadrado de 1 que es

1 cuando aquí hay un 2 aquí queda el

cuadrado de 24 si aquí hay 3 aquí su

cuadrado 9 y si aquí hay 4 16 y para que

se vea todavía más claro ponemos los

cuadrados en forma de potencias uno es 1

al cuadrado 4 es igual que 2 al cuadrado

9 podemos ponerlo como 3 al cuadrado y

16 es lo mismo que 4 al cuadrado

analicemos de nuevo qué relación hay

entre la equis que vamos tomando y el

área que queda

vamos a relacionar en el numerador

siempre aparece el valor de la equis que

hemos tomado cuando aquí hay un 1 aquí

hay un 1 cuando hay un 2 aquí hay un 2

cuando hay un 3 aquí hay un 3 y si hay

un 4 aquí hay un 4

además siempre está elevada a 2 y en el

denominador siempre hay un 2 el área

tiene un patrón claro y como 1234 son

los valores de x puedo simplificar

sustituyendo los números por x

estoy generalizando estoy convirtiendo

lo que he obtenido en una función con

una variable la equis y es una variable

porque varía tenemos una nueva función y

si la nueva función ha salido de las

áreas puedo decir que esta es la función

área y que para calcular el área hasta

una equis concreta sólo tengo que

sustituir la x en la función área por

ejemplo hasta el valor 1

bastaría con sustituir la equis por 1 y

obtengo un medio que es el área que

queda hasta 1 y para 2 sustituyó por 2 y

me queda 2 al cuadrado 4 y 4 entre 2 son

2 que es el área que queda hasta 2 1 y 2

pero para para tengo que comprobar que

se cumple para cualquier valor voy a ver

si esta nueva función está función

mágica que inventaron estos señores se

cumple para un valor distinto voy a

meter el 5 y voy a ver qué queda a

continuación voy a dibujar el área hasta

5 y voy a ver cuánto queda en el dibujo

y voy a comprobar si coinciden sustituyó

x por 5 en la funcionaria para x igual a

5 que da 5 al cuadrado son 25 que

dividido entre dos son 12.5

ahora dibujo

voy a ver en el dibujo cuál es el área

que queda entre la función x y el eje x

pero hasta 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y medio que es lo que había salido con

la fórmula mágico verdad

no es magia es ciencia he partido de una

función la función f x x he ido

calculando el área que queda entre la

función y el eje x para los primeros

valores de x igual que hicieron ellos

con las áreas obtenidas he construido

otra función la nueva función es la

función área una función que permite dar

un valor cualquiera para la equis y nos

da el área que queda bajo la función de

la que partimos hasta ese valor de x

repito esta función me permite calcular

el área de esta otra entonces newton y

leibniz cada uno en su casa empezaron a

comparar las dos funciones tiempo tenían

no había tele no había internet y

después de mirar a las dos funciones

muchas veces para ver si había alguna

relación entre ellas se dan cuenta de

que una tiene grado uno y otra grado dos

eso se parecía mucho a una función y su

derivada cuando derivamos una función el

exponente baja a un grado recordad por

ejemplo que la derivada de x cuadrado es

2x

la función x cuadrado entre 2 a ver qué

puedo derivar la como un cociente o como

una potencia

como un cociente sería

derivada del numerador 2x por el

denominador sin derivar menos el

numerador sin derivar por la derivada

del denominador que es cero

2 por 2 son 4 y nos queda 4x y en el

denominador queda 4

este 4 que multiplica a todo el

numerador se anula con este 4 que divide

y me queda que la derivada de x cuadrado

entre 2 es x

también puedo derivar la como una

potencia porque x cuadrado entre 2 es lo

mismo que un medio de x cuadrado

multiplico el exponente 2 por el

coeficiente un medio y me queda uno y el

exponente el resto 1 y me vuelve a

quedar x

la derivada de la nueva función me da x

x es la función de la que parte quiere

decir que para calcular el área que

queda bajo una función solo tengo que

encontrar otra función cuya derivada sea

la función en la que quiero calcular el

área dicho de otra forma

tengo esta función si logro encontrar

otra que derivando la m de esta con ésta

puedo calcular el área de esta a

encontrar esta función cuya derivada es

esta se llama integrar

y a la nueva función se le llama

integral

esta es la integral de esta y esta es la

derivada de esta con la integral puedo

calcular el área de esta y fue aquí

justo aquí donde newton y leibniz

comprendieron que estaba la clave e

integrar y derivar son operaciones

inversas y a esto se le conoce como

teorema fundamental del cálculo dos

genios ahora no hay tiempo que perder

igual que ellos tenemos que poner a

prueba todo esto ver para qué sirve por

ejemplo tengo esta función f x igual a 1

o mejor para hacerla más clara y igual a

1 pintar esta función es muy sencillo no

puedo darle valores a la x porque le dé

el valor que le dé y siempre vale 1 si

la dibujo queda así

y siempre vale 1 ahora tengo que

encontrar una función que derivando la m

de 1 esa función es x porque la derivada

de x es 1 a calcular una integral se le

llama integrar y a calcular la derivada

derivar son operaciones inversas

y para distinguirlas voy a poner aquí

una rayita que significa que esta deriva

de esta y para qué sirve encontrar una

integral de esta función pues para

calcular el área entre esta función y el

eje x la integral es la fórmula mágica

teniéndola no hace falta dibujar sólo

tengo que sustituir x en la función

integral por el valor que quiera y tengo

el área justo hasta el número que haya

metido

si meto el 1 me da 1 que es el área que

queda por debajo de la función justo

hasta 1

y si meto el 2 en la integral me queda 2

que es el área que queda por debajo de

la función justo hasta 2 y ahora pruebo

con otra

la ya conocida y la equis

su integral también es conocida x

cuadrado partido por 2 pero ahora voy a

ver qué puedo hacer para no olvidar cómo

se hace esta integral la integral de x

la analizó y veo que es una función

potencial x una potencia una x elevada a

un exponente con un 1 adelante

anteriormente hemos deducido su integral

pero mirando las dos me doy cuenta de

que la integral tiene un grado más y su

derivada a un grado menos entonces si

quiero integrar una función potencial le

subo el grado pero también veo que en el

denominador queda el nuevo exponente en

este caso 2 así que para integrar una

función potencial cualquiera

x ^ n siendo n cualquier número

solo tengo que sumar 1 al exponente en

este caso n 1 y dividir por lo que nos

quede aquí n 1

y esta es la primera fórmula mágica es

la fórmula que sirve para integrar una

potencia

por ejemplo 4 x cubo

el 4 se queda igual es una constante

pongo la equis y sumó 1 al 3 3 1 son 4 y

en el denominador tengo que poner 4

este 4 se anula con este

y me queda x 4a

y si quiero comprobar que esta es la

integral de esta la deriva 4 por 1 son 4

y al exponente le restó 14 x cubo

integrar una función de este tipo con

esta fórmula es muy sencillo

a

vamos con la última una función cuya

gráfica sea una curva vamos a ver si

realmente el invento de newton y leibniz

funciona con curvas en la función y

igual a x cuadrado como encuentro una

integral de x cuadrado como es una

potencia aplicó la fórmula sumó 1 al

exponente dos más uno son tres y divido

por tres

y para comprobar que es una integral de

esta la deriva

la pongo de esta forma

multiplicó 3 por un tercio que es 1 y

resto 1 al exponente efectivamente nos

vuelve a salir x cuadrado

ahora con la nueva función la integral

puedo calcular el área que queda bajo

esta curva hasta el valor de x que

quieras vamos a dibujarla no hace falta

pero es que tengo verdadera pasión por

ver las matemáticas de forma gráfica

doy valores

y represento gráficamente la función

igual a equis cuadrado

[Música]

la unidad de área se ve claramente es

esta uno por uno me pica la curiosidad

de ver cuánto sale el área bajo esta

curva y el eje x pero hasta uno el área

hasta x igual a 1 debe ser menor que una

unidad de área incluso menor que media

unidad de área pero como se calcula de

forma exacta sin rectángulo sin

aproximaciones de forma exacta pues con

la fórmula mágica con la integral la

integral de x cuadrado es xq dividido

entre 3 y si hay meto el 1 me da 1 al

cubo que es 1 dividido entre 3 un tercio

de unidad de área pero no me digan que

no se merecen una estatua o una calle

o un cráter en la luna o en marte pero

los cráteres los pondría en hemisferios

opuestos para que no discutan así que

sabiendo esto lo demás es saber calcular

integrales pero no todas las funciones

son potencias hay funciones más

complejas funciones a las que le cuesta

más calcular le una integral como por

ejemplo estás

calcular la integral de estas funciones

no es tan directo pero tampoco tan

complicado hay programas que las hacen

con un solo clic las máquinas son más

efectivas haciendo integrales que

cualquier persona así que si tienes que

hacer una integral hacerla con una

calculadora con un programa con una

máquina lo importante no es saber hacer

integrales lo verdaderamente importante

es saber para qué sirven no tiene ningún

sentido saber calcular integrales si no

saben qué sirven por ejemplo para

calcular áreas pero si tienes interés o

te apasiona saber cómo se calculan

integrales a mano o si tienes un examen

en el que te piden que calcule es

integral es como una máquina existen

reglas trucos métodos que te facilitan

encontrar la integral de una función en

los siguientes capítulos voy a contar

cada truco cada regla cada método para

que de forma sencilla aprendas a

calcular integrales a mano para que

integrar sea un juego para que disfrutes

calculando integrales y calculando áreas

[Música]

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