COORDENADAS CARTESINAS, ESFERICAS Y CILINDRICAS

Hector Peralta

24 Feb 202113:00

Summary

TLDREl guion trata sobre la importancia de los sistemas de coordenadas en la física, explicando detalladamente el sistema cartesiano, esférico y cilíndrico. Se describe cómo se representan puntos en el espacio utilizando ejes en el sistema cartesiano, y cómo se utilizan ángulos y la distancia al origen para definir puntos en el sistema esférico. Además, se aborda el sistema cilíndrico, que se refiere a un cilindro y cómo se relaciona con el plano xy y el eje z. Se proporcionan fórmulas para convertir entre los sistemas cartesiano y esférico, así como entre cartesiano y cilíndrico, destacando las aplicaciones prácticas de estos sistemas en el estudio de la física.

Takeaways

📏 Los sistemas de coordenadas son fundamentales en física y matemáticas, y se dividen en cartesianas, esféricas y cilíndricas.
📐 El sistema de coordenadas cartesianas se representa con tres ejes: x, y y z, y se utiliza para describir la posición de un punto en el espacio tridimensional.
🌐 El sistema de coordenadas esféricas se refiere a una esfera y se utiliza para describir puntos en relación con un radio y dos ángulos, theta y phi.
🔄 El ángulo theta en coordenadas esféricas es la proyección del vector posición en el plano xy, medido desde el eje x.
🌀 El ángulo phi, o fi, en coordenadas esféricas se refiere a la rotación del vector en torno al eje z.
🔄 La conversión entre coordenadas cartesianas y esféricas se realiza a través de relaciones trigonométricas como senos y cosenos de los ángulos theta y phi.
📦 El sistema de coordenadas cilíndricas se refiere a un cilindro y se usa para describir puntos en un plano xy y una altura z.
🔄 En coordenadas cilíndricas, el ángulo theta es el director con respecto al eje x y se relaciona con la posición en el plano xy.
🔢 La magnitud r en coordenadas cilíndricas representa la distancia desde el eje z al punto en el plano xy.
🔄 La conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas se hace a través de la multiplicación de r por los senos y cosenos de theta para obtener x e y, y la altura z se mantiene igual en ambos sistemas.

Q & A

¿Cuáles son los tres sistemas de coordenadas que se discuten en el guion?
-Los tres sistemas de coordenadas discutidos en el guion son el sistema de coordenadas cartesianas, el sistema de coordenadas esféricas y el sistema de coordenadas cilíndricas.
¿Cómo se define el sistema de coordenadas cartesianas?
-El sistema de coordenadas cartesianas se define por tres ejes: el eje x, el eje y en un plano xy, y el eje z perpendicular a dicho plano.
¿Qué es la proyección del vector posición en el plano xy y cómo se llama?
-La proyección del vector posición en el plano xy se llama ángulo theta y se mide desde el eje x hasta la sombra proyectada del vector sobre el plano xy.
¿Cómo se relacionan las coordenadas cartesianas y esféricas?
-Las coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionan con las esféricas (r, theta, phi) a través de las fórmulas de conversión que involucran funciones trigonométricas como el coseno y el seno.
¿Qué es el ángulo phi en el sistema de coordenadas esféricas?
-El ángulo phi (φ) en el sistema de coordenadas esféricas es el ángulo fijo del vector con respecto al eje z.
¿Qué representan los ángulos theta y phi en el sistema de coordenadas esféricas?
-Theta (θ) representa el ángulo director del vector con respecto al eje x, y phi (φ) representa el ángulo fijo del vector con respecto al eje z.
¿Cómo se describe la magnitud del radio en el sistema de coordenadas esféricas?
-La magnitud del radio en el sistema de coordenadas esféricas se describe como la distancia desde el origen hasta el punto en la esfera.
¿Qué es el sistema de coordenadas cilíndricas y cómo se relaciona con el cartesiano?
-El sistema de coordenadas cilíndricas se relaciona con el cartesiano a través de una magnitud radial (r) en el plano xy, un ángulo director (theta) con respecto al eje x, y una magnitud z igual a la del sistema cartesiano.
¿Cómo se convierten las coordenadas cartesianas a cilíndricas?
-Para convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas, se multiplica la magnitud radial (r) por el coseno del ángulo theta para obtener x, por el seno de theta para obtener y, y z se mantiene igual.
¿Qué es la proyección del vector posición en el plano xy y cómo se mide?
-La proyección del vector posición en el plano xy se mide como la magnitud del punto p', que es la proyección del vector r sobre el plano xy, y se calcula como r coseno(theta) para x y r seno(theta) para y.

Outlines

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📐 Introducción a los Sistemas de Coordenadas

El primer párrafo introduce los sistemas de coordenadas, fundamentales en el estudio de la física. Se describen tres tipos principales: cartesianas, esféricas y cilíndricas. El sistema cartesiano se caracteriza por tres ejes (x, y, z), donde un punto en el espacio se define por sus coordenadas x, y, z. Este sistema es ampliamente utilizado desde la secundaria y está asociado con René Descartes. El sistema esférico se refiere a una esfera y utiliza dos ángulos (theta y phi) más una medida del radio para definir la posición de un punto. Estos ángulos determinan la proyección del vector en el plano xy y su posición con respecto al eje z. La conversión entre ambos sistemas se basa en la proyección del vector en el plano xy y su relación con los ángulos theta y phi.

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🌐 Sistema de Coordenadas Esféricas

Este párrafo se centra en el sistema de coordenadas esféricas, donde se definen los ángulos theta y phi para determinar la posición de un punto en una esfera. Theta se mide desde el eje x positivo y representa el ángulo azimutal, mientras que phi se mide desde el eje z positivo y se relaciona con la latitud. El radio r varía entre 0 e infinito, theta entre 0 y 2 pi para formar la circunferencia, y phi entre 0 y pi para formar la esfera. Se explica cómo, al mantener constantes theta o phi, se pueden formar planos o conos respectivamente. Además, se detallan las fórmulas de conversión entre coordenadas cartesianas y esféricas, utilizando las proyecciones del vector posición r sobre los ejes x, y y z.

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📏 Sistema de Coordenadas Cilíndricas

El tercer párrafo explora el sistema de coordenadas cilíndricas, que se asemeja a un cilindro y se relaciona con el plano xy y el eje z. Se definen las coordenadas r y theta, análogas al sistema polar, y la magnitud z. Se describe cómo, al girar el plano xy alrededor del eje z, se forma un cilindro. Para convertir coordenadas cilíndricas a cartesianas, se utilizan las fórmulas x = r * cos(theta), y = r * sin(theta) y z = z. Se explica que en el plano xy, el sistema cilíndrico es conocido como polar, donde x = r * cos(theta) y y = r * sin(theta). Finalmente, se describe cómo se identifican los puntos en el espacio utilizando estas coordenadas.

Mindmap

Keywords

💡Sistema de coordenadas cartesianas

Este concepto se refiere a un sistema de referencia bidimensional o tridimensional que utiliza ejes rectangulares para determinar la posición de un punto en el espacio. En el guion, se utiliza para describir cómo representar un punto en el espacio con tres ejes (x, y, z), donde cada eje es perpendicular a los otros. Esto es fundamental para entender la dinámica en física, ya que permite la localización precisa de objetos en un entorno tridimensional.

💡Sistema de coordenadas esféricas

Este sistema se basa en una esfera y utiliza un ángulo y una distancia para determinar la posición de un punto. Se menciona en el guion como una forma de referencia más sencilla para objetos que se pueden representar en una esfera. Los ángulos son el ángulo director (theta) y el ángulo fijo (fi), y la distancia es el radio (r). Esto es útil para situaciones donde la posición se puede describir de manera más intuitiva en términos de ángulos y distancias.

💡Sistema de coordenadas cilíndricas

Este sistema es una variación del sistema cartesiano adaptado para situaciones en las que una dimensión es de relevancia menor. En el guion, se describe cómo se relacionan con los sistemas cartesianos y esféricos, y cómo se usan para simplificar problemas en ciertas situaciones. Se refiere a un cilindro y utiliza una magnitud radial (r), un ángulo director (theta) y una altura (z) para determinar la posición de un punto.

💡Ángulo director

El ángulo director, también conocido como ángulo theta, es uno de los ángulos utilizados en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas para determinar la posición de un punto. En el guion, se explica cómo este ángulo se refiere al eje x y cómo se mide desde el eje x positivo, siendo fundamental para la proyección del vector posición en el plano xy.

💡Ángulo fijo

El ángulo fijo, también conocido como ángulo phi, es el segundo ángulo utilizado en el sistema de coordenadas esféricas para determinar la posición de un punto en relación con el eje z. En el guion, se menciona cómo este ángulo se mide desde el eje z positivo y es esencial para completar la descripción de la posición de un punto en un espacio tridimensional.

💡Radio

El radio es la distancia desde el origen al punto en el espacio en el sistema de coordenadas esféricas. En el guion, se explica cómo el radio se mide desde el origen hasta el punto de medición y es crucial para determinar la posición en la esfera, representando la magnitud del vector posición.

💡Proyección

La proyección es el proceso de representar un objeto en un plano a través de la eliminación de una dimensión. En el guion, se habla sobre cómo la proyección del vector posición r sobre el plano xy ayuda a definir el ángulo director y cómo se relaciona con la conversión entre sistemas de coordenadas.

💡Conversión de coordenadas

La conversión de coordenadas es el proceso de cambiar las medidas de una posición de un sistema de coordenadas a otro. El guion detalla cómo se pueden transformar las coordenadas cartesianas en esféricas y cilíndricas, y viceversa, utilizando factores de conversión como los senos y cosenos de los ángulos y la magnitud del radio.

💡Cilindro

Un cilindro es una superficie tridimensional formada por todas las líneas paralelas a un eje que pasan por un círculo fijo. En el guion, se usa el cilindro para ilustrar el sistema de coordenadas cilíndricas, donde el radio (r) y el ángulo (theta) definen una posición en el plano xy, mientras que la altura (z) se mantiene como una dimensión separada.

💡Ángulo azimutal

El ángulo azimutal es el ángulo que se mide en el plano horizontal y que define la dirección de un punto desde un punto de referencia. En el guion, se menciona cómo el ángulo theta actúa como el ángulo azimutal en el sistema de coordenadas esféricas y cilíndricas, proporcionando la dirección horizontal de un punto en relación con el eje x positivo.

Highlights

Introducción a la dinámica y la importancia de estudiar sistemas de coordenadas.

Descripción de los tres sistemas de coordenadas principales: cartesianas, esféricas y cilíndricas.

Explicación del sistema de coordenadas cartesianas con ejes x, y y z.

Representación de un punto en el espacio utilizando coordenadas cartesianas.

Introducción al sistema de coordenadas esféricas y su relación con una esfera.

Descripción de los componentes de las coordenadas esféricas: ángulo director, radio y ángulo fijo.

Importancia de los ángulos theta y phi en el sistema de coordenadas esféricas.

Relación entre la proyección de un vector y los ángulos theta y phi.

Conversión de coordenadas cartesianas a esféricas mediante la proyección del vector posición.

Explicación de cómo se forman las coordenadas esféricas con ángulos theta y phi.

Descripción de las restricciones de los ángulos theta y phi para formar una esfera completa.

Introducción al sistema de coordenadas cilíndricas y su relación con un cilindro.

Descripción de los componentes de las coordenadas cilíndricas: r, theta y z.

Conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas utilizando la magnitud r y el ángulo theta.

Relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas en el plano xy.

Explicación de cómo se forman los cilindros y planos a partir de las coordenadas cilíndricas.

Conversión de coordenadas cilíndricas a cartesianas utilizando las fórmulas de conversión.