Vibraciones forzadas con dos grados de libertad

Juan Manuel Vallejos

15 May 202316:39

Summary

TLDREn esta clase se estudian las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad. Se realiza una analogía a sistemas con múltiples grados de libertad. Se analizan fuerzas senoidales aplicadas a masas M1 y M2 unidas por resortes, y se plantean ecuaciones matriciales para resolver el desplazamiento y las frecuencias naturales. Se discuten casos prácticos y se muestra cómo el amortiguamiento afecta la respuesta de los sistemas, destacando la importancia de encontrar el nivel óptimo de amortiguamiento para minimizar la amplitud de las vibraciones.

Takeaways

📚 Clase dedicada al estudio de vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad.
🔁 Se realiza una analogía para sistemas con múltiples grados de libertad a partir de la metodología de las clases anteriores.
🌐 Sistema de dos masas M1 y M2 unidas por dos resortes de constantes k1 y k2, sin amortiguamiento.
🔧 Dos fuerzas senoidales, f1 y f2, actúan sobre las masas M1 y M2 respectivamente, a distintas frecuencias angulares omegaf.
📉 Se establecen las ecuaciones del movimiento para ambas masas utilizando la segunda ley de Newton.
🧩 Se propone un enfoque matricial para resolver el sistema, utilizando matrices de masas, rigidez y fuerzas.
🔢 Se calculan las frecuencias naturales de los sistemas mediante las matrices de masas y rigidez.
📊 Se muestra cómo las respuestas forzadas dependen de las frecuencias de forzamiento y las frecuencias naturales del sistema.
🏗️ Se introduce el concepto de amortiguamiento en el sistema, añadiendo fuerzas de amortiguamiento a las ecuaciones.
📈 Se analiza la respuesta del sistema a la frecuencia de forzamiento, destacando la importancia del factor de amortiguamiento para minimizar la amplitud de la respuesta.
🌐 Se extiende la discusión a sistemas con múltiples grados de libertad, manteniendo la estructura matricial para la resolución de ecuaciones.

Q & A

¿Qué sistemas se estudiarán en esta clase?
-En esta clase se estudiarán las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad y se hará una analogía en sistemas con múltiples grados de libertad.
¿Cuál es el sistema que se describe en el guión?
-El sistema descrito en el guión consiste en dos masas, M1 y M2, unidas por dos resortes de constantes k1 y k2, sin amortiguamiento, y sometidas a dos fuerzas externas, f1 y f2, ambas senoidales con frecuencias angulares omegaf.
¿Cómo se aplican las fuerzas externas en el sistema?
-La fuerza externa f1 se aplica sobre la masa 1 y la fuerza f2 se aplica sobre la masa M2, ambas con frecuencias senoidales.
¿Qué ley de Newton se utiliza para describir el movimiento de las masas?
-Se utiliza la segunda ley de Newton para describir el movimiento de las masas, relacionando la fuerza con la aceleración de las masas.
¿Cómo se puede representar el sistema de dos masas matemáticamente?
-Se puede representar el sistema de dos masas mediante una ecuación matricial que involucra la matriz de masas, la matriz de aceleraciones, la matriz de rigidez y la matriz de fuerzas.
¿Qué es la matriz de masas y cómo se relaciona con el sistema?
-La matriz de masas es una matriz que representa las masas del sistema y sus relaciones de interacción. En el caso del sistema de dos masas, se puede representar con los elementos m11, m12, m21 y m22.
¿Cómo se relacionan las frecuencias naturales con las masas y las constantes de los resortes?
-Las frecuencias naturales dependen de las masas y las constantes de los resortes. Se pueden calcular a partir de las componentes de la matriz de masas y la matriz de rigidez.
¿Qué sucede cuando la frecuencia de forzamiento es igual a la frecuencia natural?
-Cuando la frecuencia de forzamiento alcanza la frecuencia natural, la amplitud de la masa tiende a infinito, lo que indica un desplazamiento muy grande de la masa.
¿Cómo se calculan las respuestas forzadas para las masas en el sistema?
-Las respuestas forzadas para las masas se calculan a partir de la matriz de amplitudes de desplazamiento, que depende de las amplitudes de las fuerzas y las constantes k y m de las matrices de rigidez.
¿Qué cambios se introducen al considerar el amortiguamiento en el sistema?
-Al considerar el amortiguamiento, se añaden fuerzas adicionales a las ecuaciones de movimiento que corresponden a los amortiguadores con constantes c1 y c2. Esto afecta la respuesta del sistema y se debe ajustar el factor de amortiguamiento para minimizar la amplitud de la salida.
¿Cómo se relaciona el factor de amortiguamiento con la amplitud de la salida en un sistema con dos grados de libertad?
-Existe un valor óptimo de amortiguamiento que minimiza la amplitud de la salida. Si se amortigua menos que ese valor, la salida será más grande, y si se amortigua más, la vibración también será más grande.
¿Cómo se generaliza el análisis para sistemas con múltiples grados de libertad?
-El análisis se generaliza para sistemas con múltiples grados de libertad utilizando matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de tamaño n por n, donde n es el número de grados de libertad. Las ecuaciones se resuelven de forma análoga a las de sistemas con dos grados de libertad.

Outlines

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📚 Estudio de Vibraciones Forzadas en Sistemas de Dos Grados de Libertad

En el primer párrafo, se discute el estudio de vibraciones forzadas en sistemas con dos grados de libertad, con y sin amortiguamiento. Se presenta un sistema de dos masas (M1 y M2) conectadas por resortes con constantes k1 y k2 y sometidas a fuerzas senoidales f1 y f2. Se aplica la segunda ley de Newton para modelar las ecuaciones del movimiento y se sugiere el uso de un enfoque matricial para resolver el sistema. Se discuten las matrices de masas, rigidez y fuerzas, así como las ecuaciones características y la forma de las soluciones de desplazamiento en función del tiempo para cada masa.

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🔍 Análisis de Amplitudes y Frecuencias Naturales

El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de las amplitudes y frecuencias naturales de un sistema de dos masas sometido a vibraciones forzadas. Se destaca la importancia de las frecuencias de forzamiento (Omega F) y cómo estas afectan la amplitud de desplazamiento de las masas. Se proporciona un ejemplo práctico con valores específicos para las fuerzas, frecuencias y propiedades del sistema, y se calculan las matrices de fuerza, masa y rigidez. Se resuelven las ecuaciones para encontrar las frecuencias naturales (Omega 1 y Omega 2) y las amplitudes de desplazamiento (x1 y x2) para cada masa, considerando las respuestas forzadas y homogéneas.

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🛠️ Consideraciones para Sistemas con Amortiguamiento

El tercer párrafo introduce el concepto de amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad y cómo afecta las vibraciones forzadas. Se describen las ecuaciones de Newton modificadas para incluir fuerzas de amortiguamiento (c1 y c2) y se presenta la forma matricial compacta del problema. Se discute la importancia de encontrar el factor de amortiguamiento óptimo para minimizar la amplitud de la respuesta de vibración, y se presentan gráficos para ilustrar cómo diferentes niveles de amortiguamiento afectan la amplificación del movimiento.

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🔄 Ampliación de Conceptos a Sistemas con Múltiples Grados de Libertad

El último párrafo amplía el análisis a sistemas con múltiples grados de libertad, manteniendo la estructura matricial del problema. Se describe cómo se pueden expresar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez para un sistema de 'n' grados de libertad, y se resaltan las similitudes en el enfoque de resolución de ecuaciones con el caso de dos grados de libertad, pero adaptado a un mayor número de ecuaciones y respuestas por cada masa en el sistema.

Mindmap

Keywords

💡Vibraciones forzadas

Las vibraciones forzadas son aquellas que se producen en un sistema mecánico debido a la aplicación de una fuerza externa. En el video, se estudian estas vibraciones en sistemas con dos grados de libertad, es decir, dos masas conectadas por resortes y sometidas a fuerzas externas. Este concepto es fundamental para entender cómo se comporta el sistema ante diferentes frecuencias de las fuerzas aplicadas.

💡Amortiguamiento

El amortiguamiento es la disminución gradual de la energía cinética de un sistema mecánico debido a las fuerzas resistivas, como la fricción o el aire. En el contexto del video, se discute cómo el amortiguamiento afecta las vibraciones forzadas en sistemas con dos grados de libertad, introduciendo resistencias que disminuyen la amplitud de las vibraciones.

💡Sistemas con dos grados de libertad

Un sistema con dos grados de libertad es aquel que puede tener dos movimientos independientes, generalmente representados por dos masas distintas. En el video, se analiza cómo estos sistemas responden a las vibraciones forzadas y cómo se pueden modelar matemáticamente utilizando matrices de masa, rigidez y amortiguamiento.

💡Fuerza senoidal

Una fuerza senoidal es una que varía con el tiempo de manera periódica y puede ser representada por una función seno o coseno. En el video, se menciona que las fuerzas f1 y f2 son senoidales, lo que significa que varían de forma periódica y es clave para entender cómo estas fuerzas afectan las vibraciones del sistema.

💡Frecuencia angular

La frecuencia angular, representada por la letra griega omega (ω), es una medida de la rapidez de la rotación o oscilación de un objeto. En el video, se discute cómo la frecuencia angular de las fuerzas senoidales influye en las vibraciones de las masas y cómo se relaciona con las frecuencias naturales del sistema.

💡Matriz de masas

La matriz de masas es una herramienta matemática utilizada para representar las propiedades de masa de un sistema mecánico en términos de su distribución y cómo se relacionan entre sí. En el video, se utiliza la matriz de masas para modelar el sistema de dos masas y se relaciona con la ecuación de movimiento del sistema.

💡Matriz de rigidez

La matriz de rigidez describe cómo las fuerzas de los resortes afectan a los desplazamientos en un sistema mecánico. En el video, se utiliza la matriz de rigidez para modelar el comportamiento de los resortes que conectan las dos masas y se relaciona con la ecuación de movimiento del sistema.

💡Fuerzas externas

Las fuerzas externas son aquellas que actúan sobre un sistema desde el exterior y pueden provocar cambios en su estado de reposo o movimiento. En el video, se discute cómo las fuerzas f1 y f2, que son senoidales, actúan como fuerzas externas y provocan vibraciones en el sistema de dos masas.

💡Frecuencias naturales

Las frecuencias naturales de un sistema mecánico son aquellas a las que tiende a oscilar el sistema cuando está libre de fuerzas externas y amortiguamiento. En el video, se calculan las frecuencias naturales de las masas en el sistema de dos grados de libertad y se relacionan con la respuesta del sistema a las vibraciones forzadas.

💡Amplitud de fuerza

La amplitud de fuerza es la magnitud máxima de una fuerza oscilante, como una fuerza senoidal. En el video, se menciona la amplitud de fuerzas f1 y f2, que son importantes para determinar la magnitud de las vibraciones inducidas en el sistema de dos masas.

💡Analogía en sistemas con múltiples grados de libertad

La analogía en sistemas con múltiples grados de libertad implica extender los conceptos y métodos de análisis utilizados para sistemas de dos grados de libertad a sistemas más complejos con más masas y resortes. En el video, se sugiere que los principios y ecuaciones para sistemas de dos grados de libertad pueden generalizarse para abordar sistemas con múltiples grados de libertad.

Highlights

Se estudian las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad.

El sistema analizado incluye dos masas M1 y M2, conectadas por resortes de constantes k1 y k2.

Se consideran fuerzas externas senoidales f1 y f2 con frecuencias angulares omega f y Omega F, respectivamente.

Aplicamos la segunda ley de Newton para formular las ecuaciones de movimiento de las masas.

Las ecuaciones se pueden expresar usando un tratamiento matricial con matrices de masa, rigidez y fuerzas.

Las funciones solución de desplazamiento para ambas masas tienen forma senoidal con la misma frecuencia que las fuerzas aplicadas.

Se calcula la frecuencia natural omega1 y omega2 usando las componentes de las matrices de masa y rigidez.

Se destaca la dependencia de las frecuencias naturales de las constantes de los resortes y las masas.

Ejemplo práctico ilustra cómo calcular las matrices de masa, rigidez y fuerza para obtener las amplitudes de desplazamiento.

Para el sistema dado, se calculan las frecuencias naturales omega1 y omega2, encontrando 707 y 14 radianes/seg.

La amplitud de desplazamiento para la masa 1 es cero y para la masa 2 se calcula como -2, con frecuencia omega f.

La respuesta total incluye componentes forzadas y homogéneas, con soluciones senoidales y exponenciales.

Se analizan vibraciones forzadas con amortiguamiento, añadiendo fuerzas de amortiguadores con constantes c1 y c2.

Se reformulan las ecuaciones con fuerzas de amortiguamiento y se resuelven utilizando métodos matriciales.

Se discute el factor de amortiguamiento óptimo que minimiza la amplitud de salida, relacionado con las masas del sistema.

Se destaca la importancia de ajustar el amortiguamiento para evitar amplificaciones innecesarias en el sistema.

Para sistemas con múltiples grados de libertad, las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez son cuadradas y de tamaño n por n.

La solución de las ecuaciones se extiende a sistemas con n grados de libertad, proporcionando una solución por cada grado.