Simpson's Rule & Numerical Integration

Summary

Ce script explique comment utiliser la règle de Simpson pour estimer l'intégrale définie d'une fonction, en appliquant cette méthode sur un exemple avec des rectangles. Il décrit les étapes nécessaires, y compris le calcul de l'intervalle et l'application de coefficients pour les points intermédiaires. Ensuite, il aborde un problème pratique où la règle de Simpson est utilisée pour estimer le déplacement d'une voiture en fonction de sa vitesse instantanée sur 30 minutes. Enfin, il compare la vitesse moyenne obtenue à l'aide de la règle de Simpson avec celle calculée par la moyenne des vitesses mesurées.

Takeaways

• 😀 La règle de Simpson est une méthode d'approximation pour l'intégrale définie.
• 😀 L'intégrale définie de f(x) de a à b est approximée en utilisant la formule de Simpson qui implique des coefficients alternés de 2 et 4.
• 😀 La première et la dernière valeur de f(x) ne sont pas multipliées par un coefficient, tandis que les autres valeurs le sont de manière alternée.
• 😀 Pour appliquer la règle de Simpson, on commence par calculer Δx, la largeur de chaque sous-intervalle.
• 😀 L'exemple de l'intégrale de x³ de 2 à 10 montre que l'approximation de la règle de Simpson donne 2496, qui est identique à l'intégrale exacte.
• 😀 La règle de Simpson est un excellent moyen d'approximer une intégrale, notamment lorsque des données sont disponibles dans une table.
• 😀 Un autre exemple traite du déplacement d'une voiture, utilisant la règle de Simpson pour estimer la distance parcourue en 30 minutes.
• 😀 La vitesse instantanée de la voiture est donnée à des intervalles de 5 minutes, et Δx est converti en secondes pour correspondre à l'unité de mesure.
• 😀 Le déplacement estimé de la voiture sur 30 minutes est de 50 600 mètres ou 50,6 kilomètres.
• 😀 La vitesse moyenne de la voiture est calculée à 28,1 m/s, qui est proche de la vitesse moyenne obtenue en calculant la moyenne des vitesses instantanées dans le tableau, soit 27,6 m/s.

Q & A

Qu'est-ce que la règle de Simpson et comment est-elle utilisée pour estimer une intégrale définie ?

La règle de Simpson est une méthode numérique d'approximation utilisée pour estimer la valeur d'une intégrale définie. Elle repose sur une combinaison de points évalués à des intervalles égaux, en appliquant des coefficients alternés de 4 et 2, et en utilisant le premier et le dernier point sans multiplicateur.

Comment calcule-t-on la valeur de delta x dans l'exemple donné ?

Dans l'exemple, delta x est calculé en utilisant la formule delta x = (b - a) / n, où a est le point de départ, b est le point d'arrivée, et n est le nombre de rectangles. Pour a = 2, b = 10, et n = 4, delta x est égal à 2.

Quels sont les résultats de l'application de la règle de Simpson pour l'intégrale de x^3 de 2 à 10 ?

En appliquant la règle de Simpson avec les points 2, 4, 6, 8, et 10, et en utilisant les évaluations de f(x) = x^3, le résultat de l'intégrale estimée est de 2496, ce qui correspond également à la valeur exacte de l'intégrale.

Pourquoi les premières et dernières valeurs de la fonction ne sont-elles pas multipliées par des coefficients dans la règle de Simpson ?

Les premières et dernières valeurs de la fonction ne sont pas multipliées par des coefficients car elles représentent les points de départ et d'arrivée de l'intégrale, qui sont utilisés sans pondération, contrairement aux valeurs intermédiaires qui sont pondérées par des coefficients alternés.

Quel est le rôle de delta x dans l'approximation de l'intégrale par la règle de Simpson ?

Delta x représente la largeur de chaque sous-intervalle sur la plage d'intégration. Il est utilisé pour déterminer les espacements entre les points évalués de la fonction, ce qui influence directement l'approximation de l'intégrale.

Comment est-ce que la règle de Simpson est appliquée dans le calcul du déplacement d'une voiture ?

La règle de Simpson est utilisée pour estimer le déplacement d'une voiture en intégrant sa vitesse instantanée au cours du temps. L'intervalle de temps est divisé en sous-intervalles et les valeurs de la vitesse à différents instants sont utilisées dans la formule de Simpson pour estimer le déplacement total.

Pourquoi faut-il convertir les minutes en secondes dans cet exemple ?

Les données de vitesse sont fournies en mètres par seconde, tandis que l'intervalle de temps est en minutes. Pour que les unités soient compatibles, il est nécessaire de convertir les minutes en secondes.

Quel est le déplacement de la voiture après 30 minutes selon la règle de Simpson ?

Le déplacement estimé de la voiture après 30 minutes, selon la règle de Simpson, est de 50 600 mètres, soit 50,6 kilomètres.

Comment calcule-t-on la vitesse moyenne de la voiture sur la période de 30 minutes ?

La vitesse moyenne est calculée en divisant la distance totale parcourue (50 600 mètres) par le temps total (30 minutes, soit 1800 secondes). Cela donne une vitesse moyenne de 28,1 mètres par seconde.

En quoi les résultats obtenus par la règle de Simpson sont-ils comparables à la vitesse moyenne calculée à partir des données ?

Les résultats obtenus par la règle de Simpson (vitesse moyenne de 28,1 m/s) sont proches de ceux obtenus en calculant la moyenne des vitesses à partir des données (27,6 m/s), ce qui montre que la méthode de Simpson donne une approximation raisonnable de la vitesse moyenne.