Fungsi 12: Fungsi Periodik dan Grafik Fungsi Trigonometri Kelas 10
Summary
TLDRThis educational video script introduces the concept of periodic functions, specifically focusing on trigonometric functions. It defines a periodic function and explains its properties using the sine and cosine functions as examples. The script discusses amplitude and period, illustrating these with graphical representations. It guides viewers through determining the period, amplitude, and shifts of trigonometric functions, providing step-by-step instructions for graphing. The tutorial is designed to be an introductory lesson, with more detailed exploration in future trigonometry lessons.
Takeaways
- đ The video is a continuation of a mathematics class discussing periodic functions, specifically focusing on Subsection 4.12.
- đ A function is defined as periodic with a period P if it satisfies the equation f(x + P) = f(x), indicating it repeats every P units.
- đ The concept of amplitude and period in trigonometric functions is introduced, with amplitude being the maximum distance from the function's graph to the x-axis and the period being the distance over which the function repeats.
- đ The video discusses the basic graphs of the sine and cosine functions, explaining that the sine function has a wave-like graph with peaks and troughs, while the cosine function has a similar shape but starts at the peak.
- đ The standard form of a sinusoidal function is given as y = a * sin(Bx + C) + D, where 'a' is the amplitude, 'B' affects the period, 'C' is the horizontal shift, and 'D' is the vertical shift.
- đą The amplitude of a trigonometric function is represented by the formula (maximum value - minimum value) / 2, and the period is given by 2Ï / the coefficient of 'x'.
- âł The video provides a step-by-step guide on how to graph sinusoidal functions, including how to adjust for amplitude, period, and shifts.
- đ Examples are given to illustrate how to determine the period, amplitude, and shifts of a function, and then graph it accordingly.
- đ The video concludes with a call to action for viewers to practice determining the period, amplitude, and shifts of given trigonometric functions and to graph them.
- đ The instructor encourages viewers to like and subscribe to the channel for more educational content.
Q & A
What is a periodic function?
-A function is considered periodic if it repeats its values at regular intervals or periods. It is defined by the equation f(x + P) = f(x), where P is the period of the function.
What is the relationship between the period of a function and its coefficient in the equation?
-The period of a function is inversely proportional to the coefficient of the variable in the function's equation. Specifically, for a function in the form f(x) = a * sin(b * x + c) or f(x) = a * cos(b * x + c), the period is given by 2Ï/b.
What is amplitude in the context of trigonometric functions?
-Amplitude refers to the maximum distance from the graph of a trigonometric function to the x-axis. It is represented by the coefficient 'a' in the equations y = a * sin(bx + c) or y = a * cos(bx + c).
How do you determine the phase shift of a trigonometric function?
-The phase shift of a trigonometric function is determined by the value of 'c' in the equations y = a * sin(bx + c) or y = a * cos(bx + c), divided by the coefficient 'b'. A positive value of 'c/b' indicates a shift to the right, while a negative value indicates a shift to the left.
What is the period of the sine function y = sin(x)?
-The period of the sine function y = sin(x) is 2Ï, as it completes one full cycle from 0 to 2Ï.
How does the amplitude of a function change when the coefficient 'a' is doubled?
-When the coefficient 'a' in a trigonometric function is doubled, the amplitude of the function also doubles, meaning the maximum and minimum values of the function will be twice as far from the x-axis.
What is the effect of multiplying the variable 'x' by a coefficient 'b' in a trigonometric function?
-Multiplying the variable 'x' by a coefficient 'b' in a trigonometric function, as in y = a * sin(b * x) or y = a * cos(b * x), compresses or stretches the graph horizontally, effectively changing the period of the function to 2Ï/b.
What is the vertical shift 'D' in the context of the function equation y = a * sin(bx + c) + D?
-The vertical shift 'D' in the function equation y = a * sin(bx + c) + D moves the graph of the function up or down without affecting its period or amplitude. A positive 'D' shifts the graph up, while a negative 'D' shifts it down.
How do you calculate the phase shift in radians for a function given in degrees?
-To calculate the phase shift in radians for a function given in degrees, you divide the degree value by the coefficient 'b' and then convert the result to radians by multiplying by Ï/180.
What is the domain and range of the basic sine and cosine functions?
-The domain of the basic sine and cosine functions is all real numbers (R), and the range is from -1 to 1, inclusive. This means the functions' values oscillate between a minimum of -1 and a maximum of 1.
Outlines
đ Introduction to Periodic Functions
The video begins with an introduction to periodic functions, which are a fundamental topic in mathematics, particularly in trigonometry. The concept of a function being periodic with a period 'P' is explained through the equation f(x+P) = f(x). The video promises a more detailed discussion in future lessons. The focus then shifts to trigonometric functions, which are periodic by nature. The amplitude, defined as the maximum distance from the function's graph to the x-axis, and the period, which is the length of one complete cycle, are introduced. The tutorial also covers the basic graphs of the sine and cosine functions, explaining their shapes and how to interpret their amplitudes and periods.
đ Graphing Periodic Functions
This section delves into the specifics of graphing periodic functions, starting with the sine function. The amplitude is identified as the distance from the maximum point of the graph to the x-axis, and the period is the distance between two peaks or troughs. The tutorial then demonstrates how to adjust the graph of the sine function by altering its amplitude and period using the formula y = a * sin(Bx + C) + D. The process of graphing the function y = 2 * sin(2x - 45 degrees) is explained step by step, including how to calculate the period, amplitude, and phase shift, and how to sketch the graph accordingly.
đ Advanced Graphing Techniques
The video continues with more examples of graphing periodic functions, this time focusing on the cosine function. The formula y = a * cos(Bx + C) + D is introduced, and the tutorial explains how to determine the period, amplitude, and phase shift. The process of graphing the function y = 5 * sin(9x - Ï/2) is detailed, including the calculation of the period as 2Ï/9 and the phase shift as Ï/18. The video also covers how to adjust the graph vertically by adding or subtracting from the function's output.
đ Conclusion and Practice Problems
The final part of the video provides a brief conclusion to the introduction of trigonometric functions and their graphs. It encourages viewers to practice graphing periodic functions using the examples provided. The video ends with a prompt for viewers to like and subscribe for more educational content, and thanks them for their attention.
Mindmap
Keywords
đĄPeriodic Function
đĄTrigonometric Functions
đĄAmplitude
đĄPeriod
đĄSine Function
đĄCosine Function
đĄPhase Shift
đĄVertical Shift
đĄDomain
đĄRange
Highlights
Introduction to periodic functions in mathematics for class 10.
Definition of a periodic function with period P.
Explanation of the periodicity condition f(x + P) = f(x).
Trigonometric functions as examples of periodic functions.
Introduction to amplitude and period in trigonometric functions.
Amplitude defined as the maximum distance from the function's graph to the x-axis.
Period defined as the distance over which the function's graph repeats.
Focus on the basic trigonometric functions Sin and Cos for simplicity.
Graphical representation of the basic sine function y = Sin(x).
Graphical representation of the basic cosine function y = Cos(x).
Explanation of the domain and range for the sine function graph.
Explanation of the domain and range for the cosine function graph.
General formula for the sine function y = a * sin(Bx + C) + D.
General formula for the cosine function y = a * cos(Bx + C) + D.
How to determine the period, amplitude, and phase shift from the function's formula.
Example problem solving to find period, amplitude, phase shift, and graph of a given function.
Step-by-step process to graph the function y = 2 * sin(2x - 45°).
Step-by-step process to graph the function y = 5 * sin(9x - Ï/2).
Step-by-step process to graph the function y = -3 * cos(2x - 45°) + 1.
Step-by-step process to graph the function y = -4 * cos(1/8x + Ï) + 2.
Encouragement for viewers to practice similar problems for better understanding.
Closing remarks and call to action for likes and subscriptions.
Transcripts
Halo si Justin steewart Leonardo akan
melanjutkan pembahasan matematika kelas
10 tentang
fungsi di video kali ini kita akan
membahas sub bab 4.12 tentang fungsi
periodik jadi fungsi periodik ini
merupakan submateri yang secara lebih
lengkap dan detail sebenarnya akan kita
bahas nanti di bab
trigonometri
jadi materi ini hanya bersifat pengantar
saja Oke untuk itu langsung saja mari
sama-sama kita simak pembahasan berikut
ini yang pertama kita akan membahas Apa
itu fungsi periodik ya berangkat dari
definisinya Nah di
sini suatu fungsi disebut sebagai fungsi
periodik dengan periode P apabila
memenuhi persamaan berikut ini yaitu f x
+ p = FX jadi fungsi ini akan berulang
setiap periode e P Nah contoh dari
fungsi periodik di sini adalah fungsi
trigonometri kemudian di sini kita akan
mengenal juga nanti pada saat kita
melihat ilustrasi grafik fungsi
trigonometri kita akan mengenal
amplitudo dan periode fungsi
trigonometri nah Apa itu amplitudo
amplitudo itu adalah simpangan terjauh
titik pada suatu grafik fungsi
trigonometri terhadap sumbo X nah
amplitudo itu dinyatakan dengan
persamaan y maksimum dikur y
minimum/2 dan periode itu adalah jarak
terjadinya pengulangan grafik fungsi
trigonometri Nah di sini kita akan
membatasi bahasan kita untuk grafik baku
fungsi
trigonometri itu hanya pada grafik Sin
dan grafik cos aja ya karena sifatnya
pengantar untuk grafik tangan itu tidak
akan kita bahas di video kali ini nah
grafik baku fungsi trigonometri untuk y
= Sin X ini bentuknya seperti gelombang
Nah jadi memiliki satu bukit dan satu
Lembah kita namakan ini satu periode ya
dan untuk grafik y = cos X ini bentuk
grafiknya seperti ini
dan kita bisa melihat bahwa satu periode
itu adalah jarak dari titik puncak ke
titik puncak yang lain ya jadi dari
titik sini ke titik
sini nah untuk lebih jelasnya di sini
kita akan membahas grafik fungsi
periodik untuk grafik fungsi sinus ya
grafik y sama Sin X kalau kita lihat ini
grafiknya seperti ini amplitudo itu
adalah jarak dari titik maksimumnya ke
sumbu x ini namanya amplitude sementara
periode itu adalah Jarak antara titik
puncak atau jarak yang dibatasi oleh
satu bukit dan satu Lembah Nah kita bisa
melihat di sini satu periode itu adalah
0 sampai 2pi ya atau di sini kan 1/2 PII
sampai 2 12 PII ya berarti di sini
periodenya adalah 2pi ingat 1 PII itu
adalah 180 derajat kalau 2pi berarti 360
derajat Nah di sini domain dari grafik
fungsi sinus itu adalah x himpunan
bilangan r dan range-nya kalau kita
lihat kisaran nilai y-nya itu akan
berada pada rentang paling rendah
minimum itu -1 dan maksimumnya paling
tinggi itu adalah
1 nah bentuk grafik fungsi
sinus bentuk fungsi sinus secara tidak
formalnya ini kita bisa Nyatakan dengan
persamaan berikut ini y = a * sin BX + C
+ D di mana a-nya itu adalah
amplitudenya di sini ya Nah untuk
periode ini rumusnya adalah 2pi/b atau
koefisien X Untuk amplitudenya itu
adalah a nah nah ini
pergeserannya pergeserannya itu adalah
c/b ke arah kiri kalau misalnya tandanya
positif yang ini dan pergeseran untuk D
yang Ini arahnya ke atas kalau misalnya
d-nya positif tapi kalau negatif dia
akan berarah ke
bawah kemudian grafik fungsi periodik
selanjutnya yang akan kita bahas adalah
grafik fungsi cosinus nah grafik fungsi
cosinus itu persamaan bakunya adalah y
sama cos X nah bentuknya seperti ini
kita lihat ketika x-nya 0 y-nya adalah 1
di sini ya ketika x-nya 0 y-nya adalah 1
karena cos 0 kan 1 di sini nah ini satu
periode itu dari puncak sini ke Puncak
sini adalah satu periode dengan interval
atau domainnya 0 sampai 2pi nah yang
ini Kemudian untuk domain dari fungsi
cosinus juga sama seperti domain fungsi
sinus itu X himpunan bilangan R dengan
range-nya cos itu memiliki nilai minimum
-1 dan nilai maksimum 1 jadi enggak
mungkin cos itu lebih kecil dari -1
ataupun lebih besar dari 1 ya Nah secara
formal ini Rumus cosinus juga bisa kita
Nyatakan dengan persamaan a * cos BX + C
+ D Nah di sini nilai periodenya itu
adalah
2p/b amplitudonya itu adalah a
pergeserannya itu adalah c/b ke kiri
kalau tandanya positif yang ini itu
arahnya ke kiri dan sama seperti sinus
ini juga untuk pergeseran arah atas
bawah kalau misalnya tanda dari d-nya
Positif itu berarti digesernya ke atas
nah oke supaya kalian lebih paham
Langsung saja mari sama-sama kita simak
contoh-contoh soal berikut ini ya nah
misalnya contoh soal yang pertama
Tentukan periode amplitudo pergeseran
dan gambar
kurva dari fungsi berikut Nah kita
diberikan fungsi y = 2 * sin 2x -5 2 *
x- 45
derajat nah bentuk tersebut setara
dengan y = 2* sin 2x -90 ini a-nya 2 ini
b-nya koefisien X dan ini c-nya Dia
tidak memiliki nilai D ya di sini ya Nah
untuk periodenya itu bisa kita tulis 2
per B ya b-nya itu adalah koefisien X
yaitu 2 ya Jadi 2Ï/2 ini sama Pi berarti
pi ini adalah satu periode satu lembah
dan satu
Bukit Kemudian untuk amplitudenya ini
adalah koefisien yang di depan di sini
dari Sin 2 * x -45 itu a-nya sama 2 yang
ini ya kemudian pergeserannya arahnya ke
kanan
sejauh c/b c/b-nya itu adalah kita lihat
di sini 90 ini c-nya dan b-nya 2 ya kita
ambil angkanya saja di sini 90/2 itu 45
derajat Nah kita rubah jadi pi/4 jadi 45
kita bagi 180 kita kalikan dengan Pi
jadi pi/4 supaya kita menghasilkan
satuannya Radian ya dan untuk pergeseran
ke atasnya karena di sini tidak ada
nilai d-nya maka d-nya ama 0 Nah kita
mau gambar grafik fungsi 2 Sin 2 * x -4
5 nah caranya itu bertahap seperti ini
kalau kita lihat kita gambar dulu dari
grafik FX = 2 Sin xx kalau kita lihat di
sini amplitudonya dua ya berarti dari
titik x eh dari sini ya dari sumbu x di
titik
a kita tahu grafik sinus tadi ya
berangkatnya dari titik nol berarti
punya amplitude 2 berarti di sini
puncaknya itu di dua gitu ya puncaknya
di dua dan kita tahu Sin berapa yang
menghasilkan
nilai fx-nya sama dengan 2 tentunya Sin
90 atau pi/2 ya Sin pi/2 itu adalah 1 1
* 2 itu 2 jadi di sini pasti 0,5 Pi
kemudian setengahnya lagi di sini Pi
kemudian di sini 1,2 Pi dan setengahnya
lagi di sini adalah 2P gitu ya Nah ini
satu periode segini dari grafik 2 Sin X
kemudian kita gambar juga grafik 2 sin
2x Nah sekarang kalau kita mau gambar
grafik 2 sin 2x artinya di
sini
periodenya menjadi 2p/2 jadi pi ya
karena periodenya di sini adalah 2p/b di
sini 2p/b-nya adalah 2 jadi satu periode
di sini dia ngecilin jadi pi ya Awalnya
dia lebarnya 2 Pi ke sini sekarang
lebarnya jadi Pi jadi 0 sampai Pi gitu
periodenya satu Bukit satu lembahnya dia
tambah sempit jadi keep nah nah kemudian
langkah selanjutnya di
sini karena dia digeser ke kanan sejauh
45 derajat 45 derajat itu adalah pi/4 ya
n kita geser berarti grafik yang tadi
yang
ini awalnya posisinya di sini kita geser
ke kanan gitu kita geser ke kanan sejauh
pi/4 atau 0,25 Pi
segini Jadi kita menghasilkan grafik
fungsi 2 Sin 2 * x -45 itu adalah grafik
yang seperti ini nah ini lihat ini
geserannya yang ini kita lihat ya kita
geser ke sebelah kanan dari grafik yang
tadi sebelumnya telah kita buat Nah
dengan cara yang sama di sini kita bisa
menentukan periode amplitudo pergeseran
dan gambar kurva dari fungsi berikut ini
ini y = 5 * Sin 9x - pi/2 maka
periodenya di sini adalah 2p/b dan b-nya
koefisien X itu 9 ya kemudian
amplitudonya itu adalah 5 a-nya 5 di
sini kemudian pergeserannya ke kanan
karena ini tandanya negatif gitu ya Nah
robusnya adalah c/b yang jadi c-nya itu
adalah pi/2 yang jadi b-nya 9 Nah kalau
kita hitung pi/2 / 9 ini pi/18 dan
pergeseran ke atasnya sejauh D = 0
karena di sini enggak ada d-nya nah kita
lakukan cara yang sama seperti tadi
sehingga kita menghasilkan gambar grafik
yang seperti ini tuh kita lihat ya di
sini ee amplitudenya itu adalah 5 di
sini ya Sin 9x - pi/2 berarti di sini
jaraknya itu 5 5 ke bawah ya
amplitudenya kemudian satu periode satu
periode di situ adalah 2Ï/9 berarti
jarak dari sini satu titik Lembah ke
lembah di sini adalah
2p/9 Kemudian ini kan digeser ke
kanannya sejauh pi/18 jadi kita langkah
pertama gambar dulu Grafik Sin X ya Sin
9x di sini maaf Nah ini pergeserannya
itu adalah 18 kalau ini pi/9 berarti kan
set2ahnya pi/ 18 ini separonnya di sini
gitu kita geser ke kanan
oke kita lanjutkan ke contoh soal
berikutnya Tentukan periode amplitudo
pergeseran dan gambar dari gambar kurva
dari fungsi berikut ini nah bentuk ini
setara dengan kita kalikan dulu duanya
ke dalam jadi -3 cos 2x -90 + 1 maka
periodenya nanti kita dapat 2p/b ya
b-nya itu adalah koefisien X di sini
2Ï/2 ini adalah Pi Nah amplitudonya itu
adalah
ne3 kemudian pergeserannya itu ke kanan
kenapa ke kanan karena tanda ini negatif
ya Yang ini negatif karena sejauh c/b
c/b-nya 90 di sini b-nya 2 itu 45
derajat yang sama dengan pi/4 Nah
pergeserannya di sini ada pergeseran ke
atas sejauh plus 1 ini plus karena ee ke
atas ya plus karena dia arah arah
gesernya ke atas sejauh satu dan di sini
kalau kita gambar kita mau gambar grafik
-3 Cos 2 * x -45 + 1 kita gambar dulu
dari grafik cos X kemudian bertahap di
sini menjadi -3 cosx dulu ya -3 cos X
Karena ininya negatif amplitudonya
berarti ketika di sini x-nya itu adalah
90 kan cos 90 itu adalah 0 ya Nah di
sini 0 titiknya dan ketika x-nya 0 di
sini cos 0 itu adalah 1 berarti di sini
ketika x-nya 0 fx-nya adalah -3 itu
y-nya FX = y ya Ini
-3 arahnya dari bawah -3 cos X itu
gambarnya seperti ini saat x-nya 0
fx-nya adalah -3 nah kemudian di sini
grafik -3 cos 2x kalau cos 2x berarti
periodenya di sini jadi 2p/2 ya 2Ï/2
jadi pi Nah berarti berarti kalau kita
UD tahu di sini lembahnya di bawah ya
satu gelombang itu kan segini ya dari
Lembah ke lembah kalau kita lihat dari
titik A ke titik B ini adalah satu
periode awalnya periodenya 2pi sekarang
dia nyempitin jadi pi
gitu kemudian di
sini grafik ini kita geser ke kanan
sejauh pi/4 sejauh 45 derajat ya karena
tanda ini negatif ya tandanya
negatif kalau kita geser ke kanan di
sini sejauh
pi/4 maka
0,5p awalnya grafiknya tidak seperti ini
karena kita geser ke kanan sejauh 0,25p
titik a-nya jadi pindah ya awalnya di
titik ini jadi titik ini pi/4 itu kan
sama 0,25 jadi pindah ke sini lalu
selanjutnya karena digeser satu satuan
ke atas maka kita naikkan gitu garis
ab-nya ke atas ini jadi patokannya itu
adalah di man titik A dan B yang ini
kita naikkan kan satu-satuan dari nol ke
atas Si grafiknya nah sehingga sebagai
akibat di sini awalnya amplitudonya ada
di koordinat 3 dan -3 sekarang
amplitudeya ada di koordinat yang di
sini -2 sampai 4 ya di sini ya kalau
kita lihat rentang ininya karena
dinaikkan satu-satuan sih grafiknya Nah
dengan cara yang sama kalian juga bisa
mengerjakan Tentukan periode amplitudo
pergeseran dan gambar kurva dari fungsi
berikut yang ini -4 cos
1/8x + Pi + 2 untuk periodenya sini 2p/b
2pi/b-nya itu adalah koefisien X 1/8 ini
16pi kemudian amplitudonya itu adalah 4
ya 4 di sini -4 4 satuan Kalian mau
tulis 4 atau -4 juga enggak apa-apa ini
artinya 4 satuan dan pergeserannya itu
arahnya ke kiri Kenapa arahnya ke kiri
karena tanda ini positif sejauh c/b ini
pi/1 1/8 Ini ama 8p dan pergeserannya
itu ke atas sejauh Plus 2 di sini jadi
d-nya 2 sehingga di sini kalau kita
lihat gambar grafiknya itu akan seperti
ini kita geser ke atas di sini dua
satuan cocoknya untuk d-nya kemudian
kita geser ke kiri sejauh 8pi berarti
kalau kita geser gambarnya ke kiri
sejauh 8pi seperti ini Ini ada gatif 8pi
ini kita geser ke kiri
gitu dan periodenya itu adalah 16pi
periode itu adalah satu gelombang gitu
jarak satu gelombang di mana
pengulangannya terjadi ya Nah ketika
x-nya 0 di sini 4 cos 0 + Pi nah cos pi
itu ama dengan cos 180 cos 180 itu sama
dengan
-1 ya jadi 2 satuan +ah 4 satuan ini 6
satuan kan di sini jadi titiknya Nah
kita gambar satu periode itu dari titik
ini
ke 16p di sini ini satu periode gitu
karena periodenya 16p
Oke mungkin seperti itu saja contoh soal
singkat mengenai pengantar fungsi
trigonometri untuk grafiknya ya Berikut
ini ada l soal latihan yang bisa kalian
coba
silakan kalian coba
kerjakan buat jadi Tentukan periode
amplitudo serta pergeseran kemudian
kalian gambarkan dari kurva fungsi
berikut ini berdasarkan contoh-contoh
yang sudah diberikan tadi oke
silakan kalian like dan subscribe
channel ini jika kalian rasa video ini
bermanfaat Terima kasih untuk
perhatiannya sampai jumpa di video saya
yang
[Musik]
berikutnya
Voir Plus de Vidéos Connexes
How To Graph Trigonometric Functions | Trigonometry
Graphing Trigonometric Functions
Matematika SMA - Trigonometri (1) - Pengenalan Trigonometri, Perbandingan Trigonometri (A)
Trig functions grade 11 and 12: Horizontal shift
Trigonometric Graphs - GCSE Higher Maths
Section 6.2 - Trig integrals and substitution - Part 1
5.0 / 5 (0 votes)