Why there are no 3D complex numbers

Summary

В этом видео представлен простой аргумент о том, почему не существует трехмерных комплексных чисел. Автор вдохновился видео Майкла Пенна, в котором используется абстрактная алгебра для объяснения перехода от вещественных чисел к комплексным, затем к кватернионам и далее. В видео показывается, что для трехмерных комплексных чисел невозможно определить умножение, сохраняющее важные свойства, такие как вращение на 90° при умножении на единицу虚. Это делает невозможным их использование в геометрии трехмерного пространства.

Takeaways

• 🔢 Существует интересный вопрос, почему не существует трёхмерных комплексных чисел.
• 🔍 Идея видео вдохновлена сложным объяснением от Майкла Пенна, который использует абстрактную алгебру для этого вопроса.
• 🧮 Комплексные числа определяются как решения уравнения x² = -1, что не имеет реального решения.
• 📈 Комплексные числа можно представить в виде a + bi, где a и b — это действительные числа, а i² = -1.
• 🔄 Умножение на i в комплексной плоскости поворачивает числа на 90°, что является важным свойством комплексных чисел.
• 🌐 Трёхмерные комплексные числа могли бы быть полезны в трёхмерном пространстве, но такие числа не могут быть определены.
• ❌ Основная проблема заключается в невозможности корректно определить произведение i * j для трёхмерных комплексных чисел.
• ⚠️ Если попытаться определить i * j = 1 или -1, возникают противоречия, и не удается сохранить ортогональность осей.
• 🔧 Умножение i на j также приводит к противоречиям, если попытаться определить его как линейную комбинацию других осей.
• 🚫 В результате, трёхмерные комплексные числа невозможны, так как невозможно соблюсти необходимые алгебраические свойства.

Q & A

Почему не могут существовать трехмерные комплексные числа?

Трехмерные комплексные числа не могут существовать, потому что невозможно определить операцию умножения для этих чисел так, чтобы сохранить свойства, которые делают комплексные числа полезными, например, возможность вращения и ортогональность осей.

Что происходит при попытке определить произведение i и j в трехмерных комплексных числах?

При попытке определить произведение i и j возникают противоречия, такие как невозможность сохранить ортогональность осей и независимость измерений, что делает невозможным определение таких чисел.

Какое основное свойство комплексных чисел делает их удобными для использования в математике?

Одним из основных свойств комплексных чисел является то, что умножение на мнимую единицу i приводит к вращению на 90 градусов на комплексной плоскости, что позволяет использовать обычные алгебраические операции для решения геометрических задач.

Что происходит, если попытаться определить i * j как реальное число?

Если попытаться определить i * j как реальное число, возникает противоречие, так как это приводит к тому, что одна из осей становится зависимой от другой, что нарушает требование трехмерности и независимости осей.

Почему невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей?

Невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей, потому что при этом возникает противоречие: например, при попытке решить получившееся уравнение для коэффициентов оказывается, что один из коэффициентов должен быть мнимым числом, что неприемлемо в рамках реальных чисел.

Какую роль играет ассоциативность в доказательстве невозможности существования трехмерных комплексных чисел?

Ассоциативность используется для упрощения операций и проверки противоречий. Если бы ассоциативность отсутствовала, многие алгебраические операции, которые делают числа полезными, были бы невозможны.

Какую аналогию можно провести между комплексными числами и гипотетическими трехмерными комплексными числами?

Аналогия заключается в том, что, как и комплексные числа, трехмерные комплексные числа должны иметь оси, ортогональные друг другу, и умножение на одну из мнимых единиц должно приводить к вращению в соответствующей плоскости. Однако в случае трехмерных чисел это невозможно без противоречий.

Какие типы чисел существуют, если продолжить расширение от вещественных чисел?

После вещественных чисел существуют комплексные числа (двумерные), кватернионы (четырехмерные) и октанионы (восьмимерные). Однако трехмерных комплексных чисел не существует.

Почему важно сохранять независимость измерений при определении трехмерных комплексных чисел?

Независимость измерений важна, потому что это позволяет каждой оси быть независимой от других, что необходимо для выполнения алгебраических операций и описания трехмерного пространства.

Что произойдет, если попытаться определить i * j = j?

Если попытаться определить i * j = j, это приведет к противоречию, так как получится, что j равно 1, что не должно быть возможным, поскольку это нарушает требование независимости осей.

Outlines

00:00

🧮 Почему не существует трёхмерных комплексных чисел

В первом параграфе обсуждается основная тема видео — почему не существуют трёхмерные комплексные числа. Видео вдохновлено более сложным и детализированным роликом Майкла Пенна, где он использует абстрактную алгебру для объяснения этой проблемы. Автор объясняет, что при переходе от вещественных чисел к комплексным числам, а затем к кватернионам и октанионам, невозможно определить трёхмерные комплексные числа из-за невозможности определять умножение в этом случае. Видео начинается с введения комплексных чисел как решений уравнения x² = -1 и их представления в виде двухмерных векторов, которые можно умножать и вращать в комплексной плоскости.

05:04

🔢 Проблема с определением умножения в трёхмерных комплексных числах

Во втором параграфе подробно рассматривается проблема, возникающая при попытке определить умножение для трёхмерных комплексных чисел. Если бы существовали такие числа, они могли бы быть представлены в виде A + B * I + C * J, где A, B и C — вещественные числа, а I и J — обозначения для воображаемых единиц. Однако проблема возникает при попытке определить, чему равно произведение I на J. Если предположить, что I * J равно 1 или -1, то это приводит к противоречию, где одно из значений J можно выразить через I, что нарушает ортогональность измерений.

10:05

📐 Ассоциативность и коммутативность в трёхмерных комплексных числах

В третьем параграфе исследуются возможные варианты, как можно было бы определить произведение I на J, сохраняя ассоциативность и коммутативность в трёхмерных комплексных числах. Автор использует различные математические манипуляции, чтобы показать, что любые попытки определить I * J приводят к противоречию, если мы хотим сохранить ортогональность измерений и ассоциативность операций. В результате, оказывается, что нельзя определять трёхмерные комплексные числа, которые сохраняют свойства, необходимые для работы с ними в алгебраических вычислениях.

15:06

🚫 Заключение: Почему трёхмерные комплексные числа невозможны

Четвёртый параграф подводит итог обсуждению, подчеркивая, что невозможно определить трёхмерные комплексные числа, сохранив свойства, которые делают комплексные числа полезными. Проблема заключается в невозможности определить произведение I на J без нарушения ортогональности измерений и других важных математических свойств. Видео завершается выводом о том, что трёхмерные комплексные числа просто не могут существовать.

Keywords

💡комплексные_числа

Комплексные числа - это числа, которые включают в себя как вещественные, так и мнимые части. В видео упоминается, что комплексные числа вводятся для решения уравнений вида x^2 = -1, где нет вещественного решения. Примером использования в скрипте является введение числа i, которое удовлетворяет условию i^2 = -1, что позволяет представлять числа в плоскости, где вещественная и мнимая части соответствуют осям координат.

💡квадрат_отрицания

Квадрат отрицания - это понятие, связанное с комплексными числами, когда квадрат какого-то числа дает отрицательное значение. В контексте видео, это понятие используется для объяснения того, почему вводятся комплексные числа: для решения уравнений, где x^2 дает минус один, что не может быть представлено вещественными числами.

💡комплексная_плоскость

Комплексная плоскость - это геометрическая представление комплексных чисел, где каждое комплексное число может быть представлено точкой с координатами (a, b), где a - вещественная часть, а b - мнимая часть числа. В видео упоминается, что при умножении на i происходит поворот на 90° в комплексной плоскости, что иллюстрирует взаимосвязь между алгебраическими операциями и геометрическими свойствами.

💡уравнение

Уравнение в контексте видео - это математическая запись, которую решаем с помощью введения новых числовых систем, таких как комплексные числа. Уравнение x^2 = -1 не имеет решения среди вещественных чисел, что приводит к созданию мнимой единицы i и, следовательно, к комплексным числам.

💡кватернионы

Кватернионы - это расширение комплексных чисел, представляющее собой четырехмерные числа, которые включают в себя три мнимых единицы. В видео упоминается, что после комплексных чисел следуют кватернионы, которые являются четырехмерными, но не существует трехмерных комплексных чисел, что подчеркивает уникальность и особенности кватернионов.

💡октаньоны

Октаньоны - это еще одно расширение числовых систем, которое идёт после кватернионов. Они представляют собой восьмимерные числа с некоммутативной мультипликацией. В видео упоминается, что октаньоны являются частью расширений числовых систем, но не являются темой видео.

💡абстрактная_алгебра

Абстрактная алгебра - это раздел математики, изучающий алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля. В видео упоминается, что для более сложного доказательства отсутствия трехмерных комплексных чисел используется абстрактная алгебра, что подчеркивает сложность и глубину математических дискуссий вокруг числовых систем.

💡множество

Множество в контексте видео - это коллекция элементов, которые могут быть использованы для построения числовых систем. В видео упоминается, что при переходе от вещественных чисел к комплексным, а затем к кватернионам и октаньонам, мы расширяем наши множества чисел, добавляя новые свойства и операции.

💡ортогональность

Ортогональность - это свойство, при котором две или более линий или векторов перпендикулярны друг другу. В видео рассматривается идея трехмерных комплексных чисел, где хотелось бы, чтобы оси были ортогональными и независимыми, чтобы каждая из них могла представлять отдельный измерение в пространстве.

💡ассоциативность

Ассоциативность - это свойство операций, при котором порядок группировки операндов не влияет на результат операции. В видео упоминается, что при определении трехмерных комплексных чисел важно, чтобы умножение было ассоциативным, чтобы сохранить свойства, которые позволили бы использовать эти числа для геометрических и алгебраических вычислений.

💡некоммутативность

Некоммутативность - это свойство операций, при котором порядок операндов имеет значение для результата операции. В видео упоминается, что в некоторых расширениях числовых систем, таких как кватернионы, умножение некоммутативно, что ограничивает некоторые свойства и применимость этих систем.

Highlights

The video presents a simple reason why three-dimensional complex numbers cannot exist.

Inspired by Michael Pen's elaborate video using abstract algebra to explain the progression from real to quaternions, skipping three dimensions.

Three-dimensional complex numbers are hypothesized as an extension of complex numbers for three-dimensional space.

Complex numbers are defined by solving equations like x^2 = -1, introducing the imaginary unit i where i^2 = -1.

Complex numbers allow algebraic calculations in a plane with a real and imaginary part.

Multiplication by i results in a 90° rotation in the complex plane, a key property for potential 3D complex numbers.

The concept of 3D complex numbers would simplify calculations in three-dimensional space using a single number.

The attempt to define 3D complex numbers involves extending the complex number system with an additional dimension represented by j.

The challenge is to define a multiplication rule for i and j while maintaining the properties of orthogonality and independence.

Any attempt to define i*j results in contradictions, such as expressing one dimension in terms of another, losing the third dimension.

Associativity is assumed to preserve the ability to perform algebraic calculations with these hypothetical numbers.

The video demonstrates that defining i*j as any real number or another dimension results in contradictions.

The impossibility of defining a product for i and j that does not violate the desired algebraic properties is the core reason 3D complex numbers do not exist.

The video concludes that the inability to reasonably define the product of i and j leads to the non-existence of 3D complex numbers.

The video provides a clear and simple argument against the existence of 3D complex numbers, using basic algebraic principles.

For those interested in the detailed mathematical reasoning, a link to Michael Pen's video is provided for further exploration.

Transcripts

in today's video I want to present a

simple reason why they cannot be

three-dimensional complex

numbers so this video was inspired by a

much more complex and elaborate video by

Michael pen who's got a very nice math

Channel it will be will be a link to the

video that I'm talking about below where

he makes a very elaborate argument using

abstract algebra as to why when you go

from certain structur certain algebras

that have certain properties you can

start from the real numbers you go to

the complex numbers and then you skip to

the quaternions which are four

dimensional and then you get the

octonion and other structures but you

can look at the video if you want all

the details but the reason in fact is

that um it we don't have

three-dimensional complex numbers

because there is some multiplication

that cannot be defined and that's a

simple argument as to why this specific

case of TR dimensional complex numbers

don't exist so what do I mean by

threedimensional complex numbers so the

idea is that we all know that we can

represent some numbers as real numbers

and we represent them on the line so we

have the zero one e pi and so

on now you can approach complex numbers

in two different ways and basically

they're kind of equivalent but the

complex numbers are defined when we try

to solve equations of the form x^2 =

minus1 so this doesn't have any real

solution

and we introduce some number which we

will call

I so that satisfies i² =

-1 and from that we can write numbers

that include a real part and a complex

part so they have real part length a

plus b * I so A and

B are real

numbers and we represent them in a

plane we have the complex plane here

where you have the real

part on this axis and the imaginary part

on this axis so here we have the number

one here we will have the number I it we

have minus I and minus

one one interesting property here is

that when you multiply something by I

you rotate it 90° in a complex plane so

rotations can be represented in

multiplication that's very interesting

property and it's also interesting that

with the complex numbers you take two

numbers basically a two dimensional

Vector but you perform algebraic

calculation using the the the laws we

use to to use for uh real numbers so

instead of having to deal with two

different numbers and remembering the

way to combine them we just combine them

in this specific Manner and then we can

use ordinary algebra and a lot of the

properties that we're used

to now what would be very interesting it

would be to have 3D complex numbers

because if we can do a lot of

calculations in the plane we live in a

three-dimensional world it would be very

interesting if we could have the same

trick and instead of having to use three

numbers to represent the position of a

any object in space and then track these

numbers and do the calculation the we

we're used to doing them we could

instead have a single number which would

represent all three dimensions but

unfortunately that will not

work so the TR be complex numbers don't

exist

and why don't they exist well let's say

we want to Define one such number so we

would put would have the form a + b * I

so it would include the complex numbers

because we want to expand on what we

already know

and we have another part uh with another

coordinate C and we will give it the

number the letter J to represent the

third dimension so if we look at this we

would

have so we have the real numbers here

and

the I Axis and the J

axis and to keep our analogy with the

the complex

numbers what we would really like to do

is to have J

squar equals minus1 so why do we want

that because we know that multi

multiplying by I will rotate us 90° so

if we rotate by 90° once 90° twice then

we get to minus one we would like to

have the same property in the J axis so

that if we start with the real numbers

and we multiply by

J we get the number J and if we multiply

Again by

J we get to minus one so that the nice

properties that we had before the that

made the complex numbers very useful are

still

present well unfortunately that will not

work and that's what we'll see on the

next board okay we've been trying to

Define threedimensional complex numbers

have the form A+ I * B plus J * C and A

B and C are real

numbers

unfortunately we will run into a problem

when we try to Define I *

G we know that we want I

squared to be minus

one and j s to be minus one

also but if we want to multiply these

numbers together let's say we have two

numbers of this form eventually we will

have to multiply I by G and we have to

decide what this number will be so let's

give it a try

can we have I * g equals

1 or minus one it doesn't matter it will

see why well okay that's a possibility I

* g equals 1 or minus one or any real

number for that matter

well what we can do is we will multiply

by I on each side of this equation so we

have I * I * j = i

and we know that i^ 2 is

min-1 so that means that - J equals

I so if this is true then minus J must

equal to to I sorry well that's a

problem because we want i j and the real

numbers to be in different dimensions so

we shouldn't be able to express J in

terms of I that doesn't work because

then we don't have

three dimensions we really only have two

Dimensions because we can express this

one in term of the other

one okay so I * = 1 doesn't work let's

sayy if we can have I * J equals I well

now you will see the trick uh we use the

same trick each time we will multiply by

something to get a square and that

square will be equal to minus one and we

will get to a contradiction so here uh

we can multiply by I on both

sides I *

itimes

J

equals I * I so that means this is

minus1 this is minus one and that means

that J equal one once again that doesn't

work because what we want to do is to

have three different uh axis that are

orthogonal to each other that Cann be

expressed in terms of each other so J

equals 1 if I * a equals I okay doesn't

work so let's give it a try for the the

last possibility that we could think of

that would be reasonable and you see by

the way that if you could I time 2

equals any real number this one was

replaced by five for example well then

we will keep the five all around and at

the end if this is five minus G will be

equals to 5 * I so we would keep keep

the eye along the calculations and it

still doesn't work so we just have to do

one case of each to see that it can be

on that General

axis so I * 3 equals J here we want to

get rid of this J so what we'll do is or

we can even we multiply by a j on each

side so I * G * g = g * G so I'm

multiplying on the right here and I

multiplying on the left here because

maybe these numbers I don't commute

because when you get to the quion I

haven't mentioned it but it's not a

video about the quadion the higher

Dimensions don't commute together the N

commute so I * J equals minus J * I with

the quion so we don't know if this is

the case here and we don't want to

assume that will there will be

commutativity between I and J so so we

just keep it very clean and multiply by

J on the right this

time um we could preserve associativity

because otherwise we will lose a lot and

we won't be able to do the calculations

that we want to do so if associativity

that is not assumed with this algebra

then all the calculations we we want to

do uh with these numbers to help us uh

which would be one of the reasons why we

would want to use these numbers this

three dimens

complex numbers is to take uh geometry

in 3D and bring it back to algebraic

calculations that won't work either so

we will assume that this is associative

so that I J * G is equal to I * J *

three and if you want to have all the

details of how this works you can look

at the video I mentioned before the

Michael pen

video so I * G * g = g *

G once again this is minus one this is

minus1 so we would

have I = to 1 which is not true I it's

not equal to one because it's on a

different

dimension okay and uh now we will say

well okay we cannot have I * equals 1 I

or J can it be equal to any arbitrary

number well that won't work either uh

I'm sure for the sake of sake of

completeness because here uh I think

that all the reasonable assumptions have

been made and if this doesn't work it's

very unlikely that we will be able to

have practical results that would be

helpful or that would make sense but for

the sake of completeness on the next

board I show what happens if we uh Set

uh I * g equals any arbitary

number okay so now we want to see if we

can Define I * 3 as to any arbitrary

linear combination of the real part the

I part and the J part and to do that we

would simp to see if this works or not

we would simply try to get to a

contradiction like we did with the uh on

the other board so let's

say let's see what what I I do I will

multiply by J on both sides for example

so let's say I have I equals a plus I B

plus J * C and we want to determine what

these a b and c could be so that

this works and so we can multiply by can

multiply by I anything we do a i * I

equals to A

I plus well I * I would be minus

B plus I * g j

um time C now this is min - one - J

goes that to a i minus B plus then what

is I * 3 well it's a + I B+ J C so it

would be C * a + i b plus GC so far we

just took our hypothesis we use it we

multiply by I on both sides reinserted

the value of I * J and now we want to

see if we can get a B and C so how are

we going to do that we want as you can

recall is we want to have three

different axes that are orthogonal to

each other that are independent from

each other real the high part and the J

part so what we do if these two things

are equal then each part must be equal

like like with the complex numbers two

complex numbers are equal to each other

if the real part is equal to their IM to

their real parts are equal to each other

and the imaginary parts are equal to

each other so we're going to do the

same uh okay

so after multiplying this we have let's

say the J part here we' get three

equations the J part here is minus one

and there is no J part there is no J

part and the J part will be equal to c^

2 J now so minus one

equals

c^2 and then now we we have a big

problem because we want these ABCs to be

part of the real

numbers

but c^2 = minus1 doesn't have a solution

in the real numbers C must be imaginary

and that's where we get a contradiction

once again it doesn't work so basically

the reason why we cannot have numbers of

the form a plus I B plus JC with a s

sorry i^2 and j^2 equal minus1 that are

like the complex numbers but in three

dimensions is because we cannot

reasonably Define the product I * J

while keeping a lot of the properties

that we want these numbers to have so

that we can use them and that's it for

today