Circuncentro de un triángulo rectángulo
Summary
TLDREn este video se demuestra que en un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Para ello, se traza la mediatriz del segmento BC, que pasa por el punto medio M y es perpendicular a BC. Se identifica el punto O en el segmento AB y se argumenta que los triángulos OBM y ABC son semejantes por el criterio de ángulos-ángulo. A través de la semejanza, se establece una relación entre las medidas correspondientes de los lados, lo que lleva a la conclusión de que O es el punto medio de AB. Además, se muestra que O está equidistante de los tres vértices del triángulo, lo que confirma que es el circuncentro. La demostración es clara y concisa, ofreciendo una comprensión sólida de la propiedad del circuncentro en triángulos rectángulos.
Takeaways
- 📐 El video trata sobre demostrar que en un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
- 📏 Se inicia trazar la mediatriz del segmento BC, que pasa por el punto medio de BC y es perpendicular a BC.
- 📍 Se denomina al punto medio de BC como M, y se establece que la mediatriz corta el segmento AB en el punto O.
- 🔍 El objetivo es demostrar que O es el punto medio de AB y equidista de los tres vértices del triángulo.
- 📈 Se utiliza la similitud de triángulos para demostrar la relación entre los lados de los triángulos OBM y ABC.
- 📐 Se establece que ∠OMB es igual a ∠ABC, y ambos tienen un ángulo recto en común, lo que indica similitud por ángulos.
- ✂️ Se trabaja con las proporciones de los lados correspondientes de los triángulos semejantes para encontrar relaciones de longitud.
- 📐 Se deduce que BM/BC es igual a la hipotenusa/BA, y dado que M es el punto medio, BM es igual a MC.
- 🔢 Se simplifica la proporción a BM/BC = 1/2, lo que implica que la hipotenusa/BA también es igual a 1/2.
- 📏 Se concluye que O es el punto medio de AB, ya que las longitudes correspondientes son iguales.
- 📍 Se demuestra que O es equidistante de B y C, lo que implica que O está en la mediatriz y es el circuncentro del triángulo ABC.
- 🎯 El video finaliza probando que el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es el único circuncentro del triángulo.
Q & A
¿Qué es el objetivo del video?
-El objetivo del video es demostrar que en un triángulo rectángulo, su circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
¿Cuál es el primer paso para encontrar el circuncentro en un triángulo rectángulo?
-El primer paso es trazar la mediatriz del segmento BC, que debe pasar por el punto medio de BC y ser perpendicular a BC.
¿Cómo se denota el punto medio de BC en el video?
-El punto medio de BC se denota como M en el video.
¿Qué se llama al punto donde la mediatriz corta el segmento AB?
-El punto donde la mediatriz corta el segmento AB se llama O en el video.
¿Por qué se asume que los triángulos OBM y ABC son semejantes?
-Se asume que los triángulos OBM y ABC son semejantes porque tienen el ángulo recto en común y además comparten el ángulo en B.
¿Cómo se utiliza la semejanza de triángulos para encontrar la relación entre los lados?
-La semejanza de triángulos se utiliza para establecer que la razón entre los lados correspondientes (BM/BC) es igual a la razón entre las hipotenusas (BO/BA).
¿Cómo se relaciona BM con MC si M es el punto medio de BC?
-Dado que M es el punto medio de BC, entonces BM es igual a MC, y por lo tanto, la razón BM/BC es 1/2.
¿Qué conclusión se llega al multiplicar cruzado BA por 2 y compararlo con BO?
-Al multiplicar cruzado BA por 2 y compararlo con BO, se concluye que BA/2 es igual a BO, lo que implica que O es el punto medio de AB.
¿Cómo se demuestra que O es equidistante de los tres vértices del triángulo ABC?
-Se demuestra que O es equidistante de los tres vértices al mostrar que OA es igual a OB y también es igual a OC.
¿Qué implica que O equidista de A, B y C?
-Que O equidista de A, B y C implica que O es el circuncentro del triángulo ABC, ya que el circuncentro es único y equidistante de todos los vértices.
Outlines
📐 Demostración de que el circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa
En el primer párrafo del guion, se presenta una demostración matemática sobre el circuncentro de un triángulo rectángulo. Se comienza con el triángulo rectángulo ABC, donde el ángulo recto está en C. Se traza la mediatriz del segmento BC, que pasa por el punto medio m y es perpendicular a BC. Se plantea la hipótesis de que el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa AB. Para probar esto, se utiliza la similitud de triángulos, mostrando que los triángulos OBM y ABC son semejantes por el criterio de ángulos, ya que comparten el ángulo recto y el ángulo en B. A partir de esta similitud, se establecen relaciones entre los lados correspondientes, encontrando que BM/BC es igual a BO/BA, lo que se simplifica a 1/2 debido a que M es el punto medio de BC. Al multiplicar cruzado, se llega a la conclusión de que BO es igual a BA/2. Finalmente, se demuestra que el punto O es equidistante de los vértices A, B y C, lo que confirma que es el circuncentro del triángulo ABC.
📏 Caracterización del circuncentro a partir del punto medio de un lado
El segundo párrafo del guion se enfoca en caracterizar el circuncentro de un triángulo a partir del punto medio de uno de sus lados. Se plantea que si se toma el punto medio de un lado del triángulo, ese punto es equidistante de los tres vértices, y por lo tanto, debe ser el circuncentro. Se argumenta que, dado que el circuncentro es único, cualquier punto que cumpla con esta condición de equidistancia debe ser el circuncentro. Esta sección complementa la demostración del párrafo anterior, ofreciendo otra perspectiva sobre la localización del circuncentro en relación con las medidas y las distancias dentro del triángulo.
Mindmap
Keywords
💡Triángulo rectángulo
💡Circuncentro
💡Mediatriz
💡Hipotenusa
💡Punto medio
💡Triángulos semejantes
💡Ángulo recto
💡Razón de lados
💡Equidistancia
💡Criterio de ángulo-ángulo
Highlights
Se va a probar si el circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
Se traza la mediatriz del segmento BC y se llama M al punto medio.
La mediatriz es perpendicular a BC y corta a AB en el punto O.
Se plantea demostrar que O es el punto medio de AB y equidista de los tres vértices.
Se argumenta que los triángulos OBM y ABC son semejantes por el criterio ángulo-ángulo.
Comparten el ángulo recto en común y el ángulo en B, lo que confirma la similitud.
Se establece que OB/BM es igual a BC/AC, y se utiliza para demostrar la relación entre los lados.
Como M es el punto medio, BM es igual a MC, lo que simplifica la relación a 1/2.
Se multiplica cruzado para obtener BA^2 = 2 * BO^2.
Se deduce que BO es igual a BA/2, lo que implica que O es el punto medio de AB.
Se menciona que O es equidistante de B y C, lo que se confirma con OB = OC.
Se establece que OA es igual a OB, lo que también implica que OA es igual a OC.
Se concluye que O equidista de A, B y C, lo que caracteriza a O como el circuncentro.
Se resalta que el circuncentro de un triángulo es único.
Se ha demostrado que el punto medio de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo rectángulo.
Transcripts
en este video vamos a probar que si
tenemos un triángulo rectángulo entonces
su circuncentro es el punto medio de la
ipotenusa vale Bueno entonces aquí
tenemos el triángulo rectángulo con
ángulo recto en C y lo primero que vamos
a hacer es trazar la mediatriz del
segmento BC esa mediatriz debe de pasar
aquí por el punto medio de BC Déjame
llamarle a ese punto medio m y además
debe de ser perpendicular a BC Entonces
más o menos sería algo de este estilo a
ver si me queda bien algo así vale
Entonces tenemos que aquí es un ángulo
recto que aquí es un ángulo recto y aquí
al punto en donde corta al segmento AB
vamos a llamarle el punto o el punto o
Entonces el plan para ver que el
circuncentro es el punto medio de AB es
Mostrar que o es el punto medio de AB y
que o equidista de los tres vértices
vamos a hacer eso poco a poco veamos que
los triángulos b y b AC c parecen ser
semejantes de hecho Este es un argumento
que hemos dado varias veces y pues
seguramente va a volver a funcionar aquí
por qué son semejantes porque ve tienen
el ángulo aquí el ángulo recto en común
o sea omb y AC B los dos son ángulos
rectos y entonces bastaría que
compartieran un ángulo más para que
fueran triángulos semejantes pero
claramente comparten el ángulo en B Es
decir obm es igual a ABC es básicamente
el el mismo ángulo visto en dos
triángulos distintos y por lo tanto
estos dos triángulos son semejantes por
el criterio ángulo Ángulo entonces Aquí
le voy a poner que el Triángulo Ob BM es
semejante al triángulo a b c y bueno
como estos dos triángulos son semejantes
lo que podemos hacer ahora es trabajar
con las razones entre los lados
correspondientes porque la razón entre
lados correspondientes siempre debe de
ser la misma va entonces por por ejemplo
podemos obtener a partir de esta
semejanza que
BM BM ent BC entre BC es este lado entre
este lado es igual a la razón de las
hipotenusas o sea Bo entre ba es igual a
bo bo entre ba pero observa tenemos que
M es punto medio entonces BM es igual a
Mc de esta forma la razón BM entre BC es
este C
entre dos veces este Cachito Vale
entonces esta razón de acá es igual a
1/2 y por lo tanto vo entre ba también
es igual a 1/2 aquí podemos multiplicar
cruzado verdad y vamos a ver qué nos
dice eso de ahí si multiplicamos ba para
acá y dos para acá tenemos que que ba ba
es igual a dos veces Bo o bien otra
forma de pensar en esta igualdad es como
que ba / 2 ba / 2 es igual a Bo Vale
entonces Entonces si dividimos ba entre
2 nos queda Bo por esta razón este
Cachito este Cachito Bo es igual a ba
medios ba / 2 y entonces este Cachito de
acá el Cachito ao pues es ba - ba medi y
también es B a medios Muy bien Entonces
qué nos está diciendo Esto bueno eso
Justo nos está diciendo que o es el
punto medio de de AB Sí esta longitud
esta longitud es igual esta longitud de
acá entonces déjame ponerlo por aquí
arriba en algún lugar con color azul le
voy a poner o es punto
medio punto medio medio de AB de AB Pero
además ya habíamos visto en otros videos
que o es x distante de b y de c Vale
entonces pues vamos a poner eso Ob es ig
a oc porque o está en la mediatriz
Entonces lo voy a poner por acá o B Ob
es igual a oc Pero entonces pues b o es
punto medio de AB también nos dice que
oa es igual a Ob Y por supuesto si
tenemos estas dos igualdades También
tenemos que oa es igual a oc Entonces
tenemos que o es un punto que equidista
de a de b y de c es decir esta longitud
esta longitud es igual a esta longitud
de acá y también es igual a esta
longitud de acá vale Vale entonces Esas
que marqué con dos rayitas también son
iguales a esta de acá por lo tanto o
equidista o
equidista
equidista de A B y C de a b c y eso
simplemente es otra forma de decir que o
es el circuncentro de ABC entonces o
circuncentro
circuncentro
de El Triángulo
ABC muy bien entonces lo que acabamos de
probar ahorita es que si tomamos el
punto medio el punto medio de a Entonces
ese punto equidista de los tres vértices
y por lo tanto ese punto debe de ser el
circuncentro porque el circuncentro de
un triángulo es
único
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