Mean Value Theorem

Summary

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Takeaways

• 😀 El Teorema del Valor Medio establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto, entonces existe un punto c donde la derivada de la función en c es igual a la pendiente de la línea secante entre los puntos a y b.
• 😀 La fórmula principal del Teorema del Valor Medio es: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
• 😀 El lado izquierdo de la ecuación representa la tasa de cambio instantánea, mientras que el derecho representa la tasa de cambio promedio.
• 😀 La línea secante conecta dos puntos en una curva y tiene una pendiente que es el promedio de la tasa de cambio entre esos puntos.
• 😀 La línea tangente, por otro lado, toca la curva solo en un punto y su pendiente es la tasa de cambio instantánea en ese punto.
• 😀 El Teorema del Valor Medio garantiza que hay al menos un punto c dentro de un intervalo cerrado [a, b] donde la pendiente de la tangente es igual a la de la secante.
• 😀 Para aplicar el Teorema del Valor Medio, la función debe ser continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto.
• 😀 Un ejemplo práctico muestra cómo aplicar el teorema a una función cuadrática como f(x) = x^2 - 4x + 1, encontrando c = 3 en el intervalo [1, 5].
• 😀 Cuando se trabaja con funciones no diferenciables en puntos específicos, como x^{2/3} en [0, 1], el teorema aún puede aplicarse si el punto no está en el intervalo abierto.
• 😀 En el caso de funciones con valor absoluto, como |4x - 5|, el Teorema del Valor Medio no se aplica si la función no es diferenciable en el intervalo abierto (por ejemplo, en x = 1.25).
• 😀 Para funciones como f(x) = √(x - 4) en [4, 8], que son continuas y diferenciables en el intervalo abierto, el Teorema del Valor Medio se puede aplicar con un valor c calculado en 5.

Q & A

¿Cuál es la idea básica del Teorema del Valor Medio?

El Teorema del Valor Medio establece que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) donde la derivada de la función en c es igual a la tasa de cambio promedio en el intervalo [a, b].

¿Qué representa la derivada en el Teorema del Valor Medio?

La derivada en el Teorema del Valor Medio representa la tasa de cambio instantánea de la función en el punto c, es decir, la pendiente de la línea tangente en c.

¿Qué es una línea secante y cómo se relaciona con la tangente?

Una línea secante es una línea que conecta dos puntos en la curva de una función. En el contexto del Teorema del Valor Medio, la pendiente de la línea secante entre los puntos a y b es igual a la pendiente de la tangente en un punto c entre a y b.

¿Cómo se define la pendiente de la secante entre dos puntos?

La pendiente de la secante entre dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) se define como la diferencia de los valores de la función en esos puntos, f(b) - f(a), dividida por la diferencia de sus abscisas, b - a.

¿Qué condiciones deben cumplirse para que se pueda aplicar el Teorema del Valor Medio?

Para aplicar el Teorema del Valor Medio, la función debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b).

¿Es posible aplicar el Teorema del Valor Medio a la función f(x) = x^2 - 4x + 1 en el intervalo [1, 5]?

Sí, es posible aplicar el Teorema del Valor Medio a esta función, ya que es un polinomio, que es continuo y diferenciable en todo su dominio.

¿Cómo se encuentra el valor de c que satisface el Teorema del Valor Medio?

Para encontrar el valor de c, se utiliza la fórmula f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) y luego se resuelve para c, asegurándose de que c esté dentro del intervalo abierto (a, b).

¿Por qué no se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a la función f(x) = |4x - 5| en el intervalo [0, 2]?

No se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a esta función porque tiene un punto no diferenciable en x = 1.25 dentro del intervalo abierto (0, 2), lo que impide cumplir con la condición de diferenciabilidad.

¿Por qué la función f(x) = x^(2/3) es continua en el intervalo [0, 1], pero no diferenciable en x = 0?

La función f(x) = x^(2/3) es continua en todo su dominio, incluyendo el intervalo [0, 1], pero no es diferenciable en x = 0 porque en ese punto tiene un cuspide, lo que crea una discontinuidad en la derivada.

¿Se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a la función f(x) = sqrt(x - 4) en el intervalo [4, 8]?

Sí, se puede aplicar el Teorema del Valor Medio a esta función, ya que es continua y diferenciable en el intervalo abierto (4, 8), y no presenta discontinuidades ni puntos no diferenciables dentro del intervalo.