Gleichung einer TANGENTE bestimmen – Tangentengleichung aufstellen in einem Punkt

Summary

In diesem Video wird Schritt für Schritt erklärt, wie man eine Tangentengleichung aufstellt. Zuerst wird der Punkt berechnet, an dem die Tangente gezeichnet werden soll, indem der gegebene x-Wert in die Funktion eingesetzt wird. Danach wird die Steigung (m) der Tangente mithilfe der ersten Ableitung der Funktion bestimmt. Schließlich wird das y-Abschnitt (b) ermittelt, indem der berechnete Punkt in die Gleichung eingesetzt wird. Am Ende erhält man die vollständige Tangentengleichung. Das Video betont, dass der Prozess einfach nachvollziehbar ist.

Takeaways

• 📏 Eine Tangente ist eine spezielle Gerade, die sich an einem Punkt an den Graphen anschmiegt.
• 🖋️ Ziel ist es, die Tangentengleichung in der Form y = mx + b zu finden, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
• 📍 Zuerst wird der Punkt berechnet, an dem die Tangente aufgestellt werden soll. In diesem Fall ist der x-Wert gegeben (x = 2), und der y-Wert wird durch Einsetzen in die Funktion berechnet (f(2) = 2).
• 📈 Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung der Funktion an diesem Punkt, die über die erste Ableitung berechnet wird.
• 📉 Ableitung der Funktion: f'(x) = 3x² - 12x + 9.
• 🧮 Um die Steigung m zu finden, setzt man den x-Wert (x = 2) in die Ableitung ein: f'(2) = -3.
• 🔄 Die Tangentengleichung wird nun teilweise aufgestellt: y = -3x + b.
• 📌 Der Punkt (2, 2) wird in die Gleichung eingesetzt, um den y-Achsenabschnitt b zu berechnen.
• 🧩 Nach Berechnung ergibt sich b = 8.
• ✅ Die endgültige Tangentengleichung lautet y = -3x + 8.

Q & A

Was ist eine Tangente und wie wird sie geometrisch beschrieben?

Eine Tangente ist eine spezielle Gerade, die sich an einem bestimmten Punkt an den Graphen einer Funktion anschmiegt. Sie hat dort dieselbe Steigung wie die Funktion und berührt den Graphen genau an diesem Punkt.

Welche Schritte sind nötig, um eine Tangentengleichung aufzustellen?

Um eine Tangentengleichung aufzustellen, geht man in drei Schritten vor: 1. Den Punkt berechnen, an dem die Tangente aufgestellt werden soll. 2. Die Steigung der Tangente mittels der ersten Ableitung der Funktion berechnen. 3. Das B der Geradengleichung durch Einsetzen des berechneten Punktes bestimmen.

Wie berechnet man den Punkt, an dem die Tangente aufgestellt werden soll?

Wenn nur der x-Wert gegeben ist, setzt man diesen in die Funktion ein, um den zugehörigen y-Wert zu erhalten. Dieser Punkt bildet die Grundlage für die Tangentengleichung.

Was bedeutet die erste Ableitung der Funktion im Zusammenhang mit der Tangente?

Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt an. Da die Tangente dieselbe Steigung wie die Funktion an diesem Punkt hat, nutzt man die Ableitung, um die Steigung der Tangente zu berechnen.

Wie wird die erste Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x gebildet?

Man leitet die Funktion ab, indem man die Hochzahlen reduziert: f'(x) = 3x² - 12x + 9. Dies ist die allgemeine Formel für die Steigung der Funktion.

Wie berechnet man die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt?

Um die Steigung an einem bestimmten Punkt zu berechnen, setzt man den x-Wert des Punktes in die erste Ableitung der Funktion ein. Im Beispiel ergibt das für x = 2 eine Steigung von -3.

Wie setzt man die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein?

Die allgemeine Geradengleichung lautet y = m * x + b. Sobald die Steigung (m) bekannt ist, setzt man diesen Wert in die Gleichung ein. Im Beispiel ergibt sich y = -3x + b.

Wie berechnet man den Wert von b in der Geradengleichung?

Man setzt den bekannten Punkt (x, y) in die Geradengleichung ein und löst nach b auf. Im Beispiel setzt man den Punkt (2, 2) ein, was zu der Gleichung 2 = -3 * 2 + b führt. Daraus ergibt sich b = 8.

Wie lautet die endgültige Tangentengleichung im Beispiel?

Die endgültige Tangentengleichung lautet: y = -3x + 8. Diese Tangente hat an der Stelle x = 2 dieselbe Steigung wie die Funktion und berührt sie dort.

Welche Bedeutung hat der Punkt, an dem die Tangente aufgestellt wird, für die Tangentengleichung?

Der Punkt, an dem die Tangente aufgestellt wird, liegt auf der Tangente und bestimmt daher sowohl die Steigung als auch den Schnittpunkt mit der y-Achse, was zur Bestimmung von m und b in der Geradengleichung führt.