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Summary
TLDREl guion trata sobre el método numérico de Newton para resolver ecuaciones de la forma ax^2 + bx + c = 0. Se explica cómo se utiliza la fórmula de Newton, que involucra la función y su derivada, para encontrar la solución numérica real. Se sugiere investigar el concepto de rectas tangentes y cómo se aplican en el método. El guion también aborda la importancia de elegir un buen valor inicial cercano a la solución y la repetición del proceso hasta que el resultado se repita, indicando la precisión del método. Se enfatiza la necesidad de utilizar todos los decimales posibles para una aproximación precisa.
Takeaways
- 🔢 El ejercicio final aborda la solución de problemas numéricos, específicamente ecuaciones de la forma x^2 + bx + c = 0.
- 📐 Se utiliza el método de Newton para encontrar la solución numérica real de la ecuación.
- 🔍 Se menciona que la solución es √3 y los coeficientes a y c son 1 y -3, respectivamente.
- 🔄 El proceso de Newton involucra la iteración para acercarse a la solución real a través de la fórmula: f(x) = x - (f(x) / f'(x)).
- 📈 Se destaca la importancia de las rectas tangentes y cómo se usan para encontrar la intersección con el eje x.
- 📋 Se sugiere investigar el método de Newton y su aplicación práctica para resolver ecuaciones.
- 📊 Se recomienda evaluar el valor inicial y la función en ese punto para determinar un cambio de signo, lo cual indica la proximidad a una solución.
- 📝 Se enfatiza la necesidad de tomar en cuenta los decimales que ofrece la calculadora para mejorar la precisión del resultado.
- 🔄 Se describe el proceso iterativo detalladamente, mostrando cómo se calcula en cada paso y se aproxima a la solución.
- 💻 Se explica cómo construir un algoritmo para implementar el método de Newton, incluyendo la solicitud de coeficientes, valor inicial y número de iteraciones.
- 📉 Se menciona el error de truncamiento y cómo afecta la precisión del resultado, destacando la importancia de utilizar la mayor cantidad de decimales posibles.
Q & A
¿Qué método numérico se discute en el guion para resolver ecuaciones de la forma ax^2 + bx + c = 0?
-Se discute el método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones de la forma ax^2 + bx + c = 0.
¿Cuál es el concepto clave detrás del método de Newton-Raphson mencionado en el guion?
-El concepto clave es el uso de las rectas tangentes a la curva para encontrar la intersección con el eje de las x, que representa la solución.
¿Cómo se determina el valor inicial para aplicar el método de Newton-Raphson?
-Se determina el valor inicial generalmente cerca de la solución y se puede obtener por medio de tablas o evaluando puntos en la función para detectar un cambio de signo.
¿Cuál es la fórmula que se utiliza en el método de Newton-Raphson para calcular el siguiente valor aproximado?
-La fórmula es: x_{siguiente} = x_{inicial} - f(x_{inicial}) / f'(x_{inicial}), donde f(x) es la función y f'(x) es su derivada.
¿Cuál es la importancia de evaluar el valor inicial y la función en ese valor para el método de Newton-Raphson?
-Es importante para determinar si hay un cambio de signo, lo cual indica que hay una raíz entre el valor inicial y el punto de evaluación.
¿Cómo se determina si se ha encontrado la solución con el método de Newton-Raphson?
-Se determina cuando los valores sucesivos de x se repiten, lo que indica que se ha alcanzado la convergencia a una solución.
¿Qué es el error de truncamiento mencionado en el guion y cómo afecta el método de Newton-Raphson?
-El error de truncamiento es el error que se comete al usar un número finito de decimales en las aproximaciones, lo que puede afectar la precisión de la solución obtenida.
¿Cuál es la importancia de utilizar el mayor número de decimales posible al aplicar el método de Newton-Raphson?
-Utilizar el mayor número de decimales posible mejora la precisión de la aproximación y reduce el error de truncamiento.
¿Cómo se construye el algoritmo para aplicar el método de Newton-Raphson según el guion?
-Se construye pidiendo los coeficientes de la ecuación, el valor inicial y el número de iteraciones, y se aplica la fórmula del método en un ciclo que se repite el número de veces especificado.
¿Cuál es la función y su derivada que se utilizan en el ejemplo del guion para aplicar el método de Newton-Raphson?
-La función es f(x) = x^2 - 3 y su derivada es f'(x) = 2x.
¿Qué pasos se siguen en el proceso de Newton-Raphson para cada iteración según el guion?
-Se evalúa la función en el valor inicial, se calcula la derivada en el valor inicial, se aplica la fórmula del método para obtener el siguiente valor, y se imprime ese valor para observar la aproximación.
Outlines
📐 Introducción al Método de Newton
El primer párrafo presenta el ejercicio final que integra conceptos vistos anteriormente, enfocado en la resolución de problemas numéricos. Se menciona la necesidad de resolver la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0 utilizando el método de Newton-Raphson. Se explica que este método numérico requiere una solución real y se sugiere que el valor inicial debe estar cerca de la solución para mejorar la precisión. Se menciona que la solución es la raíz de 3 y se describe el proceso de aplicar el método de Newton, que involucra el uso de tangentes para aproximar la solución. Además, se destaca la importancia de evaluar el signo de la función en puntos cercanos al valor inicial para determinar el intervalo donde se encuentra la solución. Se sugiere que el valor inicial se puede encontrar mediante tablas o evaluando puntos en la función para detectar un cambio de signo.
🔍 Aplicación del Método de Newton
El segundo párrafo detalla el proceso de aplicar el método de Newton-Raphson para encontrar la solución de la ecuación. Se describe cómo se calcula el nuevo valor inicial a partir del anterior, restando la función evaluada en el valor inicial dividida por su derivada evaluada en el mismo. Se menciona la importancia de repetir el proceso varias veces para acercarse a la solución exacta. Se aborda el tema del error de truncamiento y cómo afecta la precisión del resultado cuando se trabaja con un número limitado de decimales. Se enfatiza la necesidad de utilizar todos los decimales que la calculadora puede mostrar para obtener una aproximación más precisa. Además, se sugiere verificar la solución obtenida comparándola con la raíz de 3 y se explica cómo se puede visualizar el proceso mediante una gráfica.
🛠 Construcción del Algoritmo del Método de Newton
El tercer párrafo se centra en la construcción del algoritmo para aplicar el método de Newton. Se describen los pasos necesarios para pedir los coeficientes de la ecuación, el valor inicial y el número de iteraciones. Se detalla cómo se construye la función y su derivada, y se explica el proceso de evaluación de la función y su derivada en el valor inicial. Se establece un ciclo para repetir el proceso de aproximación del número de veces indicadas. Se enfatiza la importancia de imprimir los valores calculados en cada iteración para observar cómo se va acercando a la solución. Se sugiere que el método es sencillo y que el objetivo es comprender cómo se aplica para poder implementarlo en otros problemas.
📝 Ejercicio Práctico del Método de Newton
El cuarto y último párrafo presenta un ejercicio práctico para aplicar el método de Newton. Se proporcionan los coeficientes de la ecuación, el valor inicial y el número de iteraciones a realizar. Se describe el proceso de evaluación de la función y su derivada, y cómo se calcula el nuevo valor inicial en cada iteración. Se muestra el progreso de las aproximaciones en las iteraciones y se destaca cómo el resultado se estabiliza en cierto punto. Se sugiere discutir el ejercicio con compañeros para comprender mejor el método numérico y se enfatiza la importancia de entender el proceso para poder aplicarlo en otros contextos.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación de la forma de x cuadrada más bx más c igual a 0
💡Método de Newton
💡Iteraciones
💡Valor inicial
💡Rectas tangentes
💡Función y derivada
💡Error de truncamiento
💡Converger
💡Algoritmo
💡Aproximación
Highlights
Introducción al ejercicio final que integra conceptos de resolución de problemas numéricos.
Método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones de la forma x^2 + bx + c = 0.
La solución numérica real es necesaria para aplicar métodos numéricos.
Ejemplo sencillo con coeficientes a=1, b=-3, c=0 y solución conocida como √3.
La importancia de investigar el método de Newton para comprender el proceso.
La fórmula del método de Newton y su relación con las rectas tangentes a la curva.
Cómo se determina el valor inicial para iniciar la solución del problema.
La evaluación de puntos en una función para identificar el cambio de signo y estimar el valor inicial.
La importancia de la gráfica para visualizar los puntos de intersección con el eje X.
Proceso de iteración con el valor inicial de 2 y su evolución a través de 5 iteraciones.
La repetición de valores como indicador de que se ha encontrado la solución.
La importancia de utilizar el mayor número de decimales posibles para mejorar la precisión.
La diferencia entre la solución exacta y la aproximación numérica debido al error de truncamiento.
Construcción del algoritmo para aplicar el método de Newton basado en los coeficientes de la ecuación.
La función y su derivada en el contexto del algoritmo de Newton.
La implementación del ciclo para repetir el proceso de iteración.
El proceso de evaluación y actualización del valor inicial en cada iteración.
La importancia de la precisión en la aproximación numérica y cómo se ve afectada por los decimales utilizados.
Prueba del algoritmo con coeficientes específicos y su efecto en los resultados.
Conclusión del ejercicio y reflexión sobre la importancia del método numérico en la resolución de ecuaciones.
Transcripts
pues hemos llegado al ejercicio final
este integra varias cosas que ya hemos
visto en los ejercicios anteriores
sobre todo en la solución de problemas
numéricos los pies realizaron de efe de
que calculé la solución a cualquier
ecuación de la forma de x cuadrada más
bx más e igual a 0 empleando el método
de newton paran iteraciones recordemos
que para resolverlo por un método
numérico entonces esto tiene que tener
una solución numérica real entonces voy
a poner una ecuación de esta forma lo
voy a hacer lo más sencilla posible que
es este ejemplo que tenemos acá para que
ustedes puedan observar fácilmente cuál
es la solución
y nosotros observamos
que la solución es
a raíz de 3
y obviamente necesitaríamos resolverlo
tomando en cuenta que los coeficientes
de ais 190 y de c es menos 3
entonces el para el informe técnico es
necesario que ustedes investigan sobre
el método de newton
que obviamente esta es bastante sencillo
y lo único que se hace es aplicar esta
fórmula tiene un concepto muy importante
sobre las rectas tangentes a la curva y
como pegan en el en el eje de las ex
para encontrar la solución que son lo
que me gustaría que ustedes investiguen
y me expliquen y les voy a enseñar acá
de forma sencilla cómo se aplica primero
me dice que la fórmula es que el valor
siguiente va a ser igual al valor
inicial menos la función evaluada en el
valor inicial entre la derivada evaluado
en el valor inicial
entonces vamos entrando en conceptos el
valor inicial es un valor numérico el
cual yo doy para iniciar la solución del
problema pero lo ideal es que ésta esté
próxima a la solución normalmente se
obtiene por medio de tablas recuerden
que si ustedes van evaluando puntos en
una función se van a dar cuenta que
valor inicial tomar porque en ese punto
hay un cambio de signo al evaluar el
valor inicial y la función en ese valor
ya sea por ejemplo si yo voy probando
con valores si la solución está cerca
del 2 porque yo si ustedes lo realizan
en la calculadora se van a dar cuenta
que
una solución es raíz de 3 entonces esta
sería la solución
lo voy a copiar este por acá
para que ustedes esté
puedan ir comprobando o sea la solución
es igual
esto esta es la solución es raíz de 3
entonces acá se pueden ustedes dar
cuenta que
esto
sería
lo que nosotros estamos buscando como
solución
y un valor aproximado es 2 entonces si
ustedes evalúan 2 en la función a lo
mejor les dé un signo positivo o
negativo y si evalúan 1
entonces le va a dar un signo positivo
negativo pero vamos a poner un ejemplo a
lo mejor de evaluar 2 en la función me
da
y positivo
que si ustedes se dan cuenta 4 2 al
cuadrado es 4 - 3 es 1 y si yo evalúo 1
en la función que sería una al cuadrado
menos 3 me da negativo y eso quiere
decir que entre ellos dos hay un cambio
de signo
no sé si me explico o sea si evalúo la
función con dos me da positivo si
evaluar la función con uno me da
negativo entonces la solución se
encuentra entre dos y uno otra forma de
verlo es mediante una gráfica y nosotros
nos vamos a dar cuenta en tres qué
valores se está pegando la función en el
eje de las x
ahora bien
tomo como valor inicial el 2
voy a hacerlo cinco veces por eso lo
estoy poniendo acá en igual a 5 que es
lo que nos pide el problema el problema
nos dice que vamos a dar el valor
inicial y el número de interacciones que
sería cuántas veces voy a repetir el
proceso
entonces comenzamos la primera vez que
hago el proceso entonces
voy a calcular este es el punto
calculado con el valor inicial que sería
2 en este caso menos la función evaluada
en el valor inicial que es 2 al cuadrado
menos 3 entre la derivada evaluada en el
valor inicial que es 2x que sería 2 por
2 que es el valor inicial
esto me da a 1.75 que me dice el método
que para la siguiente iteración ahora
tome como valor inicial el valor que
acabo de calcular
entonces me voy a la segunda integración
ahora mis valores iniciales 1.75 menos
1.75 al cuadrado menos 3 que es la
función que hablaba con el valor inicial
entre la derivada que es 2 por 1.75 y me
da este valor
para la tercera iteración este valor
pasa a ser el valor inicial y lo estamos
describiendo acá otra vez evaluada en la
función entre la derivada y me da este
valor para la cuarta iteración
utilizo otra vez este valor inicial y lo
evalúo en la función entre la derivada y
me da este valor si se da en cuenta aquí
se repitió entonces cuando yo estoy
utilizando la calculadora ejemplo en
este caso ya vimos que la solución es
1.73 205 pero tiene mucho más decimales
o sea nosotros conocemos como esto como
error de truncamiento o sea he venido
utilizando 1 2 3 4 5 dígitos en mi
calculadora lo ideal sería que utilice
todos pero qué pasa cuando nosotros
utilizamos un método numérico la primera
vez su profesor de álgebra les va a
decir saben aplican el método se van uno
por uno lo repiten repiten repiten
cuando se les repita el valor y
encontraron la solución
dios aquí lo estoy haciendo con cinco
decimales
con cinco décimas miren a casi no vuelva
a hacer se vuelva a repetir la solución
entonces lo voy a verificar acá o sea 1
punto quisiera que ustedes observarán
algo que pasó si ustedes toman dos
decimales en cuenta la pregunta clásica
no le decimos en el profesor oiga
prophet con cuántos decimales esté y les
dice todos los de la calculadora ustedes
no pues voy a utilizar dos decimales
bueno si yo utilizará dos decimales
se repetiría en este punto un 1.73 o sea
ya quitando estos que están acá
ustedes dirían que las soluciones 1.73
entonces si yo utilizo 1.73 por 1.73 que
se supone que sería
para verificar si encontramos la
solución ya que se supone que la
solución es raíz de 3 raíz de tres me da
el valor que habíamos visto entonces
vamos a ver si esto se parece a tres
pues miren cuánto le falta para
parecerse a tres ahora si yo utilizo los
cinco decimales que tengo acá
que tanto se parece al 31 puntos 73 205
al cuadrado
de al 2.99 99 y si se dan cuenta todavía
le falta para parecerse al 3
entonces tiene una gran importancia
tomar todos los decimales que les puede
dar la calculadora porque la calculadora
también genera un arroz de truncamiento
hasta les deja ver los decimales que
alcanza a mostrarles así tiene días
decimales los días decimales les deja
ver pero en realidad la serie de lo
mejor tenga muchísimo más o una
infinidad de decimales que no podemos
observar
entonces su primera aproximación a un
método numérico para que ustedes sepan
si encontrado la solución es que se
repita pero que sería lo ideal que
ustedes utilizan todos los decimales de
su calculadora si se es desgastante es
pesado pero al menos tomen un criterio
para que ustedes puedan observar cuántos
decimales les hace una buena
aproximación ahora bien
ya vimos que el método es bastante
sencillo entonces como construimos el
algoritmo
lo que vamos a hacer es clásico
comenzamos después vamos a tener que
pedir
ahora hemos dicho que vamos a pedir
valor inicial que sería x
y vamos a pedir el número de iteraciones
pero
nosotros tenemos que construirlo
obviamente con
[Música]
los coeficientes de la ecuación entonces
vamos aquí vamos a poner antes vamos a
pedir los coeficientes
que serían
y si después vamos a pedir el valor
inicial y el número de iteraciones y los
vamos a aplicar directamente
en nuestra ecuación ahora bien vamos a
construir la ecuación ya habíamos dicho
que la función va a ser igual
alrededor de a
x cuadrada más bx más ce y la derivada
en este caso para que funcione nuestro
método
la derivada tendría que ser igual si
tomamos en cuenta que los valores de d
b y c son coeficientes pues realizó la
derivada entonces éste se va a cero
v x entonces se va la equis y me
quedaría b y aquí sería 2 por equis
entonces serías 2 x + b
eso sería mi derivada que voy a aplicar
y esta sería obviamente mi ecuación
que voy a ingresar en la función
entonces
vamos a tener que hacer un ciclo para
que va a comenzar desde iu
igual
a uno hasta n que es el valor que quiero
llegar de uno en uno y vamos a comenzar
que lo que tenemos que hacer ya lo
habíamos visto hace un momento tenemos
que hacer la fórmula del método newton
que es el valor siguiente va a ser igual
al valor inicial menos la función
neuróloga en el valor inicial entre la
derivada evaluado en el valor inicial
entonces vamos a hacer qué
tenemos que calcular primero
algo para y decían divide y vencerás
vamos a hacer
efe de x
va a ser igual
esto destaca porque vamos a evaluar a la
función en
con el valor inicial
entonces esto sería a equis o al
cuadrado más b x o más
y esto de esta manera para que lo
describimos como un algoritmo
después tendríamos que hacer
qué
la derivada la guardamos en otra
variable sea igual a lo que está acá
entonces vamos a poner aquí
x
a x
y después vamos a aplicar el método y el
método me dice que vamos a hacer que f
perdón que x y va a ser igual al valor
inicial
- la función evaluada en x o entre la
derivada de balada en x
acá lo que voy a hacer es imprimir el
valor del calculado para que yo puedo
observar cómo se va aproximando paso por
paso y para el siguiente voy a hacer el
cambio que el valor inicial sea igual al
valor de x y para que vuelva a entrar
acá mismo y ahora vuelva a calcularse
me voy a imprimir según la calcular son
imprimir y lo va a hacer cinco veces
5 sería el fin del ciclo
y 6 el fin de nuestro algoritmo no sabrá
si ya se puso interesante esto vamos a
ver qué pasa
vamos a ver si funciona aquí vamos a
pedir a b y c
y después vamos a pedir
valor inicial y cuántas iteraciones
queremos
enseguida vamos a hacer el ciclo que va
a ser desde y igual a 1 hasta n de uno
en uno
luego me dice que voy a hacer
en la evaluación de la función en x y
entonces lo vamos a poner acá
y
x o sería igual x x
al cuadrado
o más
de flor
x o más
y
necesitaremos hacer la derivada fx o que
va a ser igual
a 2
x
a equis
a por equis
más v
y al final vamos a hacer el cálculo de x
y que va a ser igual a equis o menos fx
/ efe x o sea ya los calculamos ya los
aplicamos aquí mismo
se los dejo ahí un momento y ahí le
pueden poner pausa para escribir bien
sus ecuaciones
recuerden que les
y aquí estoy utilizando estos el valor x
o ya lo tengo acá el principio y tengo
que hacerlo como expresión por eso le
pongo los por ahí
así
después me dice que imprimamos el valor
de x y entonces vamos a imprimir el
valor de x y para que veamos si se está
haciendo la operación correctamente son
los valores que tengo que quiero yo ver
que se arrojen y después vamos a hacer
el cambio o sea quien faltó ponerle
hacer porque se supone que tenemos que
hacer esto
vamos a poner acá
en cambio para la siguiente iteración
ya que quiere decir que
luego disminuir tantito para que se vea
aquí cómo queda el diagrama completo
o sea los coeficientes de la ecuación
después pido el valor inicial cuantas
veces voy a repetir el proceso
se ejecuta primero con x o calcule x y y
al final se hace el cambio porque va a
volver a regresar y ahora el valor de x
y es x o y volvemos a comenzar y
volvemos a hacerlo y hacerlo y hacerlo
las veces que nosotros le hemos indicado
entonces
vamos a probarlo con el ejercicio que
tenemos acá ya habíamos dicho que los
coeficientes el primero va a ser uno que
va a ser cero y se va a ser menos 3
el valor inicial que le voy a dar es 2 y
quiero repetir este proceso 5 veces
entonces me arroja que el primer
resultado es 1.75 que es ésta la primera
iteración vamos bien
aquí es 1 puntos de 3 214 obviamente
aquí me está mostrando más decimales
ya se aparece el 205
y miren a qatar ya sigue cambiando
y ahí se mantuvo
entonces sí me gustaría que este
ejercicio
lo piensen bien lo platiquen con sus
compañeros de equipo porque es el primer
acercamiento que tenemos al método
numérico y si es importante que
comprendan cómo se realizó entonces para
terminarlo le vamos a dar el j
2
j que sería el último ejercicio y están
completos todos
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