Método de Newton-Raphson (Demostración y Ejemplo en Excel)

ProfeDRJ

13 May 201915:30

Summary

TLDREste guion detalla el proceso de encontrar la pendiente de una función a través de la derivada y cómo se utiliza en el método numérico de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una función. Se explica cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos y cómo esta información se aplica para hallar la raíz de una función. El guion también sugiere el uso de herramientas como Excel para graficar y visualizar los puntos de intersección, facilitando la comprensión del método y su aplicación en la resolución de ecuaciones.

Takeaways

📈 Se trabaja con una función cualquiera para encontrar la pendiente de una recta que coincida con ella en un punto específico.
✏️ La pendiente (m) se obtiene a partir de la derivada de la función y se representa con la letra 'm'.
🔍 Se utilizan dos puntos para determinar la pendiente: uno en la función y otro en la recta que se desea que coincida con la función.
📐 Para calcular la pendiente, se utiliza la fórmula de diferencias divididas, donde se toma el cambio en 'y' entre los dos puntos dividido por el cambio en 'x'.
🔢 Los métodos numéricos son útiles para encontrar el valor de la raíz de una función, es decir, el punto donde la función corta el eje x en 0.
📉 Se utiliza el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una función, lo que implica iterar para encontrar el valor cercano al punto de corte.
📊 Se recomienda tener una gráfica de la función para tomar un valor inicial cercano al punto deseado y así facilitar el proceso de encontrar la raíz.
📋 Se da un ejemplo práctico utilizando Excel para graficar la función y sus derivadas, lo que ayuda a visualizar los puntos de corte y a tomar un valor inicial adecuado.
🔄 El proceso iterativo del método de Newton-Raphson se describe paso a paso, mostrando cómo se calcula el siguiente valor de 'x' y cómo se reduce el error en cada iteración.
📝 Se enfatiza la importancia de la precisión en el cálculo y cómo el número de decimales puede afectar la precisión del resultado final.

Q & A

¿Qué es la pendiente de una función y cómo se relaciona con la derivada?
-La pendiente de una función es una medida de su inclinación y se representa con la letra 'm'. Se obtiene a partir de la derivada de la función con respecto a 'x', que es el diferencial de la función con respecto a 'x'.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta en el contexto del transcript?
-La pendiente de una recta se calcula como el cociente del cambio en el eje y (segundo valor menos el primero) sobre el cambio en el eje x (segundo valor menos el primero).
¿Qué métodos numéricos se utilizan para encontrar la raíz de una función?
-Se utilizan métodos numéricos como el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz de una función, que es el punto donde la función corta el eje x en 0.
¿Cómo se determina la ecuación de Newton-Raphson para una función dada?
-La ecuación de Newton-Raphson se determina tomando el valor actual de 'x', la función sin derivar y la función derivada, y se resuelve para encontrar el próximo valor de 'x' que se acerca a la raíz.
¿Qué es la derivada y cómo se calcula para una función dada?
-La derivada es una medida de la tasa a la que una función cambia con respecto a 'x'. Se calcula tomando el límite del cociente del cambio en el eje y sobre el cambio en el eje x cuando estos cambios tienden a cero.
¿Cuál es el propósito de usar Excel para graficar una función y su derivada?
-El propósito de usar Excel es visualizar gráficamente la función y su derivada para identificar puntos donde la función podría intersectar el eje x, lo que nos da pistas sobre las posibles raíces.
¿Cómo se elige el rango de 'x' para graficar una función en Excel?
-El rango de 'x' se elige basándose en el análisis de la función y sus características, como por ejemplo, valores donde se sabe que la función cambia de signo o donde se espera encontrar raíces.
¿Qué es la jerarquía matemática y cómo afecta la forma en que se escriben las funciones en Excel?
-La jerarquía matemática determina el orden en que se evalúan los operadores en una expresión matemática. En Excel, esto significa que ciertos operadores, como la multiplicación y la división, deben estar claramente indicados con paréntesis para asegurar que se evalúen en el orden correcto.
¿Cómo se calcula el error en el método de Newton-Raphson y qué significa?
-El error se calcula como el cociente del valor actual menos el valor anterior sobre el valor actual, multiplicado por 100 para obtener un porcentaje. Mide la precisión de la aproximación a la raíz en cada iteración.
¿Por qué es importante tener una gráfica al buscar raíces de una función?
-Tener una gráfica es importante porque ayuda a identificar visualmente los puntos donde la función podría intersectar el eje x, lo que facilita la selección de valores iniciales cercanos a las raíces reales.

Outlines

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📈 Introducción al Método de Newton-Raphson

El primer párrafo introduce el Método de Newton-Raphson, una técnica numérica para encontrar raíces de una función. Se explica que la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dada puede ser hallada a través de la derivada de la función. El proceso para encontrar la pendiente involucra tomar dos puntos en la función y calcular la pendiente como la diferencia en y dividida por la diferencia en x. El método se utiliza para aproximar la raíz de una función, es decir, el punto donde la función cruza el eje x. Se menciona que este método puede ser aplicado iterativamente para acercarse al valor de la raíz deseado.

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📊 Utilización de Excel para la Gráfica de la Función y su Derivada

El segundo párrafo detalla el proceso de usar Excel para graficar una función y su derivada. Se menciona la necesidad de realizar la derivada de la función dada, que es \( f(x) = x + 2/x^2 \), y se obtiene \( f'(x) = 1 - 4/x^3 \). Se sugiere un rango de valores para x (0.5 a 5.5) para la gráfica y se describe cómo se configura en Excel para mostrar tanto la función como su derivada. Además, se introduce la idea de usar la gráfica para identificar posibles puntos de intersección con el eje x, que son candidatos a ser raíces de la función.

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🔢 Aplicación del Método de Newton-Raphson en Excel

El tercer párrafo explica cómo aplicar el Método de Newton-Raphson en Excel para encontrar la raíz de la función. Se establece una tabla en Excel con columnas para el valor inicial de x, la función sin derivar, la función derivada, y la predicción de x+1. Se describe el proceso de reemplazo de valores y cálculo de la siguiente aproximación de x, así como el cálculo del error relativo para evaluar la precisión del resultado. Se enfatiza la importancia de repetir el proceso de aproximación hasta que el valor de x converge a la raíz deseada.

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🔄 Iteraciones y Errores en el Método de Newton-Raphson

El cuarto párrafo continúa con el proceso de iteración en el Método de Newton-Raphson, destacando la reducción del error en cada paso. Se muestra cómo se calcula el error y se toman decisiones sobre cuándo se puede considerar que se ha alcanzado la raíz con la precisión deseada. Se sugiere que el proceso puede ser ajustado para diferentes valores iniciales y se explora cómo estos afectan la convergencia a diferentes raíces. Finalmente, se ofrece un resumen de cómo se puede presentar toda la información en una sola columna en Excel para una presentación más compacta.

Mindmap

Keywords

💡Curva

La 'curva' se refiere a la gráfica de una función matemática, que representa el comportamiento de la función en el plano cartesiano. En el guion, la curva es el objeto de estudio para encontrar la pendiente de una recta tangente a esta, lo cual es fundamental para entender cómo varía la función con respecto a los valores de x.

💡Pendiente

La 'pendiente' es una medida de la inclinación de una recta, y en el contexto de una función, representa la tasa de cambio de la función en un punto específico. En el guion, la pendiente se obtiene a través de la derivada de la función, y es crucial para determinar la recta tangente a la curva en un punto dado.

💡Derivada

La 'derivada' es una operación matemática que define la pendiente de la tangente a la gráfica de una función en un punto específico. En el guion, la derivada se utiliza para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de la función, lo cual es esencial para el método numérico de Newton-Raphson para encontrar raíces de la función.

💡Método numérico

Un 'método numérico' es un conjunto de técnicas utilizadas para resolver problemas matemáticos que no pueden ser resueltos analíticamente. En el guion, se menciona el método de Newton-Raphson, que es un método numérico para encontrar aproximaciones de las raíces de una función.

💡Raíz

Una 'raíz' de una función es un valor de x por el cual la función se anula, es decir, f(x) = 0. En el guion, el objetivo es encontrar la raíz de la función, es decir, el punto donde la función intersecta el eje x, utilizando el método de Newton-Raphson.

💡Newton-Raphson

El 'método de Newton-Raphson' es un algoritmo iterativo utilizado para encontrar raíces de una función. En el guion, este método se describe detalladamente, y se utiliza para aproximar la raíz de la función dada, mejorando progresivamente el valor inicial hasta que se alcanza un punto cercano a la raíz.

💡Función

Una 'función' matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función es el objeto principal de estudio, y se busca encontrar la pendiente de su curva y sus raíces utilizando métodos matemáticos.

💡Excel

Excel es una aplicación de hojas de cálculo que permite realizar cálculos financieros, gráficos y análisis de datos. En el guion, se sugiere utilizar Excel para graficar la función y sus derivadas, lo que facilita visualizar la curva y estimar los puntos donde la función podría intersectar el eje x.

💡Iteración

Una 'iteración' es el proceso de repetir un conjunto de instrucciones o cálculos con el objetivo de acercarse a una solución. En el guion, las iteraciones son usadas en el método de Newton-Raphson para refinar progresivamente el valor aproximado de la raíz de la función.

💡Error

El 'error' en este contexto se refiere a la diferencia entre el valor aproximado y el valor real de la raíz. En el guion, se calcula el error en cada iteración del método de Newton-Raphson para determinar cuántas decimales de precisión se han alcanzado y cuándo se puede considerar que se ha encontrado la raíz con la precisión deseada.

Highlights

Se trabaja con una curva para encontrar la pendiente de una función.

La pendiente se representa con la letra 'm' y se obtiene a partir de la derivada de una función.

Los puntos donde coincide la pendiente se utilizan para determinar la recta tangente.

Se describe el proceso de encontrar la pendiente a partir de un valor inicial de 'x' y otro punto en la recta.

Se explica que la pendiente se calcula como la diferencia entre los valores de la función dividida por la diferencia de los valores de 'x'.

Los métodos numéricos son utilizados para encontrar el valor de la raíz donde la función corta el eje.

Se introduce el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una función.

Se detalla el proceso de despejar la ecuación de Newton-Raphson para encontrar la raíz.

Se menciona que no todas las funciones cortan en un solo punto y se recomienda tener una gráfica para tomar valores cercanos.

Se proporciona un ejemplo práctico para encontrar las raíces de una función cuando el valor de 'g' es igual a 5.

Se describe el uso de Excel para realizar gráficas y observar los puntos donde la función podría cortar el eje.

Se explica cómo derivar la función para usarla en el método de Newton-Raphson.

Se elige un rango para graficar la función y se describe el proceso de reemplazo en Excel.

Se crea una tabla en Excel para ingresar valores iniciales y derivar la función para el método de Newton-Raphson.

Se calcula el error en la aproximación de la raíz y se describe cómo disminuye con cada iteración.

Se muestra cómo se puede simplificar el proceso en una sola columna para ahorrar espacio en Excel.

Se concluye el proceso con el cálculo final de la raíz y se ofrecen tips para mejorar la precisión.