Fracciones parciales caso 3

Cátedra de Matemática FCE-ULACIT

13 Jul 202305:42

Summary

TLDREl guión del video trata sobre el proceso de simplificación de una fracción con un denominador que es un polinomio cuadrático irreducible. Se describe la división sintética para factorizar el denominador y se explica que, al ser irreducible, no se puede factorizar más. Seguidamente, se detalla el método para escribir las fracciones parciales, utilizando dos letras para el factor irreducible. El script incluye la resolución de un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes de las fracciones parciales, y finalmente, se presenta la fracción original en su forma simplificada.

Takeaways

🔢 El caso número 3 trata sobre fracciones con denominador de polinomio cuadrático irreducible.
📉 El numerador de la fracción es 4x^2 - 8x + 1 y el denominador es x^3 - x + 6.
🧮 Se utiliza la división sintética para factorizar el denominador, resultando en x - 2 por x^2 - 2x + 3.
❌ El polinomio cuadrático x^2 - 2x + 3 es irreducible, ya que su discriminante es menor que cero.
➡️ La fracción original se reescribe como 4x^2 - 8x + 1 entre (x - 2)(x^2 - 2x + 3).
🔠 Para las fracciones parciales, se usa 'A' para el primer factor x - 2 y 'Bx + C' para el segundo factor irreducible x^2 - 2x + 3.
🚫 La única restricción es que x no puede ser igual a -2.
📏 Se suma las fracciones parciales usando el máximo común denominador.
⚖️ Se igualan los términos con el mismo grado en ambos lados de la ecuación, formando un sistema de ecuaciones.
🔍 Resolviendo el sistema de ecuaciones, se encuentra que A = 3, B = 1 y C = -4.
✅ La fracción parcial resultante es 3/(x - 2) + (x - 4)/(x^2 - 2x + 3).

Q & A

¿Cuál es el caso número 3 tratado en el guión?
-El caso número 3 trata el caso en el que el denominador es un polinomio cuadrático irreducible.
¿Cuál es la fracción dada en el caso número 3?
-La fracción dada es (4x^2 - 8x + 1) / (x^3 - x + 6).
¿Qué método se utiliza para dividir el polinomio irreducible en el denominador?
-Se utiliza la división sintética para dividir el polinomio irreducible en el denominador.
¿Cuál es el resultado de la división sintética del polinomio irreducible?
-El resultado de la división es x - 2 por x^2 - 2x + 3.
¿Por qué no se puede factorizar el polinomio cuadrático irreducible?
-El polinomio cuadrático irreducible no se puede factorizar porque su discriminante es menor que cero.
¿Cómo se deben escribir las fracciones parciales para el caso número 3?
-Se deben escribir dos fracciones parciales, una para el factor reducible y otra para el factor irreducible, utilizando dos letras para el factor irreducible.
¿Cuáles son las letras utilizadas para las fracciones parciales en el caso número 3?
-Las letras utilizadas para las fracciones parciales son 'a' para el factor reducible y 'B' y 'C' para el factor irreducible.
¿Cuál es la restricción para el factor reducible en las fracciones parciales?
-La restricción para el factor reducible es que x no puede ser -2.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de 'a', 'B' y 'C'?
-Se igualan los coeficientes de los términos correspondientes de las fracciones parciales con los términos de la fracción original, formando un sistema de ecuaciones que se resuelve para encontrar los valores de 'a', 'B' y 'C'.
¿Cuáles son los valores encontrados para 'a', 'B' y 'C' en las fracciones parciales?
-Los valores encontrados son 'a' = 3, 'B' = 1 y 'C' = -4.
¿Cómo se expresan las fracciones parciales finales tras reemplazar los valores de 'a', 'B' y 'C'?
-Las fracciones parciales finales son '3/(x + 2)' y '(Bx + C)/(x^2 - 2x + 3)', donde B = 1 y C = -4, dando como resultado '1*x - 4/(x^2 - 2x + 3)'.

Outlines

00:00

📚 División de fracciones con denominadores polinomios

En el párrafo 1 se discute cómo dividir una fracción donde el denominador es un polinomio cuadrático irreducible. Se toma como ejemplo la fracción 4x^2 - 8x + 1 / (x^3 - x + 6) y se intenta factorizar el denominador. Tras realizar la división sintética, se obtiene x - 2 / (x^2 - 2x + 3). Se señala que el segundo término es irreducible y no se puede factorizar más. Se procede a escribir las fracciones parciales, utilizando dos letras para el término irreducible, y se establecen las restricciones para x, siendo -2 la única restricción en este caso. Finalmente, se resuelven las fracciones parciales mediante el método de la 'carita feliz', lo que resulta en una expresión con términos a, b y c que aún deben ser determinados.

05:03

🔍 Resolución del sistema de ecuaciones para fracciones parciales

El párrafo 2 continúa el proceso de resolución de la fracción parcial del párrafo anterior. Se establece un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de a, b y c, que son los coeficientes en la expresión resultante de las fracciones parciales. Se resuelve el sistema y se encuentran los valores de a como 3, b como 1 y c como -4. Con estos valores, se actualiza la fracción parcial, obteniendo la solución final de la fracción original como 3 / (x + 2) + (x - 4) / (x^2 - 2x + 13).

Mindmap

Keywords

💡Polinomio

Un polinomio es una expresión matemática formada por la suma de varios términos, cada uno de los cuales es un producto de un coeficiente y una potencia de la variable. En el video, se menciona un polinomio de grado 3, que es el denominador de la fracción que se está estudiando. Este polinomio no se puede factorizar completamente, lo que indica que es irreducible.

💡División sintética

La división sintética es un método para dividir un polinomio por otro, similar al algoritmo de la división larga que se utiliza con los números. En el video, se utiliza la división sintética para dividir el polinomio del denominador, lo que resulta en un polinomio de grado 2 que no se puede factorizar.

💡Discriminante

El discriminante es una cantidad que se calcula en una ecuación cuadrática para determinar si tiene soluciones reales o imaginarias. Si el discriminante es menor que cero, como se menciona en el video, la ecuación no tiene soluciones reales, lo que significa que el polinomio es irreducible.

💡Fracción parcial

Las fracciones parciales son una técnica en la cual se expresa una fracción compleja como la suma de fracciones más simples. En el video, se busca escribir las fracciones parciales para la fracción original, lo que implica la factorización del denominador y la introducción de variables para los factores irreducibles.

💡Factor irreducible

Un factor irreducible es una expresión algebraica que no se puede descomponer en factores más simples. En el video, se menciona que el segundo factor del denominador es irreducible, lo que significa que no se puede factorizar más y se debe tratar como tal al escribir las fracciones parciales.

💡Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es una colección de ecuaciones que se resuelven juntas para encontrar los valores de las variables. En el video, se establece un sistema de ecuaciones para determinar los coeficientes de las fracciones parciales, lo que es esencial para completar la descomposición de la fracción original.

💡Método de la carita feliz

El método de la carita feliz es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, donde se alinean los términos de las ecuaciones de manera que se forman 'caritas'. En el video, se utiliza este método para simplificar la suma de las fracciones parciales y encontrar los coeficientes adecuados.

💡Restricciones

Las restricciones son las condiciones que limitan los valores que pueden tomar las variables en un problema matemático. En el video, se mencionan restricciones para los factores del denominador, como que no pueden ser cero, lo que es crucial para la factorización y la resolución del problema.

💡Distribución

La distribución es el proceso de multiplicar cada término dentro de un paréntesis por cada término fuera del paréntesis. En el video, se realiza la distribución para expandir las fracciones parciales y agrupar los términos similares, lo que es un paso clave en la resolución del problema.

💡Factor común

Un factor común es un término que se repite en varios términos de una expresión algebraica y que se puede factorizar para simplificar la expresión. En el video, se buscan factores comunes en los términos de las fracciones parciales para poder agruparlos y simplificar la expresión final.

Highlights

El caso número 3 trata de una fracción con un polinomio cuadrático irreducible en el denominador.

La fracción dada es 4x^2 - 8x + 1 sobre x^3 - x + 6.

Se intenta factorizar el denominador x^3 - x + 6 utilizando la división sintética.

El resultado de la división es x - 2 por x^2 - 2x + 3.

El segundo término, x^2 - 2x + 3, es irreducible y no se puede factorizar más.

El discriminante del polinomio cuadrático es menor que cero, lo que confirma su irreductibilidad.

La fracción se escribe en su forma factorizada más completa posible.

Se utilizan dos letras, B y C, para las fracciones parciales debido a la irreductibilidad del segundo factor.

Se establecen las restricciones para x: x no puede ser -2 y no hay restricción para el término irreducible.

Se escriben las fracciones parciales con el denominador común y se aplican las restricciones.

Se utiliza el método de la 'carita feliz' para sumar las fracciones parciales.

Se distribuyen los términos y se agrupan los coeficientes de x^2, x y los constantes.

Se establecen las ecuaciones para resolver las fracciones parciales basadas en los coeficientes agrupados.

Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C.

Los valores encontrados son A = 3, B = 1 y C = -4.

Se reemplazan los valores de A, B y C en las fracciones parciales para obtener la solución final.

Las fracciones parciales resueltas son 3/(x + 2) + (x - 4)/(x^2 - 2x + 3).