Physics 68 Lagrangian Mechanics (19 of 32) Oscillating Bar

Summary

En esta conferencia en línea, se analiza el movimiento de una barra articulada en un extremo y sostenida por una resortera en el otro. La barra oscila alrededor de un equilibrio horizontal debido a la interacción entre la fuerza de gravedad y la tensión del resorte. El objetivo es encontrar la ecuación del movimiento utilizando el método de Lagrange, calculando la energía cinética y potencial del sistema. Se resuelve la ecuación de la barra en equilibrio y se sustituye en las expresiones para obtener la ecuación de movimiento final, que describe las oscilaciones de la barra.

Takeaways

• 😀 La clase trata sobre el movimiento de una barra articulada en un extremo y soportada por una muelle en el otro.
• 🔧 La barra puede oscilar alrededor de su posición horizontal de equilibrio tras ser desplazada y soltada.
• 🌀 Se utiliza el método de Lagrange para encontrar la ecuación del movimiento de este sistema mecánico.
• 📚 Se definen las energías cinética y potencial del sistema, que son fundamentales para la aplicación del método de Lagrange.
• 🏋️ La energía cinética del sistema es dada por la mitad del momento de inercia multiplicado por la velocidad angular al cuadrado.
• ⚖️ El momento de inercia de la barra es un tercio de la masa multiplicada por la longitud al cuadrado.
• 📉 La energía potencial incluye la energía almacenada en la muelle y la energía potencial gravitacional perdida por la barra.
• 🔍 Se determina la constante de elongación inicial de la muelle (x_nought) a partir de la condición de equilibrio de torques.
• 📐 La ecuación de movimiento se obtiene tomando derivadas parciales del Lagrangiano con respecto a theta y theta punto (velocidad angular y aceleración angular).
• 🧩 Al final, se simplifica la ecuación para obtener la forma más compacta que describe el movimiento oscilatorio de la barra: θ'' + (3k/m)θ = 0.
• 🤔 El guion sugiere que el proceso de derivación puede ser complejo y requiere atención para evitar errores.

Q & A

¿Qué tipo de sistema se está analizando en la conferencia?

Se está analizando un sistema de una barra que puede girar en un extremo y está soportada por una muelle en el otro extremo.

¿Cuál es la condición inicial de la muelle en el sistema descrito?

Inicialmente, la muelle no alcanza todo el camino hasta la barra, lo que significa que está en su longitud natural.

¿Cómo se define la variable 'x' en el contexto de la conferencia?

La variable 'x' se refiere a la extensión adicional de la muelle cuando se estira más allá de su longitud natural para alcanzar la barra horizontal.

¿Qué variable se utiliza para describir el movimiento de la barra en el sistema?

La variable utilizada para describir el movimiento de la barra es el ángulo theta (θ).

¿Cómo se calcula la energía cinética del sistema?

La energía cinética se calcula como la mitad del momento de inercia multiplicado por la velocidad angular al cuadrado (θ˙²), donde el momento de inercia para una barra en un extremo es un tercio de la masa multiplicada por el cuadrado de la longitud de la barra.

¿Cuál es la fórmula para el momento de inercia de una barra en un extremo?

El momento de inercia de una barra en un extremo es un tercio de la masa (m) multiplicada por el cuadrado de la longitud (l) de la barra.

¿Cómo se determina la energía potencial del sistema?

La energía potencial se determina como la energía potencial almacenada en la muelle más la energía potencial perdida debido a la caída del centro de masa de la barra.

¿Cómo se relaciona la extensión de la muelle con la posición de la barra?

La extensión de la muelle se relaciona con la posición de la barra a través de la suma de la extensión natural 'x' más la extensión adicional 'lθ', donde 'l' es la longitud de la barra y 'θ' es el ángulo de rotación.

¿Cómo se establece el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza de la muelle en la barra horizontal?

El equilibrio se establece cuando la fuerza de gravedad en el centro de masa de la barra es igual y opuesta a la fuerza de la muelle en su estado natural, lo que se expresa como 'kx = mg/2'.

¿Cuál es la ecuación final del movimiento para el sistema de la barra y la muelle?

La ecuación del movimiento final es θ¨ + (3k/m)θ = 0, donde θ¨ representa la aceleración angular y 'k' y 'm' son la constante de la muelle y la masa de la barra, respectivamente.