La DERIVADA lo cambio TODO 🚀| ¿QUÉ es la DERIVADA? ▶ SIGNIFICADO de la DERIVADA en 20 MINUTOS ⌚

Summary

El guión de este video nos lleva a entender el concepto fundamental del derivado en el cálculo, clave para decodificar los misterios del universo y posible en el viaje del hombre a la luna. Se analiza cómo la velocidad de dos coches a diferentes velocidades constantes se representa gráficamente y cómo la pendiente de sus curvas es proporcional a su velocidad. A través de ejemplos, se explica cómo calcular la pendiente de una línea recta y cómo esta se relaciona con la velocidad. El video profundiza en el concepto de derivada como la pendiente de una tangente a una curva en un punto dado, ilustrando con la función de distancia contra tiempo de un coche en movimiento variable. El derivado se presenta como una herramienta esencial para estudiar el comportamiento de las funciones y su aplicación en física y áreas de ingeniería, con un agradecimiento final por la atención.

Takeaways

• 🚗 La derivada es un concepto fundamental en el cálculo que ha revolucionado el mundo y permitido descifrar misterios del universo y llevar a la gente a la luna.
• 📈 Se utiliza la derivada para analizar la velocidad de un objeto en movimiento, como dos autos que viajan a velocidades constantes diferentes.
• 📚 La distancia recorrida por un objeto a una velocidad constante se puede representar gráficamente como una función lineal de su tiempo de viaje.
• 📉 La pendiente de una línea en una gráfica de distancia vs tiempo es una medida de la velocidad a la que se mueve el objeto, y es directamente proporcional a esta.
• 🔍 La pendiente de una línea recta es el tangente del ángulo de inclinación de la línea con respecto al eje de las abscisas.
• 📐 Para calcular la pendiente de una línea, se encuentran dos puntos en ella y se utiliza la fórmula de la pendiente basada en las diferencias de las coordenadas de esos puntos.
• 🚦 La derivada se relaciona con la pendiente de una función, y permite medir la velocidad o el cambio instantáneo de una variable respecto a otra.
• 🌐 La derivada se define como el límite de la pendiente de una línea secante cuando el intervalo entre los puntos que define la línea tiende a cero, es decir, se convierte en una línea tangente.
• 📈 El uso de la derivada se extiende más allá de la física, tiene aplicaciones en áreas como la ingeniería y la electromagnetismo, incluyendo las ecuaciones de Maxwell.
• 🌌 La derivada es una herramienta clave para entender y describir los movimientos y fenómenos del universo, como el movimiento de planetas y estrellas.

Q & A

¿Qué concepto de cálculo es fundamental para entender el movimiento y esencial para la física y la ingeniería?

El concepto fundamental es la derivada, que permite medir la velocidad o la tasa de cambio de una función en un punto específico.

En el caso de los coches mencionados en el guion, ¿qué representa la velocidad constante de cada uno?

La velocidad constante de cada coche representa una distancia fija recorrida por segundo, es decir, 2 metros por segundo para el coche de caso A y 5 metros por segundo para el coche de caso B.

¿Cómo se representa gráficamente la distancia recorrida por un coche que viaja a una velocidad constante?

Se representa con una línea recta donde la pendiente de la línea corresponde a la velocidad del coche, y la distancia es la función del tiempo.

En relación con la velocidad de un coche, ¿qué indica la pendiente de su gráfica?

La pendiente de la gráfica indica la velocidad del coche, ya que representa la distancia recorrida por unidad de tiempo.

¿Cómo se relaciona el concepto de la derivada con la pendiente de una línea?

La derivada es el concepto que se utiliza para calcular la pendiente de una tangente a una curva en un punto dado, lo que representa la velocidad instantánea o el cambio más rápido de una función.

¿Qué es la pendiente y cómo se relaciona con el ángulo de inclinación de una línea?

La pendiente es la medida de la inclinación de una línea respecto al eje de las abcisas, y se relaciona con el ángulo de inclinación a través de su tangente.

¿Cómo se calcula la pendiente de una línea dada dos puntos sobre ella?

La pendiente se calcula dividiendo la diferencia en la y (la leg opuesta) entre la diferencia en la x (la leg adyacente), es decir, (y2 - y1) / (x2 - x1).

En el caso del coche que no mantiene una velocidad constante, ¿cómo se puede estimar su velocidad en un intervalo de tiempo?

Se puede estimar la velocidad promedio en un intervalo de tiempo considerando la distancia recorrida y el tiempo empleado, y luego aproximar la velocidad instantánea mediante la derivada.

¿Qué es la derivada y cómo se relaciona con el concepto de la velocidad en el movimiento de un objeto?

La derivada es una función que da la pendiente de la tangente a la curva de otra función en un punto dado, y en el contexto del movimiento, representa la velocidad instantánea de un objeto.

¿Cómo se calcula la derivada de una función cuadrática como f(x) = x^2?

Se calcula tomando dos puntos en la gráfica de la función, calculando la pendiente de la secante que los une y luego tomando el límite de esta pendiente cuando la distancia entre los puntos tiende a cero, lo que da la pendiente de la tangente en el punto x.

¿Por qué es importante el estudio de la derivada en áreas como la física y la ingeniería?

La derivada es fundamental para entender y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos, como el movimiento de partículas, la variación de campos electromagnéticos y otros fenómenos físicos y tecnológicos.

¿Cómo se relaciona el concepto de derivada con el avance en la exploración espacial y el descubrimiento de misterios del universo?

La derivada y el cálculo son herramientas esenciales que permitieron a científicos como Newton modelar y entender los movimientos celestiales y otros fenómenos, lo que a su vez fue crucial para el desarrollo de la tecnología espacial.

Outlines

00:00

🚗 Concepto de la derivada y su importancia

El primer párrafo introduce el concepto de la derivada como una de las ideas más revolucionarias en cálculo, fundamental para descifrar misterios del universo y para la llegada del hombre a la luna. Se utiliza un ejemplo de dos autos que viajan a velocidad constante y cubren la misma distancia, demostrando cómo la velocidad de un objeto (carácterizada por una pendiente más inclinada en su gráfico de distancia vs tiempo) influye en su trayectoria y tiempo de llegada. Se establece la relación entre la velocidad de un objeto y la pendiente de su curva en el gráfico, introduciendo el concepto de pendiente como una medida de la inclinación de una línea.

05:08

📏 Análisis detallado de la pendiente

En el segundo párrafo se profundiza en el análisis de la pendiente como una medida de la inclinación de una línea. Se describe cómo la pendiente, que es el tangente del ángulo de inclinación, varía según este ángulo, siendo positiva para ángulos menores a 90 grados, indefinida en 90 grados y negativa para ángulos mayores. Se calcula la pendiente de una línea dada a través de dos puntos y se ilustra cómo la pendiente de la función que representa la distancia recorrida por un auto a 2 m/s es igual a su velocidad, demostrando la relación entre la pendiente, la velocidad y la distancia recorrida.

10:09

🚦 La derivada como aproximación de velocidad

El tercer párrafo explora cómo se puede determinar la velocidad de un objeto cuyo movimiento no es constante, utilizando la pendiente de una línea secante entre dos puntos como aproximación de la velocidad promedio en un intervalo de tiempo. Se sugiere que al disminuir el intervalo de tiempo y considerar puntos cada vez más cercanos, la línea secante se convierte en una tangente que ofrece una mejor aproximación de la velocidad instantánea. Se introduce la idea de la derivada como el límite de esta pendiente cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, proporcionando la velocidad exacta en un punto específico.

15:11

📚 Definición de la derivada y su cálculo

El cuarto párrafo define formalmente la derivada como el límite de la pendiente de la línea secante cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero, lo que se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto dado. Se ilustra el proceso de calcular la derivada de una función cuadrática, mostrando cómo la simplificación algebraica de la expresión para la pendiente de la línea secante conduce a la fórmula de la derivada. Se visualiza la derivada como una función que proporciona la pendiente de la tangente en cada punto de la función original.

20:12

🌌 Aplicaciones de la derivada en física y astronomía

El último párrafo destaca la importancia de la derivada en física y astronomía, explicando cómo permite determinar la velocidad de un objeto en un momento dado y cómo ha sido crucial para entender movimientos celestiales y fenómenos electromagnéticos. Se menciona la relevancia de las leyes fundamentales del universo en la que la derivada y el cálculo han permitido ampliar nuestro conocimiento y descubrir misterios del cosmos, concluyendo con un agradecimiento y una invitación a suscriptores a seguir interactuando con el canal.

Keywords

💡Derivada

La derivada es una herramienta fundamental del cálculo que permite medir la velocidad a la que cambia una función en un punto específico. En el video, se relaciona con la velocidad de un vehículo en movimiento y se usa para entender cómo varía la distancia recorrida con el tiempo. Por ejemplo, la derivada de la función de distancia en relación al tiempo nos da la velocidad instantánea de un objeto.

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia la variación y el cambio. En el video, se destaca cómo el cálculo, y en particular la derivada, revolucionó el mundo al permitir el descifrado de misterios del universo y el desarrollo de tecnologías como el viaje del hombre a la luna.

💡Velocidad

La velocidad es una cantidad que describe cuánto se mueve un objeto en una unidad de tiempo. En el contexto del video, la velocidad es comparada con la pendiente de una línea en un gráfico de distancia contra tiempo, mostrando cómo la velocidad constante de un coche se refleja en una pendiente constante en el gráfico.

💡Pendiente

La pendiente es una medida de la inclinación de una línea en un plano cartesiano. En el video, la pendiente se utiliza para describir cómo la velocidad de un coche se relaciona con la inclinación de la gráfica de su recorrido, siendo una representación visual de la derivada.

💡Función

Una función es una relación matemática que conecta dos conjuntos de números de tal manera que cada valor en el primer conjunto (dominio) tiene un único valor correspondiente en el segundo conjunto (imagen). En el video, las funciones se usan para describir la relación entre la distancia y el tiempo para diferentes coches.

💡Gráfico

Un gráfico es una representación visual de datos en el plano cartesiano. En el video, los gráficos se utilizan para ilustrar cómo varía la distancia con el tiempo para diferentes velocidades de coches, y cómo la pendiente de estas gráficas es proporcional a la velocidad.

💡Tangente

La tangente es una línea que toca una curva en un solo punto y tiene la misma dirección que la curva en ese punto. En el video, la tangente se menciona al discutir cómo se puede construir una línea que sea tangente a la gráfica de una función, lo que se relaciona con la derivada de la función.

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en el cálculo que describe el comportamiento de una función cuando el argumento de la función se acerca a un valor determinado. En el video, el límite se utiliza para definir la derivada, tomando el límite de la pendiente de una secante cuando la distancia entre los puntos se acerca a cero.

💡Secante

La secante es una línea que intersecta la gráfica de una función en dos puntos. En el video, la secante se utiliza para aproximar la pendiente de la función y, a través del límite, para encontrar la pendiente de la tangente, lo que nos da la derivada.

💡Cuadrática

Una función cuadrática es una función polinomial de grado dos, generalmente dada por la forma f(x) = ax^2 + bx + c. En el video, se utiliza una función cuadrática para ilustrar cómo se calcula su derivada, mostrando que la derivada de x^2 es 2x, lo que representa la pendiente de la tangente en cada punto de la gráfica.

Highlights

Hoy analizaremos uno de los conceptos más importantes en el cálculo, que revolucionó el mundo y permitió descifrar los misterios más profundos del universo.

El concepto del derivado es fundamental para entender la velocidad y el cambio en general.

La velocidad constante de un objeto se representa gráficamente como una línea recta con una inclinación proporcionada a esa velocidad.

La pendiente de una línea es una medida de su inclinación respecto al eje de las abcisas.

La pendiente es el tangente del ángulo de inclinación de una línea.

El cálculo del pendiente de una línea requiere dos puntos y la formación de un triángulo rectángulo.

La pendiente de una línea que representa la distancia recorrida por un coche a una velocidad constante coincide con la velocidad del coche.

El análisis de un coche que varía su velocidad muestra cómo la pendiente de una línea seca puede aproximar la velocidad instantánea.

El derivado se define como el límite de la pendiente de la línea secante cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

El derivado de una función da la pendiente de la línea tangente en cada punto de la función.

El derivado es una herramienta valiosa para estudiar el comportamiento de las funciones y su ritmo de crecimiento o decrecimiento.

La derivada de una función cuadrática, como x elevado al cuadrado, es 2 veces x.

El conocimiento del derivado permite determinar la velocidad de un partícula en cada instante de tiempo.

Las aplicaciones del derivado van más allá del movimiento de estrellas y se extienden a todas las ramas de la física y la ingeniería.

Los derivados y las integrales son fundamentales en la comprensión de las leyes que gobiernan el universo.

Este análisis del derivado ha permitido descubrir los misterios más profundos del universo y enviar a los seres humanos a la luna.

El vídeo proporciona una guía detallada sobre la importancia y aplicaciones prácticas del concepto del derivado en la física y la ingeniería.

Transcripts

Today we are going to analyze and really understand what is behind one of the

most important concepts in calculus, a concept that really revolutionized the

entire world, allowed us to decipher the deepest mysteries of the universe and

made the arrival of man on the moon possible. today we will analyze what the derivative is but what

is behind this concept and really why it is so important so let's start

and

imagine the following situation we have two cars that will start their movement with

constant speed and both will travel the same distance to the point that in the case a the

car will move with a constant speed of 2 meters per second and in the case of it will move with a

constant speed of 5 meters per second if both start simultaneously the car in the case of

will reach the finish line first but because let's analyze what it means that The car in case a moves

with a constant speed of 2 meters per second. This means that for every second the car travels

exactly two meters. ros, on the other hand, for the car in case b, the situation is a little more advantageous

since when moving with a constant speed of five meters per second, this means that for every one

second this car travels five meters, so we can see that both in one second that is, in

a time interval they travel different distances let's see the graph of the distance versus time

for the case it has given that it moves with a constant speed of two meters per second for

each second it travels two meters so in the first second it will have traveled exactly two

meters the next second it will have traveled four meters and the third second it will have traveled six

meters we can represent the distance of this car as a function of its 1 for example that

depends on time and that is equal to twice this for example when it is worth 12 times 12 meters when

it is worth 22 times 24 meters and when it is worth 32 times 36 meters we can see that this function represents

the distance traveled during the time me on the other hand in the case of the car you see this car moves with

a constant speed of 5 meters per second that is to say every one second it travels exactly 5 meters

in this way in the first second for example it has traveled 5 meters and the next second

it is already he traveled 10 meters and in the third second he already traveled 15 meters for this case we can see that

the function that describes the distance he travels in time is equal to ad sub 2 which is equal to 5 times

t for example when it is worth 15 times 15 if it is worth 25 times 210 and if it is worth 35 times 315 now if

we graph both functions at the same time we can notice something very interesting and that is that the car

that traveled faster has as a graph a steeper line than the other car so

this It means that the faster the line, the greater the inclination and the lower the speed, the

less inclination. Let's look at the graph for some more cases, for example, if we have another

car that traveled at only 1 meter per second, its graph would be this if, on the contrary, ary

we have another car that traveled at 10 meters per second this would be its graph now

if we look at all the graphs we can notice something we can check that the initial statement

is true the faster the graph will be a steeper line and the slower the graph

will have a slope much less so if we can intuit that in some way there is

a relationship between the speed and the inclination of the line but there is some way to measure

this inclination of the line well yes with something called the slope but the slope is

the slope is a measure of the inclination of a line with respect to the abscissa axis

we are going to delve much more into this slope for that let's analyze in more details

suppose we have any linear function of the type fx is equal to m x + b

the graph of this type of linear functions are always straight lines, for example we can

see how an angle is formed between the line and the abscissa axis or the xa e axis We are

going to call this angle the angle of inclination and its measurement, for example, can be

between 0 and 180 degrees. Let's see in detail what this angle of inclination is like. For example

, if the angle of inclination is 0 degrees, the line will be totally horizontal, coinciding

with the x axis then the angle of inclination can vary between 0 and 180 degrees we

can see how this angle is a good parameter to measure how steep the line is but what

the slope itself measures is not the angle of inclination rather that measures the slope

is the tangent of said angle of inclination. Let's see, for example, what the behavior

of the slope is as we vary this angle of inclination. For example, if the

angle of inclination takes values ​​between 0 and 90 degrees, the slope is always a positive value

and in fact we can consider that when the slope is positive the function is

also to grow as the angle approaches 90 degrees we can see how the val or of the

slope gets bigger and bigger and in fact when the angle is equal to 90 degrees

the slope is not defined on the other hand when the angle is

between 90 and 180 degrees the value of the slope is now negative and the function is decreasing

and then when the angle is equal to 180 degrees the slope is 0 again

now let's see how to calculate the slope of a line that has an inclination angle for

example alpha for this we are going to locate two points on this line first we locate a point a whose

coordinates will be x sub 1 and yes 1 and another point b whose coordinates will be x sub 23 sub 2 then

we draw some parallel lines to form a right triangle whose angle will also be

alpha because we have parallel lines now the slope of this line will be given by the

tangent and remembering that the tangent is defined as the ratio between the opposite leg and the

adjacent leg we can obtain its value but first we have to find the measure Measurement of both

legs, for example, the adjacent leg will be equal to the difference between x sub 2 and x sub 1

, while the opposite leg will be given by the difference between y and sub 21, so the tangent

of the angle of inclination will be equal to 10 sub 2 - ye sub 1 over x sub 2 - x 1 this

is how we can calculate the slope of a line if we know any two points on

it and now that we know how to calculate the slope of a line we are going to calculate the

slope for the line that represented the distance traveled by the car that moved with

a constant speed of two meters per second we conveniently choose two points on the

line and construct a right triangle whose legs will now measure 2 and 4 now the tangent is

equal to the opposite leg on the adjacent leg and replacing it with these values ​​we obtain that it is

equal to 4 over 2, so the slope for this line is equal to 2, but when finding the

equal slope, I am interested before here is to notice how this value of the slope coincides with the

speed with which the car was traveling, it is also slope has units of distance over time

, that is, meters over a second, and clearly it is the speed, so the slope of this line

gives us the speed at which the car travels so from here we can realize how the slope of the

line or of the function gives us the speed but now we have to go a little further and analyze a

much more realistic case for example suppose we have a car that initially is

at rest then begins to move gradually increasing its speed after a certain time

it begins to slow down slowly until it finally stops traveling 100 meters in a period of

eight seconds let's now see how the graph of the distance traveled in time will be for this

case in this case we can see how the car starts from rest and its speed changes

as time goes by so the distance it traveled e in each

time interval will always be different we are going to call this function s dt we will not use d since this letter

will be reserved to represent another more important function that I will tell later if we analyze

the graph in detail we can notice how during the first second the car traveled a

very short distance and in subsequent seconds traveled is different every second until in the

last second it travels a short distance and finally stops completely but how

do we find the speed of this car since in this case we can notice that the

speed now is not constant that is changing as time goes by but we

can choose a time interval and assume that in that time interval the car did travel

with constant speed so we can find what the average speed was in said interval

and remembering that this speed is related to the slope we can find the slope of the

secant line between these two chosen points but remember that these are only an approximation

since as we can see the car does not travel the same distance in each second but we can

do something to improve this approximation of the speed and for this we can do the following

for example every time we can take smaller time intervals so our line that

gives us the average speed over that interval can now be converted to a tangent line

that will give us a very good approximation of the speed of the car at that instant and if we are

about to find out one of the most important concepts in calculus, the derivative

, suppose we have a function fx whose graph is the following, now we wonder

how we can construct a straight line that is tangent to the curve of this function, for this we

take two points on the graph of the function for example a point p whose abscissa will be x and

its ordinate efe evaluated in x and then let's take another point q that is at a dis distance h from the

first point for what remains will be x + h and its ordinate will be f evaluated at x + h now through

these two points we can draw a secant line and then we can find the

slope of this secant line remembering that slope is calculated as the tangent of the

right triangle that is formed there we can call the legs of said triangle as

delta of x and delta of ye, so the tangent will simply be the ratio between

delta d over delta of x but delta of and can be calculated if we look at the function we can see

that delta of iu is equal to efe evaluated at x + h minus fx and on the other hand delta

of x is equal to x + h - x from here we can see how the x's cancel each other out and the expression

for the slope of the secant line is this way but we want to construct

a tangent line from this secant line the question is how we can do that

suppose that initially the value of h is equal to 1 if now i We increase the value of h we can

see how the points move away but we still have a drying line but on the contrary

what happens if we make the value of h decrease that is to say that it becomes smaller and smaller

each time smaller and smaller such that its value is so small that it approaches zero in

mathematical terms this means taking the limit of that function as h tends to zero and

if we do this we can see how point q approaches point t so much that in the

limit that is, when we make h tend to zero we can see how the secant line will become

a tangent line at that point if we have just defined what the derivative is, now we are going

to change the annotation and change delta of y to delta of x by by over x

which we can interpret as differential of y over differential of x we ​​are changing the

annotation because this annotation means when we take the limit of h tending

to zero the new function that we have obtained is called the derivative and it is a function that will give us

the value of the slope of the original function at each point of the function but better let's see an

example let's analyze the behavior for example of the quadratic function given by fx is equal to

x squared using the derivative for this we are going to take two points on the graph of

the function the first point in the x coordinate and its image will be f evaluated in x and another point

far from the first and its image will be evaluated in x + h then we draw a line secant through

these two points and we calculate the slope of this secant line by the quotient of

delta of ye over delta of x and we will obtain the following efe evaluated at x + h - efe x over

h but remember that we are analyzing the quadratic function is say fx is equal to x

squared so fx + h would be x + h squared minus x squared if we expand the

binomial squared of the numerator we will get the following x squared plus 2 times x times h

plus h squared minus x squared we can see in the numerator how the terms x squared

cancel each other out leaving only 2 times x times h + h squared and everything over h

we can factor the term h into the numerator and simplifying with the term h of the denominator

we obtain that the expression for the slope of this line is simply given by 2 times x + h

but to construct the tangent line we must take the limit, that is, we have to make

h tend to 0, that is, the value of h is very very very small for example we can initially

take the value of h equal to 1 and then we can see how as the value of h decreases until

its value is very close to 0 but without being 0 that is to say that h tends to 0 that approaches

0 infinitely but never does so we can see how our secant line becomes a

tangent line and this tangent line will give us the slope of the function at each point so

the derivative for this it is simply 2 times x let's now see the graph of the original function

that is the function x squared and the graph of its derivative the derivative is another function that will give us

the slope of the tangent line at each point of the original function the derivative is a

very useful tool because it allows us to study how the functions behave, for example

, it allows us to know at what intervals the functions grow or to grow, but it also allows us to know

the rhythm with which they do so, for example, in the case of this quadratic function we

can see how as x approaches 0 the function is a function that decreases and

we can also see this reflected in the graph of its derivative that has negative values ​​of

the slope as we approach x is equal to 0 and this tells us that the function

is decreasing but when we do x0 we can see that the slope is exactly 0, that is, at this

point the function does not increase or decrease and then for the values ​​of x greater than 0, the function

becomes increasing and we can also see this reflected in the slope, which is positive,

but why is the derivative so important in the example that we are analyzing if we have the function

that describes the path of a particle the The derivative will allow us to know the speed

of that particle at each instant of time, but the applications of the derivative go

even further because it is thanks to derivatives and calculus that Newton was able to understand the

movement of the planets and other stars in the universe, but his Applications are not only

limited to the movement of the stars but also have a great application in all

branches of physics and engineering in electromagnetism, for example, they are

present in Maxwell's equations which explain all

electromagnetic phenomena, derivatives and integrals. They allowed us to have a broader vision

about the laws that govern the universe and how these laws work, the same laws that and

allowed to discover the deepest mysteries of the universe as well as send humans to the mind

and thank you very much for watching this video you can support me by subscribing to the channel commenting

and sharing this video if you really found it quite useful

thank you very much for your attention and with me it will be in the next video